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概率的基本性质教案


《概率的基本性质》教案
使用教材:人教版数学必修 3 教学内容:1、事件间的关系及运算 2、概率的基本性质 教学目标:1、了解事件间各种关系的概念,会判断事件间的关系; 2、了解两个互斥事件的概率加法公式,知道对立事件的公式,会用公式进行简 单的概率计算; 3、通过学习,进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。 教学的重点:事件间的关系,概率的加法公式。 教学的难

点:互斥事件与对立事件的区别与联系。 教学的具体过程: 引入:上一次课我们学习了概率的意义,举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们 要来研究概率的基本性质。在研究性质之前,我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。 一、事件的关系与运算 老师做掷骰子的实验,学生思考,回答该试验包含了哪些事件(即可能出现的结果) 学生可能回答:﹛出现的点数=1﹜记为 C1 , ﹛出现的点数=2﹜记为 C2 , ﹛出现的点数 =3﹜记为 C3 , ﹛出现的点数=4﹜记为 C4 , ﹛出现的点数=5﹜记为 C5 , ﹛出现的点数 =6﹜记为 C6 . 老师:是不是只有这 6 个事件呢?请大家思考,﹛出现的点数不大于 1﹜(记为 D1 )是不 是该试验的事件?(学生回答:是)类似的,﹛出现的点数大于 3﹜记为 D2 ,﹛出现的点 数小于 5﹜记为 D3 ,﹛出现的点数小于 7﹜记为 E,﹛出现的点数大于 6﹜记为 F,﹛出现 的点数为偶数﹜记为 G,﹛出现的点数为奇数﹜记为 H,等等都是该试验的事件。 那么大 家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢? 1、 学生思考若事件 C1 发生(即出现点数为 1) ,那么事件 H 是否一定也发生? 学生回答:是,因为 1 是奇数 我们把这种两个事件中如果一事件发生,则另一事件一定发生的关系,称为包含关系。 具体说:一般地,对于事件 A 和事件 B,如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,称事件 B 包含事件 A(或事件 A 包含于事件 B) ,记作 B ? A (或 A ? B ) 特殊地,不可能事件记为 ? ,任何事件都包含 ? 。 练习:写出 D3 与 E 的包含关系(D3 ? E) 2、再来看一下 C1 和 D1 间的关系:先考虑一下它们之间有没有包含关系?即若 C1 发生,D1 是否发生?(是,即 C1 ? D1 ) ;又若 D1 发生,C1 是否发生?(是,即 D1 ? C1 ) 两个事件 A,B 中,若 A ? B,且B ? A ,那么称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B。 所以 C1 和 D1 相等。 “下面有同学已经发现了,事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似,很 好,下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。” 试验的可能结果的全体 ↓ ←→ 全集 ↓

每一个事件 ←→ 子集 这样我们就把事件和集合对应起来了,用已有的集合间关系来分析事件间的关系。 3、集合之间除了有包含和相等的关系以外,还有集合的并,由此可以推出相应的,事件 A 和事件 B 的并事件,记作 A∪B,从运算的角度说,并事件也叫做和事件,可以记为 A+B。我 们知道并集 A∪B 中的任一个元素或者属于集合 A 或者属于集合 B, 类似的事件 A∪B 发生等

