tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

近三年全国高考理科数学题分类汇编及解答


近三年全国高考理科数学题分类汇编及解答

考点分布表
序号 考点一 考点 集合及其运算 考点分布(选择,填空) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 2) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 1) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 1) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 1) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 1) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 1) (2012

新课标全国Ⅰ ,理 1) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 3) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 2) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 2) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 2) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 2) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 6) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 5) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 6) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 7) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 7) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 7) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 8) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 7) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 12) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 6) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 15) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 9) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 5) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 13) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 13) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 5) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 5) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 16) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 7) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 12) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 14) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 3) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 16) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 17) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 17) 考点分布(解答题)

考点二

复数

考点三

程序框图

考点四

三视图

考点五

二项式定理

考点六

数列

1

考点七

三角函数, 正 余弦定理

(2012 新课标全国Ⅰ ,理 7) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 14) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 9) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 15) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 15) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 8) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 16) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 4) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 14) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 6) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 13) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 13) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 13) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 15) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 3) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 13) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 14) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 9) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 9) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 11) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 2) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 15) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 3) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 14) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 5) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 14) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 5) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 3) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 8) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 4) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 8) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 4) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 10) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 11) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 4) 2014 新课标全国Ⅰ ,理 10) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 10) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 16) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 10) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 12) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 16) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 10) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 11) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 8)
2

(2012 新课标全国Ⅰ ,理 17) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 17) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 17) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 17)

考点八

向量

考点九

线性规划

考点十

排列组合, 概率 统计

(2012 新课标全国Ⅰ ,理 19) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 18) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 19) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 19) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 18) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 19)

考点十 一

圆锥曲线

(2012 新课标全国Ⅰ ,理 21) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 20) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 20) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 20) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 20) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 20)

考点十 二

导数

(2014 新课标全国Ⅰ ,理 20) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 21) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 21) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 21) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 21) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 21)

考点十 三 考点十 四

比较大小

(2012 新课标全国Ⅰ ,理 9) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 8) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 10) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 11) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 12) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 3) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 6) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 12) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 15) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 4) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 12) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 16) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 11) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 6) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 4) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 11) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 18) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 19) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 18)( (2013 新课标全国Ⅱ ,理 18) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 19) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 18) (2012 新课标全国Ⅱ ,理 23) (2013 新课标全国Ⅰ ,理 23) (2013 新课标全国Ⅱ ,理 23) (2014 新课标全国Ⅰ ,理 23) (2014 新课标全国Ⅱ ,理 23)

函数性质, 函数 图象

考点十 五

立体几何

考点十 六

极坐标与参数 方程

3

选择填空考点分析
考点一:集合及其运算 1: (2012新课标全国Ⅰ ,理 2)已知集合 m ? (B) A.0或 3 【解析】
A? B ? A

A ? 1,3, m , B ? ?1, m? , A ? B ? A

?

?

,则

B.0或3
?B ? A,

C.1或 3
A ? 1,3, m , B ? ?1, m?

D.1或3

?

?

? m ? A ,故 m ? m 或 m ? 3 ,解得 m ? 0 或 m ? 3 或 m ? 1 ,又根据集合元素的互

异性 m ? 1 ,所以 m ? 0 或 m ? 3 。

2: (2012 新课标全国Ⅱ ,理 1):已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈ A, y∈ A,x-y∈ A},则 B 中所含元素的个数为( D ) (A)3 (B)6 (C)8 (D)10

3: (2013 新课标全国Ⅰ , 理 1)已知集合 A={x|x2-2x>0}, B={x|- 5 <x< 5 }, 则( B ). A.A∩B= B.A∪ B=R C.B ? A D.A ? B

解析:∵ x(x-2)>0,∴ x<0 或 x>2. ∴ 集合 A 与 B 可用图象表示为: 由图象可以看出 A∪ B=R,故选 B. 4: (2013 新课标全国Ⅱ , 理 1)已知集合 M={x|(x-1)2<4, x∈ R}, N={-1,0,1,2,3}, 则 M∩N=( A ). A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3}

解析:解不等式(x-1)2<4,得-1<x<3,即 M={x|-1<x<3}.而 N={- 1,0,1,2,3},所以 M∩N={0,1,2},故选 A. 5: (2014 新课标全国Ⅰ , 理 1)已知集合 A={ x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2},

4

则 A ? B =(

A )

A .[-2,-1]

B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

6: (2014 新课标全国Ⅱ ,理 1).设集合 M={ 0,1,2 } , N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则
M ? N =(

D ) B. {2} C. {0,1} D. {1,2}

A. {1}

考点二:复数
?1 ? 3i ? 1:(2012新课标全国Ⅰ ,理1)复数 1 ? i

(C ) D. 1 ? 2i

A. 2 ? i

B. 2 ? i

C. 1 ? 2i

【命题意图】 本试题主要考查了复数的四则运算法则。 通过利用除法运算来求解。
?1 ? 3i (?1 ? 3i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i (1 ? i)(1 ? i) 2 【解析】因为 1 ? i

2:(2012 新课标全国Ⅱ ,理 3).下面是关于复数 z= P1: z =2 P3:z 的共轭复数为 1+i 其中真命题为 (A). P2 ,P3 (B) P1 ,P2 P2: z 2 =2i

2 的四个命题( C ) ?1 ? i

P4 :z 的虚部为-1

(C)P2,P4

(D)P3,P4 ).

3:(2013 新课标全国Ⅰ , 理 2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|, 则 z 的虚部为( A.-4
4 B. 5 ?

C.4

4 D. 5

答案:D 解析:∵ (3-4i)z=|4+3i|, ∴z ?
5 5(3 ? 4i) 3 4 ? ? ? i. 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 5 5

5

故 z 的虚部为

4 ,选 D. 5

4:(2013 新课标全国Ⅱ ,理 2)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( A ). A.-1+i 答案:A 解析: z =
?2 ? 2i 2i 2i?1 ? i ? ? = =-1+i. 2 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

B.-1-I

C.1+i

D.1-i

5:(2014 新课标全国Ⅰ ,理 2)

( 1? i 3) =( D ) ( 1? i 2)
C . ?1 ? i

A .1 ? i

B .1 ? i

D . ?1 ? i

6:(2014 新课标全国Ⅱ ,理 2)设复数 z1 , z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,

z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A )
A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i

考点三:程序框图 1:(2012新课标全国Ⅱ ,理6)如果执行右边的程序图,输入正整数 N ( N ? 2) 和 实数 a1 , a2 ,?an ,输入 A,B,则 (A)A+B 为的 a1 , a2 ,?an 和 (B) ( C )

A? B 为 a1 , a2 ,?an 的算式平均数 2

(C) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?an 中最大的数和最小的数 (D) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?an 中最小的数和最大的数

6

2:(2013 新课标全国Ⅰ ,理 5)执行下面的程序框图,如果输入的 t∈ [-1,3],则 输出的 s 属于( A ).

A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5]5. 解析:若 t∈ [-1,1),则执行 s=3t,故 s∈ [-3,3). 若 t∈ [1,3],则执行 s=4t-t2,其对称轴为 t=2. 故当 t=2 时,s 取得最大值 4.当 t=1 或 3 时,s 取得最小值 3, 则 s∈ [3,4]. 综上可知,输出的 s∈ [-3,4].故选 A.

3:(2013 新课标全国Ⅱ ,理 6)执行下面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输 出的 S=( B ).

1 1 1+ ? ? A. 2 3

?

1 10 1 10!

B.

1+

1 1 ? ? 2! 3!

? ?

1 1 1+ ? ? C. 2 3

1 11 ? 1 11!

D.

1+

1 1 ? ? 2! 3!

答案:B
7

解析:由程序框图知,当 k=1,S=0,T=1 时,T=1,S=1; 当 k=2 时, T ? 当 k=3 时, T ? 当 k=4 时, T ?
1 1 , S =1+ ; 2 2

1 1 1 , S ? 1+ ? ; 2?3 2 2?3

1 1 1 1 ? , S ? 1+ ? ;…; 2 ? 3? 4 2 2 ? 3 2 ? 3? 4
1 2 ? 3? 4 ? ?10

当 k=10 时,T ?

, S ? 1+

1 1 ? ? 2! 3!

?

1 ,k 增加 1 变为 11,满 10!

足 k>N,输出 S,所以 B 正确.

4. (2014 新课标全国Ⅰ ,理 7)执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3, 则输出的 M = ( D )

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

5: (2014 新课标全国Ⅱ ,理 7)执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出 的 S= ( A. 4 D ) B. 5 C. 6 D. 7

考点四:三视图

1:(2012 新课标全国Ⅱ ,理 7)如图,网格纸上小正 方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的 三视图,则此几何体的体积为( B ) (A)6 (C)12 (B)9 (D)18

8

2.(2013 新课标全国Ⅰ ,理 8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( A ). .16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π

答案:A 解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底 面半径 r=2,长为 4,在长方体中,长为 4,宽为 2,高为 2,所以几何体的体
1 积为 πr2× 4× +4× 2× 2=8π+16.故选 A. 2

3.(2013 新课标全国Ⅱ ,理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的 坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时, 以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( A ).

答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:

9

则它在平面 zOx 上的投影即正视图为

,故选 A.

4. (2014 新课标全国Ⅰ ,理 12)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出 的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的 棱的长度为( B )

A.6 2
D .4

B.4 2

C .6

5. (2014 新课标全国Ⅱ , 理 6)如图, 网格纸上正方形小格的边长为 1 (表示 1cm) , 图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一 个底面半径为 3cm, 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削 得到, 则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比 值为( C A.
17 27

) B. 5 9 C. 10 27 D.
1 3

10

考点五:二项式定理
1 ( x ? )n x 的展开式中第3项与第7项的二项式系数 1.(2012新课标全国Ⅰ ,理15)若
1 2 相等,则该展开式中 x 的系数为

56



【命题意图】 本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用。利用二项式系数 相等,确定了 n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数。
2 6 【解析】根据已知条件可知 Cn ? Cn ? n ? 2 ? 6 ? 8 ,

1 ( x ? )8 r 8? r x 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C8 x ,令 8 ? 2r ? ?2 ? r ? 5 所以
5 所以所求系数为 C8 ? 56 。

2.(2013 新课标全国Ⅰ ,理 9)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最 大值为 a,(x+y)2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m= ( B ). A.5 答案:B
m 解析:由题意可知,a= C m 2 m ,b= C2 m ?1 ,

B.6

C.7

D.8

又∵ 13a=7b,∴13 ? 即

? 2m ? ! ? 2m ? 1?! =7 ? , m !m ! m!? m ? 1?!

