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浙江省杭州市重点高中2013年4月高考命题比赛高中数学参赛试题-4


试卷命题双向细目表 说明:题型及考点分布按照《2013 考试说明》参考样卷。
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 难度系数 考查内容 集合的含义及运算 不等式及充要条件的判断 三视图,直观图 函数零点概念及判定 函数性质与图像 平面向量概念及数量积运算 等差等比数列及归纳推理 线性规划中的最值及数形结合的思想方法 双曲线的定义及几何性质 新定义的理解 复数运算以及复数虚部的概念 等差等比数列的运算 二项式定理应用 程序框图的理解 正余弦定理解三角形 抛物线方程与性质 立体几何的体积及推理 三角函数的图象与性质、三角变换 随机事件概率和随机变量分布列、期望 空间点线面位置关系,二面角,空间向量应用 椭圆的几何性质,直线与椭圆的定值定点 导数运算法则、导数应用 分值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 14 14 14 15 15 150 难易程度 容易题 容易题 容易题 中档题 中档题 中档题 中档题 中等偏难题 中等偏难题 较难题 容易题 容易题 容易题 中档题 中档题 中等偏难题 较难题 容易题 容易题 中档题 中等偏难题 较难题 0.65—0.70

2013 年高考模拟试卷 数学卷(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答 题纸上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。 参考公式:
如果事件 A , B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A , B 相互独立,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 棱柱的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
1 Sh 3 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 V?

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn ? k ? ? Cn pk ?1 ? k ? n?k

, ? k ? 0,1,2,?, n ?

棱台的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

球的表面积公式 S ? 4? R 2
4 球的体积公式 V ? ? R3 3 其中 R 表示球的半径

?

?

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下底面积,

h 表示棱台的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

? ? 1. (原创)若全集为实数集 R ,集合 A ? ? x log 1 (2 x ? 1) ? 0? ,则 C R A ? ( ? ? ? ? 2 ? ?

)

1 ( , ??) A. 2 B. (1,??)

1 [0, ] ? [1, ?? ) 2 C.

D. ?? ?,3? ? ?5,???

(命题意图:考查集合的含义及运算,属容易题)

2. (原创)设 a, b ? R ,那么“ ? 1 ”是“ a ? b ”的( A、充分不必要条件 要条件 (命题意图:考查不等式及充要条件的判断,属容易题) B、必要不充分条件

a b

) D、既不充分也不必

C、充要条件

3. (引用:福建省莆田市 2011 年质量检查理科)某几何体的正视图如左图所示,则该几何体 的俯视图不可能的是( ) ...

(命题意图:考查三视图,直观图,属容易题) 4.(改编)下列各数中,与函数 f ( x) ? x3 ? x ? 3 的零点最接近的是( A.0 B.1 C.2 D.3



(原题)设函数 f (x)=x3-4x+a,0<a<2.若 f (x)的三个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 A.x1>-1 B.x2<0 C.x2>0 D.x3>2 (命题意图:考查函数零点概念及判定,属中档题) 5.(改编) 函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是(

)

(原题)对函数 f ( x) ? x ? sin x, 现有下列命题: ① 函数 f (x) 是偶函数; ② 函数 f (x) 的最小正周期是 2? ;

③ (? ,0) 是函数 f (x) 的图像的一个对称中心; 点 ④ 函数 f (x) 在区间 [ 0, 其中是真命题的是

?
2

] 上单调递增,在区间 [ ?

?
2

,0 ] 上单调递减.

(把正确结论的序号都填在横线上).

(命题意图:考查函数性质与图像,属中档题)

6. (改编)如图 1 ,在 ? ABC 中,AB=3,AC=5,且 O 是 ? ABC 的外心,则 AO · BC 的值是 (A) -8 (B) -1 (C) 1 (D) 8
???? ??? ? (原题)已知在直角 ? ABC 中, AB ? 5 , BC ? 3 , CA ? 4 ,且 O 是 ? ABC 的外心,则 OC ? CA ?

??? ?

??? ?

