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排列、组合、二项式定理应用中蕴含的数学思想和方法


捧列 ◆ 组合 ◆ =项式定理应
■ 

洪  其  强 

蕴含的数学思

排列 、 组合 、 二 项式  定理应用 问题 仍是 高考  考查学生实践 能力 的热  点问题. 要 充 分 注 意 一 
些 重 要 概 念 的 实 际 意 

【 分析 】   建立数 学模 型把

实际问题 转化 为数  学问题 : 用1 、 2 、 3 、 4这 四个数 字 组成 没 有 重复 的 
四位 数 , 其 中 1不在 个位 , 2不在 十位 , 3不 在 百 
位, 4不在 千位的四位数共有 多少个?那 么这 个 问   题就容 易解决 了.  

义, 理解排列、 组合、 二 
项 式 定 理 处 理 问 题 的 基 

【 解 】 个位 只能放 2 , 3 , 4 , 有三 种方 法 , 在放 
过数字 2后 , 十位只能放 1 , 3 , 4, 又有 三种 , 最后百 

本数 学 思 想和 方 法 ( 观  察 与试 验 、 分析 与综 合 、  


位和千位只有一种 方法 , 由乘法 原理 得共 有 3×3  


9 , 故选 B .  

般 化与特殊化 ) . 这类 

2 . 分类讨论的思想 

问题背 景多联 系生 活实  际, 有 时大 胆创 新、 构 思 

i l 臻 “ 渐 减 数 ” 是 指 每 个 数 字 比 其 左 边 数 字  
小的正整数 ( 如9 8 7 6 5 ) , 若把所有 五位渐减 数按从  小到大的顺序排列 , 则第 5 5个数 为
.  
— —

新颖 , 综合考查多种分支 
知识与多种思想方法 , 在  知识 网络 的交 汇处设 计  试题 本文仅举数例作一  些剖析 , 供参考.   排列、 组合、 二 


【 解析 】 4在 首位 , 有1 个; 5在首位 , 有  =  

5 个; 6 在首位, 有c : = 1 5 个; 7 在首位 , 有c ; = 3 5  
个. 所 以第 5 5个数是 7 6 5 4 2 .  



【 点评 】   本题 属 于排 列组合 问题 , 在 具体 方 
法 上 是 运 用 了分 类 讨 论 的 思 想 .  

穗 数 外 髻 司 高 考 数 学 

项 式 定 理 应 用 中蕴 含 的  主要数学思想 

3 . 方程思想 

1 . 转 化 与 化 归 的 
思 想 


A. 2 姗  

在 (   一  )  的 二 项 展 开 式 中 , 含  
(  







同 室 四 人  

的奇次幂 的项 之和为 . s , 当  =   时, S等 于 
)  
2 姗   C 23  


各写 一 张 贺卡 , 先 集 中  起来 , 然 后 每 人 从 中拿  张 别人 送 出 的 贺卡 ,  
) 种.  
B. 9  





2姗  



【 解析 】   设(  一  
+ 0 , 2 0 0 5 + 0 ,2 0 0 6  

= a 0   2 0 0 6 + Ⅱ 1   撕 + … 

则四张贺卡不 同 的分配 
方式有 (  
A. 6  

则当  = 尉 当  =一 脚

, 有o o (  )   + 口   (  )   + … 
( 1 )  

+0 , 2 0 0 5 ( √ 2 )+0 , 2 0 0 6 = 0  

C. 1 】  

D. 2 3  

, 有0 , 0 (  ) 姗 一 n   (  ) 郴 + … 

《 语 毂 外 学 习 》 ( 高 中 叛 } 2 o o 9 年 1 2 丹 s 中 旬 刊5 7  

●■—D   S H U X U E Y I N G Y O N G  


谤 数 外 学 司 高 考 数 学 
( 2 )  

口 2 0 0 5 (  

+ a  ̄ o 6 =2 姗 

7 . 类比归纳思想 

( 1 )一 ( 2)有 S = [ 口 ,(   ) 嬲 +… +  



从 装 有n + 1 个 球 ( 其 中 n 个 白 球 , 1  

a , 2 o =( √ _ ) ] ÷ 2 =一 2 舢÷ 2 =一 2 姗’ 故选 B  
【 点评】   本题属于考查二项式的有关问题,  
在具体 方法上是运 用 了取特值 法和方程 的思想.  

