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【考点训练】三角形的形状判断-2解析


【考点训练】三角形的形状判断-2
(扫描二维码可查看试题解析)

一、选择题(共 20 小题)

1. (2014?静安区校级模拟)若 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形

,则△ ABC 为( D.不能判断



2. (2014 秋?郑州期末)若△ ABC 的三个内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC, 则△ ABC( ) A.一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 3. (2014 秋?祁县校级期末)A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sinA+cosA= 这个三角形的形状为( A.锐角三角形 C. 等腰直角三角形 ) B. 钝角三角形 D.等腰三角形 ,则

4. (2014?天津学业考试)在△ ABC 中,sinA?sinB<cosA?cosB,则这个三角形的形 状是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 ,则此三角形为( )

5. (2014 春?禅城区期末)已知:在△ ABC 中, A.直角三角形 C. 等腰三角形

B. 等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

6. (2014?南康市校级模拟) 已知△ ABC 满足 是( ) A.等边三角形

, 则△ ABC

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.钝角三角形

第 1 页(共 21 页)

7. (2014?马鞍山二模)已知非零向量



满足



= . 则△ ABC 为( A.等边三角形 C. 等腰非等边三角形

) B. 直角三角形 D.三边均不相等的三角形

8. (2014?蓟县校级二模)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 2c =2a +2b +ab,则△ ABC 是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形
2 2 2

C.锐角三角形 与 满足(

D.等边三角形 + )? =0,

9. (2014?黄冈模拟)已知在△ ABC 中,向量



?

= ,则△ ABC 为(

) B. 直角三角形 D.等边三角形

A.三边均不相等的三角形 C. 等腰非等边三角形

10. (2014?奉贤区二模)三角形 ABC 中,设 三角形 ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形

= ,

= ,若 ?( + )<0,则 D.无法确定

C.直角三角形

11. (2015?温江区校级模拟)已知向量 ,则△ ABC 的形状为 ( ) A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

12. (2014 秋?景洪市校级期末)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且 ,则△ ABC 的形状为( ) B. 等腰直角三角形 D.直角三角形

A.等边三角形 C. 等腰或直角三角形

第 2 页(共 21 页)

13. (2014?咸阳三模) △ ABC 的三个内角 A、 B、 C 成等差数列, 则△ ABC 一定是( ) A.直角三角形 C. 非等边锐角三角形



B. 等边三角形 D.钝角三角形

14. (2014?奎文区校级模拟)在△ ABC 中,P 是 BC 边中点,角 A、B、C 的对边分 别是 a、b、c,若 A.等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形
2 2

,则△ ABC 的形状是(



15. (2014 秋?正定县校级期末)在△ ABC 中,tanA?sin B=tanB?sin A,那么△ ABC 一定是( ) A.锐角三角形 C. 等腰三角形 B. 直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

16. (2014?漳州四模) 在△ ABC 中的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b=2ccosA, c=2bcosA 则△ ABC 的形状为( A.直角三角形 C. 等边三角形 ) B. 锐角三角形 D.等腰直角三角形

17. (2014?云南模拟)在△ ABC 中,若 tanAtanB>1,则△ ABC 是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 =1 和椭圆



D.无法确定 =1(a>0,m>b ) D.等腰三角形

18. (2013 秋?金台区校级期末)双曲线

>0)的离心率互为倒数,那么以 a,b,m 为边长的三角形是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形

19. (2014?红桥区二模) 在△ ABC 中, “ A.充分不必要条件 C. 充要条件

”是“△ ABC 为钝角三角形”的 ( B. 必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件



第 3 页(共 21 页)

20. (2014 秋?德州期末)在△ ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ ABC 的形状是( A.等腰三角形 C. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 D.等腰或直角三角形



二、填空题(共 10 小题) (除非特别说明,请填准确值)

21. (2014 春?沭阳县期中)在△ ABC 中,已知 sinA=2sinBcosc,则△ ABC 的形状 为 .

22. (2014 秋?思明区校级期中)在△ ABC 中,若 a=9,b=10,c=12,则△ ABC 的形状 是 .

23. (2013?文峰区校级一模)已知△ ABC 中,AB= 于 .