A. 6

B. ? 6

C. 8

D. ? 8

(命题意图:考查平面向量概念及数量积运算,属中档题) 7. (引用:湖南十二校 13 届高三第一次联考(理) )已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向

量 cn ? (an · n?1 ), bn ? (n, n ? 1)n ? N * 下列命题中真命题是( a
*

)

A.若对任意的 n ? N ,都有 cn∥ n 成立,则数列 {an } 是筹差数列 b B.若对任意的 n ? N ,都有 cn∥ n 成立,则数列 {an } 是等比数列 b
*

C.若对任意的 n ? N ,都有 cn⊥ n 成立,则数列 {an } 是等差数列 b
*

D.若对任意的 n ? N ,都有 cn⊥ n 成立,则数列 {an } 是等比数列 b
*

(命题意图:考查等差等比数列及归纳推理,属中档题)

8. (原创)实数 x , y 满足 ? y ? 2 x ? 1 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?2 ,则实数 b 的值为
?x? y ?b ?

? ?

y ?1

( A.5

) B.6 C.7 D.8

(命题意图:考查线性规划中的最值及数形结合的思想方法,中等偏难题) 9. (引用:2013 年 2 月海宁市高三期初测试试题卷(理科数学))已知点 P 是双曲
? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 左支上一点,F1,F2 是双曲线的左、右两个焦点, a2 b2 且 PF1⊥PF2, 2 与两条渐近线相交于 M, 两点 PF N (如图) 点 N 恰好平分线段 PF2, ,

y P M N
F1
O

线 C:

x2

y2

则双曲线的离心率是( A. 5 B.2

) C. 3 D. 2

F2

x

(第 9 题)

(命题意图:考查双曲线的定义及几何性质,中等偏难题) 10. (引用:安徽蚌埠市 13 届高三第一次质量检测(理) )定义全集 U 的子集 A 的特征函数 为 f1 ( x) ? ?

?1, x ? A , 这里CU A 表示集合 A 在全集 U 中的补集,已 A ? U , B ? U ,给出 ?0, x ? CU A


以下结论中不正确的是(

A.若 A ? B, 则对于任意x ?U , 都有f A ( x) ? f B ( x) ; B.对于任意 x ?U , 都有fCU A ( x) ? 1 ? f A ( x) ; C.对于任意 x ?U , 都有f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ; D.对于任意 x ?U , 都有f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) (命题意图:考查新定义的理解,属较难题)

非选择题部分(共 100 分)

注意事项: 1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.(原创) 若复数
a ? 2i 的虚部是实部的 2 倍,则实数 a 的值为___ ___. 1? i

(命题意图:复数运算以及复数虚部的概念,属容易题)

12.(原创) 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =_________. (命题意图:等差等比数列的运算,属容易题)
开 始 n=12, i=1

1 5 13.(原创) (ax ? )(2 x ? 1) 的展开式中各项系数的和 2, x 则该展开式中常数项为__ _.
(命题意图:考查二项式定理应用,属容易题)

n 是奇数? 是 n=3n+1 否 n n= 2 i=i+1 n=1? 是 输出 i 结 束 (第 14 题图) 否

14. (引用:温州十校联合体 13 届高三上学期期末联考) 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值 是 . (命题意图:考查程序框图的理解,属中档题)

15. (原创)设 △ ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 a tan B ?

20 , 3

b sin A ? 4 ,则边长 a =



(命题意图:考查正余弦定理解三角形,属中档题)

16. (改编)已知抛物线 y 2 ? 2 x ,过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于 A、B 两点,自 A、 B 向准线作垂线,垂足分别为 A1 、 A2 , A1 F ? 3 , A2 F ? 2 ,则 A1 A2 ? ..

(原题)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点F的直线与抛物线相交于 A、B 两点,自 A、B 向准线 作垂线,垂足分别为 A1 、 A2 ,求证: ?A1 FB1 ? 90? . (命题意图:考查抛物线方程与性质,中等偏难题)

17. (引用:浙江省考试院 2013 届高三测试卷(理)试题)在长方体 ABCD-
D1 A1 B1 C1

A1B1C1D1 中,AB=1,AD=2.若存在各棱长均相等的四面体 P1P2P3P4,其中 P1, P2,P3,P4 分别在棱 AB,A1B1,C1D1,CD 所在的直线上,则此长方体的体积
为 .

(命题意图:考查立体几何的体积及推理,属较难题)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) (改编)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a . (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 f (x) 在区间 ??

3 ? ? ?? , ? 上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 2 ? 6 3?