个黑球 ) 的 口袋 中取 出 m个 球 , 共有 c : + , 种取法.  
在这 C : +   种取法 中 , 可 以分成两类 : 一类是取 出的  m个球全部为 白球 , 另一类 是取 出的 m 个球 有 m  


4 . 函数思想 

1 个白球和一个黑球. 共有  ? c :+ C : ? c : + 。  



证 明 : 当 帕 ; 3 时 , 2 “ ≥ 2 ( n + 1 ) , ( / ' r E N )  

种取法 , 即有 等式 :   +c   ~ =C m 成 立.   试 根 据 

【 解析】   构造 函数f (  )=( 1 +  )  =   +  

上述思想化 简下列式子 : c :+C :? c :  +   ?  
+ … +  ?   ~ =
— —

c :  + c   +… + c :   “ , 贝 Ⅱ   , ( 1 ) = ( 1 + 1 ) “ = c " o + c : + c : + …+ c : =  
1+ , I +c   +… +c : 一  + / 7 , +1  


. 

( 1 ≤  <m≤n , k , m, 1 7 , ∈N) .  

【 解 析】 根据 题 中的信息 , 可 以把左 边 的式 
子归纳为从 n+k个球 ( n个 白球 , k个 黑球 ) 中取  出 m个球 , 可分为: 没 有 黑球 , 一 个黑 球 , …… , k  

2 ( 1 +n )+(   +… +c : 一   )=2  

当/ i , : 3时 , 2   =2 ( 1 +n )  

当n > 3时, 2   = 2 ( 1 + n ) +( c : + …)  


个黑球等 ( k + 1 ) 类, 故有 c   +   种取法.  
二、 排列、 组 合、 二项 式定 理 应用 问题 的 主要 
解 题 方 法 





当n ≥3时 , 2   ≥2 ( / / , +1 ) , ( / 7 , EN)  

5 . 整体思想 

1 . 排列组合题的主要解题方法 
( 1 ) 捆绑 法: 相 邻 问题 , 整 体 处理 



有 8 本 互 不 相 同 的 书 , 其 中 数 学 书3  

本, 外 文书 2本 , 其 它书 3本 , 若 将这 些 书排 成一 
列放在书架上 , 则数学书恰好 排在一起 , 同时外文  书也恰好排在一起 的排法共有 多少 种?  



有3 名 男 生 , 4 名 女 生 , 全 体 排 成 一  

行, 其 中男生必须排在一起 , 求不 同的排列数.  

【 解 析】 先将数学书和外文书各 当作一个整  体与其它书 进行 全排 列 , 有  种 , 再 将 数学 书 和 

【 解析】 将男生看成一个整体 , 进行全排列.  

再与其他元素进行全排列. 共有A ] A ; = 7 2 0 种.  
( 2 ) 插 空法 : 全不相邻 , 插 空 处理 

外文书各 自进行全排列, 分别有 A ; 和A   种, 故一  共有 A ;? A ; ? A   种.  
6 . 数形结合思想 



( 2 0 0 6 年 湖 南 卷 ) 在 数 字1 . 2 、 3 与 符  

号 “+” “一” 五个元素 的所 有全排 列 中, 任意 两个 



在 一 块l 0 垄 并 排 的 地 中 , 任 选 2 垄 分  

别种植 A、 曰两种植物 , 要求 A、 B两种 植物 的间 隔 
不 小 于 6垄 , 则 有 多 少 种 不 同 的选 垄 方 案 ?  

【 解析 】 如 图 ,  

用 并排 一行 的 1 O个 小矩形 表 示 1 0垄地 , 小  矩 形 内加 。号 表示 选 中, 具体 画 出来 有 6种选 取 

方式 , 再对 每种 选 取方 式 , 分 别 种植 A 、 曰两 种植 
物, 有A   种种植方法.   因此共 有 6 . 4   =1 2种选垄方案.  

5 8  《 语 数 外 学 习 》 ( 高 中 版 、 2 o o 9 年 1 2 丹 号中 旬 刊  


S H U X U E Y I N G Y O N G●瞳■瞳  
数 字都 不相邻的全排列个数是 
A. 6   B . 1 2   C. 1 8  

(  
D. 2 4  

)  

为第一组, 有 暖 种分法 , 再取 3 个为第二组, 有 
种分法 , 剩下 的 3 个 为第三 组 , 有  种分 法. 由于 

p  【 解析】 先排列 1 、 2 、 3 , 有A ; = 6 种排法 , 再  三组之间没有 顺序, 敌共有 ^ 3 种分法.     将“+ ” “ 一” 两个符号插入, 有A ; = 2 种方法 , 共有 

1 2种方法 , 故选 B .  