13 2m ? 1 ? .解得 m=6.故选 B. 7 m ?1

3.(2013 新课标全国Ⅱ ,理 5)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a =( D ). A.-4 B.-3 C.-2 D.-1

答案:D
r r 2 2 解析: 因为(1+x)5 的二项展开式的通项为 C5 r∈ Z), 则含 x2 的项为 C5 x x (0≤r≤5,

11

2 +ax· C1 5 x =(10+5a)x ,所以 10+5a=5,a=-1.

4.(2014 新课标全国Ⅰ ,理 13) ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 2 的系数为 .(用数字填写答案) 5. (2014 课 标 全 国 Ⅱ, 理 13)

-20

? x ? a?

10

的 展 开 式 中 , x 7 的 系 数 为 15 , 则

1 a=___ _____.(用数字填写答案) 2

考点六:数列
a 1: (2012新课标全国Ⅰ ,理5):已知等差数列 ? n ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,
? 1 ? ? ? aa 则数列 ? n n ?1 ? 的前100项和为(A)
100 A. 101 99 B. 101 99 C. 100 101 D. 100

答案A 【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和的公式的运用,以 及裂项求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公 式,并进一步裂项求和。 【解析】由 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 可得
?a1 ? 4d ? 5 ?a1 ? 1 ? ? ? ? an ? n ? ? 5? 4 d ? 1 d ? 15 ? ?5a1 ? ? ? 2

?

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 100 ?( ? ) ? 1? ? 100 101 101 101

1 1 1 S100 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3

2:(2012 新课标全国Ⅱ ,理 5)已知{ an }为等比数列, a4 ? a1 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则

12

a1 ? a10 ? (D)
(A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7

3:(2012 新课标全国Ⅱ ,理 16)数列 ?a n ?满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 ?a n ?的前 60 项和为_____1830___。 4:(2013 新课标全国Ⅰ ,理 7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm =0,Sm+1=3,则 m=( C A.3 B.4 ). C.5 D.6

解析:∵ Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, ∴ am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3. ∴ d=am+1-am=3-2=1. ∵ Sm=ma1+
m? m ? 1? m ?1 × 1=0,∴a1 ? ? . 2 2 m ?1 ?m?3. 2

又∵ am+1=a1+m× 1=3,∴? ∴ m=5.故选 C.

5.(2013 课标全国Ⅰ ,理 12)设△ AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△ AnBnCn 的 面积为 Sn,n=1,2,3,….若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= =
bn ? an ,则( 2
cn ? a n ,cn+1 2

B ). B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数

A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 列,{S2n}为递增数列 6:(2013 课标全国Ⅰ ,理 14)若数列{an}的前 n 项和 公式是 an=__(-2)n-1_____. 解析:∵Sn ?
2 1 an ? ,① 3 3

Sn ?

2 1 an ? 3 3 ,则{an}的通项

13

∴ 当 n≥2 时, S n ?1 ? ① -② ,得 an ? 即
an =-2. an ?1

2 1 an ?1 ? .② 3 3

2 2 an ? an ?1 , 3 3

2 1 ∵ a1=S1= a1 ? , 3 3

∴ a1=1. ∴ {an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,an=(-2)n-1.

7.(2013 新课标全国Ⅱ ,理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2+10a1, a5=9,则 a1=( C
1 A. 3

).
?
1 C. 9

1 B. 3

1 D. 9 ?

答案:C 解析:设数列{an}的公比为 q,若 q=1,则由 a5=9,得 a1=9,此时 S3=27,而 a2+10a1=99,不满足题意,因此 q≠1. ∵ q≠1 时,S3=

a1 (1 ? q3 ) =a1· q+10a1, 1? q

1 ? q3 ∴ =q+10,整理得 q2=9. 1? q
1 ∵ a5=a1· q4=9,即 81a1=9,∴ a1= . 9

8.(2013 课标全国Ⅱ ,理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15= 25,则 nSn 的最小值为____-49______. 16.答案:-49 解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 S10= 10a1+ ①
10 ? 9 d =10a1+45d=0, 2

14

S15= 15a1 ?

15 ?14 d =15a1+105d=25.② 2
2 , 3

联立① ② ,得 a1=-3, d ? 所以 Sn= ?3n ?

n(n ? 1) 2 1 2 10 ? ? n ? n. 2 3 3 3

1 10 20 令 f(n)=nSn,则 f (n) ? n3 ? n 2 , f '(n) ? n 2 ? n . 3 3 3

令 f′(n)=0,得 n=0 或 n ? 当n ?

20 . 3

20 20 20 时,f′(n)>0, 0<n < 时,f′(n)<0,所以当 n ? 时,f(n)取最小值,而 3 3 3

n∈ N+,则 f(6)=-48,f(7)=-49,所以当 n=7 时,f(n)取最小值-49.

考点七:三角函数, 正余弦定理
3 sin ? ? cos ? ? 3 ,则 cos2 ? ? 1: (2012课标全国Ⅰ , 理7)已知 ? 为第二象限角,

(A)
? 5 3 ? 5 9 5 C. 9 5 D. 3

A. 答案A

B.

【解析】

sin ? ? cos ? ?

1 2 3 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? 3 3 3 ,两边平方可得

? 是第二象限角,因此 sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,
cos ? ? sin ? ? ? (cos ? ? sin ? )2 ? ? 1 ? 2 15 ?? 3 3
5 3

所以

? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ?

2:(2012课标全国Ⅰ ,理14)当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时,

x?



15

5? 答案: 6

【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题。首先化 为单一三角函数, 然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最 值点。
y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) 3 【解析】由 0 ? x ? 2? ? ?

?

?
3



? x?

?
3

?

? 5? ?2 ? 2sin( x ? ) ? 2 3 3 可知

当且仅当

x?

?
3

?

5? 3? 11? ? ? x? x? x? ? 6 取得最大值。 2 即 6 时取得最小值, 3 2 时即

? ? 3:(2012 课标全国Ⅱ ,理 9)已知 w>0,函数 f ( x) ? sin(?x ? ) 在 ( , ? ) 单调递 2 4
减,则 ? 的取值范围是(A)
1 5 (A) [ , ] 2 4 1 3 (B) [ , ] 2 4 1 (C) ( 0, ] 2

(D) (0,2]

4:(2013 课标全国Ⅰ ,理 15)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值, 则 cos θ=___ ?
2 5 _______. 5

解析:f(x)=sin x-2cos x

2 ? 1 ? = 5? sin x ? cos x ? , 5 ? 5 ?
令 cos α=
1 2 ,sin α= ? , 5 5

则 f(x)= 5 sin(α+x), 当 x=2kπ+
π -α(k∈ Z)时,sin(α+x)有最大值 1,f(x)有最大值 5 , 2

16

即 θ=2kπ+

π -α(k∈ Z), 2

π 2 2 5 ? ? ?π ? 所以 cos θ= cos ? 2kπ+ ? ? ? = cos ? ? ? ? =sin α= ? . ?? 2 5 5 ? ? ?2 ?

π? 1 ? 5: (2013 课标全国Ⅱ , 理 15)设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ? ? ? ,则 sin θ+cos 4? 2 ?

θ=__________.

15.答案: ?

10 5

1 1 π ? 1 ? tan ? 1 ? 解析:由 tan ? ? ? ? ? ? ,得 tan θ= ? ,即 sin θ= ? cos θ. 3 3 4 ? 1 ? tan ? 2 ?

将其代入 sin2θ+cos2θ=1,得

10 cos 2? ? 1 . 9

因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ= ?

10 10 3 10 ,sin θ= ,sin θ+cos θ= ? . 5 10 10

? 1 ? sin ? ? 6: (2014 课标全国Ⅰ ,理 8)设 ? ? (0, ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则( C 2 2 cos ?
)

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

7:(2014 课标全国Ⅰ ,理 16)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,

a =2,且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

2

.

8:(2014 课标全国Ⅱ ,理 4)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 2 AC=( B ) A. 5 B.
5

C. 2

D. 1

9.(2014 课标全国Ⅱ ,理 14)函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为 _____1____. 考点八:向量
17

1: (2012课标全国Ⅰ ,理6) ?ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若

CB ? a, CA ? b, a ? b ? 0,| a |? 1,| b |? 2 ,则 AD ? (D)
1 1 a? b 3 A. 3 2 2 a? b 3 B. 3 3 3 a? b 5 C. 5 4 4 a? b 5 D. 5

答案D 【命题意图】 本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直 角三角形求解点D的位置的运用。 【解析】由 a ? b ? 0 可得 ?ACB ? 90? ,故 AB ? 5 ,用等面积法求得
AD ?
4 4 4 4 4 5 AD ? AB ? (CB ? CA) ? a ? b 5 5 5 5 ,故选答案D 5 ,故

CD ?

2 5 5 ,

所以

2: (2012 课标全国Ⅱ ,理 13)已知向量 a , b 夹角为 45° ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 , 则 b =______ 3 2 ______.

3:(2013 课标全国Ⅰ , 理 13)已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60° , c=ta+(1-t)b. 若 b· c=0,则 t=_____2_____. 解析:∵ c=ta+(1-t)b, ∴ b· c=ta· b+(1-t)|b|2. 又∵ |a|=|b|=1,且 a 与 b 夹角为 60° ,b⊥ c, ∴ 0=t|a||b|cos 60° +(1-t),
1 0= t +1-t. 2

∴ t=2. 4:(2013 课标全国Ⅱ ,理 13)已知正方形 ABCD 的边长 为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =____2______.

