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一道平面几何预赛题的证法探究


2 0 1 4年 l 0月 

解法探究 

学  谋 



道平面几何预赛题的证法探究 
⑩ 江 苏 省 如 东 县 掘 港 高级 中 学  张 春 霞 

2 0 1 2 年高 中数学联赛 福建 赛 区预选赛 ( 高一年 级 )  
第1 6 题是一道

平面几何题 , 图形 简洁 , 证法灵 活 , 激 发 了  笔者 的思考 , 观察 几何 图形 的特 征和待 证结论 的特 点 ,   得 到四个方 面的证 明视 角. 本 文提供 的1 0 种证 明方法 ,   以不 同的方式展 现出 了不一样的精彩.   题目   如图 1 , P A、 P B 为 o0 的两条  切线 ,  、 曰 为 切点 , P C D为 o0的割 线 ,  

同证法 1 知, C 、 E 、 G 、 B四点共 圆, 所以/ _ P G B = A _ B E C .  

所 以 

B = / _ B E C, 所 以C E / / P A .  

证法3 : 如 图3 , 连接A   C , B C , B D .  
由/ _ P B C = / _ P D B, 得 AP C B  ̄ , AP B D,  

所以   = 面 B C, 同埋面 P A=   A   C
3 L P A : P B所 以 一 B C:  

.  

. 

c 、 D 为割 线与 6 30的交点. 过c 作直线 交  A B 于点 E,交A D于点F ,且 C E = E F , 求 

图3  

证: C E / / P A .  
图 1  
一  

在△ A   中,  7 = C E = E F , 则   z X 4 C E = s △ A   , 即÷  c ?  
AE . s i n/ _ _CAE:L AE


为 了 角 度 相 等 的 转 化 

AF. s i n  

2  

两条 直线被 第三条 直线所 截 , 若 同位 角相等 、 内错  角相 等 、 同旁 内角 互 补等 , 则 两 直线 平 行. 利用 这 些 性  质, 可 以通过找角度 相等 , 以满足证 明的需要 , 这 又可以  通过 四点共 圆来 实现. 有 些 问题 的题设或 图形本身 隐含  着“ 点 共 圆” , 此 时若 能把握 问题 提供 的信息 , 恰 当找 出  辅助 圆 , 并合 理挖 掘图形 隐含 的性质 , 就 会使题 设 和结  论 的逻辑关系 明朗化.  
证 法1 : 如 图2 , 取C D 的 中点 G , 连接  O A   0 G 、 G E 、 G A   G B   B C   NO G  C D  

N  ̄ X   A C. s i n/ _ C A E= A F. s i n  E A F ,所 以  
s i n   C AE


=  

s i nA . BDC  

s i n   EAF  s i n   BCD 

AB C D@,由正弦定理知 
AF


=  

,所 以 

BC


A C 

AC   BD  AD 

又  C A F =  
AC只=   ADC 

C , 所 以 △C 4 F   AD A   C, 所 以 

又P A、 P B 为 o0 的两条切 线 ,所 以  尸 、 A、 D 、 G四点共 圆 , P 、 A、 0 、 B四点共 圆  ( 均在 以D P 为直径 的圆上 ) ,所 以P 、 A、  

而 

C = / _ A D C , 所以 

c =  4C F , 所 以衄 ∥  .  

二、 为 了线 段 比相 等 的转 化 
图 2  

G 、 B 四点共 圆 , 所以 Z . A P G = f _ A B G . ① 
在 AC F D中 , 由C E = E F , G 为C D的 中 

由于“ 三角形 中一直线截其他 两边所 得对应线段成  比例 , 则这条 直线 与第三边平行 ” , 当题 目给出线段 中点 

点, 知E G / / F D, 所 以  G E   =  D A B .  
因为4、 D、 曰、 C 四点共 圆 , 所以/ _ _ D A B = / _ B C D, 所 以 
GEB=   BCD.  

时, 可 以联想 到 中位 线 , 实现 某些线段 比 
的 良性转化 , 最终得 到命 题的证 明.  
证 法4 : 如 图4 , 取C D的 中点 G , 连 接  O A、 O G、 G E、 G A、 G B、 B C,  
于Q 点.  

从 而c 、 E 、 G、 曰四点共 圆, 所以 / _ A B G = / _ E C G .   ②  由①② 知 , / _ _ A P G = / _ E C G, 所 以C E / / P A .  
证法2 : 如图2 , 取C D 的中点G, 连接O A、 O G、 G E、 G A、   G B、 B C, 则0 G上C D .  

日 与C D 相 交 

同证 法 1 知, P、 A、 G、 B四点 共 圆 , 则 
Q P ‘ Q G = Q A。 Q B .   图4  

同证法 1 知, P 、 A、 G 、 B 四点共 圆, 所 以/ _ P A B = / _ _ P G B .  

高 中 版十。 ? 毒 《 : . ?  