②同①, 共有 瑶c ; c : 种分法, 因三组个数各 
不相 同 , 故不必再 除以  .  
( 6 ) 分 配 问题 : 定额分配, 组合 处理 ; 随机 分  配。 先 组 后 排 



( 2 o 0 5 年 湖 北 卷 ) 某 工 程 队 有 6 项 工  

程需要单独完 成 , 其 中工 程 乙必须 在工 程 甲完 成  后才能进行 , 工程 丙必 须 在工 程 乙完成 后 才能 进 
行, 有工程 丁必须在 工程 丙完成 后立 即进行. 那 么  安排这 6项工程 的不 同排法种 数是 字作答 )  

— —



有 9 本 不 同 的 书 : ① 分 给 甲 2 本 , 乙 3  

( 用数 

本, 丙 4本 ; ②分 给三个人 , 分别得 2本 、 3本 、 4本.   上述 问题各有多少种不 同的分 法?  

【 解析】 依 题意 , 只需 将剩 余 两个 工程插 在 
由甲、 乙、 丙、 丁 四个工程形成 的 5个 空 中 , 可得有 
?

【 解析】 ①此题是定额分配问题 , 先让 甲选,   有  种 ; 再让 乙选, 有  种; 剩下的给丙, 有c :  

A  = 2 0种不同排法.  

翻   ( 2 0 0 5 年 辽 宁 卷 ) 用1 、 2 . 3 、 4 、 5 、 6 , 7 、  
8组成没有重复数字 的八位 数 , 要求 1与 2相邻 , 3  

种, 共有  ? c ; ? c : 种不同的方法.  
② 此题 是 随机 分 配 问题 , 先 将 9本 书分 成 2   本、 3本 、 4本 共三 堆 , 再将 三 堆分 给 三个 人 , 共 有 
?

与4 相邻 , 5与 6 相邻 , 而7 与8 不相 邻 , 这样 的八  位数 共有 — — 个. ( 用数 字作答 )  

c ; ? c :? A ; 种不同的分法.  
( 7 ) 至 少 问题 , 间接 处 理 

【 解析】 将 1 与2 , 3 与4 , 5 与6 捆绑在一起 

排成一列有 A ; ? 2 。 = 4 8 种, 再将 7 、 8 插入 4个空  位中的两个有 A : = 1 2 种, 故有 4 8   X1 2 : 5 7 6 种.  
( 3 ) 剔 除法: 不全相邻 , 剔 除 处 理 



从 4   N  ̄ N N 5 台 乙 型 电 脑 中 任 意 取  

出 3台 , 其 中至少要 甲型与 乙型 电脑 各一 台 , 则 不  同的选 法共 有多少种?  

【 解析】 在 取 出的 3台 中, 若不 含 甲型 或不 
法有  —   —   = 7 0种.   ( 8 ) 选排 问题 , 先取后排 



某 班 的 l 0 人 中 恰 有 班 干 部 和 团 干 部 各   含 乙型 的抽 取方 式均 不 合题 意 , 故符 合题 意 的抽  嬲 四 个 不 同 的 小 球 放 入 编 号 为 1 , 2 、 3 、 4  
谤 数 外  司 离 考 

5名 , 班干部不全排在一起 , 有多少种不同的排法?  

【 解析】  1 o名同学共有 A 播 种排法, 剔除班  干部全排在一起的A : ? A ; 种排法, 得A 。 l   一 A : ? A ;  
种不 同的排法.   ( 4 ) 定位法 : 相 间问题 , 定位处理 

_
的排 法?  

某 班 的 1 0 人 中 恰 有 班 干 部 和 团 干 部  

各 5名 , 班干部和 团干部相 间排列 , 有多 少种不 同 

【 解析】 相间排列 , 有两种情形: 一是班干部 
排奇 数位 , 团 干 部排 偶 数 位 ; 二是 班 干 部 排 偶数  位, 团干部排 奇数 位. 由 于位置 确定 , 故 只需 分别 

排列, 共有2 A ; ? A ; 种不同的 排法.  
( 5 ) 分组 问题 : 均 匀分堆 , 除法 处理 ; 非均 匀分 
堆, 组合 处 理 



有 9 个 不 同 的 文 具 盒 : ① 将 其 平 均 分  

成三组 ; ②将其分 成三组 , 每组个数分 别 为 2 , 3 , 4 .   上述阀题各有多少种不 同的分 法?  

