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导数及其应用单元测试卷(理)


武汉中学导数及其应用单元测试卷
命题人:柏任俊 总分:150 分 时间:120 分钟 2008.4.28

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题(5′×12=60′) 1.函数 y ? ( 2 x ? 1) 的图象在 ( 0 , ? 1) 处的切线的斜率是。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。(
3



A.3

B.6
3

C.12

D. ? 1 )

2. 函数 y ? 1 ? 3 x ? x 有。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 A.极小值 ? 1 ,极大值 1; C. 极小值 ? 2 ,极大值 2;
4

B. 极小值 ? 2 ,极大值 3; D. 极小值 2,极大值 3 )

3. 函数 y ? 4 x ? x , [ ? 1, 2 ] 上的最大、 在 最小值分别为。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 ( A. f (1), f ( ? 1) B. f (1), f ( 2 ) C. f ( ? 1), f ( 2 ) D. f ( 2 ), f ( ? 1)

4. 下列结论中正确的是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ( A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值 C. 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极小值 D. 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值 5.函数 y ? ( x ? 1) 当 x ? ? 1 时。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。
3







A. 有极大值 B. 有极小值 C.即无极大值,也无极小值 D.无法判断 6.已知 f ( x ) ? x ? ax
3 2

? ( a ? 6 ) x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为。( 。



A. ? 1 ? a ? 2
3

B. ? 3 ? a ? 6

C. a ? ? 1或 a ? 2

D. a ? ? 3 或 a ? 6 )

7.函数 y ? x ? 2 ax ? a 在 ( 0 ,1) 内有极小值,则实数 a 的取值范围为。。。。。 。。。。( A.(0,3)
3

B. ( ?? , 3 )
2

C. ( 0 , ?? )

D. ( 0 , )
2

3

8.函数 y ? x ? 3 x ? 9 x ? 5 的极值情况是。。。。。。。。。。。。。。。。( ) 。。。。。。。。。。。。。。。。 A.在 x ? ? 1 处取得极大值,但没有最小值
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B. 在 x ? 3 处取得极小值,但没有最大值
115 号编辑

C.在 x ? ? 1 处取得极大值,在 x ? 3 处取得极小值 D.既无极大值也无极小值 9.下列结论正确的是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( ) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 A. 在区间[a,b]上,函数的极大值就是最大值 B. 在区间[a,b]上,函数的极小值就是最小值 C. 在区间[a,b]上,,函数的最大值、最小值在 x=a 和 x=b 时达到 D. 一般地,在闭区间[a,b]上的连续函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值 10.下列说法正确的是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( A. 当 f ' ( x ) ? 0 时,则 f ( x 0 ) 为 f ( x ) 的极大值 )

B. 当 f ' ( x ) ? 0 时,则 f ( x 0 ) 为 f ( x ) 的极小值 C. 当 f ' ( x ) ? 0 时,则 f ( x 0 ) 为 f ( x ) 的极值 D. 当 f ( x 0 ) 为 f ( x ) 的极值时。则有 f ' ( x ) ? 0 )

11.设 M,m 分别是函数 f ( x ) 在[a,b]上的最大值和最小值,若 M ? m ,则 f ' ( x ) 。( 。 A.等于 0
2

B.小于 0

C.等于 1

D.不确定 )

12. 抛物线 y ? x 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。 (
7 8 2

A.

2

B。

C。 2 2

D。以上答案都不对

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115 号编辑

第 I 卷答题卡
题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题(4′×4=16′) 13.已知函数 y ? x ? ax
3 2

? bx ? 27 在 x ? ? 1 处有极大值,在 x ? 3 处极小值,则

a ?

,b ?
3


2

14.已知函数 y ? f ( x ) ? x ? px 那么 p ? ,q ?

? qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点,且 y 极小 ? ? 4 ,

15.做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,则它的高为 16. 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 ax
3 2

时,材料最省。

? 3 ( a ? 2 ) x ? 1 有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是

三、解答题(共 76′) 17.求 f ( x ) ? x ? 3 x ? 6 x ? 2 , x ? [ ? 1,1] 的最大值和最小值。 (12′)
3 2

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18.已知函数 y ? f ( x ) ? ax

5

? bx

3

? c 在 x ? ? 1 处有极值,且极大值是 4,极小值是 0,

试求 f ( x ) 的表达式。 (12′)

19.设函数 y ? f ( x ) ? ax ? bx
3

2

? cx ? d 的图象与 y 轴的交点为 P 点,曲线在点 P 处的

切线方程为 12 x ? y ? 4 ? 0 。若函数在 x ? 2 处取得极值 0,试求函数的单调区间。 (12′)

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20.已知函数 y ? f ( x ) ? ax ? 6 ax
3

2

? b 在 [ ? 1, 2 ] 上的最大值为 3,最小值为 ? 29 ,求 a

、 b 的值。 (12′)

21.从长 32 cm ,宽 20 cm 的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形,做一个无盖的箱子,问 剪去的正方形边长为多少时,箱子的容积最大,最大容积是多少?(12′)

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22.已知函数 y ? f ( x ) ? 16 x ? 20 ax
3

2

? 8 a x ? a ,其中 a ? 0 。
2 3

(1)求 f ( x ) 的极大值和极小值; (2)设(1)问中函数取得极大值的点为 P ( x , y ) ,求 P 点所在的曲线。 (14′)

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参考答案 一、选择题 1.B.解析: y ' ? 3 ( 2 x ? 1) ? 2 ? 6 ( 2 x ? 1) ,? k ? y '
2 2
2

x?0

? 6

2.C. 解析: y ' ? ? 3 x ? 3 ? ? 3 ( x ? 1)( x ? 1) ,讨论 ( ?? , ? 1), ? 1, ( ? 1,1),1, (1, ? ) ,得答案 C 3.B. 解 析 : y ' ? 4 ? 4 x ? 4 (1 ? x )( 1 ? x ? x ) ? 4 (1 ? x )[( x ?
3 2

1 2

) ?
2

3 4

] , 讨 论 点

? 1, ( ? 1,1),1, (1, 2 ), 2 ,得答案为 B.

4.B.解析:根据函数的单调性与导数的关系和极值点的定义 5.C.解析: y ' ? 3 ( x ? 1) , 令 y ' ? 0 得 x ? ? 1, 但在 ( ?? , ? 1) 和 ( ? 1, ? ) 上 y ' ? 0 ,函数都单调
2

递增,所以 x ? ? 1 不是极值点. 6.D.解析: f ' ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? ( a ? 6 ) ,要使 f ( x ) 有极大值和极小值,只需 f ' ( x ) ? 0 有
2

两个不同的根即可。即: 4 a ? 4 ? 3 ( a ? 6 ) ? 0 ,解得: a ? ? 3 或 a ? 6
2

7.D.解析: f ' ( x ) ? 3 x ? 2 a ? 0 , x ? ?
2

2a 3

,由题意知只要 0 ?

2a 3

? 1, 即 0 ? a ?

3 2

8.C.解析: y ' ? 3 x ? 6 x ? 9 ? 3 ( x ? 3 )( x ? 1) ? 0 , x ? 3 或 x ? ? 1 ,见下表
2

x
y'

( ?? , ? 1)

?1

(-1,3) - 减函数

3 0 极小值

( 3 , ?? )

+ 增函数

0 极大值

+ 增函数

y 易知答案为 C。

9.D.解析:极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值, 在闭区间上,函数的最值不一定在区间端点取得。 10.D.解析:例如 f ( x ) ? x , f ' ( x ) ? 3 x , 当 f ' ( x ) ? 0时, x ? 0 ;
3 2

当 x ? 0时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( ?? , 0 ) 上为增函数; 当 x ? 0时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上为增函数; 故 x ? 0 即不是极大值点,也不是

极小值点,A、B、C 三个选项均不正确,故选 D。 11.A.解析:因为 M ? m ,所以 f ( x ) 为常数函数,故 f ' ( x ) ? 0
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12.B 。 由 y ? x , 得 y ' ? 2 x , 令 y ' ? 1, 则 x ?
2

1 2

,所以抛物线 y ? x 上点 ( , ) 到直线
2

1 1

2 4
? 2 ? 7 8 2

1
x ? y ? 2 ? 0 的最短距离,最短距离为

?

1 4 2

2

,故选 B

二、填空题
由题意 y ' ? 3 x ? 2 ax ? b ? 0的两根为 13.? 3 , ? 9 .解析:
2

? 1和 3 ,? 由根与系数的关系得,

?1? 3 ? ?