1

1

价于或者事件 A 发生或者事件 B 发生。 练习:G∪D3 =?G=﹛2,4,6﹜,D3 =﹛1,2,3,4﹜,所以 G∪D3 =﹛1,2,3, 4,6﹜。若出现的点数为 1,则 D3 发生,G 不发生;若出现的点数为 4,则 D3 和 G 均发生; 若出现的点数为 6,则 D3 不发生,G 发生。 由此我们可以推出事件 A+B 发生有三种情况:A 发生,B 不发生;A 不发生,B 发生;A 和 B 都发生。 4、 集合之间的交集 A∩B, 类似地有事件 A 和事件 B 的交事件, 记为 A∩B, 从运算的角度说, 交事件也叫做积事件, 记作 AB。 我们知道交集 A∩B 中的任意元素属于集合 A 且属于集合 B, 类似地,事件 A∩B 发生等价于事件 A 发生且事件 B 发生。 练习:D2 ∩H=?(﹛大于 3 的奇数﹜=C5 ) 5、事件 A 与事件 B 的交事件的特殊情况,当 A∩B= ? (不可能事件)时,称事件 A 与事 件 B 互斥。 (即两事件不能同时发生) 6、在两事件互斥的条件上,再加上事件 A∪事件 B 为必然事件,则称事件 A 与事件 B 为对 立事件。 (即事件 A 和事件 B 有且只有一个发生) 练习:⑴请在掷骰子试验的事件中,找到两个事件互为对立事件。 (G,H) ⑵不可能事件的对立事件 7、集合间的关系可以用 Venn 图来表示,类似事件间的关系我们也可以用图形来表示。

B ? A:

A= B:

A∪B:

A∩B:

A、B 互斥:

A、B 对立:

8、区别互斥事件与对立事件:从图像上我们也可以看出对立事件是互斥事件的特例,但互 斥事件并非都是对立事件。 练习:⑴书 P121 练习题目 4、5 ⑵判断下列事件是不是互斥事件?是不是对立事件? ① 某射手射击一次,命中的环数大于 8 与命中的环数小于 8; ② 统计一个班级数学期末考试成绩,平均分不低于 75 分与平均分不高于 75 分; ③ 从装有 3 个红球和 3 个白球的口袋内任取 2 个球,至少有一个白球和都是红球。 答案:①是互斥事件但不是对立事件;②既不是互斥事件也不是对立事件 ③既是互斥事件有是对立事件。 二、概率的基本性质: 提问:频率=频数\试验的次数。 我们知道当试验次数足够大时,用频率来估计概率,由于频率在 0~1 之间,所以,可 以得到概率的基本性质: 1、任何事件的概率 P(A),0≦P(A)≦1

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2

2、那大家思考,什么事件发生的概率为 1,对,记必然事件为 E,P(E)=1 3、记不可能事件为 F,P(F)=0 4、当 A 与 B 互斥时,A∪B 发生的频数等于 A 发生的频数加上 B 发生的频数,所以

f A釨 = f A + f B , 所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
5、特别地,若 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,P(A∪B)=1=P(A)+P(B)→ P(A)=1-P(B)。 例题:教材 P121 例 练习:由经验得知,在某建设银行营业窗口排队等候存取款的人数及其概率如下: 排队人数 概率 0 ~ 10 人 0.12 11 ~ 20 人 0.27 21 ~ 30 人 0.30 31 ~ 40 人 0.23 41 人以上 0.08

计算: (1)至多 20 人排队的概率; (2)至少 11 人排队的概率。 三、课堂小结: 1、把事件与集合对应起来,掌握事件间的关系,总结如下表 符号 Venn 图 概率论 必然事件 不可能事件 事件 事件 B 包含事件 A (事件 A 发生,则 B 一定发生) 集合论 全集 空集 子集

?

?
A

A? B

集合 B 包含集合 A

A = B A∪B (A+B) A∩B (AB)

事件 A 与事件 B 相等 事件 A 与事件 B 的并事件

集合 A 与集合 B 相等

(或者事件 A 发生,或者事件 B 发生) 集合 A 与集合 B 的并 事件 A 与事件 B 的交事件 (事件 A 发生,且事件 B 发生) 事件 A 与事件 B 互斥 集合 A 与集合 B 的交

A∩B= ? A∩B= ? A∪B= ?

(事件 A 和事件 B 不能同时发生) 事件 A 与事件 B 对立

集合 A 与集合 B 不相交

(事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生) 集合 A 与集合 B 不相交 (2)概率的加法公式

2、概率的基本性质: (1)0≦P(A)≦1

四、课后思考:概率的基本性质 4,若把互斥条件去掉,即任意事件 A、B,则 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P( AB)
3 3


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