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高三数学文科 课时作业(含答案) (16)


1.在△ABC 中,D 是 BC 的中点,向△ABC 内任投一点.那么 点落在△ABD 内的概率为( ) 1 1 A.3 B.2 1 1 C.4 D.6 解析:选 B.因为 D 是 BC 的中点,所以 S△ABD 1 1 =2S△ABC,所以点落在△ABD 内的概率为2. 2.如图,有一圆盘,其中阴影部分的圆心角 为 45° ,向圆盘内投镖,如果某人每次都投入圆盘 内,那么他投中

阴影部分的概率为( ) 1 1 A.8 B.4 1 3 C.2 D.4 45 1 解析:选 A.P=360=8. 3.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球, 若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的 游戏盘是( )

3 2 2 1 解析:选 A.P(A)=8,P(B)=8,P(C)=6,P(D)=3. ∵P(A)>P(C)=P(D)>P(B), ∴选择游戏盘 A 中奖的机会最大. 4.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为一边 作正方形,则此正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为

(

)

1 1 A.16 B.8 1 1 C.4 D.2 解析:选 C.正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间,所以正方 形的边长介于 6 cm 到 9 cm 之间.线段 AB 的长度为 12 cm,则所求概 9-6 1 率为 12 =4. 5.(2009 年高考福建卷改编)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个 定点.若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率 为( ) 2 A.3 C.1 1 B.3 1 D.2

解析: A.圆周上使弧 AM 的长度为 1 的点 M 有两个, 选 设为 M1, M2,则过 A 的圆弧 M1M2 的长度为 2,B 点落在优弧 M1M2 上就能使 2 劣弧 AB 的长度小于 1,所以劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为3. 6.在平面直角坐标系 xOy 中,设 M 是横坐标与纵坐标的绝对值 均不大于 4 的点构成的区域,N 是到原点的距离不大于 1 的点构成的 区域,向 M 中随机投一点,则落入 N 中的概率为( ) π π A.64 B.32 π π C.16 D.4 解析:选 A.根据题意可得点 M(x,y)满足|x|≤4 且|y|≤4,其构成 的区域是以原点为中心,边长为 8 的正方形,面积为 S1=64,N 点所 表示的平面区域是以原点为圆心,以 1 为半径的圆及其内部,面积为 S2 π S2=π,故向 M 中投一点,落入 N 中的概率为 P=S =64. 1 7. 《广告法》对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电 视节目做了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节 9 目,看不到广告的概率为10,那么该台每小时约有________分钟的广 告. 9 解析:60×(1-10)=6(分钟).

答案:6 8.两根相距 9 m 的电线杆扯一根电线,并在电线上挂一盏灯,则 灯与两端距离都大于 3 m 的概率为________. 解析:灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件,即整个区 域的几何度量为 μΩ=9 m,记“灯与两端距离都大于 3 m”为事件 A, 则把电线三等分,当灯挂在中间一段上时,事件 A 发生,即 μA=3 m, μA 3 1 ∴P(A)=μ =9=3. Ω 1 答案:3 9.已知函数 f(x)=2ax2-bx+1,若 a 是 从区间[0,2]上任取的一个数, 是从区间[0,2] b 上任取的一个数,则此函数在[1,+∞)上递 增的概率为________. 解析:令 t=ax2-bx+1,函数 f(x)在[1, +∞)上递增,根据复合函数单调性的判断方 法,则 t=ax2-bx+1 须在[1,+∞)上递增, -b ∴- 2a ≤1,即 2a≥b.

?0≤a≤2 ? 由题意得?0≤b≤2 ?2a≥b ?

,画出图示得阴影部分面积.

1 2×2-2×2×1 3 ∴概率为 P= =4. 2×2 3 答案:4 10.已知棱长为 2 的正方体的内切球 O.若在正方体内任取一点, 则这一点不在球内的概率为多少? 解:球的直径就是正方体的棱长 2. 4 ∴球 O 的体积 V 球=3π, 正方体的体积为 V=23=8. 由于在正方体内任取一点时,点的位置是等可能的,在正方体内 每个位置上,由几何概型公式,这点不在球 O 内(事件 A)的概率为 4 8-3π V-V球 π P(A)= V = 8 =1-6.

π ∴所求概率为 1-6. 11.设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数 中任取的一个数,求上述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个 数,求上述方程有实根的概率. 解:设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”,当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示 a 的取值, 第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 9 3 P(A)=12=4. (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, 1 3×2-2×22 2 所以所求的概率为 P(A)= =3. 3×2 12 . 已 知 集 合 A = {x| - 1≤x≤0} , 集 合 B = {x|ax + b·x - 2 1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}. (1)若 a,b∈N,求 A∩B≠?的概率; (2)若 a,b∈R,求 A∩B=?的概率. 解:(1)因为 a,b∈N,(a,b)可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共 9 组. 令函数 f(x)=ax+b·x-1,x∈[-1,0], 2 则 f′(x)=a+bln2·x. 2 因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以 f′(x)>0, 即 f(x)在[-1,0]上是单调递增函数. b f(x)在[-1,0]上的最小值为-a+2-1. b 要使 A∩B≠?,只需-a+2-1<0,即 2a-b+2>0. 所以(a,b)只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), 共 7 组.

7 所以 A∩B≠?的概率为9. (2)因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以(a, b)对应的区域为边长为 2 的正方形(如图), 面积为 4. 由(1)可知,要使 A∩B=?, b 只需 f(x)min =-a+ 2 -1≥0?2a-b +2≤0,所以满足 A∩B=?的(a,b)对应 的区域是图中的阴影部分, 1 1 1 所以 S 阴影=2×1×2=4, 1 4 1 所以 A∩B=?的概率为 P=4=16.


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