2a 3

,? 1 ? 3 ?

b 3

,? a ? ? 3 , b ? ? 9
2 2

14.6,9.解析: y ' ? 3 x ? 2 px ? q ,令切点 ( a , 0 ) ,则 f ( x ) ? x ( x ? px ? q ) ? 0 有两 个相等实根 a ,且 a ? 0 ,∴ x ? px ? q ? ( x ? a ) ,? f ( x ) ? x ( x ? a )
2 2 2

f ' ( x ) ? ( x ? a )( x ? 3 a ) ,令 f ' ( x ) ? 0 , 得 x ? a 或 x ?

a 3 4 27


a
3

? x ? a 时, f ( a ) ? 0 ? ? 4 ,? f (
2 2

a 3

) ? y 极小 ? ? 4 ,即

? ?4, a ? ?3 ,

∴ x ? px ? q ? ( x ? 3 ) ,? p ? 6 , q ? 9 15。解析:设方底无盖水箱的底面边长为 x 分米,高为 h 分米,则 x h ? 256 ,全面积
2

S ? x

2

? 4 xh ? x 2 ?

1024 x

,? 令 S ' ? 2 x ?

1024 x
2

? 0,得 x ? 8 ,? h ? 4 ,由本题的实际意

义可知当高为 4 分米时,材料最省。 16. 解析: f ( x ) 为三次多项式, 从而 f ' ( x ) 为二次函数。 f ' ( x ) ? 0 无实数根或有重根, 若 则 f ' ( x ) 为非负或非正。从而 f ( x ) 是单调函数,不会有极值。故若 f ( x ) 有极值,则应是
f ' ( x ) ? 0 有不同实根 ? 、 ? (? ? ? ) ,此时 f ' ( x ) 在 (? , ? ) 与在 ( ?? , ? ) ? ( ? , ?? ) 上符号

相反,所以 f ( x ) 在 ? 、 ? 处取得极值,且一为极大一为极小。综上所述,可知 f ( x ) 有极 大值又有极小值的充分必要条件是 f ' ( x ) ? 0 有两个不同实根。
f '(x) ? 3x
2

? 6 ax ? 3 ( a ? 2 ) ,令 f ' ( x ) ? 0 得方程 3 x
2 2

2

? 6 ax ? 3 ( a ? 2 ) ? 0

由 ? ? 0 得 ( 2 a ) ? 4 ( a ? 2 ) ? 0,即 a ? a ? 2 ? 0 ,? a ? ( ?? , ? 1) ? ( 2 , ?? ) 17.解析:? f ' ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 6 ? 3 ( x ? 2 x ? 2 ) ? 3[( x ? 1) ? 1] ? 0
2 2 2

∴函数 f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上为单调递增函数,
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∴ f ( x ) max ? f (1) ? 2 , f ( x ) min ? f ( ? 1) ? ? 12 18.解析: f ' ( x ) ? 5 ax
4

? 3 bx ,∵函数 y ? f ( x ) ? ax
2 2 2

5

? bx

3

? c 在 x ? ? 1 处有极值,

? f ' ( ? 1) ? 0 , 即 5 a ? 3 b ? 0 ,? f ' ( x ) ? 5 ax ( x

? 1)

∵当 x ? ( ? 1, 0 ) 或 x ? ( 0 ,1)时, f ' ( x ) 的符号不变,∴ x ? 0 不是 f ( x ) 的极值点。
?a ? ?3 ?a ? 3 ? f (1 ) ? 4 ? f (1 ) ? 0 ? ? 或? 由题意得, ? ,解得 ? b ? ? 5 或 ? b ? 5 ? f ( ? 1) ? 0 ? f ( ? 1) ? 4 ?c ? 2 ?c ? 2 ? ?
? f ( x ) ? ? 3 x ? 5 x ? 2或 f ( x ) ? 3 x ? 5 x ? 2
5 3 5 3

19。解析:∵函数 y ? f ( x ) ? ax ? bx
3

2

? cx ? d 的图象与 y 轴的交点为 P 点,

∴点 P ( 0 , d ), ? y '

x?0

? c , ∴曲线在 P 点处的切线方程为 y ? cx ? d

由题设知,曲线在点 P 处的切线方程为 12 x ? y ? 4 ? 0 ,? c ? 12 , d ? ? 4 又函数在 x ? 2 处取得极值 0,? f ( 2 ) ? 0 , f ' ( 2 ) ? 0 ,? a ? 2 , b ? ? 9
? f (x) ? 2 x ? 9 x
3 2

