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2013-2014学年高中数学人教A版必修三同步辅导与检测:3.2.2古典概型及其概率计算2


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概率

3 .2

古典概型

3.2.2古典概型及其概率计算(二)

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1.理解古典概型的两大特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2.掌握古典概型的概率计算公式: A包含基本事件个数 P(A)= . 总的基本事件个数

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基础梳理
1.一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个 基本事件,通常此试验中的某一事件 A 由几个基本事件组成. 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基 本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一 1 基本事件的概率都是 .如果某个事件 A 包含的结果有 m 个, n m 那么事件 A 的概率 P(A)= . n m 2.利用古典概型的概率计算公式 P(A)= 计算概率时, n 确定 m、n 的值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固 定的模式,可充分利用列举法、图表法等正确计算,计算时 必须做到不重复不遗漏.

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思考应用 1.如何理解基本事件与事件A的相互关系? 解析:首先要注意的是,一个基本事件是某一 次试验出现的结果,任何两个基本事件都不可能同 时发生,其次,其它事件都能表示成基本事件的 和.不能把几次试验的结果与某次试验出现的结果 混为一谈.

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2.在应用题背景中处理古典概型的概率问题有 哪些基本步骤? 解析: 在应用题背景中处理古典概型的概率问 题的基本步骤有以下三步,一是要进行正确的模式 识别,二是要把一个复杂事件分解为若干个基本事 件的和,三是做到不重不漏的计算事件所含基本事 件数和总的基本事件数.

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3.对于试验的可能结果是有限个,但每个结果的出 现不是等可能的概率问题如何处理? 解析:对于试验的可能结果是有限个,但每个结果的 出现不是等可能的概率问题,不能用古典概型的概率公式 求其概率.如,在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是 否发芽”,这个试验的基本空间为{发芽,不发芽},而 “发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均 等的.处理这类问题的方法是随机模拟方法,后面将会学 到.

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自测自评 1.任取一个三位正整数N,对数log2N是一个正整 数的概率是( C )
1 A. 225 3 B. 899 1 C. 300 1 D. 450

2.一个袋中已知有3个黑球,2个白球,第一次摸出 球,然后再放进去,再摸第二次,则两次都是摸到白球 的概率为( D )
2 A. 5 4 B. 5 2 C. 25 4 D. 25

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3.下列命题中是错误命题的个数有( D ) ①对立事件一定是互斥事件; ②A、B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B); ③若事件A、B、C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件A、B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.

A.0

B.1

C.2

D.3

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列举基本事件求概率 甲、乙两人玩一种游戏;在装有质地、大 小完全相同,编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中,甲 先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下 编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

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◆数学?必修3?(配人教A版)◆ 解析:(1)设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包含 的基本事件为(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共5个,又甲、 乙两人取出的数字共有6×6=36(个)等可能的结果,故P(A) 5 = .
36

(2)这种游戏规则是公平的.设甲胜为事件B,乙胜为 事件C,则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18 个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3), (3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4), (6,6) 18 1 所以甲胜的概率 P(B)= = , 36 2 1 1 乙胜的概率 P(C)=1- = =P(B). 2 2 所以这种游戏规则是公平的. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练 1.有两个不透明的箱子,每个箱子都装有4个完全相同 的小球,球上分别标有数字1、2、3、4.

(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子摸 出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则 为平局),求甲获胜的概率;
(2)摸球方法与(1)同,若规定:两人摸到的球上所标数字 相同甲获胜,所标数字不相同则乙获胜,这样规定公平吗?

解析:(1)用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的 数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有: (1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、 (3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)共16个;
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设:甲获胜的的事件为 A,则事件 A 包含的基本事件有: (2,1)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)、(4,3),共 6 有个; 6 3 则 P(A)= = . 16 8 (2)设:甲获胜的的事件为 B,乙获胜的的事件为 C; 事件 B 所包含的基本事件有:(1,1)、(2,2)、(3,3)、 4 1 (4,4),共有 4 个,则 P(B)= = . 16 4 1 3 ∴P(C)=1-P(B)=1- = ,P(B)≠P(C), 4 4 所以这样规定不公平.

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列举方程有解的情况并求概率 把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为b,给定方程组 ? ? (1)试求方程组只有一解的概率; (2)求方程组只有正数解(x>0,y>0)的概率.
?ax+by=3 ? ?x+2y=2

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b 解析:(1)当且仅当 a≠ 时,方程组有唯一解. 2 b 因 a= 的可能情况为 a=1,b=2 或 a=2,b=4 2 或 a=3,b=6 三种情况,而先后两次投掷骰子的 总事件数是 36 种,所以方程组有唯一解的概率 3 11 P=1- = . 36 12

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(2)因为方程组只有正数解,所以两直线的交点 在第一象限,由它们的图像可知

? ?3 ?a>2
3 <1 b

? 或? 3 ?a<2
3 >1 b

,解得(a,b)可以是(1,4),

(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1), (4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2), 13 所以方程组只有正数解的概率 P= . 36

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跟踪训练 2.设集合P={b,1},Q={c,1,2},P?Q,若b, c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}. (1) 求b=c的概率;

(2)求方程x2+bx+c=0有实根的概率.