教 学 

参谋 

解法探究 

2 0 1 4年 1 0月 

又A、 C 、 B 、 D四点共 圆 ,所 以Q A? Q B = Q C? Q D, Q P?   Q G = Q c‘ Q D, 所 以  Q P=  
Q G
. 

  B D 同证法3 知, 面 B C=   A C 于 是  = 由此 得删 =  
, ,

B N, 所 以s  
G C   Q 又E G  A   D.  ̄F 2   Q 2   Q E 6 =   Q E  ̄F Q Q


s △ ^ H B , 所 以  A  ? A B. s i n / _ M A B =
_



AN ?  

, )

=  

,  

AB? s i nAN AB. N I A M? s i n / _ MAB = AN? s i n / _ _ N AB .  

C E fP A .  
证 法5 : 如 图5 , 连接A C , B C, B D, 设  A   B 与C D 相交于Q 点.   对 AC F D和截线A E Q 应用 梅涅 劳斯 
定理得  。   F A’   - 1 .   D Q= 1


同  C ? s i n / _ MA B = A F ? s i n / _ N A B .  
所 以  =   A F


NI ? 2C F / / MN .  

又MN/ / P A, 所 以C F / / P A, 即c E ∥ 
证 法8 : 如 图7 , 取C D的 中点 G, 连 接  O A交 C F 于点 0   ,连 接 O G、 G B 、 B C , 则 
DG j _ CD.  

由于叩 =   ,所 以 
AF


即 

图5  

又P A、 P B 为 OO 的两条切线 , 所 以P 、  
A、 0 、 G四点共 圆 , P 、 A、 0 、 B 四点共 圆( 均  在 以0 P 为直径 的 圆上 ) , 所 以P、 A、 0、 G 、   B 五点共 圆 , 所 以  A O G + / _ A B G = 1 8 0 。 .  

Q C  

AD  Dp  

N ̄ i N3 N,   P B= j _ = (  ̄ 面 B C, 面 P A=   A CN


P A   . P B  
—  

图7  

同证 法 1 知, / _ E C G = / _ A B G,所 以 厶4 O G + / - E C G =  
A C? BC  AD ? BD 

1 8 0  ̄ , 所以O、 0   、 C 、 G 四点共 圆, 所 以/ _0 0   C + / _ O G C = 1 8 0 。 .  
而  O G C = 9 0 0所 以/0 0   C = 9 0 。 , 即  j _ O A .  
. 

又P A。 P B = P A   2 = p c ? 肋 所 以  =   B C‘ 面 A C

又  上o A, 所 以C E / / P A .  
=   ,  

由 △C B Q ' - "AA DQ , △C A Q   △B D Q, 得 
AC  A0  
BD   DO  

四、 为 了 同一 法 的 实 现 
在证 明毫 无头绪 时 , 我们 可 以执果索 因 , 探寻结 论 

成 立 的其他 可能性 , 这 就需要 借助 于 同一法. 同一法 的 

两式相乘得 
NI ) 2   AF  PC
=  
, 

面 A C =   Q C所 以   =   Q C
C Ef   .  


基 本原理是证 明作 出的点 与已知点重合 , 从 而最终证 明 
结论成立.  

. 

证 法9 : 如 图8 , 作C E   ∥P A交A B于点 
AP AC— 



证法6 : 如 图5 , Ni i E N3  ̄,   A F=   AC
AP D A, 得  =   P C= 面 P A所 以   A C : 面 P A
又  =   P C


E   ,   D于点 . 作O G   J _ P C , 垂足为G, 则G   为C D 的 中点.  
因 为P, 0, G, A, B五 点 共 圆 , 所 以 
/E   B G = LA B G =/A P G = E   C G,所 以 C 、  

. 

E   、 G、 B四点共 圆 ,从 而 E   G C = /E   B C =  

两式相乘得  = 面 P C NI :  ̄ ( C E / / P A .  


A DC 

于是E   G∥D F ' , 于是E   为C F ' 的 中点 ,  

三、 为 了平 行 传 递 的 转 化 
平 行于 同一条直 线或垂 直于 同一 条直 线 的两条直  线平 行 , 下 面的两 种证法 即是这 两种思 路的体现.  

合, 所以C E ∥P A .  
证法 1 0 : 如图9 , 取  的 中点  , 连接  D M, 交A B于点E   , 连接 C E 。 并 延 长 交A D  
于 点 .  

证 法7 : 如 图6 , 过 点日 作  的平行 
线交A   C 于  4M, 交A D于点Ⅳ, 连 接B C ,  
B D, 则  ̄A B C =   C =   =  

连接AC , B C , B D, 记A B 和P C 的交 点 
为Q ,则 由 / _ P B C =/ _ P D B,得 AP C B  
AP BD,  

图9  

NI ) . 2AA B c∽AA MB,从而 
AB

)  ̄f f i l   B C=   =  

D B  



PB   p D 

① 
~  

[ I B M=  A NNB N = AD AC   ̄ C   ,  .  


