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金太阳高一第一学段(模块)考试高一年级数学试卷


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龙岩一中 2012-2013 学年第一学段(模块)考试

高一数学
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

第Ⅰ卷

(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分

,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 1.设集合 P ? {1, 2,3, 4}, Q ? {x | ?2 ? x ? 2, x ? R} ,则 P A.{1 ,2} 2.函数 y ? B.{3,4} C.{1} )

Q 等于(



D.{-2,-1,0,1,2}

1 3x ? 2
? ?

? lg( 2 x ? 1) 的定义域是(
?1 ? , ? ?? ?2 ?

A. ? , ? ? ?

?2 ?3

B. ?

C. ?

?2 ? , ? ?? ?3 ?

D. ?

?1 2? , ? ?2 3?

3.已知函数 f ( x ) ? ? A. ? 1

?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0.

若 f (a) ?

1 ,则 a ? ( 2
C. ?1 或 2 ) C. b ? c ? a



B. 2

D.1或 ? 2

4.设 a ? log1 2, b ? log 1
3 2

1 1 , c ? ( ) 0.3 ,则( 3 2

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

D. b ? a ? c )

5. 已知函数 f ( x) ? ax ? b 有一个零点为 2,则函数 g ( x) ? bx2 ? ax 的零点是( A.0 B. ?

2 6.已知 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,则实数 a 的值为(

?

?

1 2

C.0和 ?

1 2

D.2 )

?

?

A. 1,2

B. 1,

1 2

C. 0,1,2

D. 0,1, )

1 2

7.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是( A. y ? ?

1 x

B. y ? e

| x|

C. y ? ? x ? 3
2

D. y ? 2 x

8.函数 f ( x) ? ln 3 ? A. (1,2)
第 1 页 共 14 页

2 的零点一定位于区间( x
B. (2,3)

) C. (3,4) D. (4,5)

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f ( x ) ? f (? x ) ? 0 的解 x

9.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 集为( )

A. (?1 , 0) 10.函数 y ?

(1, ? ?) B. (??, ? 1) (0, 1) C. (??, ? 1) (1, ? ?)
)

D. (?1 , 0)

(0, 1)

lg | x | 的图象大致是 ( x

11 . 设 A 、 B 是 两 个 非 空 集 合 , 定 义 A ? B ? {x | x ? A
2

B 且 x? A
) D. [0, 2]

B} , 已 知

A ? {x | y ? 2 x ? x } , B ? {y | y ? 2 , x ? 0},则 A ? B ? (
A. [0,1]

x

(2, ??)

B. [0,1)

(2, ??)

C. [0,1]

12. 已知 F ?x ? ? mf ?x? ? ng?x ? ? x ? 2 对任意 x ? ?0,??? 都有 F ?x ? ? F ?2? ? 8 ,且 f ?x ? 与 g ?x ? 都是奇函数,则在 ?? ?,0? 上 F ?x ? 有( A.最大值 8 B.最小值-8 ) D.最小值-4

C.最大值-10

第Ⅱ卷

(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.求值: 27 ? 2
第 2 页 共 14 页
2 3 log 2 3

? log 2

1 ? __________ 8

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14. 已知集合 A ? ?2, x, y? , B ? 2 x, y 2 ,2 且 x, y ? 0 ,若 A ? B ,则实数 x ? y 的值 15. 函 数 f ?x? ? ax2 ? ?a ? 2b?x ? a ? 1 是 定 义 在 ?? a,0? ? ?0,2a ? 2? 上 的 偶 函 数 , 则

?

?

? a2 ? b2 f? ? 5 ?

? ? ?? ?

x 16.已知集合 P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y= a ? 1 ,a>0,a≠1},如果 P ? Q 有

且只有一个元素,那么实数 m 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x ? 2 ? x ? 7 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 . (Ⅰ)若 m =5,求 ?C R A? ? B ; (Ⅱ)若 B ? ?且A ? B ? A ,求 m 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

?

?

?