(原题)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? , ] 上的值域. 6 3

(命题意图:考查三角函数的图象与性质、三角变换等基础知识,同时考查运算求解能力, 属容易题)

19. (本题满分 14 分) (原创)一个暗箱中有形状和大小完全相同的 3 只白球与 2 只黑球,每次从中取出一只球, 取到白球得 2 分,取到黑球得 3 分.甲从暗箱中有放回地依次取出 3 只球. (1)写出甲总得分 ? 的分布列; (2)求甲总得分 ? 的期望 E (? ) . (命题意图:考查随机事件概率和随机变量分布列、期望等概念,同时考查抽象概括、运算 求解能力和应用意识,属容易题)

20. (本题满分 14 分)

如图,在Δ AOB 中,已知 ?AOB ?

?
2

, ?BAO ?

?
6

, AB=4,D 为线段贴的中点. Δ AOC 是由绕直

线 AO 旋转而成,记二面角 B-AO-C 的大小为 ? . (I)当平面 COD 丄平面 AOB 时,求 ? 的值; (II)当 ? ?
2? 求二面角 B-OD-C 的余弦值 3

(原题)如图,已知△AOB,∠AOB=

? ? ,∠BAO= ,AB=4,D 2 6

A

为线段 AB 的中点.若△AOC 是△AOB 绕直线 AO 旋转而成的.记二 面角 B-AO-C 的大小为 ? . (Ⅰ) 当平面 COD⊥平面 AOB 时,求 ? 的值; ? 2? (Ⅱ) 当 ? ∈[ , ]时,求二面角 C-OD-B 的余弦值的取值范围. 2 3

D

O

B

C (命题意图:本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用, 同时考查空间想象能力和运算求解能力,属中档题)

21. (本题满分 15 分) (改编)已知椭圆 C : 构成 等腰直角三角形。 (1)求椭圆的方程; (2)动直线 l : mx ? ny ?

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,且两焦点与短轴的一个端点 2 2 a b

1 n ? 0(m, n ? R) 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是 3

否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T。若存在,求出点 T 的坐标;若不存在, 请说明理由。 (原题)已知椭圆 C : 直角三角形。 (1)求椭圆的方程; (2)动直线 l : mx ? ny ? 恒经过定点(0,1) 。
[来源:学科网]

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1,

2 ) ,且两焦点与短轴的一个端点构成等腰 2

1 n ? 0(m, n ? R) 交椭圆 C 于 A、B 两点,求证:以 AB 为直径的动圆 3

(命题意图:考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的定值定点,及解析几何的基本思想方法, 属中等偏难题)

22. (本题满分 15 分) (改编)已知函数

f ( x) ? x ln x ? ax(a ? R)

(I)当 a=0,求 f ( x ) 的最小值;
2 (II)若函数 f ? x ? 在区间 ? e , ?? 上为增函数,求 a 的取值范围; ?

?

(III)当 a

? 0, b ? 0 ,求证 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2 。

(原题)已知函数 f ( x) ? x ln x (I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)讨论关于 x 的方 程 f ( x) ? m ? 0(m ? R) 的解的个数;

]

(命题意图:考查利用导数研究函数的性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论 等综合解题能力和创新意识,属较难题)

2013 年高考模拟试卷 数学卷(理科)

答题卷
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。 题 号 答 案 二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 ______

__

12 ___

_____.

13_____

___

14_____

___.

15______

__.

16___

_.

_

__.

17________.

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 18. (本小题 14 分) (改编)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a . (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 f (x) 在区间 ??

3 ? ? ?? , ? 上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 2 ? 6 3?

19. (本小题 14 分)

(原创)一个暗箱中有形状和大小完全相同的 3 只白球与 2 只黑球,每次从中取出一只球, 取到白球得 2 分,取到黑球得 3 分.甲从暗箱中有放回地依次取出 3 只球. (1)写出甲总得分 ? 的分布列; (2)求甲总得分 ? 的期望 E (? ) .

20. (本小题 14 分)

?AOB ?
(改编) 如图,在ΔAOB 中, 已知

?
2

, ?BAO ?

?

, 6 AB=4, 为线段贴的中点. ΔAOC D

是由绕直线 AO 旋转而成,记二面角 B-AO-C 的大小为 ? . (I)当平面 COD 丄平面 AOB 时,求 ? 的值; (II)当 ? ?
2? 求二面角 B-OD-C 的余弦值 3

21.(本小题 15 分)

(改编)已知椭圆 C : 构成 等腰直角三角形。 (1)求椭圆的方程;

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,且两焦点与短轴的一个端点 2 2 a b

(2)动直线 l : mx ? ny ?