,BC=1,tanC=

,则 AC 等

24. (2013 春?广陵区校级期中)在△ ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ ABC 的形状 一定是 三角形.

25. (2014 秋?潞西市校级期末)在△ ABC 中,已知 c=2acosB,则△ ABC 的形状 为 . 26. (2014 春?常熟市校级期中)在△ ABC 中,若 是 . ,则△ ABC 的形状

27. (2014 春?石家庄期末)在△ ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则该△ ABC 是 三角形(请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形) .

2

2

2

28. (2013 春?遵义期中)△ ABC 中,b= 形.

a,B=2A,则△ ABC 为

三角

29. (2013 秋?沧浪区校级期末)若△ ABC 的三个内角满足 sinA:sinB:sinC=5:11: 13,则△ ABC 为 (填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. )
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30. (2014 春?宜昌期中)在△ ABC 中,sinA=2cosBsinC,则三角形为 角形.



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【考点训练】三角形的形状判断-2
参考答案与试题解析

一、选择题(共 20 小题) 1. (2014?静安区校级模拟)若 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 ,则△ ABC 为( D.不能判断 )

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 利用平方差公式,由 为等腰三角形. 解答: 解:由 , ∴

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,推出 AB=AC,即可得出△ ABC

,得:

故 AB=AC,

△ ABC 为等腰三角形, 故选 A. 点评: 本小题主要考查向量的数量积、向量的模、向量在几何中的应用等基础知识,考查运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 2. (2014 秋?郑州期末)若△ ABC 的三个内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则△ ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据题意,结合正弦定理可得 a:b:c=4:6:8,再由余弦定理算出最大角 C 的余弦
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等于﹣ ,从而得到△ ABC 是钝角三角形,得到本题答案. 解答: 解:∵ 角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC, ∴ 根据正弦定理,得 6a=4b=3c,整理得 a:b:c=4:6:8 设 a=4x,b=6x,c=8x,由余弦定理得:cosC=
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=

=

﹣ ∵ C 是三角形内角,得 C∈(0,π) , ∴ 由 cosC=﹣ <0,得 C 为钝角 因此,△ ABC 是钝角三角形 故选:C 点评: 本题给出三角形个角正弦的比值,判断三角形的形状,着重考查了利用正、余弦定理 解三角形的知识,属于基础题.

3. (2014 秋?祁县校级期末)A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sinA+cosA= 形的形状为( ) A.锐角三角形 C. 等腰直角三角形

,则这个三角

B. 钝角三角形 D.等腰三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 2 2 将已知式平方并利用 sin A+cos A=1,算出 sinAcosA=﹣
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<0,结合 A∈(0,π)

得到 A 为钝角,由此可得△ ABC 是钝角三角形. 解答: 解:∵ sinA+cosA= , ∴ 两边平方得(sinA+cosA) = ∵ sin A+cos A=1, ∴ 1+2sinAcosA= ,解得 sinAcosA= ( ﹣1)=﹣ <0,
2 2 2

,即 sin A+2sinAcosA+cos A=

2

2



∵ A∈(0,π)且 sinAcosA<0, ∴ A∈( ,π) ,可得△ ABC 是钝角三角形

故选:B 点评: 本题给出三角形的内角 A 的正弦、余弦的和,判断三角形的形状.着重考查了同角三 角函数的基本关系、三角形的形状判断等知识,属于基础题. 4. (2014?天津学业考试) 在△ ABC 中, sinA?sinB<cosA?cosB, 则这个三角形的形状是 ( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 )

考点: 三角形的形状判断;两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题. 分析: 对不等式变形,利用两角和的余弦函数,求出 A+B 的范围,即可判断三角形的形状. 解答: 解:因为在△ ABC 中,sinA?sinB<cosA?cosB,所以 cos(A+B)>0,
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所以 A+B∈(0,

) ,C>



所以三角形是钝角三角形. 故选 B. 点评: 本题考查三角形的形状的判定,两角和的余弦函数的应用,注意角的范围是解题的关 键. 5. (2014 春?禅城区期末)已知:在△ ABC 中, A.直角三角形 C. 等腰三角形

,则此三角形为(



B. 等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 由条件可得 sinCcosB=cosCsinB,故 sin(C﹣B)=0,再由﹣π<C﹣B<π,可得 C﹣ B=0,从而得到此三角形为等腰三角形. 解答: 解:在△ ABC 中, ,则 ccosB=bcosC,由正弦定理可得 sinCcosB=cosCsinB,
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∴ sin(C﹣B)=0,又﹣π<C﹣B<π,∴ C﹣B=0,故此三角形为等腰三角形, 故选 C. 点评: 本题考查正弦定理,两角差的正弦公式,得到 sin(C﹣B)=0 及﹣π<C﹣B<π,是 解题的关键.