【 解析】 ①此题属均匀分组问题 : 先取 3 个 

—固■D   S H U X U E Y I N G Y O N G  
豳 豳 8 人 排 成 前 后 两 排 , 每 排 4 人 , 其 中 有  
两个女生要 排在 前排 , 另有两 个 因个子 高要 排在  后排 , 问共有多少种不 同的排法 ?  

谤 数 讣  司 离 考 数 学 
令所有 系数 为正 的字母都 为 1 , 系数为 负的字母都 
为 一1即可 求 得 .  

已知二项式( 3  一 5 y ) 1 2 , 求展 开式 中,   各项 系数的绝对值之和 ;   【 解析 】 在 ( 3  一5 y )  中令  =1 , Y=一1 , 可  得 原题 中各项 系数的绝对值之 和等于 8  ;  
( 3 ) 求展 开式 中, 各 奇数 项的 系数 的和与偶 数 
项 系数 的和 

【 解析】   先 把 前后 两 排共 8个 位 置摆 成 一 
排, 前排的 四个 位 置 中排入 两个 女 生 的有  种 ,  

再把 两个 个 子 高 的排 在后 排 的 四个 位 置 , 有 

种, 然后在其余位置上作全排列有 A : 种, 由分步 
计 数原理得 , 共有 A 2   A   2   : 3 4 5 6种不 同的排法.  
2 . 二 项 式 定 理题 的 主 要 解 题 方 法 

其方法是在 二项式 中, 先令 所 有 的字母 都 为  1 , 得一个 方程 , 再令 所有 的字母 都 为 一1 , 又得 一  个方程 , 最后 将所 得 的两个 方程 相加 或相 减 即可 
求得.   已知 二项 式 ( 1 + y )  

在( 口+ b ) “ =  Ⅱ  + c   口   一 。 6+… +c : o …b   +  
… +c = b   ( n  N ) 中, 令 o 、 b为 一些特殊 值 , 就可 

以得到相应 的组合恒等式.  
( 1 ) 求展 开式 中各 项 系数 的和 

其方法是在二项式 中令所 有 的字 母都 为 1 即 
可求得.  

①求展开式 中, Y的奇次方项系数之和 ;  
②求展开式 中, 各奇数 项的系数 之和.  

嘲 ( 2 0 0 6 年 重 庆 卷 ) 若 ( 3   一   1 ) 的 展  
开式 中各项 系数之和 为 6 4 , 则展开式的常数项为 
(  
A.一5 4 0   B.一1 6 2   C. 1 6 2  

【 解析】 ①在( 1 + Y )  =   + c l 2 Y + …+ c : :  
2 Y  + … +  1 2

y  中, 令 Y=1 , 可得 

)  

D. 5 4 0  

1 + c ; 2 + …+ G   2 +…+ c l ; = 2   ( 1 )   令Y :一 1 , 可得 1 一 c : 2 +… + c   2 ( 一 1 )  +…   + c l   = 0   ( 2 )  
则[ ( 1 ) 一( 2 ) ] × ÷ 可得 y的奇次方项系数 

【 解析】 若f   3  一 寺l的展开式中 各项系   、   /  
数之和 为 2  = 6 4, n= 6 , 则展开式 的常数项 为 
,   1 、3  

之和为 c :   + c   : + …+  : + c l   = 2 “  
②展开式 中, 各奇数项 的系数之和 , 即是 Y的 

( 3  )   一 f 、   一  / 1   = 一 5 4 0 , 故 选A .  

圆 蕊( 2 0 0 5 年 山 东 卷 ) 如 果 ( 3   一 寺) 的  得各奇数项的系数 之和 为 1+  
展开式中各项系数之和为 1 2 8 , 则展开式中专 的系  
数 是 
. 

偶次方项系数之和. 由①题知[ ( 1 ) + ( 2 ) ] × ÷ 可 
+… +c  +c  



2“  

(  
|   B.一  |  

)  

( 作者单位 : 贵州省龙里 中学)  

C. 21  

D.一2 1  

【 解 析 】 ( 3 x -  
的展 开式 中各 项 系数 之 和  为1 2 8 , 所 以 n=7 , 展 开 式 
中第 7项为  +  :   ( 3 x )  
?

( 一   :  

的  

系数 是 2 1 .  

( 2 ) 求展 开 式 中, 各 项 
系数 的 绝 对值 之 和 

其方 法是 在二项式 中,  

6 0  《 语 数 补 学   》 t 高 中 曦   o o 9 年 ' 2 两 号中 旬 刊  


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