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辽宁省抚顺市重点高中协作校2014-2015学年高二下学期期末考试数学(


抚顺市协作校高二年级下学期期末考试 高二数学(文)
命题单位: 抚顺十中 命题人:杨树泉 校对人:郑林峰

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,考试时 间为 120 分钟,满分 150 分。

第 I 卷(60 分)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 设全集 U ? R ,集合 A ? x x ? 2 , B ? x 0 ? x ? 5 ,则集合 ? CU A ? A.

?

?

?

?

B =(



? x 0 ? x ? 2? ? ?
B. ?1 ? i D.

B.

? x 0 ? x ? 2?

C. x 0 ? x ? 2

? x 0 ? x ? 2?
C. 1 ? i D. 1 ? i

2 .设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 A. ?1 ? i

2 ? z2 = z

3.设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正 确的是 ( )

A. f ( x) g ( x) 是偶函数
C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数

B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数
D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

4.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数为 A. y ? x
?2

B. y ? x

?1

C. y ? x

2

D. y ? x 3

1

5.若 0 ? x ? y ? 1 ,则( A. 3 y ? 3x

) D. ( ) ? ( )
x

B. log x 3 ? log y 3

C. log 4 x ? log 4 y

1 4

1 4

y

6. 已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x), 当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 2 x ,
2

则 f (7) =( A.-2

) B.2 C.-98 D.98

7 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 在 R 上 是 减 函 数 , 则 y ? f ( x ? 3 ) 的 单 调 减 区 间 是
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) B. B. [3,??)

A. (??,??)

C. [?3,??)

D. (??,3]

8.根据如下样本数据

x
y

3 4.0

4 2.5 )

5
? 0 .5

6 0.5

7
? 2 .0

8
? 3 .0

? ? bx ? a ,则( 得到的回归方程为 y
A. a ? 0 , b ? 0 B. a ? 0 , b ? 0

C. a ? 0 , b ? 0

D. a ? 0 , b ? 0

9. 已 知 函 数 f ? x ? 是 R 上 的 奇 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有 f ? x ? 2 ? ? f ( x) ,

当x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? 时, f ? ?2013? ? f ? 2012 ? 的值为 (
A. ?2 10.已知 f ( B. ?1
2



C. 1

D.2

A.

x 1? x2

1? x 1? x )? ,则 f ( x) 的解析式是 ( ) 1? x 1? x2 2x x 2x B. ? C. D. ? 2 2 1? x 1? x 1? x2

11.若 f ( x) ? ?

?? x ? 3a, x ? 0 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) (a ? 0, 且 a ? 1) ,在定义域 R 上满足 ? 0, x x1 ? x 2 ?a , x ? 0


则 a 的取值范围是( A. (0,1)

1 1 2 B.[ ,1) C. (0, ] D. (0, ] 3 3 3 12.奇函数 f(x)、偶函数 g(x)的图像分别如图 1、2 所示,方程 f(g(x))=0,g(f(x))=0 的实根个数分别为 a、b,则 a+b=( )

A. 14

B. 3

C. 7

D. 10

第Ⅱ卷(90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.若复数 z ?

a?i ,且 z ? R ,则实数 a =_____. i
2

14.已知 f ( x) ? ( x ? 2) , x ? (?1,3) ,函数 f ( x ? 1) 的单调减区间为

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15.已知 f (n) ? 1 ?

1 1 ? ? 2 3

1 3 5 ? .经计算得 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , n 2 2


f (16) ? 3, f (32) ?

7 ,由此可推得一般性结论为 2

16. 已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ? ? 0,3? 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 函数 y ? f ( x) ? a 在区间 ? ?3, 4? 上有 10 个零点 (互不相同) , 则实数 a 的取值范围是 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分) 已知复数 z 同时满足下列两个条件: ① z 的实部和虚部都是整数,且在复平面内对应的点位于第四象限; ②1 ? z ?

1 ,若 2
.

2 ? 4. z

(Ⅰ)求出复数 z ; (Ⅱ)求 | z ?

2?i |. 2?i

18. (本题满分 12 分) 设集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x -(2m+1)x+2m<0}. (1)当 m<
2

1 时,化简集合 B; 2

(2)若 A∪B=A,求实数 m 的取值范围; (3)若 C RA∩B 中只有一个整数,求实数 m 的取值范围.

19.(本题满分 12 分) 若二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b ? R ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 .
2

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若在区间 [?1, ?1] 上,不等式 f ( x) ? 2 x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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20.(本小题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平 均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某 月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分 为 两 组 , 再 将 两 组 工 人 的 日 平 均 生 产 件 数 分 为 5 组 :

? ?50, 60 ? , ? ?60, 70 ? , ? ?70,80 ? , ? ?80,90 ? , ? ?90,100 ? 分别加以统计 ,得到如图所示的频率分布
直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁 以下组”工人的概率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为 “生产能手” ,请你根据已知条件完成 2×2 列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

P( K 2 ? k )
k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

(注:此公式也可以写成K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

21.(本小题满分 12 分 ) 定 义 在 R 上 的 单 调 函 数 f ? x ? 满 足 f ? 2? ?

