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湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题


华中师大一附中 2015—2016 学年度第一学期期中检测 高二年级数学(理科)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的
? x ? 3 ? t cos 70? 1.直线 ? (t 为参数)的倾斜角为 ? y ? ?t sin 70?

A. 20? 2.双曲

线 A. 2

B. 70?
x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为 4 2

C. 110?

D. 160?

B.2

C. 6

D.

6 3

3.方程 x2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0(a ? 0) 表示的圆 A.关于 x 轴对称 C.关于直线 x ? y ? 0 对称 B.关于 y 轴对称 D.关于直线 x ? y ? 0 对称

4.两圆 ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 36 与 x2 ? y 2 ? 100 的位置关系是 A.相离 5.当 2 ? k ? 3 时,曲线 A.焦点
2

B.相交
2 2

C.外切
2

D.内切

x y x y ? ? 1与曲线 ? ? 1 有相同的 2?k 3? k 3 2 B.准线 C.焦距

D.离心率

6.若过点 P(?2 3,?2) 的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4 有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是 A. (0, ) 6

?

B. [0, ] 3

?

C. [0, ] 6

?

D. (0, ] 3

?

x2 y 2 7.若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? x 无公共点,则离心率 e 的取值范围是 a b
A. (1,2] B. (1,2) C. (1, 2 ] D. (1, 2 )

8.若椭圆的中心在原点,一个焦点为 F (0,2) ,直线 y ? 3 x ? 7 与椭圆相交所得弦的中点的纵 坐标 为 1,则这个椭圆的方程为 A.
x2 y2 ? ?1 16 20

B.

x2 y2 ? ?1 12 16

C.

x2 y2 ? ?1 12 8

D.

x2 y2 ? ?1 8 12

9.与圆 x2 ? y 2 ? 1 和圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 7 ? 0 都相切的圆的圆心轨迹是 A.椭圆 C.双曲线和一条直线(去掉几个点) 点) B.椭圆和双曲线的一支 D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个

10. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作斜率为 1 的直线, 交抛物线于 A、 B 两点, 若 AF ? ? FB(? ? 1) , 则 ? 等于 A. 2 ? 1 B. 3 ? 1 C. 5 ? 1 的 实 数 x, D. 2 2 ? 3 y 均 满 足

11 . 若 所 有 满 足

a | x | ?b | y |? 1(a ? 0, b ? 0)

x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? x2 ? y 2 ? 2 y ? 1
C. [1,??) 12.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2AD,设
? 2 2 ,则 a ? 2b 的取值范围为 A. [2,??) B. [1,2]

D. (0,2]

2 线的离心率为 e1 ,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心
率为 e2 ,则 e1 ? e2 A.随着 ? 角的增大而增大 C.为定值1 B.随着 ? 角的增大而减小 D.为定值2

?D A B? ? , ? ? (0, ) ,以A、B为焦点且过点D的双曲

?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.在极坐标系中,经过点 (4, ) 且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 3 14. 在平面直角坐标系中, 已知△ABC 顶点 A( ?4,0) 和 C (4,0) , 顶点 B 在椭圆 则

?


x2 y2 ? ? 1 上, 25 9

sin A?s i n C ? sin B



15. 直角△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 y 2 ? 4 x 上, 且斜边 AB 和 y 轴平行, 则△ABC 斜 边上的高的长度为
2 2



16.已知椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,设 A,B 为椭圆上关于原点对称的两 2 a b

点, AF 的中点为 M,BF 的中点为 N,原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上.若直线 AB 的斜 率 k 满足 0 ? k ?
3 ,则椭圆离心率 e 的取值范围为 3



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,其中第 17 题 10 分,18 至 22 题每题 12 分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.求与直线 x ? y ? 7 ? 0 相切于点(3, 4),且在 y 轴上截得的弦长为 2 7 的圆的方程.