?

x . 1? x2

(Ⅰ)证明函数具有奇偶性; (Ⅱ)证明函数在 ?0,1? 上是单调函数; (Ⅲ)求函数在 ?? 1,1?上的最值. 19. (本小题满分 12 分) 我国是水资源比较贫乏的国家之一.目前,某市就节水问题,召开了市民听证会,并对 水价 进行激烈讨论,会后拟定方案如下:以户为单位,按月收缴,水价按照每户每月用水量分三 级管理,第一级为每月用水量不超过 12 吨,每吨 3.5 元;第二级计量范围为超过 12 吨不 超过 18 吨部分,第三级计量范围为超出 18 吨的部分,一、二、三级水价的单价按 1:3:5 计价. (Ⅰ)请写出每月水费 y (元)与用水量 x (吨)之间的函数关系; (Ⅱ)某户居民当月交纳水费为 63 元,该户当月用水多少吨? 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? b ? a (其中 a , b 为常量,且 a ? 0, a ? 1 )的图象经过点 A(1,6) 、
x

B(3,24). (Ⅰ)试确定 f ?x ? 的解析式;

第 3 页 共 14 页

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?1? ?a?
x

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(Ⅱ)若不等式 ? ? ? ? ? ? m ? 0在x ? ?? ?,1?时恒成立,求实数 m 的取值范围.

?1? ?b?

x

21. (本小题满分 12 分) 设函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ( f ( x)) 的定义域交集为 D 。若对任意的 x ? D ,都有

f ( f ( x)) ? x ,则称函数 f ( x) 是集合 M 的元素.
(Ⅰ)判断函数 f ( x) ? ? x ? 1 和 g ( x) ? 2 x ? 1 是否是集合 M 的元素,并说明理由; (Ⅱ)若 f ( x) ?

ax ? M (a, b为常数且a ? 0) ,求 a ? b 的值. x?b

22. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c . (Ⅰ)若 f (?1) ? 0 ,试判断函数 f ( x) 零点的个数; ( Ⅱ ) 若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试证明:存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使

f ( x0 ) ?

1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? 成立. 2

(Ⅲ) 是否存在 a, b, c ? R ,使 f ( x) 同时满足以下条件: ①对任意 x ? R , f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ,且 f ( x) ≥0; ②对任意 x ? R , 0 ? f ( x) ? x ?

1 ( x ? 1) 2 . 2

若存在,求出 a, b, c 的值;若不存在,请说明理由.

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高一数学
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 第 I 卷(选择题 60 分) 友情提示:用 2B 铅笔将选择题填涂到答题卡

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)
的横线上)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分

第 4 页 共 14 页

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.

三、简答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 12 分)

第 5 页 共 14 页

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19. (本小题满分 12 分)

第 6 页 共 14 页

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20. (本小题满分 12 分)

第 7 页 共 14 页

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21. (本小题满分 12 分)

第 8 页 共 14 页

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第 9 页 共 14 页

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22. (本小题满分 14 分)

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高一数学(参考答案)
第Ⅰ卷
(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 D 10 D 11 A 12 D

第Ⅱ卷
3 4

(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.18 14. 15. 3 16. m>1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 CR A ? x x ? ?2或x ? 7 , 又 B ? x 5 ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?1 ? x 6 ? x ? 9 , 所以 ?C R A? ? B = {x | 7 ? x ? 9} ……………6 分 (Ⅱ)由 B ? ?且A ? B ? A 可得 B ? A

?

?

?

? ?

?

?m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 所以 ?? 2 ? m ? 1 , ?2 m ? 1 ? 7 ?
第 11 页 共 14 页

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解得 {m | 2 ? m ? 4} .…………………12 分

18.(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)由题意,对任意设 x ? R 都有

f ( ? x) ?

?x x ?? ? ? f ( x), 2 1 ? ( ? x) 1 ? x2

故 f(x)在 R 上为奇函数;…………4 分 (Ⅱ)任取 x1 , x2 ?[0,1]且x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) , (1 ? x12 )(1 ? x2 2 )

x1, x2 ?[0,1]且x1 ? x2 ,

? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1,1 ? x12 ? 0,1 ? x2 2 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 )
故 f(x)在[0,1]上为增函数;……………………………8 分 (Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)可知 f(x)在[-1,1]上为增函数, 故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f (1) ? 分

1 1 , 最小值为 f (?1) ? ? 。 …………………12 2 2

19. (本小题满分 12 分)

