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三、数列求和专项练习高考题(含知识点)


数列的前 n 项和的求法
1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,
特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

n(n ? 1) 2 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) ,12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,

13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ ]. 2 6 2 ?1 2 3 n 例 1、已知 log3 x ? ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 ?1 1 解:由 log3 x ? ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2
由等比数列求和公式得

(利用常用公式) Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n 1 1 (1 ? n ) x (1 ? x n ) 2 2 =1- 1 = = 1 2n 1? x 1? 2

2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公
式法求和.

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a

例 2、 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

将其每一项拆开再重新组合得

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) (分组) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = (分组求和) 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a 3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑 S n ? (1 ?
选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法).

例 3、求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 解:设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? …………. ①
将①式右边反序得

S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? …………..② ? 2 2 又因为 sin x ? cos(90 ? x),sin x ? cos x ? 1
①+②得
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2

(反序) (反序相加)

2S ? (sin 1 ? cos 1 ) ? (sin 2 ? cos 2 ) ? ? ? ? ? (sin 89 ? cos 89? ) =89
∴ S=44.5

4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用 错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 例 4、 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x n ?1 }的通项之积
设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ②

(设制错位)
1

①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ? ∴

(错位相减)

1? x ? (2n ? 1) x n 1? x

n ?1

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2 2 4 6 2n 例 5、求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② (设制错位) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 ∴ 2 5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项 Sn ?
相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 ? 1 ? 1 ;② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2 ? 2 ? ? 2? ? ? ; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ④ ; ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) . ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1 1 1 1 , ,? ? ?, ,? ? ? 的前 n 项和. 例 6、 求数列 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1 1 ? n ?1 ? n 解:设 an ? (裂项) n ? n ?1 1 1 1 ? ? ??? ? 则 Sn ? (裂项求和) 1? 2 2? 3 n ? n ?1 = ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n )
① = n ? 1 ?1

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1 1 2 n n ? ? ??? ? ? 解: ∵ a n ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? (裂项) ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2

例 7、 在数列{an}中, an ?

∴ 数列{bn}的前 n 项和
2

1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] (裂项求和) 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1 6.通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。 例 8 、求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

解:由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ?

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9 1 1 1 2 3 n = (10 ? 10 ? 10 ? ? ? ? ? 10 ) ? (1 ? 1? ?1 ?? ??? ? 1) ? ? ? 9 9 ?? n个1


(分组求和)

1 10(10n ? 1) n ? = ? 9 10 ? 1 9 1 n ?1 = (10 ? 10 ? 9n) 81
7、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这 些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例 9、 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值.

2014 年全国高考数学试题分类汇编(数列) 1.【2014·全国卷Ⅱ(文 5) 】等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和
Sn =
(A) n ? n ? 1? (B) n ? n ?1? (C)

n ? n ? 1? 2

(D)

n ? n ? 1? 2

【答案】A 2.【2014·全国大纲卷(理 10) 】等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于 ( A.6 【答案】C. 3.【2014·全国大纲卷(文 8) 】设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3,S4=15,则 S6=( A. 31 【答案】C
3

) B.5 C.4 D.3

)

B. 32

C. 63

D. 64

4.【2014·北京卷(理 5) 】设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 " q ? 1" 是 "{an }" 为递增数列的(



A. 充分且不必要条件 C. 充分必要条件
【答案】D

B. 必要且不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5.【2014·天津卷(文 5) 】设 {an }是首项为 a1 ,公差为-1 的等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 S1 , S2 , S4 成 等比数列,则 a1 = ( (A)2 (B)-2 ) (C)

1 2

(D) ?

1 2
)

【答案】D. 6.【2014·福建卷(理 3) 】等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,若 a1 ? 2, S3 ? 12 ,则 a6 ? (

A.8

B. 1 0

C. 1 2

D.14
aa

【答案】C 7.【2014·辽宁卷(文 9) 】设等差数列 {an } 的公差为 d,若数列 {2 1 n } 为递减数列,则( A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0 )

【答案】D 8.【2014·陕西卷(理文 4) 】根据右边框图,对大于 2 的整数 N , 得出数列的通项公式是( )

A.an ? 2n B.an ? 2(n ? 1)

C.an ? 2n
D.an ? 2n?1
【答案】C 9. 【2014· 重庆卷 (理 2) 】 对任意等比数列 {an } ,下列说法一定正确的是 ( )