1 ? x ? ?1 ? t , ? 2 ? 18.已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ? (t 为参数, t ? 2) ,在以 O 为极点, ? y ? ? 3 ? 3 t, ? 2 ?

x轴 正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2 3 sin? ,曲线 C3 : ? ? 2 cos? . (Ⅰ)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C2 与 C1 相交于点 A,C3 与 C1 相交于点 B,求 | AB | 的值.

19.为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权,中国派出海警“2102”、“海警2307”和“ 海警 2308”海警船编队在钓鱼岛领海巡航。某日,正巡逻在A处的海警“2102”突然发现来自P 处的疑似敌舰的某信号,发现信号时“海警2307”和“海警2308”正 分别位于如图所示的 B、C两处,其中 A 在 B 的正东方向相距 6 千米处, C 在 B 的北偏西30° 方向相距 4 千米处 。 由于 B 、 C 比 A 距 P 更远,因此,4秒后 B 、 C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度 为每秒 1 千米),试确定疑似敌舰相对于A的位置.
C
30 ?

P

B
1 20.已知动点 P 与两定点 A( ?2,0) 、 B(2,0) 连线的斜率之积为 ? 4 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

A

(Ⅱ)若过点 F (? 3,0) 的直线 l 交轨迹 C 于 M、N 两点,且轨迹 C 上存在点 E 使得四边 形 OMEN(O 为坐标原点)为平行四边形,求直线 l 的方程.

21.已知 M 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一动点, A(a,0)(a ? 0) 为其对称轴上一点,直线 MA 与抛 物线的另一个交点为 N.当 A 为抛物线的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时,△ OMN 的面

9 . 2 (Ⅰ)求抛物线的标准方程; 1 1 ? (Ⅱ)记 t ? ,若 t 的值与 M 点位置无关, | AM | | AN |
积为 则称此时的点 A 为“稳定点”,试求出所有“稳

定点”,若没有,请说明理由.

22.已知椭圆 P满

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,左、右焦点分别为 E、F,椭圆上的点 2 2 a b

足 PE ? PF ,且△ PEF 的面积为 1,抛物线 y 2 ? 2 px 经过点(2, 2). (Ⅰ)分别求椭圆与抛物线的方程; (Ⅱ)已知 Q(t ,0)(t ? 1) 为 x 轴上一点,倾斜角为 ? 的直线 l : x ? my ? 1 ? 0 交椭圆于 A、B 两点, 线段 AB 的中点为 M,直线 QM 交抛物线于 C、D 两点,四边形 ACBD 的面积记 为 S, 若对任意直线 l,都存在点 Q,使得 S cos? ? ? | QF | ,求实数 ? 的取值范围.

华中师大一附中 2015—2016 学年度第一学期期中检测 高二年级数学(理科)试题参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的 1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.D 11.A 12.C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. ? cos? ? 2 14.

5 4

15. 4

16.

6 ? e ?1 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,其中第 17 题 10 分,18 至 22 题每题 12 分。解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 解:由题意圆心在 x ? y ? 1 ? 0 上,设圆心为 (a, a ? 1) ,则

( 7)2 ? a2 ? (a ? 3)2 +(a+1 ? 4)2 ,解得 a ? 1 或 11,所以 r ? a2 ? 7 ? 2 2 或 8 2 ,所以圆
的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 或 ( x ? 11)2 ? ( y ? 12)2 ? 128 ------------------------------------10分(少一个方程扣2分)

18. 解: (1)曲线 C2 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 2 3 y ? 0 ,曲线 C3 的普通方程为:

3 3 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 。联立解得交点坐标为(0,0)和 ( , ) 2 2


