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2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线的倾斜角和斜率、直线的方程课件 文


第八章 平面解析几何

第一节

直线的倾斜角和斜率、直线的方程

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的

几何要素;2.理

解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的
计算公式;3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点 斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.直线的倾斜角 (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴 (正方向)按 逆时针 方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫作直 线l的倾斜角,当直线l和x轴平行时,它的倾斜角为 0 。 (2)倾斜角的范围为 [0,π) 。

2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的 正切值叫做这条直线的斜率,斜率常

用小写字母k表示,即k=

tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率。

(2)过两点的直线的斜率公式:
y2-y1 经过两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= = x2-x1 y1-y2 。 x1-x2

3.直线方程的五种形式
名称 点斜式 几何条件 过点(x0,y0),斜率 为k 斜率为 k,纵截距为 b 方程 局限性 不含____________ 垂直于x轴 的直线

y-y0=k(x-x0) _______________

斜截式

y=kx+b ____________

垂直于x轴 不含____________
的直线 不包括

y-y1 x-x1 过两点(x1,y1),(x2, = y2-y1 x2-x1 两点式 ______________ y2),(x1≠x2,y1≠y2)

垂直于坐标轴 的 _______________
直线

名称

几何条件 在 x 轴、y 轴上的截

方程

局限性 不包括

截距式 距分别为 a,b(a, b≠0)

x y ___________ a+b=1

垂直于坐标轴 _______________
和 过原点 的直线

一般式

Ax+By+C=0 ________________ (A,B不全为零) ________________

基 础 自 测
[判一判] (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率。( × ) 解析 存在。 (2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°。( × ) 解析 错误。因为过点 M(a,b),N(b, a)(a≠b)的直线的斜率为- 1, 错误。坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角,但斜率不一定

故其倾斜角是135°。

(3)直线的倾斜角越大,斜率k就越大。( × )
? π? π? ? ? 解析 错误。因为 k=tan θ θ≠2?。当 θ∈?0,2? ?时,θ 越大,斜率 k 就 ? ? ? ? ? ? ?

π ? π ? , π 越大,同样 θ∈ 2 ?时也是如此,但当 θ∈(0,π)且 θ≠2时,不符合 θ 越 ? 大,斜率 k 就越大。

? ? ? ?

(4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示。( × )
解析 错误。经过点 P(x0,y0)的直线只有当其斜率存在时才可以用方 程y-y0=k(x-x0)表示。 (5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离。( × ) 解析 错误。直线在 x(y) 轴上的截距是直线与 x(y) 轴交点的横 ( 纵 ) 坐 标,所以截距是一个实数,可正,可负,也可为零,而不是距离。

[练一练] π 1.(2015· 云南检测)直线 x=3的倾斜角等于( A.0 π C.2
解析 答案

)

π B.3 D.π
π π 由直线 x=3知倾斜角为2。 C

2.直线 l:xsin 30° +ycos 150° +1=0 的斜率是( 3 A. 3 C.- 3
解析 答案

)

B. 3 3 D.- 3
sin 30° 3 设直线 l 的斜率为 k,则 k=-cos 150° =3。 A

3 3. 已知直线 l 经过点 P(-2,5), 且斜率为-4, 则直线 l 的方程为( A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0
解析 答案

)

B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0

3 由 y-5=-4(x+2),得 3x+4y-14=0。 A

4.经过两点M(1,-2),N(-3,4)的直线方程为_______________ 3x+2y+1=0 。

y+2 x-1 解析 经过两点 M(1,-2),N(-3,4)的直线方程为 = ,即 4+2 -3-1 3x+2y+1=0。

5 . 直 线 l : ax + y - 2 - a = 0 在 x 轴 、 y 轴 上 的 截 距 相 等 , 则 a = -2或1 。 ________

解析 令 x=0,则 y=2+a,即在 y 轴上的截距为 2+a,同理在 x 轴 2+a 2+a 上的截距为 a 。所以 2+a= a ,解得 a=-2 或 a=1。

R

热点命题

深度剖析

考点一

直线的倾斜角和斜率
)

【例1】 (1)直线xsin α-y+1=0的倾斜角的变化范围是(
π? A. 0,2? ? ? π π? C. -4,4? ? ?
【解析】
? ? ? ? ? ? ? ?

B.(0,π)
?3π ? π? ? ? D. 0,4?∪? 4 ,π? ? ? ? ? ? ? ? ?

直线 xsin α-y+1=0 的斜率是 k=sin α,

又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k≤1。 π? 当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是 0,4? ?, ?
? 3π 当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是 4 ,π? ?。 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

【答案】

D

(2)(2015· 沈 阳 联 考 ) 已 知 线 段 PQ 两 端 点 的 坐 标 分 别 为 P( - 1,1) 和

Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是 ? 2 1? ? ? ?- , ? ________ 3 2? 。 ?
【解析】 如图所示, 直线 l: x+my+m=0 过定点 A(0, -1), 当 m≠0 3 1 时,kQA=2,kPA=-2,kl=-m。

1 1 3 ∴-m≤-2 或-m≥2。 1 2 解得 0<m≤2或-3≤m<0; 当 m=0 时,直线 l 的方程为 x=0,与线段 PQ 有交点。 2 1? ∴实数 m 的取值范围为 -3,2? ?。 ?
? ? ? ?

