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山东省淄博第一中学2016届高三数学上学期期中模块考试试题 理


淄博一中 2015-2016 学年度第一学期期中模块考试 高三数学试题(理科)
第 I 卷(选择题,共 50 分) 一. 选择题:每题 5 分,共 50 分 1.已知集合 M ? x x ? 4 x ? 0 , N ? x x ? 2 ,则M ? N ? (
2

?

?

?

>?

)

A.

4? ? ?2,

B.

4? ??2,

C.

2? ? 0,

D.

2? ? 0,
)

? ? ? ? ? ? 2.已知向量 a , b ,且| a |=1,| b |=2,则|2 b - a |的取值范围是( A.[1,3] B.[2,4] C.[3,5] ) D.[4,6]

3.不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? 6 的解集为( A.[-4,2] B.

?2, ???
)

C.

? ??, ?4?

D.

? ??, ?4? ? ?2, ???
2

0 ? ? ? ? )的图象如 4. 函数 f ( x)=A sin(? x+? ) ( A ? 0,? ? 0,
图所示,则 f (0) 的值为( A.

y

3

B. 0

C. 2

D. 1
O

? ? ?sin x, x ? 4 5 .己知函数 f(x)= ? ,则 f(5)的值为( 6 ? ? f ( x ? 1), x ? 4
A.1 B.

)
?2

? 6

11? 12

x

第 4 题图

2 2

C.

1 2

D.

3 2

6.一个几何体的三视图如右图所示, 其中正视图是一个正三角形, 则该几何体的体积为( ) A. 1 B.

3 3

C.

2 3 3

D. 3

a 7.函数 f ? x ? ? x 满足 f ? 2? ? 4 , 那么函数 g ? x ? ? log a ? x ? 1?

的图象大致为(

)

8.如图所示,圆 O:x +y =π 内的正弦曲线 y=sin x 与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影 部分),随机往圆 O 内投一个点 A,则点 A 落在区域 M 内的概率是( ) A. 4 2 π B. 4 3 π C. 2 2 π D. 2 3 π

2

2

2

1

9.已知 m,n,l 是直线, ? , ?是平面,下列命题中: ①若 l 垂直于?内两条直线,则 l??; ②若 l 平行于?,则?内可有无数条直线与 l 平行; ③若 m⊥n,n⊥l 则 m∥l; ④若 m??,l??,且?∥?,则 m∥l; 正确的命题个数 为( .. ) A.3 B .2 C.1 D.4

? l o3 x g ? ,x ? 0 3 ? 10. 已 知 f ? x ? ? ? 1 是 互 不 相 同 的 正 数 , 且 ,a b ,c, d , 1 0 2 x ? x ? 8 x , ? 3 ? 3 ?3

f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? ? f ? d ? ,则 abcd 的取值范围是(
A. ?18,28? B. ?18,25? C.

) D.

? 20, 25?

? 21,24?

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二.填空题:每题 5 分,共 25 分 11. 在 等 差 数 列 {a n } 中 , 若 a1 ? a5 ? a9 ? ? , 则 sin( a 4 ? a 6 ) =______ _ ___.
2

12.已知 ?1 ? ax ??1 ? x ? 的展开式中 x 的系数为 3,则 a ? __________.
6

2

?x ? y ? 0 ? 13.在不等式组 ? x ? y ? 0 确定的平面区域中,若 z ? x ? 2 y 的最大值为 9,则 a 的值为 ?y ? a ?
_________. ? ? ? ? 1 2 14.已 知 m,n 为正实数,向量 a =(m,1), b =(1-n,1) ,若 a ∥ b ,则 + 的最小值为_____. m n 15.下列四个命题: ⑴命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a=0,则 ab ? 0 ” ; ⑵若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2

⑶若命题“ ? p ”与命题“ p或q ”都是真命题,则命题 q 一定是真命题; ⑷命题“若 0 ? a ? 1 ,则 log a ? a ? 1? ? log a ?1 ? ⑸ “? ?

? ?

1? ? ”是真命题. a?

?
2

”是“ y ? sin ? 2 x ? ? ? 为偶函数”的充要条件

其中正确命题的序号是_________.(把所有 正确命题序号都填上) 三.解答题:

2

16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 sin ?

1 ?? ? 11 ? A ? ? , cos ?? ? B ? ? ? . 2 ?2 ? 14
(Ⅱ)若角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c,且a ? 5,求b, c 的

(Ⅰ)求 sinA 与角 B 的值; 值.

17. (本小题满分 12 分)

已知等差数列 ?an ? 满足, a1 ? a2 ? a3 ? 9, a2 ? a8 ? 18 .数列 ?bn ? 的前 n 和为 Sn ,且满足 (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)数列 ?cn ? 满足 cn ?

