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2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷


2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x ) = 2x ? 4x ? x 2 的值域是__________________________. 2.函数 y = _____________________的图象与 y = e x 的图象关于直线 x + y = 1 对称. 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值 等于__________________________. 4.设椭圆

x2 y2 + = 1与双曲线 xy = 1 相切,则 t = __________________________. t +1 t ?1

5.设 z 是复数,则 | z ?1| + | z ? i | + | z +1| 的最小值等于________________ __________. 6.设 a , b , c 是实数,若方程 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 的三个根构成公差为 1 的等差数列, 则 a , b , c 应满足的充分必要条件是__________________________.

7 . 设 O 是 ?ABC 的内 心, AB = 5 , AC = 6 , BC = 7 , OP = xOA + yOB + zOC ,

??? ?

??? ?

??? ?

????

0 ≤ x, y, z ≤ 1,动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是__________________.

二、解答题(共 86 分) 9.(20 分)设数列 { an } 满足 a1 = 0 , an =

2 , n ≥ 2 .求 an 的通项公式. 1 + an ?1

10.(22 分)求最小正整数 n 使得 n 2 + n + 24 可被 2010 整除. 11.(22 分)已知 ?ABC 的三边长度各不相等, D , E , F 分别是 ∠ A , ∠ B , ∠C 的平 分线与边 BC , CA , AB 的垂直平分线的交点.求证: ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积.

12. (22 分) 桌上放有 n 根火柴, 甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取, 第一次可取走至多 n ? 1 根火柴,此后每人每次至少取走 1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最 后一根火柴者获胜.问:当 n = 100 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

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2010 年全 国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准
一、填空题(每小题 8 分, 共 64 分) 1.答案: ?4 ? 2 5,8? .

?

?





: 因

0≤ x≤ 4 , 设

x ? 2 = 2 cos α



0 ≤α ≤π







y = 4 cos α ? 2 sin α + 4 = 2 5 cos(α + ? ) + 4(其中 cos ? =

2 1 , sin ? = , ? 为锐 5 5 ? ?

角),所以当 α = 0 时, ymax = 8 ,当 α + ? = π 时, ymin = 4 ? 2 5 ,故 y ∈ ? 4 ? 2 5,8? . 2. 答案: 1 ? ln(1 ? x ) 提 示 : 因 两 函 数 图 象 关 于 直 线 x + y = 1 对 称 , 所 以 x → y ?1 , y →1 ? x , ∴

1 ? x = e1 ? y ,解得 y = 1 ? ln(1 ? x ) .
3. 答案: ?

1 3

提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以 任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面 角 α 的两倍.∵ tan α =

2 ,∴ cos 2 α =

1 1 = ,则 2 1 + tan α 3

1 cos 2α = 2 cos 2 α ? 1 = ? . 3
4. 答案 :

5 ? x2 y2 ? x = t +1 cos θ ( 为 + = 1知, t > 1,设其参数方程为 ? θ t +1 t ?1 y = t ? 1 sin θ ? ?

提示:由椭圆方程

参数)代入双曲线方程 xy

= 1,得 sin 2θ =
2

2

.

t ?1
因两曲线相切,∴

2

t ?1
5. 答案: 1 + 3 提示 :在 复平面 上, 设 A( ?1, 0) , B(1, 0) , C (0,1) ,则 当 Z 为 ? ABC 的费 马点 时,

2

= 1 ,故 t = 5 .

| z ?1| + | z ? i | + | z + 1| 取得最小值,最小值为 1 ?
第 2页

3 2 3 2 3 + + = 1+ 3 . 3 3 3

6. 答案: b =

a2 a3 a 且 ?1 c = ? . 3 27 3

提示:设三个根为 α ? 1 , α , α + 1,则 x 3 + ax 2 + bx + c = ( x ? α + 1)( x ? α )( x ? α ? 1) , 右 边 展 开 与 左 边 比 较得 ? a = 3α , b = (α ? 1)α + α (α + 1) + (α + 1)(α ? 1) = 3 α 2 ?1 ,