1 n ? 0(m, n ? R) 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是 3

否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T。若存在,求出点 T 的坐标;若不存在, 请说明理由。

(22) (本题满分 15 分) (改编)已知函数

f ( x) ? x ln x ? ax(a ? R)

(I)当 a=0,求 f ( x ) 的最小值;
2 (II)若函数 f ? x ? 在区间 ? e , ?? 上为增函数,求 a 的取值范围; ?

?

(III)当 a

? 0, b ? 0 ,求证 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2 。

2013 年高考模拟试卷 数学(理科)参考答案及评分标准
说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内 容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分, 满分 50 分。

题号
答案

1
D

2
D

3
C

4
B

5
A

6
D

7
A

8
D

9
A

10
D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11、6 12、6 13、10 14、10 15、5 16、 13 17、4

三、解答题(本大题有 5 小题, 共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 解: 解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2
?????3 分 ?????4 分

? 1 ? sin(2 x ? ) ? a ? . 6 2
所以 T ? ? . 由

? ? 3? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? , 2 6 2 ? 2? ? k? . 得 ? k? ? x ? 6 3 ? 2? ? k ?] ( k ? Z ) 故函数 f ( x ) 的单调递减区间是 [ ? k ?, . ????7 分 6 3 ? ? ? ? 5? (Ⅱ)因为 ? ? x ? , 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 3 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . ????10 分 2 6 ? ? 1 1 1 3 因为函数 f ( x ) 在 [ ? , ] 上的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 6 3 2 2 2 2
所以 a ? 0 . ????13 分 ????14 分

19. (本题满分 14 分) 解: (1)甲总得分情况有 6 分,7 分,8 分,9 分四种情况,记为 ? 甲总得分。????2 分

3 27 54 1 2 3 , P(? ? 7) ? C3 ( )( ) 3 ? , P(? ? 6) ? ( ) 3 ? 5 125 5 5 125 3 36 2 8 2 2 , P(? ? 9) ? ( ) 3 ? P(? ? 8) ? C3 ( ) 2 ( ) ? 5 5 125 5 125

????6 分

?
P( X ? ? )

6
27 125

7
54 125

8
36 125

9
8 125

????10 分 (1)j 甲总得分 ? 的期望 E(? ) ? 6 ?
27 54 36 8 36 ? 7? ? 8? ? 9? ? 125 125 125 125 5

????14 分

20. (本题满分 14 分) (Ⅰ) 解:在平面 AOB 内过 B 作 OD 的垂线,垂足为 E, 因为平面 AOB⊥平面 COD, 平面 AOB∩平面 COD=OD, 所以 BE⊥平面 COD, 故 BE⊥CO. E 又因为 OC⊥AO, 所以 OC⊥平面 AOB, 故 OC⊥OB. 又因为 OB⊥OA,OC⊥OA, 所以二面角 B-AO-C 的平面角为∠COB,即 ? = 分 时, 3 过 C 作 OB 的垂线,垂足为 F,过 F 作 OD 的垂线,垂足为 G,连结 CG, 则∠CGF 的补角为二面角 C-OD-B 的平面角. 在 Rt△OCF 中,CF= 3 ,OF=1, 在 Rt△CGF 中,GF=OF sin ?????10 分 (Ⅱ) 解:当 ? = C G (第 20 题) ?????7 F O B ?????3 分 D A

? . 2

2?

? 3 15 = ,CG= , 2 2 3

所以 cos∠CGF =

FG CG



5 . 5
5 . 5

所以二面角 C-OD-B 的余弦值的取值范围为 ?

?????14 分

解法二: (Ⅰ)以 O 为原点, 在平面 OBC 内垂直于 OB 的直线为 x 轴, OB, 所在的直线分别为 y 轴, OA z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz, A (0, 2 3 ), (0, 0), D (0, 则 0, B 2, 1, 3 ), ( 3,?1,0) . C

?? ??? ? ?n1 ? OD ? 0, ? 设 n1 =(x,y,z)为平面 COD 的一个法向量, 由 ? ?? ??? ? ?n1 ? OC ? 0, ?

??

?? ? ? 3x ? y ? 0 得? 取 z=1,则 n1 =(-1,- 3 ,1). ? y ? 3z ? 0 ?
又因为平面 AOB 的一个法向量为 n2 =(1,0,0), 设二面角 C-OD-B 的大小为 ? , cos a ?