-------------------------------------4

(2) 将 C1 的方程代入 x2 ? y 2 ? 2 3 y ? 0 解得 t1 ? 5 , 将 C1 的方程代入 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 解 得 t2 ? 3 ,所以 AB ? t1 ? t2 ? 2 --------------------------------------------------------------------12 分 19. 解:以线段 AB 的中点为原点,正东方向为 x 轴的正方向建立直角坐标系,则

y P

A(3 , 0),B(?3 , 0),C(?5 , 2 3) 依题意得 | PB | ? | PA |? 4
所以 P 在以 A 、 B 为焦点的双曲线的右支上 这里 a ? 2,c ? 3,b 2 ? 5 ,其方程为

C
30 ?

x2 y2 ? ? 1 ( x ? 2) -----------4 分 4 5

x
O

B

A

又 | PB |?| PC | 所以 P 又在线段 BC 的垂直平分线上 x ? 3 y ? 7 ? 0 分

-------------------------8

? ?x ? 3 y ? 7 ? 0 由方程组 ? 2 2 ? ?5 x ? 4 y ? 20
2

解得: ?

? ?x ? 8(负值舍去) 即 P(8, 5 3) ,由于 k AP ? 3 , ? ?y ? 5 3
---------------------------------------------12 分

可知 P 在 A 的北偏东 30°方向相距 10 千米处。 20. 解: (1) x ? y 2 ? 1( y ? 0)
4

-----------------------------------------------------3 分

(2)易知直线 l 的斜率不为 0,故可设直线 l : x ? my ? 3, 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ), 因为四 边形 OMEN 为平行四边形,所以 OE ? OM ? ON ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? E ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), 联立 ?

uuu r

uuur

uuu r

? x ? my ? 3 ?
2 2

2 3m ,所以 ? (m 2 ? 4) y 2 ? 2 3my ? 1 ? 0 ? y1 ? y2 ? 2 m ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 ? ?
8 3 ,因为点 P ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 在椭圆上,所以 m2 ? 4
?8 3 2 2 3m 2 ) ? 4( 2 ) ? 4 ? m4 ? 4m2 ? 32 ? 0 ,解得 2 m ?4 m ?4
----------------12

x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 3 ? ?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4( y1 ? y2 ) 2 ? 4 ? (

m ? ?2 2, 故直线 l 的方程为 x ? 2 2 y ? 3 ? 0 或 x ? 2 2 y ? 3 ? 0


21. 解: (Ⅰ)由题意 S?MON ?

1 1 p p2 9 ? | OA | ? | MN |? ? ? 2 p ? ? 2 2 2 2 2

? p ? 3 ,抛物线C的方程为 y 2 ? 6 x -------------------------------------------3分
(Ⅱ)设 M ( x1, y1 ),N ( x2 , y2 ) ,直线MN的方程为 x ? my ? a 联立 ?

? x ? my ? a y 2 ? 6my ? 6a ? 0 ? ? 36m2 ? 24a ? 0 得 , 2 ? y ? 6x

y1 ? y2 ? 6m , y1 y2 ? ?6a --------------------------------------------------5分
因为 a ? 0 时, y1 y2 ? ?6a ? 0 ,

? y1,y2 异号,又 t ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m | y2 | 1 ? m y1 y2

2 a ?1 2 1 ( y1 - y2 )2 1 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 1 36 m ? 24 a 1 ?t ? ? ? ? ? ? ? 2 (1 ? 3 2 ) 2 2 2 2 2 2 1 ? m ( y1 y2 ) 1? m ( y1 y2 ) 1? m 36a a 1 ? m ---8 分
2

3 2 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,t 与 m 无关,此时 A 即抛物线 C 的焦点,即抛物线 C 对称 2 3 3 轴上仅有焦点 ( , 0) 这一个“稳定点” 2
所以,仅当 ---------------------------------------12 分 22. 解: (1)因为 PE ? PF
2 2

? 4c 2 ,∴ ( PE ? PF )2 ? 2 PE PF ? 4c2 ,∴

PE PF ? 2b2 , S ?PEF ?

1 c 2 2 PE PF ? b 2 ? 1 ,∴ b ? 1 ,又∵ e ? ? ,解得 a ? 2 , 2 a 2

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1。抛物线方程为 y 2 ? 2x 。 2

---------------------------------------3 分 (2)1°若 ? ?