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解析:(1)∵P?Q,当b=2时,c=3,4,5,6,7,8,9; 当b>2时,b=c=3,4,5,6,7,8,9.基本事件总数为14.
1 其中,b=c的事件数为7种.所以b=c的概率为2.

(2) 记“方程有实根”为事件A, 若使方程有实根,则Δ=b2-4c≥0,即b=c= 4,5,6,7,8,9,共6种. 6 3 ∴P(A)= = . 14 7

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列举不等式的解并求概率 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球, 球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和 不大于4的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球 放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n, 求n<m+2的概率. 解析:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结 果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共 6个. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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◆数学?必修3?(配人教A版)◆ 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和 3两个.
2 1 因此所求事件的概率P=6=3.

(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再 从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m, n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16 个.
又满足条件n≥m+2的事件为(1,3),(1,4),(2,4)共3个,
3 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= . 16 3 13 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1- = . 16 16

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跟踪训练

3.将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,求点数之和 不大于4的概率.
解析:设x、y分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出 的点数, 由题意知x+y≤4,且x、y为正整数,用如图所示 的点表示基本事件,

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则满足题目条件的基本事件有6个,而基本事件 总数为36个,
从而所求的概率为 P=36=6.
6 1

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古典概型中的综合问题 有两个箱子,里面各装有编号为1,2,3,4,5,6的 6个小球,所有的球除编号外完全相同,现从两个箱子里 各摸一个球,称为一次试验.若摸出的两个球的编号之 和为5,则中奖.求一次试验中奖的概率. 解析:记“一次试验中奖”为事件A, 根据基本事件 总数n及事件A包含的基本事件数m的不同求法,可得下列 解法:

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法一:列表法 1号 2 3 4 2号 3 4 5 3号 4 5 6 4号 5 6 7 5号 6 7 8 6号 7 8 9

1号 2号 3号 4号 5号
6号

5 6
7

6 7
8

7 8
9

8 9
10

9 10
11

10 11
12

由表格可知:基本事件总数 n=36,A 包含的基本事 4 1 件数 m=4,故所求概率为 P(A)= = . 36 9
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法二:画树状图

由树状图可知:基本事件总数n=36,A包含的基本 事件为1-4,2-3,3-2,4-1共有4个,故所求概率为
4 1 P(A)= = . 36 9

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法三:列举数对 将所有基本事件用数对表示为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

由表可知:
基本事件总数n=36,A包含的基本事件为(1,4),(2,3), (3,2),(4,1)共4个,故所求概率为 P(A)= 4 =1.
36 9

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法四:交点法

在直角坐标系中,用直线x=1,2,3,4,5,6与直线y= 1,2,3,4,5,6的交点数表示基本事件总数,其中在直线x+y =5上的点有4个,故基本事件总数n=36,A包含的基本 事件数m=4,故所求概率为 P(A)= 4 =1.
36 9

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跟踪训练 4.为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校 700名学生按性别进行抽样调查,测得身高情况的统计图 如下:

(1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在170~185 cm之间的概率; (3)从样本中身高在180~190 cm之间的男生中任选2 人,求至少有1人身高在185~190 cm之间的概率. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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解析:(1)样本中男生人数为40 ,由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为400.

(2)由统计图知,样本中身高在170~185 cm之间的学 生有14+13+4+3+1=35人,样本容量为70 ,所以样本 35 中学生身高在170~185 cm之间的频率 f= =0.5. 故由f估 70 计该校学生身高在170~180 cm之间的概率p=0.5.
(3)样本中身高在180~185 cm之间的男生有4人,设 其编号为①,②,③,④, 样本中身高在185~190 cm之 间的男生有2人,设其编号为⑤,⑥,从上述6人中任取2 人的树状图为:

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故从样本中身高在180~190 cm之间的男生中任选2人 得所有可能结果数为15,至少有1人身高在185~190 cm之
9 3 间的可能结果数为9,因此,所求概率 p2=15=5.

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1.给定一个概率模型,首先要用古典概型的两个 特征判断是否为古典概型,从不同的角度可得到不同的 古典概型; 2.对于古典概型的概率的计算,首先要分清基本 事件总数及事件包含的基本事件数,常用的方法有列表 法、画图法、列举法、列式计算等;

3.要注意结合其他公式求古典概型的概率.

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