解析:以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴

18

建立平面直角坐标系,如图所示,则点 A 的坐标为(0,0),点 B 的坐标为(2,0), 点 D 的坐标为(0,2),点 E 的坐标为(1,2),则 AE =(1,2), BD =(-2,2),所以
AE ? BD ? 2 .
1 5:(2014 课标全国Ⅰ , 理 15)已知 A, B, C 是圆 O 上的三点, 若 AO ? ( AB ? AC ) , 2

则 AB 与 AC 的夹角为

90°

. A)

6: (2014 课标全国Ⅱ ,理 3)设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

考点九:线性规划

?x ? y ?1 ? 0 ? ? ?x ? y ? 3 ? 0 ? x , y ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ?y 的最 1.(2012课标全国Ⅰ ,理13)若 满足约束条件 ?

小值为

?1



? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 ? 2: (2012 课标全国Ⅱ ,理 14)设 x,y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的取 x ? 0 ? ? ?y ? 0
值范围为_____[-3,3]_____.
? x ? 1, ? 3:(2013 课标全国Ⅱ ,理 9)已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 若 z=2x ? y ? a? x ? 3?. ?

+y 的最小值为 1,则 a=( B ).
1 A. 4 1 B. 2

C .1

D.2

19

? x ? 1, 解析:由题意作出 ? 所表示的区域如图 ?x ? y ? 3
阴影部分所示,

作直线 2x+y=1,因为直线 2x+y=1 与直线 x=1 的交点坐标为(1,-1),结合 题意知直线 y=a(x-3)过点(1,-1),代入得 a ?
1 1 ,所以 a ? . 2 2

?x ? y ? 1 4: (2014 课标全国 1, 理 9)不等式组 ? 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4
( B)
p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , P3 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 3 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .

其中真命题是

A . p2 , p3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , p3

? x ? y ? 7≤0 ? 5 .(2014 课标全国Ⅱ ,理 9)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最 ?3 x ? y ? 5≥0 ?

大值为( B ) A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

考点十:排列组合,概率统计 1.(2012课标全国Ⅰ ,理11)将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列,要求每行的字母互 不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种

【命题意图】本试题考查了排列组合的用用。 【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数 为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有 3 ? 2 ? 2 ? 12

20

2、 (2012 课标全国Ⅱ ,理 2)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到 甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组有 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安 排方案共有(A) (A)12 种 (B)10 种 (C)9 种 (D)8 种

3、 (2012 课标全国Ⅱ ,理 15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元 件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作。设三个电子元件 的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1000, 502 ) ,且各个元件能否正 常 工 作 互 相 独 立 , 那 么 该 部 件 的 使 用 寿 命 超 过 1000 小 时 的 概 率 为
3 __________ _______. 8

元件 1 元件 3 元件 2

4. (2013 课标全国Ⅰ ,理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区 的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三 个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样 方法中,最合理的抽样方法是( C ). A.简单随机抽样 C.按学段分层抽样 答案:C B.按性别分层抽样 D.系统抽样

5.(2013 课标全国Ⅱ ,理 14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数, 若取出的两数之和等于 5 的概率为
1 ,则 n=____8______. 14

解析: 从 1,2, …, n 中任取两个不同的数共有 C2 两数之和为 5 的有(1,4), n 种取法, (2,3)2 种,所以
2 1 2 4 1 ? ,即 ? ? ,解得 n=8. 2 n? n ? 1? n? n ? 1? 14 Cn 14 2

21

6 .(2014 课标全国Ⅰ ,理 5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益 活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率(D)
7 1 3 5 C. B. D. 8 8 8 8 7.(2014 课标全国Ⅰ ,理 14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个

A.

城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 市; 丙说:我们三人去过同一个城市 . A . 由此可判断乙去过的城市为 乙说:我没去过 C 城

8. (2014 课标全国Ⅱ ,理 5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优 良的概率是 0.75,连续两为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则 随后一天的空气质量为优良的概率是( A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 A ) D. 0.45

考点十一:圆锥曲线
1:(2012课标全国Ⅰ ,理3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为 x ? ?4 ,则 该椭圆的方程为(C)
x2 y 2 ? ?1 A. 16 12 x2 y 2 ? ?1 B. 16 8 x2 y 2 ? ?1 4 C. 8 x2 y 2 ? ?1 D. 12 4

【命题意图】 本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定 焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数 a, b, c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为 2c ? 4 ? c ? 2 ,由一条准线方程为 x ? ?4 可得该椭圆的焦点在 x 轴
a2 ? 4 ? a 2 ? 4c ? 8 2 2 2 上 c ,所以 b ? a ? c ? 8 ? 4 ? 4 。故选答案C

2 2 2.(2012课标全国Ⅰ ,理8)已知 F1 , F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左右焦点,点 P 在

C 上, | PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1PF2 ? (

C )

22

1 A. 4

3 B. 5

3 C. 4

4 D. 5

【命题意图】 本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定 理的运用。 首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求 解即可。 【解析】解:由题意可知, a ? 2 ? b,?c ? 2 ,设 | PF1 |? 2 x,| PF2 |? x ,则

| PF1 | ? | PF2 |? x ? 2a ? 2 2 ,故 | PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2 , F1F2 ? 4 ,利用余弦定理
PF12 ? PF22 ? F1F22 (4 2)2 ? (2 2)2 ? 42 3 cos ?F1PF2 ? ? ? 2PF1 ? PF2 4。 2? 2 2 ? 4 2 可得

3、(2012 课标全国Ⅱ ,理 4)设 F1,F2 是椭圆 E: 焦点 ,P 为直线 x ? 离心率为(C) (A)

x y + 2 =1 (a>b>0)的左、右 2 a b

2

2

2a 上的一点, △F2 PF 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的 1 3

1 2

(B)

2 3

(C)

3 4

(D)

4 5

4、(2012 课标全国Ⅱ ,理 8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛 物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A , B 两点, AB ? 4 3 ,则 C 的实轴长为( C ) (A) 2 (B) 2 2 (C) 4 (D)8

x2 y2 5 5. (2013 课标全国Ⅰ , 理 4)已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 (a>0, b>0)的离心率为 , a b 2

则 C 的渐近线方程为(
1 x A.y= 4 ?

).
1 ? x B.y= 3 1 x C.y= 2 ?

D.y=± x

c2 a 2 ? b2 5 c 5 2 ? . 解析:∵e ? ? ,∴e ? 2 ? a a2 4 a 2

23

b 1 ∴ a2=4b2, = ? . a 2

∴ 渐近线方程为 y ? ?

b 1 x ? x. a 2

x2 y 2 6. (2013 课标全国Ⅰ , 理 10)已知椭圆 E: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0), a b

过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 ( D ).
x2 y2 ? =1 A. 45 36 x2 y2 ? =1 B.36 27 x2 y 2 ? =1 C.27 18 x2 y 2 ? =1 D.18 9

答案:D 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),∵ A,B 在椭圆上,
? x12 y12 ? ? 1, ① ? ? a 2 b2 ∴? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1, ② ? ? a 2 b2

① -② ,得
? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? =0 , a2 b2



? y ? y ?? y ? y ? b2 =? 1 2 1 2 , 2 a ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?

∵ AB 的中点为(1,-1),∴ y1+y2=-2,x1+x2=2, 而
0 ? ??1? 1 b2 1 y1 ? y2 = ,∴ 2 = . =kAB= 3 ?1 2 a 2 x1 ? x2

又∵ a2-b2=9,∴ a2=18,b2=9.
x2 y 2 ∴ 椭圆 E 的方程为 ? =1 .故选 D. 18 9

7.(2013 课标全国Ⅱ ,理 11)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( C A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x ).

24

C.y2=4x 或 y2=16x

D.y2=2x 或 y2=16x
p =5,则 x0 2

解析:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+ =5-
p . 2

p? ?p ? ? 又点 F 的坐标为 ? , 0 ? ,所以以 MF 为直径的圆的方程为(x-x0) ? x ? ? +(y- 2? ?2 ? ?

y0)y=0. 将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0,即
y0 2 -4y0+8=0,所以 y0=4. 2

p? ? 由 y0 2 =2px0,得 16 ? 2 p ? 5 ? ? ,解之得 p=2,或 p=8. 2? ?

所以 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.故选 C.

8: (2014 课标全国Ⅰ ,理 4)已知 F 是双曲线 C : x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦 点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为(A)

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m

9:(2014 课标全国Ⅰ ,理 10)已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l ,P 是
l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个焦点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =

(B)

A.

7 2

B.

5 2

C .3

D .2

10. (2014 课标全国Ⅱ ,理 10)设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△ OAB 的面积为( D ) A.
3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9 4

11.(2014 课标全国Ⅱ ,理 16)设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N, 使得∠ OMN=45° ,则 x0 的取值范围是_[-1,1]__.

25

考点十二:导数
3 1. (2012课标全国Ⅰ , 理10)已知函数 y ? x ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,

则c ?( A ) A. ?2 或2 B . ? 9 或3 C. ?1或1 D . ? 3 或1

【命题意图】 本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数 图像与 x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可。 【解析】因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得
2 极大值或者极小值为零即可满足要求。而 f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x?)( x ? 1) ,当 x ? ?1

时取得极值 由 f (1) ? 0 或 f (?1) ? 0 可得 c ? 2 ? 0 或 c ? 2 ? 0 ,即 c ? ?2 。

2 (2012 课标全国Ⅱ , 理 12)设点 P 在曲线 y ? 则|PQ|的最小值为( B) (A) 1? ln 2 (B) 2 (1 ? ln 2)

1 x e 上, 点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上, 2

(C) 1? ln 2

(D) 2 (1 ? ln 2)

3.(2013 课标全国Ⅰ ,理 16)若函数 f ?x? ? 1 ? x 2 x 2 ? ax ? b 的图像关于直线 x= -2 对称,则 f(x)的最大值为____16

?

??

?