? 12 x ? 4 , f ' ( x ) ? 6 ( x ? 1)( x ? 2 )

由 f ' ( x ) ? 0,得 x ? 2 或 x ? 1; f ' ( x ) ? 0 , 得 1 ? x ? 2 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ?? ,1) 和 ( 2 , ? ) ,单调递减区间为 (1, 2 ) 。 20。解析: f ' ( x ) ? 3 ax
2

? 12 ax ? 3 ax ( x ? 4 ) ,令 f ' ( x ) ? 0 , 得, x ? 0 或 x ? 4

若 a ? 0 ,则由 f ' ( x ) ? 0 , 得 ? 1 ? x ? 0; f ' ( x ) ? 0 , 得 0 ? x ? 2 ,所以 f ( 0 ) ? 3 , 从 而
b ? 3





f ( ? 1) ? ? 29 ,得 a ?

32 7

, 此时 f ( 2 ) ? ?

491 7

? ? 29







f ( 2 ) ? ? 29 ,? a ? 2 ;

若 a ? 0 ,则由 f ' ( x ) ? 0 , 得 ? 1 ? x ? 0; f ' ( x ) ? 0 , 得 0 ? x ? 2 ,所以 f ( 0 ) ? ? 29 ,
b ? ? 29 。由 f ( ? 1) ? 3,得 a ? ?

32 7

, 此时 f ( 2 ) ?

309 7

? 3 ,所以 f ( 2 ) ? 3 ,? a ? ? 2

综上所述, ?

?a ? 2

?a ? ?2 ,或 ? ?b ? 3 ? b ? ? 29

21。解析:设剪去的正方形的边长为 xcm ( 0 ? x ? 10 ) ,则做成的无盖的箱子的底是长、
用心 爱心 专心 115 号编辑

宽分别为 ( 32 ? 2 x ) 、 ( 20 ? 2 x ) cm 的矩形,而且箱子的高为 xcm ,所以其容积为
V ? ( 32 ? 2 x )( 20 ? 2 x ) ? x ? 4 ( x ? 26 x
3 2

? 160 x ) ,

? V ' ? 12 ( x ? 4 )( x ?

40 3

) 。当 0 ? x ? 10 时, V ' ? 0 仅有 x ? 4 一解。在 x ? 4 附近,

V ' 是左正、右负,所以 V 在 x ? 4 处取得极大值即为最大值,所以 x ? 4 cm 时 V 有最

大值。 22。解析: (1)? y ? f ( x ) ? 16 x ? 20 ax
3 2

? 8 a x ? a ,其中 a ? 0
2 3

? f ' ( x ) ? 48 x a

2

? 40 ax ? 8 a a 2
a 3 )

2

? 8 ( 2 x ? a )( 3 x ? a ), 由 f ' ( x ) ? 0 得 x ?

a 2

,x ?

a 3

① 当 a ? 0 时, ?
3

,见下表
a 3 ( a a , ) 3 2 a 2 ( a 2 ,?)

x
f '(x)
f (x)

( ?? ,

+ 增函数
a 3

0 极大
a a
3

- 减函数

0 极小

+ 增函数

∴当 x ?
a 2

时,函数取得极大值, f ( ) ?
3
a



27

当x ?

时,函数取得极小值, f ( ) ? 0
2

a a ② 当 a ? 0 时, ? ,见下表 2 3

x
f '(x) f (x)

( ?? ,

a 2

)

a 2

(

a a , ) 2 3

a 3

(

a 3

,?)

+ 增函数
a 2

0 极大
a

- 减函数

0 极小

+ 增函数

当x ?

时,函数取得极大值, f ( ) ? 0 ;
2

当x ?

a 3

时,函数取得极小值, f ( ) ?
3

a

a

3

27

a ? x ? ? ? 3 3 (2)当 a ? 0 时, ? ,消去 a 得, y ? x ( x ? 0 ) ; 3 ?y ? a ? 27 ?

用心 爱心 专心

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a ? ?x ? 当 a ? 0 时, ? 2 ,消去 a 得, y ? 0 ( x ? 0 ) , ?y ? 0 ?

? x 3 ( x ? 0) 所以 P 点的轨迹方程为: y ? ? ?0( x ? 0)

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