6. (2014?南康市校级模拟)已知△ ABC 满足 ( ) A.等边三角形

,则△ ABC 是

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.钝角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据向量的加减运算法则,将已知化简得
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=

+

?

,得

?

=0.结合向量

数量积的运算性质,可得 CA⊥ CB,得△ ABC 是直角三角形. 解答: 解:∵ △ ABC 中, , ∴ = 即 ( = ﹣ + )+ ? ? = ? ? + =0 ?

,得

∴ ⊥ 即 CA⊥ CB,可得△ ABC 是直角三角形
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故选:C 点评: 本题给出三角形 ABC 中的向量等式,判断三角形的形状,着重考查了向量的加减法 则、数量积的定义与运算性质等知识,属于基础题.

7. (2014?马鞍山二模)已知非零向量



满足



= . 则△ ABC 为( A.等边三角形 C. 等腰非等边三角形

) B. 直角三角形 D.三边均不相等的三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 通过向量的数量积为 0, 判断三角形是等腰三角形, 通过
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= 求出等腰三

角形的顶角,然后判断三角形的形状. 解答: 解:因为 ,所以∠ BAC 的平分线与 BC 垂直,三角形是等 腰三角形. 又因为 ,所以∠ BAC=60°,

所以三角形是正三角形. 故选 A. 点评: 本题考查向量的数量积的应用,考查三角形的判断,注意单位向量的应用,考查计算 能力. 8. (2014?蓟县校级二模) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 且 2c =2a +2b +ab, 则△ ABC 是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 整理题设等式,代入余弦定理中求得 cosC 的值,小于 0 判断出 C 为钝角,进而可推 断出三角形为钝角三角形. 2 2 2 解答: 解:∵ 2c =2a +2b +ab,
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2

2

2

∴ a +b ﹣c =﹣ ab,

2

2

2

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∴ cosC=

=﹣ <0.

则△ ABC 是钝角三角形. 故选 A 点评: 本题主要考查了三角形形状的判断,余弦定理的应用.一般是通过已知条件,通过求 角的正弦值或余弦值求得问题的答案.

9. (2014?黄冈模拟)已知在△ ABC 中,向量



满足(

+

)?

=0,且

?

= ,则△ ABC 为(

) B. 直角三角形 D.等边三角形

A.三边均不相等的三角形 C. 等腰非等边三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 设

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,由

=0,可得 AD⊥ BC,再根据边形

AEDF 是菱形推出∠ EAD=∠ DAC, 再由第二个条件可得∠ BAC=60°,由△ ABH≌ △ AHC,得到 AB=AC,得到△ ABC 是等边 三角形. 解答: 解:设 ,则原式化为 =0,



=0,∴ AD⊥ BC. |? =| |?| |?cos∠ BAC= ,

∵ 四边形 AEDF 是菱形,

∴ cos∠ BAC= ,∴ ∠ BAC=60°, ∴ ∠ BAD=∠ DAC=30°,∴ △ ABH≌ △ AHC,∴ AB=AC. ∴ △ ABC 是等边三角形.

点评: 本题考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,三角形形状的判断,属于中档
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题.