答案:解析:∵ 函数 f(x)的图像关于直线 x=-2 对称, ∴ f(x)满足 f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),

?b ? ?15?16 ? 4a ? b?, 即? ?0 ? ?8?9 ? 3a ? b?, ?a ? 8, 解得 ? ?b ? 15.
∴ f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15. 由 f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=0, 得 x1=-2- 5 ,x2=-2,x3=-2+ 5 . 易知,f(x)在(-∞,-2- 5 )上为增函数,在(-2- 5 ,-2)上为减函数,在(-
26

2,-2+ 5 )上为增函数,在(-2+ 5 ,+∞)上为减函数. ∴ f(-2- 5 )=[1-(-2- 5 )2][(-2- 5 )2+8(-2- 5 )+15] =(-8- 4 5 )(8- 4 5 ) =80-64=16. f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8× (-2)+15] =-3(4-16+15) =-9. f(-2+ 5 )=[1-(-2+ 5 )2][(-2+ 5 )2+8(-2+ 5 )+15] =(-8+ 4 5 )(8+ 4 5 ) =80-64=16. 故 f(x)的最大值为 16.

4.(2013 课标全国Ⅱ ,理 10)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的 是( ). A. ? x0∈ R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 10. 答案:C 解析: ∵ x0 是 f(x)的极小值点, 则 y=f(x)的图像大致如下图所示, 则在(-∞,x0)上不单调,故 C 不正确.

5. (2014 课标全国Ⅰ ,理 11)已知函数 f ( x) = ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零 点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为(C)

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

6 (2014 课标全国Ⅱ , 理 8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 则
27

a= ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

考点十三:比较大小
2 1..(2012课标全国Ⅰ ,理9)已知 x ? ln ? , y ? log5 2, z ? e ,则 ( D ) ? 1

A.x ? y ? z

B.z ? x ? y

C. z ? y ? x

D. y ? z ? x

【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小 比较方法。
log 5 2 ? log 5 【解析】ln ? ? ln e ? 1 ,
1 1 z ? e? 2 ? 1 ? 1 ? 1 5? e 4 2, 2, 故选答案D。

2.(2013 课标全国Ⅱ ,理 8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a 答案:D 解析:根据公式变形, a ? B.b>c>a C.a>c>b

).

D.a>b>c

lg 6 lg 2 lg10 lg 2 lg14 lg 2 ? 1? ? 1? ? 1? ,b ? ,c ? , lg 3 lg 3 lg 5 lg 5 lg 7 lg 7 lg 2 lg 2 lg 2 ? ? ,即 c<b<a.故选 D. lg 7 lg 5 lg 3

因为 lg 7>lg 5>lg 3,所以

考点十四:函数性质,函数图象 1、(2012 课标全国Ⅱ ,理 10)已知函数 f ( x) ? 致为( B )
y y

1 ,则 y ? f ( x) 的图像大 ln(x ? 1) ? x

1 O 1
(A)

x
(B)

1 O 1

x

y

y

1 O 1
(C)

x
(D)
28

1 O 1

x

?? x 2 ? 2 x,x ? 0, 2.(2013 课标全国Ⅰ ,理 11)已知函数 f(x)= ? 若|f(x)|≥ax,则 a 的 ?ln( x ? 1),x ? 0.
取值范围是( D ). A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

解析:由 y=|f(x)|的图象知:

① 当 x>0 时,y=ax 只有 a≤0 时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除 B,C. ② 当 x≤0 时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x. 故由|f(x)|≥ax 得 x2-2x≥ax. 当 x=0 时,不等式为 0≥0 成立. 当 x<0 时,不等式等价于 x-2≤a. ∵ x-2<-2,∴ a≥-2. 3.(2013 课标全国Ⅱ ,理 12)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a >0)将△ ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( B ).
? 2 1? 1 ? , ? ? ? 2 2? ? ? B. ? 2 1? 1 ? , ? ? ? 2 3? ? C.

A. (0,1)

?1 1 ? , ? ? ?3 2 ? D.

4.(2014 课标全国Ⅰ , 理 3)设函数 f ( x) ,g ( x) 的定义域都为 R, 且 f ( x) 时奇函数,
g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是(C)

A . f ( x) g ( x) 是偶函数
C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数

D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

5.(2014 课标全国Ⅰ ,理 6)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定 点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP , 过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离 表示为

29

x 的函数 f ( x) ,则 y = f ( x) 在[0, ? ]上的图像大致为( C )

6 .(2014 课标全国Ⅱ , 理 12)设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 m
2 x0 2 ? ? ? f ? x0 ?? ? ? m ,则 m 的取值范围是( C ) 2

A. C.

? ??, ?6? ? ? 6, ?? ? ??, ?2? ? ? 2, ??

B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ??

7. (2014 课标全国Ⅱ ,理 15)已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若

f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__(-1,3)________.

考点十五:立体几何

1. (2012课标全国Ⅰ , 理4)已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? 2, CC1 ? 2 2, E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为( D ) A.2 答案D 【命题意图】 本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求 解。体现了转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距 离即可。 【解析】因为底面的边长为2,高为 2 2 ,且连接 AC , BD ,得到交点为 O ,连接
EO , EO / / AC1 ,则点 C1 到平面 BDE 的距离等于 C 到平面 BDE 的距离,过点 C

B.

3

C. 2

D.1

作 CH ? OE ,则 CH 即为所求,在三角形 OCE 中,利用等面积法,可得 CH ? 1, 故选答案D。 2. (2012课标全国Ⅰ ,理12)正方形 ABCD 的边长为1,点 E 在边 AB 上,点 F 在
30

边 BC 上,

AE ? BF ?

3 7 ,动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的

边时反弹,反弹时反射角等于入射角。当点 P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的 边碰撞的次数为( B ) A.16 B.14 C.12 D.10

3.(2012课标全国Ⅰ ,理16)三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,

?BAA1 ? ?CAA1 ? 60? , 则 异 面 直 线 AB1 与 BC1 所 成 角 的 余 弦 值 为

6 答案 6

【命题意图】 本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解。用空间向量进行求解 即可。 【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有 AB1 ? AB ? AA1, BC1 ? AC ? AA1 ? AB , 则
| AB1 |2 ? ( AB ? AA1 ) 2 ? AB ? 2 AB ? AA1 ? AA1 ? 2 ? 2 cos 60? ? 3
2 2 2 2 2

| BC1 |2 ? ( AC ? AA1 ? AB) 2 ? AC ? AA1 ? AB ? 2 AC ? AA1 ? 2 AC ? AB ? 2 AA1 ? AB ? 2
1 ) ? ( AC ? AA 1 ? AB) 而 AB1 ? BC1 ? ( AB ? AA

? AB ? AC ? AB ? AA1 ? AB ? AB ? AA1 ? AC ? AA1 ? AA1 ? AA1 ? AB ? 1 1 1 1 ? ?1? ?1? ? 1 2 2 2 2
AB1 ? BC1 ? | AB1 || BC1 | 1 6 ? 6 2? 3

? cos ? AB1 , BC1 ??

4、(2012 课标全国Ⅱ ,理 11)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为 O 的直径, 且 SC=2, 则此棱锥的体积为( B ) (A)
2 6

(B)

3 6

(C)

2 3

(D)

2 2

5.(2013 课标全国Ⅰ ,理 6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正

31

方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好 接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( A ).

500 π A. 3 cm3 1372 π C. 3 cm3

866 π B. 3 cm3 2048 π D. 3 cm3

解析:设球半径为 R,由题可知 R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形, 即△ OBA 为直角三角形,如图.

BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R, 由 R2=(R-2)2+42,得 R=5,
4 500 π (cm3),故选 A. 所以球的体积为 π53 ? 3 3

6.(2013 课标全国Ⅱ ,理 4)已知 m,n 为异面直线,m⊥ 平面 α,n⊥ 平面 β.直线 l 满足 l⊥ m,l⊥ n,l A.α∥ β 且 l∥ α C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l 答案:D 解析:因为 m⊥ α,l⊥ m,l α,所以 l∥ α.同理可得 l∥ β. α,l β,则( D ). B.α⊥ β 且 l⊥ β D.α 与 β 相交,且交线平行于 l

又因为 m,n 为异面直线,所以 α 与 β 相交,且 l 平行于它们的交线.故选 D.

7.(2014 课标全国Ⅱ ,理 11)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ BCA=90° ,M,N 分别 是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( C ) A. 1 10 B. 2 5 C.
30 10

D.

2 2

解答题考点分析
32

考点一:三角函数 1. (2012课标全国Ⅰ ,理17)(本小题满分10分)
C 的对边分别为 a 、 b、 ?ABC 的内角 A 、B 、 c, 已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1, a ? 2c ,

求C 。 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关 系,一个角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好。 【解析】由 A ? B ? C ? ? ? B ? ? ? ( A ? C ) , 由正弦定理及 a ? 2c 可得 sin A ? 2sin C 所以 cos( A ? C ) ? cos B ? cos( A ? C ) ? cos(? ? ( A ? C )) ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C )
? cos A cos C ? sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C
2 故由 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 与 sin A ? 2sin C 可得 2sin A sin C ? 1 ? 4sin C ? 1

而 C 为三角形的内角且 a ? 2c ? c ,故

0?C ?

?
2 ,所以

sin C ?

? 1 C? 6。 2 ,故

2、(2012 课标全国Ⅱ ,理 17)(本小题满分 12 分)已知 a,b,c 分别为△ ABC 的 三个内角 A,B,C 的对边, a cosC ? (Ⅰ )求 A; (Ⅱ )若 a ? 2 , △ ABC 的面积为 3 ,求 b , c 。

3a sin C ? b ? c ? 0 。

、 (1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C

?sin A co Cs ? ? 3 sin A?

3s Ai n C ? sin co A? s ?1
? 6 0

? a s i? C n(

C ) sin

1 s A ? i n (? ? 3 0 ) 2

? ? A?3 0 ? 3?0? A ?

33

1 (2) S ? bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bc co s A ? b ? c ?4
b?c?2

3.(2013 课标全国Ⅰ ,理 17)(本小题满分 12 分)如图,在△ ABC 中, ∠ ABC=90° , AB= 3 , BC=1,P 为△ ABC 内一点,∠ BPC =90° . (1)若 PB=
1 ,求 PA; 2

(2)若∠ APB=150° ,求 tan∠ PBA.