? a2 b = ?1 ? ? 3 ,这就是所求的 ?c = (α ? 1)α (α + 1) ,消去 α 得 ? 3 a a ?c = ? ? 27 3 ?
充要条件. 7. 答案: 12 6 提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点 P 在图中的 三个平形四边形及其内部运动,所以动点 P 的轨迹所覆盖的平 面区域的面积等于等于 ?ABC 面积的 2 倍,即 12 6 . 8. 答案:

6 7

提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有 C83 个三角形, 其中直角三角形有

12 × C43 个,所求“构成直角三角形” 的概率是
二、解答题(共 86 分) 9. 解:特征根法. 又 an + 2 =

3 12 × C4 6 = . 3 C8 7

4 + 2an ?1 1 ? an ?1 , an ? 1 = ,…………(10 分) 1 + an ?1 1 + an ?1



an + 2 a +2 a +2 = (? 2) ? n ?1 = (? 2)2 n ?2 = ? = (? 2)n , an ? 1 an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1
( ?2) n + 2 .………………(20 分) (? 2)n ? 1

于是 an =

? n2 + n + 24 = 0 mod 2 ? n2 + n = 0 mod 3 ? 2 ? ? n + n + 24 = 0 mod 3 10. 解: 2010 | n 2 + n + 24 ? ? 2 ? ? n2 + n = 1mod 5 ? n + n + 24 = 0 mod 5 ? n2 + n = 43 mod 67 ? n2 + n + 24 = 0 mod 67 ? ?
…………(10 分) 又 n 2 + n = 0 mod 3 ? n = 0 或 2 mod 3 , n 2 + n = 1mod 5 ? n = 2 mod 5 ,

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n 2 + n = 43 mod 67 ? n =10 或 56 mod 67 ,
故所求最小正整数 n = 77 .…………(22 分) 11. 证明:由题设可证 A , B C , D , E , F 六点共圆. …………(10 分) 不 妨 设 圆 半 径 为 1 , 则 有

1 S? ABC = (sin 2 A + sin 2B + sin 2C ) , 2

1 S? DEF = (sin A + sin B + sin C ) . 2 由于 sin 2 A + sin 2B + sin 2C 1 1 1 = (sin 2 A + sin 2B ) + (sin 2B + sin 2C )+ (sin 2C + sin 2A ) 2 2 2

= sin( A + B )sin(A ? B ) + sin(B + C )sin(B ? C ) + sin(C + A)sin(C ? A)
< sin( A + B ) + sin( B + C ) + sin(C + A) = sin A + sin B +sin C
∴ ? ABC 的面积小于 ?DEF 的面积. …………(22 分) 12. 解: 把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为: n1 , n2 , n3 , …, 不难发现其前 4 项分别为 2,3,5,8. 下面我们用数学归纳法证明: (1) {ni } 满足 ni +1 = ni + ni ?1 ; (2)当 n = ni 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ≤ ni ?1 ; (3)当 ni < n < ni +1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ≤ ni . ……………………………………(10 分) 设 k = n ? ni ( i ≥ 4 ),注意到 ni ? 2 < 当1 ≤ k < 当

ni < ni ? 1 . 2

ni 时,甲第一次时可取 k 根火柴,剩余 ni > 2k 根火柴,乙无法获胜. 2

ni ≤ k < ni ?1 时, ni ? 2 < k < ni ?1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并且甲此 2

时所取的火柴数目 ≤ ni ?2 ,剩余 ni > 2ni ?2 根火柴,乙无法获胜. 当 k = ni ?1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴,若 m ≥ k ,则乙可取走所有剩小的火柴; 若m < k , 则根据归纳假设,乙总可以取到第 k 根火柴, 并且乙此时所取的火柴数目 ≤ ni ?2 , 剩余 ni > 2ni ?2 根火柴,甲无法获胜. 综上可知, ni +1 = ni + ni ?1 .因为 100 不在数列 { ni } ,所以当 n = 100 时,甲有获胜策 略. …………(22 分)
第 4页



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