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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(80)


加试模拟训练题(80)
1 ABCD 是一个平行四边形,E 是 AB 上的一点,F 为 CD 上的一点。AF 交 ED 于 G,EC 交 FB 于 H。连接线段 GH 并延长交 AD 于 L,交 BC 于 M。求证:DL=BM.

J A L G

E

B

H D M F C I

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2.由 0 和 1 组成的、长度为 n(如 00101,10100 长度都为 5)的排列中,没有两个 1 相连的排列 的个数记为 f(n) .约定 f(0)=1.试证明: (1)f(n)=f(n-1)+f(n-2) ,n≥2; (2)f(4k+2)可被 3 整除,k≥0.

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3.设 ABCD 是块矩形的板,|AB|=20,|BC|=12,这块板分成 20×12 个单位正方形. 设 r 是给定的正整数.当且仅当两个小方块的中心之间的矩离等于

在以 A 为顶点的小方块中放有一个硬币,我们的工作是要找出一系列的移动,使这硬币移到以 B 为顶点的 小方块中. (a)证明当 r 被 2 或 3 整除时,这一工作不能够完成. (b)证明当 r=73 时,这项工作可以完成. (c)当 r=97 时,这项工作能否完成?

4.设 a, b, c 是三个互不相等的正整数。求证:在 a b ? ab , b c ? bc , c a ? ca 三个数中,至少有一个能
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被 10 整除。

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加试模拟训练题(80)
1 ABCD 是一个平行四边形,E 是 AB 上的一点,F 为 CD 上的一点。AF 交 ED 于 G,EC 交 FB 于 H。 连接线段 GH 并延长交 AD 于 L, BC 于 M。 交 求 证:DL=BM. 证 如图, 设直线 LM 与 BA 的延长线交于点 J, DC 与 的延长线交于点 I。 在△ECD 与△FAB 中分别使用 D EG DI CH 梅 涅 劳 斯 定 理 , 得 ? ? ?1 , GD IC HE AG FH BJ ? ? ? 1. GF HB JA EG AG CH FH 因为 AB∥CD,所以 , . ? ? GD GF HE HB DI BJ CD ? CI AB ? AJ 从而 ,即 ,故 CI=AJ. 而 ? ? IC JA CI AJ BM BJ DI DL , ? ? ? MC CI AJ LA 且 BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以 BM=DL。

J A L G

E

B

H M F C I

2.由 0 和 1 组成的、长度为 n(如 00101,10100 长度都为 5)的排列中,没有两个 1 相连的排列 的个数记为 f(n) .约定 f(0)=1.试证明: (1)f(n)=f(n-1)+f(n-2) ,n≥2; (2)f(4k+2)可被 3 整除,k≥0. 【题说】1993 年河北省赛二试题 3. 【证】 (1)长度为 1 的排列只有 0,1,故 f(1)=2,长度为 2 的排列有 00,01,10, 11,故 f(2)=3.所以 f(2)=f(1)+f(0) .当 n>2 时,将长度为 n 的排列分为两类: 一类以 0 结尾, 另一类以 01 结尾. 0 结尾的排列中无两个 1 相连的排列的个数为 f n-1) 以 ( ; 以 01 结尾的排列中无两个 1 相连的排列的个数为 f(n-2) .所以对任意自然数 n≥2,总 有 f(n)=f(n-1)+f(n-2) (2)用数学归纳法. k=0 时,f(4k+2)=f(2)=3,3|f(2) . 假设当 k=m 时,3|f(4+2) ,即 f(4m+2)=3q 令 f(4m+3)=3q1+r,0≤r<3,由(1)有 f(4m+4)=f(4m+3)+f(4m+2)=3q2+r f(4m+5)=f(4m+4)+f(4m+3)=3q3+2r f(4m+6)=f(4m+5)+f(4m+4) =3q4+3r=3(q4+r) 这就是说,当 k=m+1 时,f(4+2)是 3 的倍数.所以对一切 k≥0,有 3|f(4k+2) 3.设 ABCD 是块矩形的板,|AB|=20,|BC|=12,这块板分成 20×12 个单位正方形. 设 r 是给定的正整数.当且仅当两个小方块的中心之间的矩离等于

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在以 A 为顶点的小方块中放有一个硬币,我们的工作是要找出一系列的移动,使这硬币移到以 B 为顶点的 小方块中. (a)证明当 r 被 2 或 3 整除时,这一工作不能够完成. (b)证明当 r=73 时,这项工作可以完成. (c)当 r=97 时,这项工作能否完成? 【题说】 第三十七届(1996 年)国际数学奥林匹克题 1.本题由芬兰提供. 【解】 考虑格点的集 I={(x,y):1≤x≤20,1≤y≤12,x、y 均为整数} .A=(1,1),B=(1,20).用“→”表示移动,当 且仅当整数 a、b 满足 a2+b2=4 (1) 时,(x,y)→(x+a,y+b).问题即能否由 A 到 B(仅允许在 I 中移动). (a)当 2|r 时,满足(1)的整数 a、b 有相同的奇偶性,从而坐标和 x+y 与 x+y+a+b 的奇偶性相同,即 在移动中坐标和的奇偶性不变,而 1+1 与 1+20 奇偶性不同,所以不能由 A 到 B. 由于 a2≡0,1(mod 3),b2≡0,1(mod 3),所以在 3|r 时,满足(1)的 a、b 必须 a2≡b2≡0(mod 3),即 a ≡b≡0(mod 3).从而在移动中,横坐标 x 始终在 mod 3 的同一个类中,而 20 与 1 mod 3 不同余,所以不 能由 A 到 B. (b)73=82+32.具体移动步骤为 (1,1)→(9,4)→(17,7)→(9,10)→(12,2)→(20,5)→(12,8)→(20,11)→(17,3)→(9,6)→(17, 9)→(20,1) (c)972=92+42,考虑纵坐标的变化可能: 9—5—1—10—6—2—11—7—3—12 由于不成圈,从 1 变成 1 每步必须重复偶数次,因而横坐标增加偶数,不可能由 1 变为 20. 4.设 a, b, c 是三个互不相等的正整数。求证:在 a b ? ab , b c ? bc , c a ? ca 三个数中,至少有一个能
3 3 3 3 3 3

被 10 整除。 注:比较好考虑,分如下几类。 (1)三者中有 10 的倍数,则自然可以考虑。 (2)若无 10 的倍数,则
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当三者均为偶数时,因为偶数的平方其个位数为 4,6, a , b , c 中必定有两个个位数相同,命题得证。

当三者均为奇数时,如果有个位数为 5,则显然成立。如果没有 5,则 a , b , c 中必定有两个个位数相同 (为 1,9),命题得证。 当三者为 1 偶 2 奇,或 2 偶 1 奇时, a b ? ab , b c ? bc , c a ? ca 均为偶数,只要考虑三个数中必定
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有 5 的倍数即可。 a , b , c 除以 5 的余数只有两种情形:1,4,所以其中必定有一个为 10 的倍数。

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