图6  

同理 , AP C A —AP A D, 得  =   P A= 面 P A


② 

2 0 1 4年 l 0月  

解法 探究 

学  谋 

解析几何题中定值 问题的解题策略 
⑩ 江 苏省 海 安 县 立 发 中 学 景 晖 

解析几何定值 问题主要考查数形 结合 、分类讨论 、   化 归 与转化 、 函数和方 程等 数学 思想方 法. 定值 问题在  近几年 江苏高 考试卷 及模考试 卷 中都有不 同程度 的体  现. 本文结 合 例题 , 谈谈 在教 学实 践 中总结 出来 的解此 
类 问题的几种策略.  

策略二 : 直接推理 、 计 算 
将要求 的定值 表示为某个变量 的函数关系 , 再化简  这个关 系消去变量 , 从而得到定值.   解 析几何 中 , 定 值是变化 中的不 变量 , 求解 时就要  对变 化的量 进行正确 的表述 , 可以通过引进参数来表示 
这 些 变化 的量 , 这种 通过 研究 何 时变 化 的量 与参 数无  关, 从 而找 到定值 的方法就是引进参数 法.  

策 略一 : 特 殊 值 法 
将 问题 中的条件特殊 化 , 再证 明特殊 化后 的定值与 
变量无关.   例1   已知椭圆  4+

等 = 1 的 左 焦 点 为   , 过   作 两 直  


如何 选择恰 当的参变量是解 决定值 问题的关键. 下  面通过一道典 型例题介绍 三种 常用 的选 参方法.  
例2 .如 图2 ,已知椭 圆C 的 


y 
A 

线 m、 n 交 椭 圆于A、 B、 c 、 D四点 , 若mj _ n , 则  的值为— — 一 

+  1  

方程 为  X 2  

1 ,  、 B 是 四条直 线 
D  j  

此题为填 空题 ,解题 时只需  要把 两条直线 特殊化.如 图 1 , 当 

= ± 2 、   = ± 1 所 围成 的矩形 的两个  顶点 , 若M、 Ⅳ 是椭 圆上两个 动点 ,  

直线m的斜 率不存在时 , 直线 m 交 
椭 圆于C、 D, 直线n 交椭 圆 
1   1  

/ / D 1 /   — 一  
B I  

且直线O M、 O N的 斜 率之 积 等 于  图2   直线O A、 O B的斜率之积 , 试探求 AO MN的面积是否为定 
值, 并说明理 由.   方法 1 : 设点参.  

、  ,  
1  

A  

则I A B I = 4 , l C DI = 3 。  

+ —L :  
图 1  

解 : 设 点   (  Y 。 ) 、 Ⅳ (   ) , 则   一 ÷ .  
I X2   斗 

+ 了 1 =   7 从 而求 出定 值. 若 此题改 为证明题 , 变为 “ 证 明 


平方得 

l 6   = ( 4   ) ( 4  2 ) , 即  ; = 4 .  

1  

+  

为定值 ” , 则 只需 要 先从 特殊 出发 , 再证 明.  

J s  
= 

l  I    l l s i n   Ⅳ  

( 证 明过程略 ) .  

『  l j  I N / — 1 - c o s 2 / _ — _ M O N  

又D E 1  戡△   Q, 由Me n e l a u s 定理 ,  

提 供 的信 息 , 恰 当补 出辅 助线 , 并 合理挖 掘 图形 隐含 的 
性质 , 条件 的转化 , 就会使题 目的证 明明朗化.  
参考文献 :  
1 . 董新庄 , 刘康 宁 . 一 个基 本 几 何 图形 的 性 质 及 其 应 

得 

.   . ~ Q E 1 : l  盟 :  


③ 

MP  D Q  E 4  


E  

P D  

注意到厶4 c   + / _ A D B = 1 8 0  ̄ , P A = P B , 结合①②, 可 
C Q  S △ A c 日 A   C? C B  P A. P C  P C   D Q  S △ A 珊 D A? D B  P D  P B  P D  

用[ J ] . 中学数学教 学参考( 上) , 2 0 1 0 ( 5 ) .   2 . 沈毅. 与调 和点列有关的平面几何 问题 [ J ] . 中等数 
学, 2 0 0 9( 2 ) .  

结合③式 , 得  =   =  

,  ̄ f ? I 2C ) E   , / / P A .  

由M为  的中点 , 得E 。 为C F , 的 中点.   从而E   与E 重合 , 所 以C E ’ ∥P A .   平 面几何 的证 明是思维 的游戏. 在求证 时把握 问题 

3 . 杨岚 清. 一道 平 面几何 竞 赛题 的证 明 f J ] . 数 学教 

学, 2 0 1 4 ( 5 ) . 圃 

高 中 版十’ 7 戴. 7  


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