解:(1)由已知得∠ PBC=60° ,所以∠ PBA=30° .
1 1 7 在△ PBA 中,由余弦定理得 PA2= 3 ? ? 2 ? 3 ? cos 30? ? . 4 2 4

故 PA=

7 . 2

(2)设∠ PBA=α,由已知得 PB=sin α. 在△ PBA 中,由正弦定理得 化简得 3 cos α=4sin α. 所以 tan α=
3 3 ,即 tan∠ PBA= . 4 4

3 sin ? , ? sin150? sin(30? ? ? )

4.(2013 课标全国Ⅱ ,理 17)(本小题满分 12 分)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.

解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.①
34

又 A=π-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由① ,② 和 C∈ (0,π)得 sin B=cos B, 又 B∈ (0,π),所以 B ? (2)△ ABC 的面积 S ?
π . 4

1 2 ac sin B ? ac . 2 4
π . 4

由已知及余弦定理得 4=a2+c2- 2ac cos 又 a2+c2≥2ac,故 ac ?

4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2? 2

因此△ ABC 面积的最大值为 2+1 .

考点二:数列
1. (2014 课标全国Ⅰ ,理 17)(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,
a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数.

(I)证明: an?2 ? an ? ? ; (Ⅱ )是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

【解析】 :(Ⅰ )由题设 an an ?1 ? ? S n ? 1 , an ?1an ? 2 ? ? S n ?1 ? 1 ,两式相减

an ?1 ? an ? 2 ? an ? ? ? an ?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an ? 2 ? an ? ?

…………6 分

(Ⅱ )由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ? 1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ )知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an ? 2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2 m ?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2 m ?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?
n ?1 ,∴an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2
35

数列偶数项构成的数列 ?a2 m ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2 m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?
n ,∴an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2

∴an ? 2n ? 1 ( n ? N * ) , an ?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列. 分 ………12

2. (2014 课标全国Ⅱ ,理 17)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1. (Ⅰ )证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; 2 (Ⅱ )证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 . a1 a2 an 2 (17)解:
1 1 ? 3(am ? ). 2 2 1 3 1 3 又 a1 ? ? ,所以,{ am ? } 是首项为 ,公比为 3 的等比数列。 2 2 2 2

?

?

(1)由 am?1 ? 3am ? 1 得 am ?1 ?

am ?

1 3 3m ? 1 = ,因此{ an }的通项公式为 am = 2 2 2 2 1 = m am 3 ? 1

m

(2)由(1)知

因为当 n ? 1 时, 3m ? 1 ? 2 ? 3m?1 , 所以, 于是,
1 1 ? ? a1 a2
1 1 ? ? a1 a2

1 1 ? 3 ? 1 2 ? 3m ?1
m

?

1 1 ? 1? ? am 3
1 3 ? am 2

?

1 3
m ?1

3 1 3 = (1 ? m ) ? 2 3 2

所以,

?

考点三:立体几何
1.(2012课标全国Ⅰ ,理18)(本小题满分12分) (注意:在试题卷上作答无效)
36

P

PA ? 底面 ABCD , 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,
AC ? 2 2 , PA ? 2, E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC 。
(1)证明: PC ? 平面 BED ;
E B C A D

(2) 设二面角 A ? PB ? C 为 90 ? , 求 PD 与平面 PBC 所 大小。

成角的

【命题意图】 本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求 解的运用。 从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度, 并加 以证明和求解。 解:设 AC
BD ? O ,以 O 为原点, OC 为 x 轴, OD 为 y 轴建立空间直角坐标系,

则 A(? 2, 0, 0), C ( 2, 0, 0), P( ? 2, 0, 2), 设 B(0, ?a, 0), D(0, a, 0), E ( x, y, z ) 。
E( 2 2 2 2 , 0, ) BE ? ( , a, ) 3 3 , 所以 PC ? (2 2, 0, ?2) , 3 3 ,
2 2 , a, ) ? 0 3 3 ,

(Ⅰ ) 证明: 由 PE ? 2 EC 得
BD ? (0, 2a, 0) ,所以

PC ?BE ? (2 2, 0, ?2) ? (

PC ? BD ? (2 2, 0, ?2) ? (0, 2a, 0) ? 0 。所以 PC ? BE , PC ? BD ,所以 PC ? 平面

BED ;
(Ⅱ ) 设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,又 AP ? (0, 0, 2), AB ? ( 2, ?a, 0) ,由
n ? AP ? 0, n ? AB ? 0 得

n ? (1,

2 , 0) a ,设平面 PBC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,又 m ? (1, ? 2 , 2) a ,

BC ? ( 2, a, 0), CP ? (?2 2, 0, 2) ,由 m ? BC ? 0, m ? CP ? 0 ,得

由于二面角 A ? PB ? C 为 90 ,所以 m ? n ? 0 ,解得 a ? 2 。 所以 PD ? ( 2, 2, ?2) , 平面 PBC 的法向量为 m ? (1, ?1, 2) , 所以 PD 与平面
37

| PD ? m | 1 ? ? 2 | PD | ? | m | PBC 所成角的正弦值为 ,所以 PD 与平面 PBC 所成角为 6 .

2、(2014 课标全国Ⅱ ,理 19)(本小题满分 12 分) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , AC ? BC ?
DC1 ? BD 。
1 AA1 , D 是 棱 AA1 的 中 点 , 2 C1 B1

(1) 证明: DC1 ? BC ; (2) 求二面角 1 A1 ? BD ? C 的大小。

A1

D

(1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45? 同理: ?A1DC1 ? 45? ? ?CDC1 ? 90?

C
A

B

得: DC1 ? DC, DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

A1 C1? B1 C1 ? C1 O ? O H? B D ? 1C H ?

,面 A 1BD ? C1O ? 面 A 1BD 1B 1C1 ? 面 A 1 B 1 A

B得:点 D H 与点 D 重合

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?
2a , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30? 2

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30?

3. (2013 课标全国Ⅰ ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CA=CB,AB=AA1,∠ BAA1=60° .

38

(1)证明:AB⊥ A1C; (2)若平面 ABC⊥ 平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正 弦值.

(1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥ AB. 由于 AB=AA1,∠ BAA1=60° , 故△ AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥ AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥ 平面 OA1C. 又 A1C ? 平面 OA1C,故 AB⊥ A1C. (2)解:由(1)知 OC⊥ AB,OA1⊥ AB. 又平面 ABC⊥ 平面 AA1B1B,交线为 AB, 所以 OC⊥ 平面 AA1B1B, 故 OA,OA1,OC 两两相互垂直. 以 O 为坐标原点, OA 的方向为 x 轴的正方向,| OA |为单位长,建立如图所示的 空间直角坐标系 O-xyz.

由题设知 A(1,0,0),A1(0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0). 则 BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA1 =(-1, 3 ,0), A1C =(0, ? 3 , 3 ). 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量,
? ?n ? BC ? 0, ? ? x ? 3z ? 0, 则? 即? 可取 n=( 3 ,1,-1). n ? BB ? 0, ? x ? 3 y ? 0. ? ? ? 1 ?

故 cos〈n, A1C 〉=

n ? A1C n A1C

=?

10 . 5

所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 . 5

4. (2013 课标全国Ⅱ ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱

39

ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥ 平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

2 AB . 2

18. 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥ DF. 因为 DF? 平面 A1CD,BC1 所以 BC1∥ 平面 A1CD. (2)由 AC=CB=
2 AB 得,AC⊥ BC. 2

平面 A1CD,

以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C -xyz.

设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), CD =(1,1,0), CE =(0,2,1), CA1 = (2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,
? ?n ? CD ? 0, ? x1 ? y1 ? 0, 则? 即? ? ?n ? CA1 ? 0, ?2 x1 ? 2 z1 ? 0.

可取 n=(1,-1,-1). 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,
? ? m ? CE ? 0, 则? 可取 m=(2,1,-2). ? ? m ? CA1 ? 0,

从而 cos〈n,m〉=

n· m 3 , ? | n || m | 3

故 sin〈n,m〉=

6 . 3
6 . 3

即二面角 D-A1C-E 的正弦值为

40

4. (2014 课标全国Ⅰ , 理 19) (本小题满分 12 分) 如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (I)证明: AC ? AB1 ;
o (Ⅱ)若 AC ? AB 1 , ?CBB 1 ? 60 , AB=Bc ,

求二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值.

. 【解析】 :(Ⅰ )连结 BC1 ,交 B1C 于 O,连结 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以

B1C ? BC1 ,且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO ,
故 B1C ? AO 又 B1O ? CO ,故 AC ? AB1 ………6 分 (Ⅱ )因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 以 ?BOA ? ?BOC 故 OA⊥ ,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直. 又因为 ,所

以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单 位长,建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为 所以 ?CBB1 为等边三角形. 又 AB=B ?CBB1 ? 600 , 则
? ? ? 3? 3 ? 3 ? B 1, 0, 0 ? , B1 ? 0, A? ? 0, 0, 3 ? ?, ? ? 3 ,0? ? ,C ? ? 0, ? 3 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3? 3? 3 ? , AB1 ? ? 0, , ? A B ? AB ? 1, 0, ? , B C ? BC ? ? 1, ? ,0? ? ? ? ? 1 1 1 1 ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ?



设 n ? ? x, y, z ? 是平面的法向量,则

41

? 3 3 y? z?0 ? ? ?n AB1 ? 0 ? 3 3 ,即 ? ? n A B ? 0 ? ?x ? 3 z ? 0 ? 1 1 ? 3 ?

所以可取 n ? 1, 3, 3

?

? ?

? ?m A1 B1 ? 0 设 m 是平面的法向量,则 ? ,同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ? ?n B1C1 ? 0

?

则 cos n, m ?

nm n m

?