10. (2014?奉贤区二模)三角形 ABC 中,设 ABC 的形状是( A.锐角三角形 ) B.钝角三角形

= ,

= ,若 ?( + )<0,则三角形 D.无法确定

C.直角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 依题意,可知 + = ;利用向量的数量积即可判断三角形 ABC 的形状.
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解答: 解:∵ = , ∴+ = + =

= , ;

∵ ?( + )<0, ∴? 即| <0, |?| |?cos∠ BAC<0, |>0,

∵ | |?|

∴ cos∠ BAC<0,即∠ BAC>90°. ∴ 三角形 ABC 为钝角三角形. 故选 B. 点评: 本题考查三角形的形状判断, + = 于中档题. 11. (2015?温江区校级模拟)已知向量

的应用是关键,考查转化思想与运算能力,属

,则△ ABC 的形状为 ( ) A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

考点: 三角形的形状判断;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由数量积的坐标运算可得 >0,而向量的夹角
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=π﹣B,进而可得

B 为钝角,可得答案. 解答: 解:由题意可得:

=(cos120°,sin120°)?(cos30°,sin45°)
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=(



)?(



)=

=

>0,

又向量的夹角

=π﹣B,故 cos(π﹣B)>0,即 cosB<0,故 B 为钝角,

故△ ABC 为钝角三角形 故选 D 点评: 本题为三角形性质的判断,由向量的数量积说明角的范围是解决问题的关键,属中档 题. 12. (2014 秋?景洪市校级期末)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 ,则△ ABC 的形状为( A.等边三角形 C. 等腰或直角三角形 ) B. 等腰直角三角形 D.直角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边,整理后表示出 cosA,再利用余弦 2 2 2 定理表示出 cosA,两者相等,整理后得到 a +b =c ,根据勾股定理的逆定理即可判断 出此三角形为直角三角形. 解答: 2 解:∵ cos = ,
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=



∴ cosA= ,又根据余弦定理得:cosA=




2 2 2

= ,
2 2 2 2

∴ b +c ﹣a =2b ,即 a +b =c , ∴ △ ABC 为直角三角形. 故选 D. 点评: 此题考查了三角形形状的判断,考查二倍角的余弦函数公式,余弦定理,以及勾股定 理的逆定理;熟练掌握公式及定理是解本题的关键. 13. (2014?咸阳三模) △ ABC 的三个内角 A、 B、 C 成等差数列, 一定是( ) A.直角三角形 C. 非等边锐角三角形 考点: 三角形的形状判断. , 则△ ABC

B. 等边三角形 D.钝角三角形

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专题: 计算题;解三角形. 分析: 由 ,结合等腰三角形三线合一的性质,我们易判断△ ABC 为等腰 三角形,又由△ ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,我们易求出 B=60°,综合两个 结论,即可得到答案. 解答: 解:∵ △ ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列, ∴ 2B=A+C. 又∵ A+B+C=180°, ∴ B=60°. 设 D 为 AC 边上的中点, 则 又∵ ∴ ∴ . 即△ ABC 为等腰三角形,AB=BC, + =2 . ,

又∵ B=60°, 故△ ABC 为等边三角形. 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算和等差数列的性质, 其中根据平面向量的 数量积运算,判断△ ABC 为等腰三角形是解答本题的关键. 14. (2014?奎文区校级模拟)在△ ABC 中,P 是 BC 边中点,角 A、B、C 的对边分别是 a、 b、c,若 ,则△ ABC 的形状是( )

A.等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 将 c +a +b = 转化为以
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与 ,

为基底的关系,即可得到答案.

解答: 解:∵ =﹣ ∴ c 即c +a +b +b

, =c

= ﹣a



+b( = ,



)=

﹣(a+b)

∵ P 是 BC 边中点,
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∴ = ( ∴ c +b

+

) , + )= ,

﹣ (a+b) (

∴ c﹣ (a+b)=0 且 b﹣ (a+b)=0, ∴ a=b=c. 故选 A. 点评: 本题考查三角形的形状判断,突出考查向量的运算,考查化归思想与分析能力,属于 中档题. 15. (2014 秋?正定县校级期末) 在△ ABC 中, tanA?sin B=tanB?sin A, 那么△ ABC 一定是 ( A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
2 2



考点: 三角形的形状判断. 专题: 综合题. 分析: 把原式利用同角三角函数间的基本关系变形后,得到 sin2A=sin2B,由 A 和 B 为三角 形的内角,得到 2A 与 2B 相等或互补,从而得到 A 与 B 相等或互余,即三角形为等 腰三角形或直角三角形. 2 2 解答: 解:原式 tanA?sin B=tanB?sin A,
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变形为:

=



化简得:sinBcosB=sinAcosA,即 sin2B= sin2A, 即 sin2A=sin2B, ∵ A 和 B 都为三角形的内角, ∴ 2A=2B 或 2A+2B=π, 即 A=B 或 A+B= ,

则△ ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选 D. 点评: 此题考查了三角形形状的判断,熟练掌握三角函数的恒等变换把原式化为 sin2A=sin2B 是解本题的关键. 16. (2014?漳州四模)在△ ABC 中的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=2ccosA, c=2bcosA 则△ ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 通过两个等式推出 b=c,然后求出 A 的大小,即可判断三角形的形状.
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第 14 页(共 21 页)

解答: 解: 因为在△ ABC 中的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b=2ccosA, c=2bcosA 所以 ,所以 b=c,2bcosA=c,所以 cosA= ,A=60°,

所以三角形是正三角形. 故选 C. 点评: 本题考查三角形的形状的判断,三角函数值的求法,考查计算能力. 17. (2014?云南模拟)在△ ABC 中,若 tanAtanB>1,则△ ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 考点: 三角形的形状判断. 专题: 综合题. 分析: 利用两角和的正切函数公式表示出 tan (A+B) , 根据 A 与 B 的范围以及 tanAtanB>1, 得到 tanA 和 tanB 都大于 0,即可得到 A 与 B 都为锐角,然后判断出 tan(A+B)小 于 0,得到 A+B 为钝角即 C 为锐角,所以得到此三角形为锐角三角形. 解答: 解:因为 A 和 B 都为三角形中的内角, 由 tanAtanB>1,得到 1﹣tanAtanB<0, 且得到 tanA>0,tanB>0,即 A,B 为锐角,
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所以 tan(A+B)= 则 A+B∈(

<0,

,π) ,即 C 都为锐角,

所以△ ABC 是锐角三角形. 故答案为:锐角三角形 点评: 此题考查了三角形的形状判断,用的知识有两角和与差的正切函数公式.解本题的思 路是:根据 tanAtanB>1 和 A 与 B 都为三角形的内角得到 tanA 和 tanB 都大于 0,即 A 和 B 都为锐角,进而根据两角和与差的正切函数公式得到 tan(A+B)的值为负数, 进而得到 A+B 的范围,判断出 C 也为锐角.

18. (2013 秋?金台区校级期末)双曲线

=1 和椭圆

=1(a>0,m>b>0)的

离心率互为倒数,那么以 a,b,m 为边长的三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形

D.等腰三角形

考点: 三角形的形状判断;椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 求出椭圆与双曲线的离心率,利用离心率互为倒数,推出 a,b,m 的关系,判断三角 形的形状. 解答: 解:双曲线 =1 和椭圆 =1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,所
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2 2 2 2 4


2 2 2

所以 b m ﹣a b ﹣b =0 即 m =a +b ,所以以 a,b,m 为边长的三角形是直角三角形. 故选 C. 点评: 本题是中档题,考查椭圆与双曲线基本性质的应用,三角形形状的判断方法,考查计 算能力. 19. (2014?红桥区二模)在△ ABC 中,“ A.充分不必要条件 C. 充要条件 ”是“△ ABC 为钝角三角形”的( B. 必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件



考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式,得到两向量的夹角为锐角,从而 得到三角形的内角为钝角,即可得到三角形为钝角三角形;反过来,三角形 ABC 若 为钝角三角形,可得 B 不一定为钝角,故原不等式不一定成立,可得前者是后者的充 分不必要条件. 解答: 解:∵ ,即| |?| |cosθ>0,
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∴ cosθ>0,且 θ∈(0,π) , 所以两个向量的夹角 θ 为锐角, 又两个向量的夹角 θ 为三角形的内角 B 的补角, 所以 B 为钝角,所以△ ABC 为钝角三角形, 反过来,△ ABC 为钝角三角形,不一定 B 为钝角, 则“ ”是“△ ABC 为钝角三角形”的充分条件不必要条件.