Sn ? 2bn ? 2 .

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 和 Tn . bn

18.(本小题满分 12 分) ? ? 已知函数 f(x)=2sin(x+ )·cos(x+ )-si n(2x+3?). 3 3 (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若将 f ( x ) 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间 4

? ?? ?0, 2 ? 上的最大值和最小值, ? ?

19、 (本小题满分 12 分)
2 数列 {an } 中, a1 ? 1, 当 n ? 2 时,其前 n 项和为 Sn ,满足 S n ? an ( S n ? ).

1 2

(Ⅰ)求证:数列 { Sn } 是等差数列,并求 Sn 的表达式; (Ⅱ)设 bn ?

Sn 1 , 数列 {bn} 的前 n 项和为 Tn ,不等式 Tn ? (m 2 ? 5m) 对所有的 18 2n ? 1 * m n ? N 恒成立,求正整数 的最大值.

3

20.(本小题满分 13 分) 某校从参加某次数学能力测试同学中抽出 36 名学生,并 统计了他们的数学成绩 (成绩均为整数且满分为 120 分) , 成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:

90?, , ?, , ?. ?80, ?90.100?, ?100110 ?110120
(Ⅰ) 在这 36 名学生中随机抽取 3 名学生, 求同时满足下 列两个条件的事件的概率;①有且仅有 1 名学生成绩不低 于 110 分;②成绩在 ?90,100 ? 内至多 1 名学生; (Ⅱ)在成绩是 ?80,100? 内的学生中随机选取 3 名学生进行诊断问卷,设成绩在 ?90,100? 内的人数为随机变量 X,求 X 的分布列及数学期望 EX..

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax, g ? x ? ? ln x, h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? . (Ⅰ)若函数 y ? h ? x ? 的单调减区间是 ?

(Ⅱ)若 f ? x ? ? g ? x ? 对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 y ? h ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? ? 0, 求实数 m 的最大值.

?1 ? ,1? ,求实数 a 的值; ?2 ? ? ?

1? ? ,若 h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? m 恒成立, 2?

4

淄博一中 2015-2016 学年度第一学期期中模块考试 高三数学试题答案(理科) 一、选择题:BCADA BCBCD; 二、填空题: 三、解答题: 16 解: (Ⅰ)sin( 3 ; -2 ;3; 3+2 2; ②③。 2

?
2

? A) =cosA,? cos A ?

11 5 3 ,又 0<A< ? ,? sin A ? . 14 14

1 π ,且 0 ? B ? π , ? B ? .????????6 分 2 3 a b a ? sin B ? ? 7, (Ⅱ)由正弦定理得 ,? b ? sin A sin B sin A
cos( ? -B)= -cosB=另由 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B 得 49 ? 25 ? c2 ? 5c , 解得 c ? 8 或 c ? ?3 (舍去) ,? b ? 7 , c ? 8 .???????????12 分 17 解:解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, ? a1+d=3 ?a1=1 根据题意得? ,解得? ?a1+4d=9 ? d=2 ∴ an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; ∵ Sn=2bn﹣2, ①∴ Sn+1=2bn+1﹣2, ② ②-①得即 bn+1=2bn,∴ bn+1 =2 bn
*

??2 分

(n∈N )又 b1=2b1﹣2,∴b1=2,
n﹣1

∴数列{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,∴bn=2? 2 (Ⅱ)由(I)知 = , ∴Tn= + +?+

=2 ; ,

n

??4 分

∴ Tn=

+

+?+

+

,两式相减,

得 Tn= +

+

+?+



??8 分

= +



= ﹣

,∴Tn=3﹣



??12 分

18、

5

19、解: (1)因为 S n ? an ( S n ? ), an ? S n ? S n ?1 ( n ? 2) ,
2 2 所以 S n ? ( S n ? S n ?1 )( S n ? ). 即 2Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1 ? Sn

1 2

1 2



由题意 Sn ?1 ? Sn ? 0, 故①式两边同除以 Sn ?1 ? Sn , 得 所以数列 {

1 1 ? ? 2, Sn Sn ?1

1 1 1 } 是首项为 ? ? 1, 公差为 2 的等差数列. Sn S1 a1



1 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, Sn
1 ; 2n ? 1
????6 分

所以 S n ?

(2) bn ?

Sn 1 1 1 1 ? ? ( ? ), 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

6

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
? 1 1 1 (1 ? )≥ 3 2 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 ((1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

又∵ 不等式 Tn ?

1 2 (m ? 5m) 对所有的 n ? N * 恒成立 18

1 1 2 ∴ ≥ (m ? 5m) , 化简得: m 2 ? 5m ? 6 ? 0 ,解得: ?1 ? m ? 6 . 3 18
∴正整数 m 的最大值为 6. ???? ??.12

7

21:

8


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