1 1 ,所以二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值为 . 7 7

5. (2014 课标全国Ⅱ ,理 18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥ 平面 ABCD,E 为 PD 的中 点. (Ⅰ )证明:PB∥ 平面 AEC; (Ⅱ )设二面角 D-AE-C 为 60° ,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

)解: (1)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点 又 E 为的 PD 的中点,所以 EO PB EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,所以 PB 平面 AEC (2)因为 PA ? 平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直 如图,以 A 为坐标原点, AB 的方向为 x 轴的正方向, AP 为单位长,建立空间

42

直角坐标系,则 A—xyz,则 D(0, 3 ,0),则 E(0, 设 B(m,0,0)(m>0),则 C(m,
3 ,0)

3 1 , ), AE =(0, 2 2

3 1 , ) 2 2

设 n(x,y,z)为平面 ACE 的法向量, 则{
n1 ? AC ? 0 n1 ? AE ? 0

mx ? 3 y ? 0
即{

3 1 y? z ?0 2 2

可取 n1 =(

3 ,-1, m

3)

又 n1 =(1,0,0)为平面 DAE 的法向量,
1 由题设 cos(n1, n2 ) = ,即 2
1 3 3 = ,解得 m= 2 2 2 3 ? 4m

因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E-ACD 的高为 V=
1 1 3 1 3 ? ? 3? ? = 3 2 2 2 8

1 ,三棱锥 E-ACD 的体积为 2

考点四 概率,分布列
1.(2012课标全国Ⅰ ,理19)(本小题满分12分) (注意:在试题卷上作答无效) 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对 方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分。设在甲、乙 的比赛中, 每次发球, 发球方得1分的概率为 0.6 , 各次发球的胜负结果相互独立, 。 甲、乙的一局比赛中,甲先发球。 (1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率; (2) ? 表示开始第4次发球时乙的得分,求 ? 的期望。 【命题意图】 本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值

43

的问题。首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合 独立事件的概率求解结论。 解: 记 Ai 为事件“第i次发球, 甲胜”, i=1,2,3, 则 P( A1 ) ? 0.6, P( A2) ? 0.6, P( A3) ?0.4 。 (Ⅰ ) 事件“开始第 4 次发球时, 甲、 乙的比分为 1比 2 ”为 A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 , 由互斥事件有一个发生的概率加法公式得
P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.352 。

即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1比 2 的概率为0.352 (Ⅱ )由题意 ? ? 0,1, 2,3 。

P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.144 ;
P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 )
? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 =0.408;

P(? ? 2) ? 0.352 ;
P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.096

所以 E? ? 0.408 ? 2 ? 0.352 ? 3 ? 0.096 ? 1.4

2、 (2012 课标全国Ⅱ ,理 18)(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价 格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (Ⅰ )若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需 求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(Ⅱ )花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

44

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (ⅰ )若花店一天购进 16 枝玫瑰花, x 表示当天的利润(单位:元) ,求 x 的分 布列、数学期望及方差; (ⅱ ) 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。

解、 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80

?10n ? 80(n ? 15) 得: y ? ? (n ? N ) (n ? 16) ?80
(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80
P( X ? 6 0 ) ? 0 .P 1, X? ( 7 ?0 ) P 0 .X 2? , ( ? 80) 0.7

X 的分布列为 X
60
0.1

70

80

P

0.2

0.7

EX ? 6 0? 0 .?1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7
2 DX ? 1 6 ? 0 .?1 2? 6 2 ? 0 . 2? 4 ? 0.7

76

44

(ii)购进 17 枝时,当天的利润为
y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ?1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
76.? 4 7 得:应购进 6 17 枝

3.(2013 课标全国Ⅰ ,理 19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验,检 验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过 检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品 通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.

45

假设这批产品的优质品率为 50%, 即取出的每件产品是优质品的概率都为 各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率;

1 , 且 2

(2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批 产品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.

解:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第 二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2, 这批产品通过检验为事件 A, 依题意有 A=(A1B1)∪ (A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) =
4 1 1 1 3 ? ? ? ? . 16 16 16 2 64

(2)X 可能的取值为 400,500,800,并且 P(X=400)= 1 ?
1 1 4 1 11 ? ? ,P(X=500)= ,P(X=800)= . 16 4 16 16 16

所以 X 的分布列为 X P EX= 400 ? 400
11 16

500
1 16

800
1 4

11 1 1 +500 ? +800 ? =506.25. 16 16 4

4.(2013 课标全国Ⅱ ,理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个 销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元. 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经 销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表示下 一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产 品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数;
46

(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需 求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中 点值的概率(例如:若需求量 X∈ [100,110),则 取 X=105,且 X=105 的概率等于需求量落入 [100,110)的频率),求 T 的数学期望.

47

解:(1)当 X∈ [100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当 X∈ [130,150]时,T=500× 130=65 000.

?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, 所以 T ? ? ?65000,130 ? X ? 150.
(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈ [120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T P 45 000 0.1 53 000 0.2 61 000 0.3 65 000 0.4

所以 ET=45 000× 0.1+53 000× 0.2+61 000× 0.3+65 000× 0.4=59 400.

5 .(2014 课标全国Ⅰ ,理 18)(本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (I)求这 500 件产品质量指标值的样本 平均数 x 和样本方差 s 2 (同一组数据用 该区间的中点值作代表) ; (Ⅱ ) 由频率分布直方图可以认为, 这种 产品的质量指标值 Z 服从正态分布

N ( ? ,? 2 ),其中 ? 近似为样本平均数 x , ? 2 近似为样本方差 s 2 .
(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,学科网记 X 表示这 100 件产品中 质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.若 Z ~ N ( ? , ? 2 ) ,则 P(? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826,
P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

48

. 【解析】 :(Ⅰ ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 分别为

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200

s 2 ? ? ?30 ? ? 0.02 ? ? ?20 ? ? 0.09 ? ? ?10 ? ? 0.22 ? 0 ? 0.33
2 2 2

? ?10 ? ? 0.24 ? ? 20 ? ? 0.08 ? ? 30 ? ? 0.02
2 2 2

? 150
分 (Ⅱ ) (ⅰ )由(Ⅰ )知 Z ~ N (200,150) ,从而
P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ? 12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826

…………6

………………9

分 (ⅱ ) 由 (ⅰ ) 知, 一件产品中质量指标值为于区间 (187.8,212.2) 的概率为 0.6826 依题意知 X
B(100, 0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26

………12 分

6 (2014 课标全国Ⅱ ,理 19)((本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 2007 1 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

人均纯收入 y 2.9

(Ⅰ )求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ )利用(Ⅰ )中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人 均纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

49

b?

?

? ?t
i ?1

n

i

?t
i

?? yi ? y ?
?t

? ?t
i ?1

n

?

2

? ? ? y ? bt ,a

解: (1) 由所得数据计算得
1 t = (1+2+3+4+5+6+7)=4, 7 1 y = (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3 7

? (t
i ?1 7

7

1

? t ) 2 =9+4+1+0+1+4+9=28

? (t
i ?1

1

? t )( y1 ? y )

=(-3) ? (-1.4) + (-2) (-1) + (-1) (-0.7) +0 ? 0.1+1 ? 0.5+2 ? 0.9+3 ? 1.6=14, ? ?

b=

? (t
i ?1

7

1

? t )( y1 ? y )

? (t
i ?1

7

=
? t )2

14 =0.5 28

1

a= y -b t =4.3-0.5 ? 4=2.3

所求回归方程为 y =0.5t+2.3 (Ⅱ )由(Ⅰ )知,b=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐 年增加,平均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得 y=0.5× 9+2.3=6.8 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元

考点五 圆锥曲线
1.(2012课标全国Ⅰ ,理21)(本小题满分12分) (注意:在试卷上作答无效)

50

1 M : ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? r 2 (r ? 0) 2 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 有一个公共点 A ,
2

且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l 。 (1)求 r ; (2)设 m 、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m 、n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离。 【命题意图】 本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线 的运用,并在此基础上求解点到直线的距离。
2 2 解: (1)设 A( x0 ,( x0 ?1) ) ,对 y ? x ? (x ? 1) 求导得 y? ? 2( x ? 1) ,故直线 l 的斜率

k ? 2( x0 ? 1) ,当 x0 ? 1 时,不合题意,所心 x0 ? 1
( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1 1 2

1 k? ? M (1, ) 2 圆心为 , MA 的斜率

由 l ? MA 知 kk ? ? ?1 ,即

2( x0 ? 1) ?

( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1

1 2 ? ?1

,解得 x0 ? 0 ,故 A(0,1)

1 5 r ?| MA |? (1 ? 0)2 ? ( ? 1)2 ? 2 2 所以
2 (2)设 (a,(a ? 1) ) 为 C 上一点,则在该点处的切线方程为

y ? (a ? 1)2 ? 2(a ? 1)( x ? a) 即 y ? 2(a ? 1) x ? a2 ? 1
5 若该直线与圆 M 相切,则圆心 M 到该切线的距离为 2 ,即

1 | 2(a ? 1) ?1 ? ? a 2 ? 1| 5 2 ? 2 [2(a ? 1)]2 ? (?1) 2

2 2 ,化简可得 a (a ? 4a ? 6) ? 0

求解可得 a0 ? 0, a1 ? 2 ? 10, a2 ? 2 ? 10
2 抛物线 C 在点 (ai ,(ai ?1) )(i ? 0,1, 2) 处的切线分别为 l , m, n ,其方程分别为

51

2 y ? 2 x ? 1 ① y ? 2(a1 ? 1) x ? a1 ? 1②

y ? 2(a2 ?1) x ? a22 ?1 ③

② -③ 得

x?

a1 ? a2 ?2 2 ,将 x ? 2 代入② 得 y ? ?1 ,故 D(2, ?1)

d?

| 2 ? 2 ? (?1) ? 1| 2 ? (?1)
2 2

?

所以 D 到直线 l 的距离为

6 5 5



【点评】 该试题出题的角度不同于平常, 因为涉及的是两个二次曲线的交点问题, 并且要研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是 该试题的创新处。 另外对于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共 的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。

2、(2012 课标全国Ⅱ ,理 20)(本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l, A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点。 (1) 若∠ BFD=90° , △ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2) 若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 之有一个公共 点,求坐标原点到 m , n 距离的比值。

、 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p
S?ABD ? 4 2 ? 1 ? BD ? d ? 4 2 ? p? 2 2

圆 F 的方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 8
2 p x0 (2)由对称性设 A( x0 , )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

52

3p p ? 3p 2 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 m : y ? 得: A( 3 p, ) ,直线 2 2 2 3p

x2 ? 2 py ? y ?

3p p x2 x 3 3 , ) ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6
3p 3p : ?3。 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

3.(2013 课标全国Ⅰ ,理 20)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N: (x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的 半径最长时,求|AB|.