3 , 且 对 任 意 x, y ? R 都 有 2

f ? x ? y ? ? f ? x? ? f ? y? .
(I)求证: f ? x ? 为奇函数; (II)若 f(k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围.
x x x

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请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线, B , D 为切点. ⑴ 求证: AD // OC ; ⑵ 若圆 O 的半径为 2 ,求 AD ? OC 的值.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 3 ? 2 cos ? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ? ⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; ⑵ 已知 A(?2, 0), B (0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ?ABM 面积的最大值.
在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知 a, b ? R ? , f ? x ? ? x ? a ? 2 x ? (1)求 f ? x ? 的最大值; (2)若 f ? x ? 的最大值为 5,求

2 b

1 ? b 的最小值。 a

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抚顺市协作校高二年级下学期期末考试 高二数学(文)答案
DCCAC 0 ABBBC BD

(?1,1)

f (2n ) ?

n?2 2

1 (0, ) 2

17.解: (Ⅰ)设 z ? a ? bi (a, b ? Z , 且a ? 0, b ? 0) , 则z?

2 a (a 2 ? b 2 ? 2) b(a 2 ? b 2 ? 2) ? ? i z a2 ? b2 a2 ? b2

…………2 分

?b(a 2 ? b 2 ? 2) ? 0(1) 2 ? , ? 1 ? z ? ? 4 ,? ? a (a 2 ? b 2 ? 2) z ? 4(2) ?1 ? 2 2 a ?b ?
由(1)知:? b ? 0,? a ? b ? 2 .
2 2

…………4 分

…………5 分

代入(2)得: 1 ?

4a 1 ? 4 ,即 ? a ? 2 . 2 2

…………6 分

?a ? 1 ? z ? 1? i . ? a, b ? Z , a ? 0, b ? 0 ,? ? ?b ? ?1 ,
(Ⅱ)由题意: z ?

…………8 分

2?i 3 4i 8 1 ? 1? i ? ? ? ? i , 2?i 5 5 5 5

…………10 分

?| z ?

2?i 8 1 64 1 65 |?| ? i |? ? ? . 2?i 5 5 25 25 5

…………12 分

18. ∵不等式 x2-(2m+1)x+2m<0?(x-1)(x-2m)<0. (1)当 m<

1 时,2m<1,∴集合 B={x|2m<x<1}................................4 分 2 1 1 1 时,B={x|2m<x<1},此时-1≤2m<1?- ≤m< ; 2 2 2

(2)若 A∪B=A,则 B?A,∵A={x|-1≤x≤2}, ①当 m< ②当 m= ③当 m>

1 时,B=?,有 B?A 成立; 2 1 1 时,B={x|1<x<2m},此时 1<2m≤2? <m≤1; 2 2
1 ≤m≤1...........................8 分 2
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综上所述,所求 m 的取值范围是-

(3)∵A={x|-1≤x≤2},∴ ? RA={x|x<-1 或 x>2}, ①当 m< ②当 m= ③当 m>

1 3 时,B={x|2m<x<1},若 ? RA∩B 中只有一个整数,则-3≤2m<-2?- ≤m<-1; 2 2 1 时,不符合题意; 2
1 3 时,B={x|1<x<2m},若 ? RA∩B 中只有一个整数,则 3<2m≤4,∴ <m≤2. 2 2 3 3 ≤m<-1 或 <m≤2. ...........................12 分 2 2

综上知,m 的取值范围是-

19. (1)由 f (0) ? 1 得, c ? 1 . ∴ f ( x) ? ax ? bx ? 1 .
2

又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x , ∴ a ( x ? 1) ? b( x ? 1) ? 1 ? (ax ? bx ? 1) ? 2 x ,
2 2

即 2ax ? a ? b ? 2 x , ∴?

? 2a ? 1 ?a ? 1 ,∴ ? . ?a ? b ? 0 ?b ? ?1
2

∴ f ( x) ? x ? x ? 1 ....................................6 分 (2) f ( x) ? 2 x ? m 等价于 x 2 ? x ? 1 ? 2 x ? m ,即 x 2 ? 3 x ? 1 ? m ? 0 , 要使此不等式在 [?1, ?1] 上恒成立, 只需使函数 g ( x) ? x ? 3 x ? 1 ? m 在 [?1, ?1] 的最小值大于 0 即可.
2

∵ g ( x) ? x ? 3 x ? 1 ? m 在 [?1, ?1] 上单调递减,
2

∴ g ( x) min ? g (1) ? ? m ? 1 ,由 ? m ? 1 ? 0 ,得 m ? ?1 .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 20. (1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名,所以,样本中日 平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60×0.05=3(人),记为 A1,A2,A3.25 周 岁以下组工人有 40×0.05=2(人),记为 B1,B2.从中随机抽取 2 名工人,所有可能的结果共有 10 种,即:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),( A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种, 是 :(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 故所求概率 P= 错误!未找到引用 源。......................6 分 (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手 60× 0.25=15(人),“25 周岁以下组”中的生产能手 40×0.375=15(人),据此可得 2×2 列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计

25 周岁以上组 25 周岁以下组
合计

15 15 30

45 25 70

60 40 100

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所以得: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

因为 1.79 ? 2.706 , 所以没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”........12 分

22.解: (1) 连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,? BD ? OC , 又 AB 为直径,

? AD ? DB , AD // OC .

5分

(2)由 AD // OC ,??DAB ? ?COB ,? Rt?BAD ∽ Rt ?COB ,

AD AB ? , AD ? OC ? AB ? OB ? 8 . OB OC
23.解: (1)圆 C 的参数方程为 ?
2

10 分

? x ? 3 ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
2

所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 .

2分 5分

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6 ? cos ? ? 8 ? sin ? ? 21 ? 0 .

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(2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 | 2
7分

?ABM 的面积 S ?

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4
10 分

所以 ?ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2

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