故选 A 点评: 此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有平面向量的数量积运算,以及充分必要 条件的证明,熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键. 20. (2014 秋?德州期末)在△ ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ ABC 的形状是( A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 )

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理化简已知的等式,再根据二倍角的正弦函数公式变形后,得到 sin2A=sin2B,由 A 和 B 都为三角形的内角,可得 A=B 或 A+B=90°,从而得到三角形 ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解答: 解:由正弦定理 asinA=bsinB 化简已知的等式得:sinAcosA=sinBcosB,
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∴ sin2A= sin2B, ∴ sin2A=sin2B,又 A 和 B 都为三角形的内角, ∴ 2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= ,

则△ ABC 为等腰或直角三角形. 故选 D 点评: 此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有正弦定理,二倍角的正弦函数公式,以 及正弦函数的图象与性质,其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系,利用正弦 定理化简已知的等式是本题的突破点. 二、填空题(共 10 小题) (除非特别说明,请填准确值) 21. (2014 春?沭阳县期中)在△ ABC 中,已知 sinA=2sinBcosc,则△ ABC 的形状为 等腰三 角形 . 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 通过三角形的内角和,以及两角和的正弦函数,化简方程,求出角的关系,即可判断 三角形的形状. 解答: 解:因为 sinA=2sinBcosc,所以 sin(B+C)=2sinBcosC, 所以 sinBcosC﹣sinCcosB=0,即 sin(B﹣C)=0, 因为 A,B,C 是三角形内角,所以 B=C. 三角形的等腰三角形. 故答案为:等腰三角形. 点评: 本题考查两角和的正弦函数的应用,三角形的判断,考查计算能力.
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22. (2014 秋?思明区校级期中)在△ ABC 中,若 a=9,b=10,c=12,则△ ABC 的形状是 锐 角三角形 . 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 因为 c 是最大边,所以 C 是最大角.根据余弦定理算出 cosC 是正数,得到角 C 是锐 角,所以其它两角均为锐角,由此得到此三角形为锐角三角形. 解答: 解:∵ c=12 是最大边,∴ 角 C 是最大角
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根据余弦定理,得 cosC=

=

>0

∵ C∈(0,π) ,∴ 角 C 是锐角, 由此可得 A、B 也是锐角,所以△ ABC 是锐角三角形 故答案为:锐角三角形 点评: 本题给出三角形的三条边长,判断三角形的形状,着重考查了用余弦定理解三角形和 知识,属于基础题.
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23. (2013?文峰区校级一模)已知△ ABC 中,AB=

,BC=1,tanC=

,则 AC 等于 2 .

考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 画出图形,利用已知条件直接求出 AC 的距离即可. 解答: 解:由题意 AB= ,BC=1,tanC= ,可知 C=60°,B=90°,
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三角形 ABC 是直角三角形,所以 AC= 故答案为:2.

=2.

点评: 本题考查三角形形状的判断,勾股定理的应用,考查计算能力. 24. (2013 春?广陵区校级期中) 在△ ABC 中, 若 2cosBsinA=sinC, 则△ ABC 的形状一定是 等 腰 三角形. 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 等式即 2cosBsinA=sin(A+B) ,展开化简可得 sin(A﹣B)=0,由﹣π<A﹣B<π, 得 A﹣B=0,故三角形 ABC 是等腰三角形. 解答: 解: 在△ ABC 中, 若 2cosBsinA=sinC, 即 2cosBsinA=sin (A+B) =sinAcosB+cosAsinB, ∴ sinAcosB﹣cosAsinB=0,即 sin(A﹣B)=0,∵ ﹣π<A﹣B<π,∴ A﹣B=0, 故△ ABC 为等腰三角形, 故答案为:等腰. 点评: 本题考查两角和正弦公式,诱导公式,根据三角函数的值求角,得到 sin(A﹣B)=0, 是解题的关键.
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25. (2014 秋?潞西市校级期末)在△ ABC 中,已知 c=2acosB,则△ ABC 的形状为 等腰三 角形 . 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可得 sin(A+B)=2sinAcosB,由两角和的正弦公式可求得 sin(A﹣B) =0,根据﹣π<A﹣B<π,故 A﹣B=0,从而得到△ ABC 的形状为等腰三角形. 解答: 解:由正弦定理可得 sin(A+B)=2sinAcosB,由两角和的正弦公式可得
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sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB, ∴ sin(A﹣B)=0,又﹣π<A﹣B<π,∴ A﹣B=0,故△ ABC 的形状为等腰三角形, 故答案为等腰三角形. 点评: 本题考查正弦定理的应用,已知三角函数值求角的大小,得到 sin(A﹣B)=0,是解 题的关键.