解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长
x2 y 2 为 3 的椭圆(左顶点除外),其方程为 ? =1 (x≠-2). 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90° ,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90° ,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则
| QP | R ? ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). | QM | r1
53

由 l 与圆 M 相切得
2 . 4

| 3k | 1? k 2

=1 ,

解得 k= ? 当 k=

x2 y 2 2 2 时,将 y ? x ? 2 代入 ? =1 , 4 3 4 4

并整理得 7x2+8x-8=0, 解得 x1,2=
?4 ? 6 2 . 7
18 . 7

所以|AB|= 1 ? k 2 | x2 ? x1 |? 当k ? ?

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4
18 . 7

综上,|AB|= 2 3 或|AB|=

4.(2013 课标全国Ⅱ ,理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:
x2 y2 ? =1 (a>b>0)右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB a 2 b2
1 . 2

的中点,且 OP 的斜率为 (1)求 M 的方程;

(2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥ AB,求四边形 ACBD 面 积的最大值.

解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 则
x12 y12 x2 2 y2 2 y ?y ? =1 ? 2 =1 , 2 1 = ? 1 , , 2 2 2 a b a b x2 ? x1

由此可得

b2 ? x2 ? x1 ? y ?y ? ? 2 1 =1 . 2 a ? y2 ? y1 ? x2 ? x1
y0 1 ? , x0 2
54

因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,

所以 a2=2b2. 又由题意知,M 的右焦点为( 3 ,0),故 a2-b2=3. 因此 a2=6,b2=3. 所以 M 的方程为
x2 y2 ? =1 . 6 3

? x ? y ? 3 ? 0, ? (2)由 ? x 2 y 2 ? 1, ? ? 3 ?6

? 4 3 , ?x ? ? ? x ? 0, ? 3 解得 ? 或? ? y ? 3. ?y ? ? 3 , ? ? 3 ?
因此|AB|=
4 6 . 3

由题意可设直线 CD 的方程为
? 5 3 ? ? ? n ? 3 y= x ? n ? ? ? ?, 3 ? ?

设 C(x3,y3),D(x4,y4).

? y ? x ? n, ? 由 ? x2 y 2 得 3x2+4nx+2n2-6=0. ?1 ? ? 3 ?6
于是 x3,4=

?2n ? 2?9 ? n2 ? . 3

因为直线 CD 的斜率为 1, 所以|CD|= 2 | x4 ? x3 |?
4 9 ? n2 . 3

由已知,四边形 ACBD 的面积 S ?

1 8 6 | CD | ? | AB |? 9 ? n2 . 2 9
8 6 . 3

当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 所以四边形 ACBD 面积的最大值为

8 6 . 3

55

5. (2014 课标全国Ⅰ ,理 20)(本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :
x2 y 2 3 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 是椭圆的焦点, 直线 AF 的斜率为 , 2 a b 3 2
O 为坐标原点.

(I)求 E 的方程; (Ⅱ )设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方 程.

【解析】(Ⅰ ) 设 F ? c, 0 ? ,由条件知

2 2 3 ,得 c ? 3 ? c 3



c 3 , ? a 2

所以

, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,故 E 的方程

x2 ? y2 ? 1. 4

……….6 分

(Ⅱ )依题意当 l ? x 轴不合题意,故设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?

x2 将 y ? kx ? 2 代入 ? y 2 ? 1 ,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 4

8k ? 2 4k 2 ? 3 3 当 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,即 k ? 时, x1,2 ? 1 ? 4k 2 4
2
2

从而 PQ ? k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

4 k 2 ? 1 4k 2 ? 3 1 ? 4k 2
2 k 2 ?1

又 点 O 到 直 线 PQ 的 距 离 d ?

, 所 以 ? OPQ 的 面 积

S ?OPQ

1 4 4k 2 ? 3 ? d PQ ? , 2 1 ? 4k 2
4t 4 ? ? 1, t ?4 t? 4 t
2

设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S ?OPQ ?

当且仅当 t ? 2 , k ? ?

7 时等号成立,且满足 ? ? 0 ,所以当 ? OPQ 的面积最大 2

56

时,l 的方程为: y ?

7 7 x?2 或 y ? ? x?2. 2 2

…………………………12 分

6. (2014 课标全国Ⅱ ,理 20)(本小题满分 12 分)
2 y2 设 F1 , F2 分别是椭圆 C: x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左,右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 a b

x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ )若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率; 4 (Ⅱ )若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b.

(20)解: (Ⅰ )根据 c=错误!未找到引用源。以及题设知 M(c,错误!未找到引用源。 ) , 2 错误!未找到引用源。=3ac 将错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。代入 2 错误!未找到引用源。=3ac,解得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。 ,错误!未找到引用源。=-2(舍去) 故 C 的离心率为错误!未找到引用源。 (Ⅱ )由题意,原点 O 的错误!未找到引用源。的中点,M 错误!未找到引用 源。∥ y 轴,所以直线 M 错误!未找到引用源。与 y 轴的交点 D 是线段 M 错误! 未找到引用源。的中点,故错误!未找到引用源。=4,即 错误!未找到引用源。 ①

由错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 =错 误!未找到引用源。 设 N(x,y) ,由题意可知 y<0,则错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用 源。 代入方程 C,得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 ②

将① 以及 c=错误!未找到引用源。代入② 得到错误!未找到引用源。+错误!未 找到引用源。=1
57

解得 a=7,

错误!未找到引用源。

a=7,错误!未找到引用源。

考点六:导数及其应用
1.(2014课标全国Ⅰ ,理20)(本小题满分12分) (注意:在试题卷上作答无效) 设函数 f ( x) ? ax ? cos x, x ?[0, ? ] 。 (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)设 f ( x) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围。 【命题意图】 本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函 数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问 题的构造函数思想的运用。 解: f ?( x) ? a ? sin x 。 (Ⅰ )因为 x ? [0, ? ] ,所以 0 ? sin x ? 1 。 当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? [0, ? ] 上为单调递增函数; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? [0, ? ] 上为单调递减函数; 当 0 ? a ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 得 sin x ? a , 由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? arcsin a 或 ? ? arcsin a ? x ? ? ; 由 f ?( x) ? 0 得 arcsin a ? x ? ? ? arcsin a 。 所以当 0 ? a ? 1 时 f ( x) 在 [0, arcsin a] 和 [? ? arcsin a, ? ] 上为为单调递增函数; 在 [arcsin a, ? ? arcsin a] 上为单调递减函数。 (Ⅱ )因为 f ( x) ? 1 ? sin x ? ax ? cos x ? 1 ? sin x ? ax ? 1 ? sin x ? cos x 当 x ? 0 时, 0 ? 1 ? sin 0 ? cos 0 ? 0 恒成立
ax ? 1 ? sin x ? cos x ? a ?
58

当 0 ? x ? ? 时,

1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x ? a ?[ ]min x x



g ( x) ?

1 ? sin x ? cos x (0 ? x ? ? ) x ,则

g ?( x) ?

(cos x ? sin x) x ? 1 ? sin x ? cos x (1 ? x) cos x ? ( x ? 1) sin x ? 1 ? x2 x2

又令 c( x) ? (1 ? x) cos x ? ( x ?1)sin x ?1 ,则
c?( x) ? cos x ? (1 ? x)sin x ? sin x ? ( x ?1) cos x ? ? x(sin x ? cos x)
x ? (0, 3? ) 4 时, sin x ? cos x ? 0 ,故 c?( x) ? 0 , c( x) 单调递减

则当



x?(

3? ,? ] 4 时, sin x ? cos x ? 0 ,故 c?( x) ? 0 , c( x) 单调递增 c( 3? ) ? ? 2 ?1 4 ,而
lim c( x) ? c(? ) ? ?(1 ? ? ) ? 1 ? 0 , x ?? ?

所以 c( x) 在 x ? (0, ? ] 时有最小值
x ? 0?

lim c( x) ? (1 ? 0) cos 0 ? (0 ? 1) sin 0 ? 1 ? 0

综上可知 x ? (0, ? ] 时, c( x) ? 0 ? g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在区间 (0, ? ] 单调递
[ g ( x)]min ? g (? ) ? 2

所以

?
a? 2

故所求 a 的取值范围为

?。
f (? ) ? 1 ? a? ? 1 ? 1 ? a ?
2

2

另解:由 f ( x) ? 1 ? sin x 恒成立可得
g ( x) ? sin x ? 2

?



?

x(0 ? x ?

?

2 ,则

)

g ?( x) ? cos x ?

?



2 x ? (0, arcsin )

? 时, g ?( x) ? 0 ,当

x ? (arcsin

2 ? , ) ? 2 时, g ?( x) ? 0

? 2 ? g (0) ? g ( ) ? 0 x ? sin x(0 ? x ? ) 2 2 又 ,所以 g ( x) ? 0 ,即 ?
a? 2

故当

? 时,有

f ( x) ?

2

?

x ? cos x

59

① 当

0? x?

?

2

2 时, ?

x ? sin x

, cos x ? 1 ,所以 f ( x) ? 1 ? sin x
( x ? ) ? sin( x ? ) ? 1 ? sin x ? 2 2 2

?
② 当2

? x ??

时,

f ( x) ?

2

?

x ? cos x ? 1 ?
2

?

?

综上可知故所求 a 的取值范围为

a?

?。

【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有 三角函数,这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做 得比较少。但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间。第二问中,运 用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找 到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。

2 、 (2012 课 标 全 国 Ⅱ, 理 21) ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) 满 足
f ( x) ? f ' (1)e x ?1 ? f (0) x ? 1 2 x 2

(1) 求 f ( x) 的解析式及单调区间; (2) 若 f ( x ) ?
1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2

解、(1) f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? 令 x ? 1 得: f (0) ? 1

1 2 x ? f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x 2

1 2 ?1 ? ( 1x) f ( x)? f e ? ?x ? x f(?0 )? f ? (1 ? 1e ) ? ?1 ? f 2 1 得: f ( x) ? e x ? x ? x 2 ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 1 ? x 2

( 1 )e

x g?( x)? e ? 1 ? 0 ? y ? g( 在 x) x ? R 上单调递增

?, x( ? ) ?0?f f ?( x)? 0? f? ( 0 ? ) x ? 0f

(? 0 )x ?