A.a1 , a3 , a9 成等比数列 C.a2 , a4 , a8 成等比数列

B.a2 , a3 , a6 成等比数列 D.a3 , a6 , a9 成等比数列


【答案】D 10.【2014·重庆卷(文 2) 】在等差数列 {an } 中, a1 ? 2, a3 ? a5 ? 10 ,则 a7 ? (

A.5
【答案】B

B.8

C. 1 0

D.14
1 , =2,则 a =_________. 1 ? a n a2 1

11.【2014·全国卷Ⅱ(文 16) 】数列 ?an ? 满足 a n ?1 =

【答案】

12.【2014·安徽卷(理 12) 】数列 ?a n ? 是等差数列,若 a1 ? 1 , a 3 ? 3 , a 5 ? 5 构成公比为 q 的等比数列, 则 q ? ________. 【答案】 q ? 1 。 13. 【2014· 北京卷 (理 12) 】 若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 ,a7 ? a10 ? 0 , 则当 n ? ________时 ?an ? 的前 n 项和最大. 【答案】8 14.【2014·天津卷(理 11) 】设 {an }是首项为 a1 ,公差为-1 的等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 S1 , S2 , S4 成
4

1 2

等比数列,则 a1 的值为__________. 【答案】 -

15.【2014·江西卷(文 13) 】在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,当且仅当 n ? 8 时

1 2

Sn 取最大值,则 d 的取值范围_________. 7 【答案】 ?1 ? d ? ? 8
ln a1 ? ln a2 ? ?? ln a20 ?


16.【2014·广东卷(理 13) 】若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 ,则 【答案】50 17.【2014·广东卷(文 13) 】等比数列 ?an ? 的各项均为正数且 a1a5 ? 4 ,则

log2 a1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? log2 a4 ? log2 a5 =

.

【答案】5 18.【2014·全国卷Ⅰ(理 17) 】已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中

? 为常数.
(Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 【解析】 :(Ⅰ)由题设 an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 ,两式相减

an?1 ? an?2 ? an ? ? ?an?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?

????6 分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an? 2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2 m?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2m?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2m? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2
*

∴ an ? 2n ? 1( n ? N ) , an?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列. (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ? ???12 分
2

19.【2014·全国卷Ⅰ(文 17) 】已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?
5

【解析】 : (I)方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为 2,3,由题意得 a2 ? 2 , a4 ? 3 ,设数列 ?an ? 的公差为 d,,
2

3 1 a1 ? ,从而 2, 2 1 所以 ?an ? 的通项公式为: an ? n ? 1 ????6 分 2 a n?2 ?a ? ? n ?1 , (Ⅱ)设求数列 ? n 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ? 3 4 5 n ?1 n ? 2 则: S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 S n ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 两式相减得 2 2 2 2 2 2 1 3 ?1 1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? ? n? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 2 4 ?2 2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2 n?4 所以 S n ? 2 ? n ?1 ???12 分 2 20.【2014·全国卷Ⅱ(理 17) 】已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 .
则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d= (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

【解析】 (1)

? a1 = 1, an+1 = 3an +1.n ∈ N * .

1 1 1 ∴ a n+1 + = 3an +1+ = 3(an + ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an + }是首项为a1 + = , 公比为3的等比数列。 2 2 2 n 1 3 3n -1 1 2 (2)由(1)知 an ? ? ,故 an ? , ? n , 2 2 2 an 3 -1 1 1 2 1 ? 1 ,当 n ? 1 时, ? n ? n -1 ; a1 an 3 -1 3 1 1- n 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 所以 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n -1 ? 3 ? ( 1- n ) ? , 1 2 3 a1 a2 a3 an 3 3 3 2 13 1 1 1 1 3 ? ??? ? 故 ? a1 a2 a3 an 2 21.【2014·全国大纲卷(理 18) 】等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 10 , a2 为整数,且 Sn ? S4 .
(I)求 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

【解析】 (I)由 a1 ? 10 , a2 为整数知,等差数列 {an } 的公差 d 为整数.又 Sn ? S4 ,故 a4 ? 0 , a5 ? 0 , 于
6

是 10 ? 3d ? 0 ,10 ? 4d ? 0 , 解得 -

10 #d 3

-

5 , 因此 d = - 3 , 故数列 {an } 的通项公式为 an = 13 - 3n . (II) 2

bn ?

1? 1 1 ? ,于是 ? ? ? ?13 ? 3n ??10 ? 3n ? 3 ? 10 ? 3n 13 ? 3n ? ? 1

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 1? n ? 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? 3 ?? 7 10 ? ? 4 7 ? ? 10 ? 3n 13 ? 3n ?? 3 ? 10 ? 3n 10 ? 10 ?10 ? 3n ?
22.【2014·全国大纲卷(文 17) 】数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 【解析】 (1)由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2- an+1=an+1-an+2,即 bn+1=bn+2,又 b1=a2-a1=1. 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列; (1) 由(1)得 bn=1+2(n-1) ,即 an+1-an=2n-1.于是

? (ak ?1 ? ak ) ? ? (2k ?1)
k ?1 k ?1

n

n

于是 an-a1=n2-2n,即 an=n2-2n +1+a1.又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n +2. 23.【2014·山东卷(理 19) 】已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S2 , S4 成等比数列。 (I)求数列 {an } 的通项公式;

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1 【解析】 (I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
(II)令 bn = (?1) n ?1
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4 解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 4n 1 1 (II) bn ? (?1) n ?1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ? Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1 * 24.【2014·安徽卷(文 18) 】数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N .

an ? (Ⅰ)证明:数列 ? ? ? 是等差数列; ?n?

