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2015年高中数学联赛及自主招生考试培优专题不等式六(0212)学生


2015 年高中数学联赛及自主招生考试培优专题 第五讲
1.琴生不等式 凸函数的定义:设连续函数 f ( x) 的定义域为 ? a, b? ,对于区间 ? a, b? 内任意两点 x1 , x2 ,都有

琴生不等式

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ,则称 f ( x)

为 ? a, b? 上的下凸(凸)函数; 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 反之,若有 f ( 1 ,则称 f ( x) 为 ? a, b? 上的上凸(凹)函数。 2 2

琴生(Jensen)不等式(1905 年提出) :若 f ( x) 为 ? a, b? 上的下凸(凸)函数,则

f(

x1 ? x2 ? ??? ? xn f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ??? ? f ( xn ) )? n n

(想象 n 边形的重心在图象的上方, n 个点重合时“ n 边形”的重心在图象上) 琴生(Jensen)不等式证明: 1) n ? 2 时,由下凸(凸)函数性质知结论成立;

x1 ? x2 ? ??? ? xk f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ??? ? f ( xk ) )? k k x1 ? x2 ? ??? ? xk ?1 那么当 n ? k ? 1 时,设 Ak ?1 ? , k ?1 x1 ? x2 ? ??? ? xk xk ?1 ? (k ? 1) Ak ?1 ? (k ? 1) Ak ?1 ? (k ? 1) Ak ?1 k k f ( Ak ?1 ) ? f ( )? f( ) 2k 2
2)假设 n ? k 时命题成立,即 f (

x ? (k ? 1) Ak ?1 1 1 ? [ f ( Ak ) ? f ( k ?1 )] ? [ i ?1 2 k 2 k

? f (x )
i

k

?

f ( xk ?1 ) ? (k ? 1) f ( Ak ?1 ) ] k

所以 2kf ( Ak ?1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ???? ? f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) ? (k ?1) f ( Ak ?1 ) 所以 (k ? 1) f ( Ak ?1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ???? ? f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) 。 由 1),2)知,原不等式成立。

2.加权平均琴生(Jensen)不等式: 若 f ( x) 为 ? a, b? 上的下凸(凸)函数, 且

? ?i ? 1, ?i ? 0 , 则 f (? (?i xi ) ? ? ?i f ( xi ) 。
i ?1

n

n

n

i ?1

i ?1

3.曲线凸性的充分条件:设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数, (1)如果对任意 x∈I, f ??( x) ? 0 ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的; (2)如果对任意 x∈I, f ??( x) ? 0 ,则 y=f(x)在 I 内是上凸的。

4.幂平均不等式: 若 ? ? ? ,且 ? ? 0, ? ? 0 , xi ? 0 ,则 (
2 2 a3 ? b 3? c 3 a ? b ? c 由幂平均不等式得 ? 3 3 3 2

? xi?
i ?1

n

n

) ?(
?

1

? x?
i ?1 i

n

1

n

) .

?

【例题精析】 例 1.设 xi ? 0 (i ? 1, 2, ???, n) ,

?x
i ?1

n

i

?1,
x1 ? x2 ? ??? ? xn n ?1

求证:

xn x1 x2 ? ? ??? ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn

1? a 1? b 1? c 例 2.已知 a, b, c ? 0 , a ? b ? c ? 1 ,求证: a b c ?

1 3

例 3.应用琴生(Jensen)不等式证明幂平均不等式:

若 ? ? ? ,且 ? ? 0, ? ? 0 , xi ? 0 ,则 ( i ?1

? xi?

n

)? ? ( i ?1 ) ? n n

1

? x?
i

n

1

例 4.应用琴生(Jensen)不等式证明赫尔德(Holder)不等式:

ai , bi ( 1 ?i ?n 是 ) 2n 个正实数, ? , ? ? 0, ? ? ? ? 1 ,则
? ? ? ? ? ? a1 b1 ? a2 b2 ????? an bn ? (a1 ? a2 ????? an )? (b1 ? b2 ????? bn )?

【课堂习题】
1.在圆内接 n 边形中,试证明正 n 边形的面积最大。

2.设 m ? 2 是实数,则在 ?ABC 中,有 tan

?A ?B ?C ? ? tan ? tan ? 3 tan m m m 3m

3.设 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,求证: 1 ? a2 ? 1 ? b2 ? 5

4.已知函数 g ( x) ? x ln x , 0 ? a ? b ,证明: g (a ) ? g (b) ? 2 g (

a?b )?0 2

5.已知 x, y, z ? 0 ,且 x ? y ? z ? 1 ,求证: (

1 1 1 28 ? x)( 2 ? y )( 2 ? z ) ? ( )3 2 x y z 3

6.若 xi ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ??? ? xn ? 100 ,求证: 10 ?

x1 ? x2 ? ??? ? xn ? 10 n

7.已知 x, y, z ? 0 ,且 x ? y ? z ?

y 1 x z 3 6 。求证: ? ? ? 2 4 x ? 1 4 y ? 1 4 z ? 1 10

【课后习题】A 组
2 2 1. (2007, 复旦)给定正整数 n 和正常数 a , 对于满足不等式 a1 ? an ?1 ? a 的所有等差数列 ?an ? ,
2 n ?1

和式

i ? n ?1

?a

i

的最大值为(

)

A.