?? ?

n1 ? n 2 n1 n 2

?

?1 1? 3 ?1

??

5 5

故二面角 C-OD-B 的余弦值为 ? 14 分 21. (本题满分 15 分) 解: (1)∵椭圆 C : 三角形,

5 5

????

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角 a2 b2

x2 y2 ∴ a ? 2b ∴ 2 ? 2 ? 1 2b b
又∵椭圆经过点 P (1, ∴a ?

2 ) ,代入可得 b ? 1 , 2
????3 分 ????5 分
2 2

x2 ? y 2 ? 1. 2 1 (2)首先求出动直线过(0, ? )点. 3

2 ,故所求椭圆方程为

1 3 2 2 当 L 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x ? y ? 1

当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x ? ( y ? ) ? ( )

4 3

2

????6 分 ????7 分

1 2 4 2 ? 2 ?x ? 0 ?x ? ( y ? ) ? ( ) 由? 3 3 解得? ?y ? 1 ?x 2 ? y 2 ? 1 ?
即两圆相切于点(0,1),因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1) 。事实上,点 T(0, 1)就是所求的点。 ????9 分

证明如下: 当直线 L 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1) 若直线 L 不垂直于 x 轴,可设直线 L: y ? kx ?

1 3

1 ? ? y ? kx ? 3 ? 由? 消去y得 : (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 x2 ? ? y2 ? 1 ?2 ?
12k ? ? x1 ? x 2 ? ? 18k 2 ? 9 记点 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ), 则? ? x x ? ? 16 ? 1 2 18k 2 ? 9 ?

????12 分

又因为 ? ( x1, y1 ?1),TB ? ( x2 , y2 ?1) TA

4 4 所以TA ? TB ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ? x1 x2 ? (kx1 ? )( kx 2 ? ) 3 3
? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 4 16 k ( x1 ? x 2 ) ? 3 9 ? 16 4 12 k 16 ? (1 ? k 2 ) ? ? k? ? ?0 2 2 18k ? 9 3 18k ? 9 9
????15 分

所以 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过 点 T(0,1) 所以在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件. (注:其他解法相应给分) 22. (本题满分 15 分).. 解: (I) f ( x)的定义域为(0, ??)

1 f ?( x) ? ln x ? 1, 令f ?( x) ? 0, 得 : x ? , e

??????1 分

当x ? (0, ??)时, f ?( x), f ( x) 的变化的情况如 下:

x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) e


1 e
0 极小值

1 ( , ??) e
+

[来源:Zxxk.Com]

??????3 分

1 1 所以, f ( x)在(0, ??)最小值是f ( ) ? ? . e e

??????4 分

(II) 由题意得: f ?( x) ? ln x ? a ? 1
? 函数 f (x) 在区间 e2 ,?? 上为增函数,

??????5 分

?

?

? 当 x ? ?e2 ,??? 时 f ?( x) ? 0 ,即 ln x ? a ? 1 ? 0 在 ?e2 ,??? 上恒成立,
? a ? ?1 ? ln x ,
又当 x ? e2 ,?? 时, ln x ? ?2,?? ? , ??????7 分

?

?

? ? 1 ? ln x ? ?? ?,?3?,
? a ? ?3
(III)原不等式可化为: f (a) ? f [(a ? b) ? a] ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2 ??????9 分

设函数g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x)(k ? 0) 则g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln( k ? x)(0 ? x ? k ) x g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln( k ? x) ? 1 ? ln k?x x x 2x ? k 令g ?( x) ? 0, 则 ln ? 0,? ? 1,? ? 0, k?x k?x k?x k 解得 : ? x ? k , 2
令 g ?( x) ? 0, 解得 : 0 ? x ?

k 2

??????11 分

k k ?函数g ( x)在(0, ) 上单调递减,在 ( , k ) 上单调递增, 2 2 k ? g ( x)在(0, k )上的最小值为g ( ) 2


??????13

k ?当x ? (0, k )时, 总有g ( x) ? g ( ), 2 k k k 即 : f ( x) ? f (k ? x) ? f ( ) ? f (k ? ) ? 2 f ( ) 2 2 2 k ? k ln ? k ln k ? k ln 2 ? f (k ) ? k ln 2????13分 2
令 x ? a, k ? x ? b, 则有 : f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b)ln 2. 分 ????15


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