0

得: f ( x) 的解析式为 f ( x) ? e x ? x ?
60

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) (2) f ( x) ?
1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? e x ? (a ? 1) 2

① 当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾 x? ?? ② 当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0)
令 F ( x) ? x2 ? x2 ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当 x ? e 时, F ( x) max ?
e 2
e 2

当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

3. (2013 课标全国Ⅰ ,理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)= ex(cx+d). 若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2), 且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围.

解:(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c), 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1.

61

令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2. ① 若 1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当 x∈ (-2,x1)时,F′(x)<0;当 x∈ (x1,+∞)时, F′(x)>0.即 F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故 F(x)在[-2,+ ∞)的最小值为 F(x1). 而 F(x1)=2x1+2- x12 -4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. ② 若 k=e2,则 F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2). 从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+∞)单调递增. 而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. ③ 若 k>e2,则 F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0. 从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是[1,e2].

4.(2013 课标全国Ⅱ ,理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex-ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.

解:(1)f′(x)= e x ?

1 . x?m

由 x=0 是 f(x)的极值点得 f′(0)=0,所以 m=1. 于是 f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)= e x ? 函数 f′(x)= e x ?
1 在(-1,+∞)单调递增,且 f′(0)=0. x ?1 1 . x ?1

因此当 x∈ (-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈ (0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)当 m≤2,x∈ (-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时,f(x) >0.

62

当 m=2 时,函数 f′(x)= e x ? 又 f′(-1)<0,f′(0)>0,

1 在(-2,+∞)单调递增. x?2

故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x0∈ (-1,0). 当 x∈ (-2,x0)时,f′(x)<0; 当 x∈ (x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值. 由 f′(x0)=0 得 e x0 = 故 f(x)≥f(x0)=
1 ,ln(x0+2)=-x0, x0 ? 2

? x ? 1?2 1 +x0= 0 >0. x0 ? 2 x0 ? 2

综上,当 m≤2 时,f(x)>0.

be x ?1 5. (2014 课标全国Ⅰ ,理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ? ,曲 x
x

线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . (I)求 a , b ; (Ⅱ )证 明: f ( x) ? 1 .

【解析】(Ⅰ ) 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,
a b b f ?( x) ? ae x ln x ? e x ? 2 e x ?1 ? e x ?1 x x x

由题意可得 f (1) ? 2, f ?(1) ? e ,故 a ? 1, b ? 2 (Ⅱ )由(Ⅰ )知, f ( x) ? e x ln x ?

……………6 分

2e x ?1 2 ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? x ? x e

? 1? 设函数 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? x ? ln x ,所以当 x ? ? 0, ? 时, g ?( x) ? 0 ,当 ? e? ?1 ? x ? ? , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 , e ? ? ? 1? ?1 ? 故 g ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增, ? e? ?e ?

63

1 1 从而 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 的最小值为 g ( ) ? ? . e e

……………8 分 设函数 h( x) ? xe ? x ?
2 ,则 h?( x) ? e ? x ?1 ? x ? ,所以当 x ? ? 0,1? 时, e

h?( x) ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时, h?( x) ? 0 ,

故 h( x) 在 ? 0,1? 单调递增, 在 ?1, ?? ? 单调递减,
1 从而 h( x) g ( x) 在 ? 0, ?? ? 的最小值为 h(1) ? ? . e

综上:当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 .

……12 分

6: (2014 课标全国Ⅱ ,理 21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x (Ⅰ )讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ )设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ )已知 1.4142 ? 2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

解: (Ⅰ )错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-2≥0,等号仅当 x=0 时成立,所以 f(x)在(—∞,+∞)单调递增 (Ⅱ )g(x)=f(2x)-4bf(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。-4b(错 误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(8b-4)x 错误!未找到引用源。(x)=2[错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。]=2(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)(错 误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)

(1) 当 b ? 2 时,g’(x) ? 0,等号仅当 x=0 时成立,所以 g(x)在(- ? ,+ ? )单调递 增,而 g(0)=0,所以对任意 x>0,g(x)>0;
64

(2) 当 b>2 时, 若 x 满足, 2< e x ? e? x <2b-2 即 0<x<ln(b-1+ b2 ? 2b )时 g’(x)<0, 而 g(0)=0,因此当 0<X ? ln(b-1+ b2 ? 2b )时,g(x)<0 综上,b 的最大值为 2 (3) 由(2)知,g(ln 2 )=
3 -2 2 b+2(2b-1)ln2 2

3 8 2 ?3 当 b=2 时,g(ln 2 )= -4 2 +6ln2>0,ln2> >0.6928 2 12

当 b=

3 2 +1 时,ln(b-1+ b2 ? 2b )=ln 2 4
3 -2 2 +(3 2 +2)ln2<0 2

g(ln 2 )= in2<

18 ? 2 <0.693 28

考点七:极坐标与参数方程
1、.(2012 课标全国Ⅱ ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方 程

? x ? 2 cos? 已知曲线 C1 的参数方程式 ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的 y ? 3 sin ? ?
正半轴为极轴建立坐标系, 曲线C2的极坐标方程式 ? ? 2 。 正方形 A B C D 的顶

? 点都在 C2 上,且 A , B , C , D 依逆时针次序排列,点A的极坐标为 (2, ) 。 2
(Ⅰ )求点 A , B , C , D 的直角坐标; (Ⅱ )设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

? 5? 4? 11? ) 解、 (1)点 A, B, C, D 的极坐标为 (2, ), (2, ), (2, ), (2, 3 6 3 6
点 A, B, C, D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1)

65

? x ? 2cos? (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ? 0 (?为参数) ? y0 ? 3sin?
t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40
2 2 2 2

? 5 6 ? 2 0 s2 i ?n ?

[56, 76]

2.(2013 课标全国Ⅰ ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 4 ? 5cos t , 已知曲线 C1 的参数方程为 ? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的 ? y ? 5 ? 5sin t
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

? x ? 4 ? 5cos t , 解:(1)将 ? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, ? y ? 5 ? 5sin t
即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.

? x ? ? cos ? , 将? 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 y ? ? sin ? ?
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, 由? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0
? x ? 1, ? x ? 0, 解得 ? 或? ? y ? 1 ? y ? 2.
π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2, ? , ? 2, ? . 4? ? 2? ?

3.(2013 课标全国Ⅱ ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

66

? x ? 2cos t , 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ? (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t ? y ? 2sin t
=2α(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数, 并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

解:(1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).

? x ? cos ? ? cos 2? , M 的轨迹的参数方程为 ? (α 为参数,0<α<2π). ? y ? sin ? ? sin 2?
(2)M 点到坐标原点的距离
d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0<α<2π).

当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 、

4: (2014 课标全国Ⅰ ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方 程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ )过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大 值与最小值.

? x ? 2 cos ? 【解析】.(Ⅰ ) 曲线 C 的参数方程为: ? ? y ? 3sin ?
直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0

( ? 为参数) , ………5 分

(Ⅱ ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为
d? 5 4 cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5

67

则 | PA |?

d 2 5 4 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 sin 30 5 3 22 5 ; 5

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为 当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

…………10 分

5: (2014 课标全国Ⅱ ,理 23)(本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,

? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ )求 C 的参数方程; (Ⅱ )设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ )中 你得到的参数方程,确定 D 的坐标.

解: (1)C 的普通方程为 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(0 错误!未找到引 用源。) 可得 C 的参数方程错误!未找到引用源。 (t 为参数,0 错误!未找到引用源。

(Ⅱ )设 D(1+cost,sint).由(Ⅰ )知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 I 垂直,所以直线 GD 与 I 的斜率相同。 tant=错误!未找到引用源。 ,t=π/3. 故 D 的直角坐标为(1+cosπ/3,sinπ/3),即(3/2, 错误!未找到引用源。/2)

68


推荐相关:

近三年全国高考理科数学题分类汇编及解答

近三年全国高考理科数学题分类汇编及解答 考点分布表序号 考点一 考点 集合及其运算 考点分布(选择,填空) (2012 新课标全国Ⅰ ,理 2) (2012 新课标全国Ⅱ ,理...


近三年全国文科高考题分类汇编及解答

近三年全国文科高考题分类汇编及解答统计员:廖丽兴 高考数学考点解析考点分布表序号 考点一 考点 集合及其运算 考点分布(选择,填空) (2012 全国大纲,文 1) (2012...


全国高考文科数学历年试题分类汇编

2015 全国高考文科数学历年试题 分类汇编 院、系: 专 数学学院 业: 数学与应用数学 2015 年 10 月 10 日 全国高考文科数学历年试题分类汇编(一)小题分类 1....


2013年全国高考理科数学试题分类汇编——解析几何

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编——解析几何 【直线与圆】一、选择题 1 .(2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一...


全国高考文科数学历年试题分类汇编

全国高考文科数学历年试题分类汇编_数学_高中教育_教育专区。全国高考文科数学历年试题分类汇编(一)小题分类 1.集合 (2015 卷 1)已知集合 A ? {x x ? 3n ?...


2013年全国高考理科数学试题分类汇编——解析几何(打印版)

2013年全国高考理科数学试题分类汇编——解析几何(打印版)_高考_高中教育_教育专区。2013 年全国高考理科数学试题分类汇编——解析几何 【直线与圆】 一、选择题 1...


2014年全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计_有答案

2014年全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计_有答案_高考_高中教育_教育专区。信明叔 2014 年全国高考理科数学试题分类汇编 11:概率与统计一、选择题 1 某...


近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--解析几何(解析版)(大题版)(2011年2012年2013年2014年2015年)

近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--解析几何(解析版)(大题版)(2011年2012年2013年2014年2015年)_高考_高中教育_教育专区。2011(20) (本小题满分 12...


近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--立体几何(解析版)(大题版)(2011年2012年2013年2014年2015年)

近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--立体几何(解析版)(大题版)(2011年2012年2013年2014年2015年)_高考_高中教育_教育专区。2011 (18)(本小题满分 12...


2014年全国高考理科数学试题分类汇编1:集合(有答案)

2014年全国高考理科数学试题分类汇编1:集合(有答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 67份文档 九妖笑话 2014年笑话大全之让你笑个够 儿童笑话大全爆笑...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com