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反证法.1ppt


复习回顾

综合法

利用已知条件和某些数学定义、定理、

公理等,经过一系列的推理论证,最后推导
出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。 条件
P Q1 条件 定义 定理 公理 数学推理 Q1 Q2 Q2 Q3

结论
… Qn Q

由因导果<

br />
复习回顾

【分析法】

从结论出发,寻找结论成立的充分条件 直至最后,把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件。 要证:?? 要证:??
?? ?? ??

格 式

只要证:?? 只需证:??
??显然成立

上述各步均可逆

??

所以 结论成立

所以 结论成立

复习回顾

一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求 使它成立的充分条件,直至最后,把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等)。 这种证明的方法叫做分析法.
Q P1 P1 P2 P2 P3 …

得到一个明显 成立的条件

执果索因

1.直接证明的方法:
(1)比较法: 作差比较法; 作商比较法; (2)综合法: (3)分析法:

2.没有特别要求的证明题:
用分析法寻找证明思路,用综合法写出证明过程!

新课讲解

路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李

如果当时你在场,你会怎么办? 王戎是怎样知道李子是苦的呢?你主为他的判 断方法正确吗?他运用了怎样的推理方法?

.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

间接证明(问题情境)
在《数学(必修)》第三章中, 2 如何证明 命题“在长方体 ABCD ? A1B1C1D1中, AB与A1C是异面直线”

间接证明(基本概念)
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法. 反证法是一种常用的间接证明方法.
否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 合理的推理 原结论成立

在证明一个命题时,先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义、公理、定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立是错误的, 即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.

例题1:求证在同一平面内,如果一条直线和两条平

行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. P l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, 假设 l3∥l2 那么_________. 推理 l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直线与已 这与“____________________________ 矛盾 知直线平行 _____________”矛盾.
l3 l1 l2

假设不成立 命题成立 所以_________,即求证的命题正确.

一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾

假设待证命题不成立,或是命题的 反面成立。

以假设为条件,结合已知条件推理, 得出与已知条件或是正确命题相矛盾 的结论

这与“......”相矛盾

四、结论成立 所以假设不成立,所求证的命题成立

[能力测试]
写出下列各结论的反面: (1)a//b; (2)a≥0;
(3)b是正数; (4)a⊥b a∥b

a<0
b是0或负数 a不垂直于b

1.用反证法证明(填空): 在三角形的内角中,至少有一个角不小于60°
B 已知:如图, ∠A,∠B,∠C是△ABC的内角 求证: ∠A,∠B,∠C中至少有一个角不小于600.

A C

证明:
假设所求证的结论不成立,即 < < < ∠A__60°, ∠B__60°, ∠C__60° 则 ∠A+∠B+∠C < 1800

三角形三个内角的和等于180° 这于_______________矛盾
不成立 所以假设______, 所以,所求证的结论成立.

2.已知:如图,直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥l1, 求证: l3∥l2

l1
P

证明: l2 假设l3∥l2,即l3与l2相交,记交点为Pl3

而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行”相矛盾, 所以假设不成立, 即l3∥l2

例题2:

求证:正弦函数没有比 ?小的正周期 2 .

解: 假设最小正周期 ? T ? 2? 0 假设T是正弦函数的周期 故T ? ? 则对任意实数x都有: 从而对任意实数x都应有 sin(x ? T ) ? sin x sin(x ? ? ) ? sin x 令x=0,得 sin T ? 0 即 这与 ? ? sin( ? ? ) ? sin 矛盾. 2 2 因此,原命题成 立.

T ? k? , k ? Z .

例题2:
求证:正弦函数没有比 ?小的正周期 2 .
思路 先求出周期

用反证法证明 2? 是最小正周期.

例题3:
求证:若一个整数的平方是偶数,则这个 数也是偶数.
证: 假设这个数是奇数,可以设为2k+1, k ? Z . 则有

(2k ? 1) ? 4k ? 4k ? 1
2 2



4k 2 ? 4k ? 1 (k ? Z)不是偶数
这与原命题条件矛盾.

练习:
1. 证明:2不是有理数.
2.求证: 项.

1, 2,3

不可能是同一个等差数列中的三

3.已知0<a,b,c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,

(1-c)a, 不能都大于1/4
证:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,
a 由(1-a)b>1/4和a>0得: a(1 ? a)b ? 4 a ?1? a 2 1 而a(1 ? a) ? ( ) ? 2 4 a b 即:a ? b 所以 ? a (1 ? a ) ? 4 4

由另两式得:b<c,c<a. 所以:a<b<c<a.这显然是不可能的, 所以原命题成立.

4.已知a<1,b<1,c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,
(1-c)a, 不能都大于1/4

用反证法证题时,应注意的事项 :
(1)周密考察原命题结论的否定事项, 防止否定不当或有所遗漏; (2)推理过程必须完整,否则不能说 明命题的真伪性;

(3)在推理过程中,要充分使用已知条
件,否则推不出矛盾,或者不能断

定推出的结果是错误的。

间接证明(回顾小结)
反证法

间接证明

同一法

枚举法

完全归纳法

间接证明(例题2)
2.已知:f ( x) ? x2 ? px ? q 求证: (1)f (1) ? f (3) ? 2 f (2) ? 2
1 (2) f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 2 .

3. 设函数

f ( x) ? 2 x 2 ? mx ? n ,求证:

f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于1.


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