(Ⅱ)设 bn ? 3n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .
7

【解析】 (Ⅰ)证:由已知可得 所以 {

an ?1 an a a ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 n ?1 n n ?1 n

an a } 是以 1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列。 1 n
an ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ,所以 an ? n2 ,从而 bn ? n ? 3n n
n

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得

1 2 Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ? 3 3 ? 3?? n ?

3



3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ? ?? (n-1 ) ? 3n ? n ? 3n+1
①-②得:



?2Sn ? 31 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ? n ? 3n +1 3 ? (1 ? 3n ) ? n ? 3n +1 1? 3 (1 ? 2n) ? 3n +1 ? 3 ? 2 ?

所以 Sn ?

(2n ? 1) ? 3n +1 ? 3 4

25. 【2014· 北京卷 (文 15) 】 已知 ?an ? 是等差数列, 满足 a1 ? 3 ,a4 ? 12 , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 ,b4 ? 20 , 且 ?bn ? an ? 是等比数列. (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 【解析】 (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意得: d ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 3n(n ? 1, 2,L ) , 设等比数列 ?bn ? an ? 的公比为 q ,由题意得: q ?
3

a4 ? a1 12 ? 3 ? ? 3, 3 3

b4 ? a4 20 ? 12 ? ? 8 ,解得 q ? 2 . b1 ? a1 4?3

所以 bn ? an ? (b1 ? a1 )qn?1 ? 2n?1 ,从而 bn ? 3n ? 2n?1 (n ? 1, 2,L ) . (II)由(1)知, bn ? 3n ? 2n?1 (n ? 1, 2,L ) , 数列 ?3n? 的前 n 项和为

3 1 ? 2n n(n ? 1) ,数列 ?2n ?1? 的前 n 项和为1? ? 2n ? 1 , 2 1? 2

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和为

3 n(n ? 1) ? 2n ? 1 . 2

26.【2014·福建卷(文 17) 】在等比数列 {an } 中, a2 (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn

? 3, a5 ? 81 .

? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

【解析】(1)设 {an } 的公比为 q,依题意得
8

? a1q ? 3 ?a1 ? 1 ,解得 ? , ? 4 ? a1q ? 81 ?q ? 3
因此, an ? 3n?1 . (2)因为 bn ? log3 an ? n ?1 , 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ?

n(b1 ? bn ) n2 ? n ? . 2 2
( ) ,满足

27. 【 2014 · 江 西 卷 ( 理 文 17 ) 】已知首项都是 1 的两个数列 . (1) 令 ,求数列 的通项公式; (2) 若 ,求数列 的前 n 项和 . ,

【解析】 (1)因为 所以
an ?1 an ? ? 2, cn ?1 ? cn ? 2 bn ?1 bn

所以数列 {cn } 是以首项 c1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列,故 cn ? 2n ? 1. (2)由 bn ? 3n ?1 知 an ? cnbn ? (2n ? 1)3n?1 于是数列 前 n 项和 Sn ? 1 ? 30 ? 3 ? 31 ? ? ? (2 n ?1) ?3 n?1

3Sn ? 1? 31 ? 3 ? 32 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n

相减得 ?2Sn ? 1 ? 2 ? (31 ? 32 ? ? 3n?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n ? 2 ? (2n ? 2) ? 3n 所以 Sn ? (n ? 1) ? 3n ? 1. 28.【2014·江西卷(文 16) 】已知数列 (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)证明:对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ,使得 a1, an, am 成等比数列. 【解析】 (1)当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2时
an ? S n ? S n ?1 ?
?

?an ?的前 n 项和 S

n

?

. 3n 2 ? n ,n ? N ? 2

? ?n? 1 3n 2 ? n 3 ? n ? 1 ? ? 3n ? 2 2 2
2

检验 当 n ? 1 时 a1 ? 1 ,? an ? 3n ? 2 (2)使 a1, an, am 成等比数列. 则 an 2 = a1am ,??3n ? 2? =3m ? 2 ,
2

即满足 3m ? ?3n ? 2? ? 2? 9n2 ?12n ? 6 ,所以 m ? 3n 2 ? 4n ? 2
2

则对任意 n ? 1 ,都有 3n2 ? 4n ? 2 ? N ? 所以对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ,使得 a1, an, am 成等比数列.
?

9


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