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3.1直线的倾斜角与斜率


3.1

直线的倾斜角和斜率

主要内容
3.1.1 倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

3.1.1

倾斜角与斜率

倾斜角与斜率
对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置 由哪些条件确定呢? 两点确定一条直线.
还有其他方

法吗?或者说如 果只给出一点,要确定这条直线 还应增加什么条件?

问:在直角坐标系中,下图中的四条直线 在位置上有什么联系和区别? 1. 经过同一点P 2. 倾斜程度不同

y P o

x

当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向所成的角?叫做直线l 的 倾斜角. 00??<1800
l1的倾斜角为锐角
l2的倾斜角为直角 l4

y

l3

l2

l1

P o

l3的倾斜角为钝角
当直线与x轴平行或重 合时,我们规定它的倾斜 角为o0

x

下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗?

y
o α

y

y o α

y x
o α

x

o αx

x

平面直角坐标系内,任何一条直线都有倾斜角, 倾斜角表示平面坐标系内一条直线的倾斜程度. 在平面直角坐标系中,已知直线上一点不能 确定一条直线的位置. 同样已知直线的倾斜角, 也不能确定一条直线的位置.

已知直线上一点和其倾斜角可以惟一确定一 条直线. 问:不同的直线其倾斜角一定不相同吗?

一次函数 y ? x, y ? 3x 的图象是直线,在坐 标系中画出这两条直线,并求这两条直线的倾斜 角分别是多少?

y
A

y=x

y
C

y ? 3x

o

B

x

o

D

x

取点A(1,1) B(1,0)

取点C(1, 3 ) D(1,0)

?AOB=450

?COD=600

初中学过的“坡度(比)”是什么含义?它能否 表示直线的倾斜程度?它与这条直线的倾斜角之间有 什么关系?

升高量 坡度(比)= 前进量
α
前进

升 高

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条 直线的斜率.常用小写字母k表示,即k=tanα. 任何一条直线都有斜率吗? 倾斜角是900的直线(垂直于x轴的直线)没有斜率.

1.当倾斜角α =00,300,450,600时,这条直线
的斜率分别等于多少?

2.当倾斜角α =1200,1350,1500时,这条直线的

斜率分别等于多少?

3.当直线的倾斜角在什么范围时,其斜率k>0?
当直线的倾斜角在什么范围时,其斜率k<0? 倾斜角为锐角时,k>0; 倾斜角为钝角时,k<0; 倾斜角为00时,k=0.

练习 1.指出下列直线的倾斜角和斜率: (1) y ? ? 3x; (2) y ? x tan60?; 

?30?).  (3) y ? x tan(
2 .结合图形,观察倾斜角变化时,斜率的变化情况.

如果给定直线的倾斜角,我们当然可以根据斜率 的定义 k =tanα求出直线的斜率;
如果给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜 角也是确定的,斜率就是确定的,那么又怎么求出直

线的斜率呢?

斜率公式
已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2), 求直线P1P2的斜率. y P1 α o P2 α y P2

Q x

Q

?

P1

α
x

o

y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

1.当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时,用上述公
式求斜率.

由y1=y2,得 k=0
2.当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时,上述公式 还适用吗?为什么? 由x1=x2,分母为零,斜率k不存在

例1 . 已知点A(3,2),B(-4,1), C(0,-l),求直线AB,BC,CA的斜率,并 判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且 斜率分别为1,-1,2及-3的直线l1,l2,l3及l4. l4

l2

y

l3

l1

思考:斜率随倾斜角 逐渐变大是怎样的变 化?

o

x

小结
1 直线倾斜角的概念
2 直线的倾斜角与斜率的对应关系 3 已知两点坐标,如何求直线的斜率? 斜率公式中脚标1和2有顺序吗?
y2 ? y1 y1 ? y2 k? ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 ? x2

作业
P86练习:1,2,3,4. P89习题3.1A组:1,2,3,4,5

3.1.2
两条直线的平行与垂 直的判定

在平面直角坐标系下,倾斜角可以表示直 线的倾斜程度, 斜率也可以表示直线相对于x 轴的倾斜程度。我们能否通过直线斜率来判断 两条直线的位置关系?

y
y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

l1
α

l2 x

O

设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2
若l1// l2, 则k1,k2满足什么关系?

y

l1 α1

l2 α2

l1 // l2 ? ?1 ? ? 2

O

x

k=tan?

l1 // l2且斜率都存在? k1 ? k2

两条直线平行的条件
反之, 若k1=k2, ,则易得 l1// l2

对于两条不重合的直线,平行的充要条件

l1 // l2 ? k1 ? k2或斜率都不存在

例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线 AB与CD的位置关系. (1)A(2,3), B(-4,0), C(-3,l), D(-l,2); (2)A(-6,0),B(3,6), C(0,3), D(6,-6)

例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状,并给出证明.

y A o

D

C

B

x

两条直线的垂直判定
如果两直线垂直,这两条直线的倾斜角有什么 关系?斜率呢? 如图,设直线l1与l2的倾斜角 分别为α1与α2,且α1<α2, y 因为l1⊥l2 ,所以α2=900+α1
1 tan? 2 ? ? cot?1 ? ? tan?1

l2

l1 α
α
2

O

1

x

1 所以k 2 ? ? k1

当k1· k2 =-1时,直线l1与l2一定垂直吗?



两条直线的垂直判定
对于直线l1和l2,其斜率分别为k1,k2,根据 上述分析可得什么结论?

y
l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1

l2 α

l1
1

α

2

O

x

特殊情况
对于两条互相垂直的直线l1和l2,若一条直 线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率如何?

y

l1
l2

O

x

例3. 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3) Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系.

例4 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3), 试判断△ABC的形状.

y

C

B
o A x

例5 已知点A(m,1),B(-3,4),C(1, m),D(-1,m+1),分别在下列条件下求实数 m的值: (1)直线AB与CD平行; (2)直线AB与CD垂直.

小结
1.两条直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定 3. 思想方法 倾斜角、平行是几何概念, 坐标、 斜率是代数概念,解析几何的本质是用 代数方法来研究几何问题.

作业
P89练习:1,2. P90习题3.1 A组:8. B组:3,4.


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