10a ? n ? 1? 2

B.

10a n 2

C.

5a ? n ? 1? 2

D.

5a n 2

1 ? 2 x ? 2ax ? 5 ? , ? ? 3 2. (2009,交大)已知不等式组 ? 有唯一解,则 a ? _____________ 。 7 2 ? x ? 2ax ? 5 ? ? ? 2
3. (2009,清华)已知 x, y, z ? 0, a, b, c 是 x , y , z 的一个排列。求证:

a b c ? ? ? 3。 x y z
1 c

2 2 2 4. (2008,科大)正数 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) 的最小值。

1 a

1 b

5. (2008,浙大)设 a ? 0, b ? 0 ,求证:

? a ? kb ?
k ?1

n

1

n 1 2n ? 1 (a ? b)(a ? b) 2 2



6. (2008,南开)设 m, n ? N? ,m< 2n ,证明:

m 1 ? ? ? 2 ?1 ? 2 ? 。 n ? 4n ?
n n 3 n ?1 ,试证: n, ? ai ? 2 i ?1 2

7. (2000 ,交大 ) 已知正数数列 {an } 对于大于 1 的 n ,有

? ai ?
i ?1

a1 , a2 ,

, an 中至少有一个小于 1.
2a A ? 4sin . b?c 2

8. (2008,浙大)在△ABC 中,证明: cos B ? cos C ?

9.(2009,北大)已知对 ?x ? R , a cos x ? b cos 2 x ? ?1 恒成立,求 (a ? b)max 。

10. (2012,清华)在 AOB 内(含边界),其中 O 为原点,A 在 y 轴正半轴上,B 在 x 轴正半轴上, 且 OA ? OB ? 2 。 (1) 用方程表示 AOB 的区域; (2) 求证:在 AOB 内的任意 11 个点,总可以分成两组,其中一组的横坐标之和不大于 6,另 一组的纵坐标之和不大于 6。

11. (2014,北约)已知 xi ? 0, i ? 1, 2,

, n , ? xi ? 1 ,求证: ?
i ?1 i ?1

n

n

?

2 ? xi ?

? ?

2 ?1 。

?

n

12. (2014,华约)已知 n ? N* , x ? n ,求证: n ? n ?1 ?

? ?

x? x 2 ? e ?x 。 n?

n

【课后习题】B 组 1、 (2001 一试 6)已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价 格之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( A.2 枝玫瑰价格高 B.3 枝康乃馨价格高 C.价格相同 ) . D.不确定

4 9 2、 (2003 一试 5)已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u= + 的最小值是 4-x2 9-y2 ( ) (A) 8 5 (B) 24 11 (C ) 12 7 (D) 12 5

1 3、 (2004 一试 3)不等式 log2x-1+ log1x3+2>0 的解集为( 2 2 A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4)

) D.(2,4] [来 )

4、 (2005 一试 1)使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是( A. 6 ? 3 B. 3 C. 6 ? 3 D. 6 )

5、 (2006 一试 2)设 log x (2x2 ? x ?1) ? log x 2 ?1 ,则 x 的取值范围为( A.

1 ? x ?1 2

B. x ?

1 ,且 x ? 1 2

C. x ? 1

D. 0 ? x ? 1

6、 (2007 一试 2)设实数 a 使得不等式|2x?a|+| 3x?2a|≥a2 对任意实数 x 恒成立,则满足条件的 a 所组成的集合是( A. [? , ] ) B. [ ?

1 1 3 3

1 1 , ] 2 2

C. [?

1 1 , ] 4 3

D. [?3,3]

7、 (2001 一试 10)不等式

1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2
2



8、 (2009 一试 4)使不等式 数 a 的值为 .

1 1 ? ? n ?1 n ? 2

?

1 1 ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整 2n ? 1 3

1 1 9、 (2011一试3)设 a , b 为正实数, ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ? a b

.[来 .

10、 (2012一试3)设 x, y, z ?[0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值是 3 11、 (2003 一试 13)设 ≤x≤5,证明不等式 2 x+1+ 2x-3+ 15-3x<2 19. 2 12、 (2008 一试 14)解不等式 log2 ( x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ?1) ? 1 ? log2 ( x4 ?1) . 13、 (2009 一试 11)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值.
1 ? n k ? 14、 (2009 二试 2)求证不等式: ?1 ? ? ? 2 ? ? ln n ≤ 2 , n ? 1 ,2,… k ? 1 ? k ?1 ?

15. (2013 一试 9)给定正数数列 ?xn ? 满足 Sn ? 2Sn?1 , n ? 2,3, 证明:存在常数 C ? 0 ,使得 xn ? C ? 2n , n ? 1, 2,

, 其中 Sn 为前 n 项的和。

16、 (2014 二试 1)设 a, b, c ? R, a ? b ? c ? 1, abc ? 0 ,求证: ab ? bc ? ca ?

abc 1 ? 。 2 4


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