? 3.5 x, 0 ? x ? 12, ? 解析: (Ⅰ) y ? ?10.5 x ? 84,12 ? x ? 18, ? 17.5 x ? 210, x ? 18, ?
分 (Ⅱ)由题意 10.5 x ? 84 ? 63, 解得 x=14,

………………………………6

………………………………11

分 答:该用户当月用水 14 吨.……………………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由题意可得 ? 分

?6 ? b ? a ,解得a ? 2, b ? 3 ,? f ( x) ? 3 ? 2 x ; ……………5 ?24 ? b ? a3

第 12 页 共 14 页

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?1? ?2?
x

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(Ⅱ)由不等式 ? ? ? ? ? ? m ? 0 在x ? ?? ?,1?时恒成立, 可得不等式 m ? ? ? ? ? ? 在x ? ?? ?,1?时恒成立,

?1? ? 3?

x

?1? ?2?

x

?1? ? 3?

x

?1? ?1? 令 g ( x) ? ? ? ? ? ? ,易得 g ( x) 在x ? ?? ?,1?单调递减, ? 2? ? 3?
?? 1 ? x ? 1 ? x ? 5 5? ? ? m ? ?? ? ? ? ? ? ? ,? m ? ? ??, ? ……………12 分 6? ? ? ?? 2 ? ? 3 ? ? ? min 6
21. (本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)因为 f ( f ( x)) ? ?(? x ? 1) ? 1 ? x ,所以 f ( x) ? M ……………3 分 同理 g ( g ( x)) ? 2(2 x ?1) ? 1 ? 4 x ? 3 ,所以 g ( x) ? M ……………6 分 (Ⅱ)因为 f ( x) ?

x

x

ax ? M ,所以 f ( f ( x)) ? x 对定义域内一切 x 恒成立, x?b

ax x ? b ? x ? a 2 x ? ax 2 ? bx 2 ? bx ? (a 2 ? b 2 ) x ? (a ? b) x 2 恒成立 即 ax ?b x?b 所以 a ? b ? 0 ……………12 分 a?
22. (本小题满分 14 分) 解析:(Ⅰ) 由 f (?1) ? 0 可得 a ? b ? c ? 0, 则b ? a ? c ,

? ? b2 ? 4ac ? (a ? c)2 ? 4ac ? (a ? c)2 ,当a ? c时, ? ? 0, 此时函数f ( x)有一个零点,

当a ? c时, ? ? 0, 此时函数f ( x)有两个零点 . …………………3 分
(Ⅱ)

令g ( x) ? f ( x) ?


1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )?, 则g ( x1 ) ? f ( x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 2 2

g ( x2 ) ? f ( x2 ) ?

1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 2 2
1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )?2 ? 0 , 4

? g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? ?

? g ( x) ? 0在( x1 , x2 )内必有一个实根,
第 13 页 共 14 页

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即存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ( x 0 ) ?

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1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? 成立. …………………8 分 2 b ? ?1,即 b ? 2a , (Ⅲ) 假设 a, b, c 存在,由①得函数 f ( x) 的对称轴为 x ? ?1,? ? 2a 1 2 由②知对任意 x ? R ,0 ? f ( x) ? x ? ( x ? 1) ,令 x ? 1, 得0 ? f (1) ? 1 ? 0 ? f (1) ? 1 , 2

?a ? 0 ? a ? b ? c ? 1 ,又 f ( x) ? x ? 0恒成立,? ? , 得 (a ? c) 2 ? 4ac ? 0 , 2 ?(b ? 1) ? 4ac ? 0
即 (a ? c) 2 ? 0,? a ? c ,

?a ? b ? c ? 1 1 1 ? 得a ? c ? , b ? , 由 ?b ? 2a 4 2 ?a ? c ?
当a ? c ?

1 1 1 1 1 1 , b ? 时, f ( x) ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 , 4 2 4 2 4 4 1 1 ( x ? 1) 2 ? 对 ?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ? ( x ? 1) 2 ,满足条件②。 4 2

其顶点为(-1,0)满足条件①, 又 f ( x) ? x ?

∴存在 a, b, c ? R ,使 f ( x ) 同时满足条件①、②.…………………14 分

第 14 页 共 14 页

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