26. (2014 春?常熟市校级期中)在△ ABC 中,若 角三角形 . 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 在△ ABC 中,利用正弦定理将
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,则△ ABC 的形状是 等腰或直

中等号右端的边化为其所对角的正弦,再由

二倍角公式即可求得答案. 解答: 解:在△ ABC 中,由正弦定理得: ∴= ,

=





?

=



∴ sin2A=sin2B, 又 A,B 为三角形的内角, ∴ 2A=2B 或 2A+2B=π, ∴ A=B 或 A+B= .

∴ △ ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故答案为:等腰或直角三角形. 点评: 本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与二倍角公式的应用,属于中档题. 27. (2014 春?石家庄期末)在△ ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则该△ ABC 是 钝角 三 角形(请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形) . 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 2 2 2 分析: 由正弦定理可得 a +b <c ,则再由余弦定理可得 cosC<0,故 C 为钝角,从而得出 结论. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:在△ ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,由正弦定理可得 a +b <c ,
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2

2

2

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再由余弦定理可得 cosC=

<0,故 C 为钝角,故△ ABC 是钝角三角形,

故答案为 钝角. 点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,求出 cosC<0,是解题的关键,属于中档 题. 28. (2013 春?遵义期中)△ ABC 中,b= a,B=2A,则△ ABC 为 等腰直角 三角形.

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用正弦定理以及二倍角的正弦函数,求出 A,然后求出 B 即可判断三角形的形状. 解答: 解:因为△ ABC 中,b= a,B=2A, 所以由正弦定理可知:sinB= sinA, 即 sin2A= sinA,
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∴ cosA=



∵ A 是三角形内角, ∴ A= ,则 B= ,C= ,

∴ △ ABC 为等腰直角三角形. 故答案为:等腰直角. 点评: 本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断. 解题的关键是利用正弦定理这 一桥梁完成了问题的转化. 29. (2013 秋?沧浪区校级期末)若△ ABC 的三个内角满足 sinA:sinB:sinC=5:11:13,则 △ ABC 为 钝角三角形 (填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ) 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可得, △ ABC 的三边之比 a: b: c=5: 11: 13, 设 a=5k, 则 b=11k, c=13k, 由余弦定理可得 cosC<0,故角 C 为钝角,故△ ABC 为钝角三角形. 解答: 解:由正弦定理可得,△ ABC 的三边之比 a:b:c=5:11:13,设 a=5k,则 b=11k, c=13k,
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由余弦定理可得 cosC=

=﹣

<0,故角 C 为钝角,故△ ABC 为钝角

三角形, 故答案为:钝角三角形. 点评: 本题考查正弦定理、余弦定理的应用,求出 cosC<0,是解题的关键. 30. (2014 春?宜昌期中)在△ ABC 中,sinA=2cosBsinC,则三角形为 等腰 三角形.
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考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 由三角形的内角和及诱导公式得到 sinA=sin (B+C) , 右边利用两角和与差的正弦函数 公式化简,再根据已知的等式,合并化简后,再利用两角和与差的正弦函数公式得到 sin(B﹣C)=0,由 B 与 C 都为三角形的内角,可得 B=C,进而得到三角形为等腰三 角形. 解答: 解:∵ A+B+C=π,即 A=π﹣(B+C) , ∴ sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,又 sinA=2cosBsinC, ∴ sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC, 变形得:sinBcosC﹣cosBsinC=0, 即 sin(B﹣C)=0,又 B 和 C 都为三角形内角, ∴ B=C, 则三角形为等腰三角形. 故答案为:等腰三角形 点评: 此题考查了三角形形状的判断, 涉及的知识有诱导公式, 两角和与差的正弦函数公式, 以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键,同时注意三角形内角和定 理及三角形内角的范围的运用.
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