?
2

或 0 显然不合题意;

2°若 分

?
2

Scos ? ? 0 , ? ? ? ? 则 cos ? ? 0 , 故只考虑 0 ? ? ?

?
2

时的情况 ---------4

3°若 0 ? ? ?

?
2

,则 m ? 0 ,将 x ? my ? 1 代入 x 2 ? 2 y 2 ? 2 消 x 有:

设 Ax (, y, B ) y (m2 ? 2) y 2 ? 2my ?1 ? 0 , 1 1( ,x ) 2 易得 AB 中点 M 的坐标为 M (
2

2

, 则 y1 ? y 2 ??

2m 1 ,1 y , 2 y ?? 2 2 m ?2 m ?2

2 m ,? 2 ), m ?2 m ?2

x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? m ? (?

m ? 8(m2 ? 1) 2m 2 4 ,将直线 QM: ) ? ? m2 ? 2 m2 ? 2 m2 ? 2

t (m 2 ? 2) ? 2 x? y ? t 的方程代入抛物线 y 2 ? 2x 有: m t (m2 ? 2) ? 2 t (m2 ? 2) ? 2 y ? 2t ? 0 ,设 C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) 则 y3 ? y4 ? 2 ? , m m

y2 ? 2 ?

y3 y4 ? ?2t ,设 C、D 到直线 AB 的距离分别为 d1 , d 2 ,因为 C、D 在直线 AB 两侧,所以
y 2 3 ? y4 2 ? m( y3 ? y4 ) 2 1 ? m2

d1 ? d 2 ?

x3 ? my3 ? 1 1 ? m2

?

x4 ? my4 ? 1 1 ? m2 (2 ? ?

?

( x3 ? x4 ) ? m( y3 ? y4 ) 1 ? m2

?

?
?

( y3 ? y4 )( y3 ? y4 ? 2 m) 2 1 ? m2

t (m 2 ? 2) ? 2 2 t (m 2 ? 2) ? 2 ) ? 8t ? (2 ? ? 2 m) m m 2 1 ? m2
,所以

2 t 2 (m 2 ? 2) 2 ? 2t (m 2 ? 4) ? 4 ? (m 2 ? 2) ? t ? 1 m2 1 ? m2

2 2 t 2 (m2 ? 2) 2 ? 2t (m2 ? 4) ? 4 ? t ? 1 1 1 S cos ? ? AB ? (d1 ? d 2 ) ? cos ? ? x1 ? x2 ? (d1 ? d 2 ) ? 2 2 m
因为对任意的 m 存在 t 使得该 ? ? t ?1 等价于 2 2 t 2 (m2 ? 2) 2 ? 2t (m2 ? 4) ? 4 ? ? m , 式成立,所以只需求不等式左边的最小值。令

? m2 ? 4 ? m2 (3m2 ? 8) m 2 (3m 2 ? 8) f (t ) ? t (m ? 2) ? 2t (m ? 4) ? 4 ? (m ? 2) ?t ? 2 ? ? 2? (m2 ? 2) 2 ( m2 ? 2) 2 ? (m ? 2) ?
2 2 2 2 2 2

2

m2 (3m2 ? 8) 3m2 ? 8 故只需 2 2 ? ? ? m 对任意 m ? 0 恒成立,即 2 2 ? ? ? 对任意 (m2 ? 2)2 (m2 ? 2) 2

m ? 0 恒成立,令 m2 ? 2 ? u 则

3m2 ? 8 3u ? 2 1 3 9 ? ? 2( ? )2 ? ,因为 m ? 0 ,所以 2 2 2 (m ? 2) u u 4 8
------------------------12

0?


1 1 3m2 ? 8 ? , 易得 2 的值域为 (0,2) , 所以 ? ? 4 u 2 (m ? 2)2

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