【规律方法】 (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:

①求出斜率k=tan α的取值范围;
②利用三角函数的单调性,借助图像或单位圆数形结合,确定倾斜角α 的取值范围。

(2)求倾斜角时要注意斜率是否存在。

变式训练 1 则 y 等于( A.-1 C.0 )

3π (1)若经过两点 A(4,2y+1), B(2, -3)的直线的倾斜角为 4 ,

B.-3 D.2

-3-2y-1 3π 解析 由 k= =tan 4 =-1。 2-4 得-4-2y=2,∴y=-3。 答案 B

? ? π π? ? ?2π (2)若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α,而 α∈ 6,4?∪? 3 ,π? ?,则 k 的取 ? ? ? ? 3 ? [- 3,0)∪? ,1? ?3 ?。 值范围是___________________

? ? ? ?

? 3 ? π π? ? ? , 解析 当 α∈ 6 4?时,k=tan α∈ ,1?; 3 ? ? ?
? ? ? ?

2π ? 当 α∈ 3 ,π? ?时,k=tan α∈[- 3,0)。 ?
? 3 ? 综上,k∈[- 3,0)∪? ,1?。 ?3 ?

? ? ? ?

考点二

求直线的方程

【例2】 求适合下列条件的直线方程:
1 (1)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的-4;
【解】 设所求直线的斜率为 k,依题意 1 3 k=-4×3=-4。 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=-4(x+1), 即 3x+4y+15=0。

(2)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等。
【解】 解法一:设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程 y=3x,即 2x-3y=0; x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1。 3 2 ∵l 过点 P(3,2),∴a+a=1, ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0。

解法二:由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3-k,令 x=0,得 y=2-3k, 2 2 由已知 3-k=2-3k,解得 k=-1 或 k=3, ∴直线 l 的方程为 2 y-2=-(x-3)或 y-2=3(x-3), 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0。

【规律方法】
形式的适用条件。

(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种

(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用。

变式训练2 根据所给条件求直线的方程:

10 (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ;
解 由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式。 10 设倾斜角为 α,则 sin α= 10 (0<α<π), 3 10 1 从而 cos α=± 10 ,则 k=tan α=± 3, 1 故所求直线方程为 y=± 3(x+4)。 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0。

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12。



x y 由题设知直线在两坐标轴的截距不为零,设直线方程为a+ 12-a

=1,又因为直线过点(-3,4), -3 4 所以 a + =1,解得 a=-4 或 a=9。 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0。

考点三

直线方程的综合应用

直线方程是解析几何的一个基础内容,在高考中经常与其他知识结合
考查,多为中、低档题目、难度不大,且主要有以下几个命题角度。

角度一:与基本不等式相结合的最值问题

1 .已知直线l过点M(1,1),且与x轴, y轴的正半轴分别相交于 A,B 两
点,O为坐标原点。求: (1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;
解 设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0)。 x y 1 1 设直线 l 的方程为a+b=1,则a+b=1, 1 1? a b 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b) a+b? = 2 + ? b+a≥2+2 ? 当且仅当“a=b=2”时取等号, 此时直线 l 的方程为 x+y-2=0。
? ? ? ?

ab b· a=4,

(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程。
解 设直线 l 的斜率为 k,则 k<0, 直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 1 ? 则 A 1-k,0? ?,B(0,1-k), ? 1? 1 ?2 2 2 2 2 所以 |MA| + |MB| = 1-1+k? + 1 + 1 + (1 - 1 + k) = 2 + k + k2 ≥2 + ?
2 2
? ? ? ? ? ? ? ?

2

1 k· k2=4,
2

1 当且仅当 k2=k2,即 k=-1 时,|MA|2+|MB|2 取得最小值 4,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0。

角度二:与导数几何意义相结合的问题
1 2.已知曲线 y= x ,则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所 e +1 1 2 围成的三角形的面积为________ 。

解析

-ex y′= x = ?e +1?2

-1 1 x x ,因为 e >0 ,所以 e + x≥2 1 e ex+ex+2

1 ex· ex=2

-1 1 1 x 当且仅当 e =ex,即 x=0 时取等号,所以 e +ex+2≥4,故 y′= 1 x e +ex+2
x

1 ≥-4(当且仅当 x=0 时取等号)。所以当 x=0 时,曲线的切线斜率取得最 1? 1 1 小值,此时切点的坐标为 0,2? ,切线的方程为 y - =- ? 2 4(x-0),即 x+4y ? 1 -2=0。该切线在 x 轴上的截距为 2,在 y 轴上的截距为2,所以该切线与 1 1 1 两坐标轴所围成的三角形的面积 S=2×2×2=2。
? ? ? ?

角度三:由直线方程求参数问题

3.(2016·泰安模拟)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+
4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最 1 小时,实数a=________ 。 2
解析 由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,2),直线 l1 的纵截距为 2-a, 1 1 直线 l2 的横截距为 a2+2,所以四边形的面积 S=2×2×(2-a)+2×2×(a2 1? 15 1 2 +2)=a -a+4= a-2? + ,当 a = ? 4 2时,面积最小。 ?
2
? ? ? ?

【规律方法】

(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能

够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”。
(2)求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建 立目标函数,再利用基本不等式求解最值。

S

思想方法

感悟提升

⊙1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系 斜率k是一个实数,当倾斜角α≠90°时,k=tan α。直线都有倾斜角, 但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为90°的直线无斜率。 ⊙2种方法——求直线方程的方法

(1)直接法:根据已知条件选择恰当的直线方程形式,直接求出直线方
程。 (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件中构

造关于待定系数的方程(组),求出待定系数,从而求出直线方程。

⊙4个注意点——直线方程的4个注意点 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x1=x2时斜率k不存在的情况。 (2)用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在 与不存在讨论,否则会造成失误。 (3)直线的截距式中易忽视截距均不为零这一条件,当截距为零时可用 点斜式。
(4)由一般式 Ax+By+C=0 确定斜率 k 时易忽视判断 B 是否为零的情 A 况,当 B=0 时,k 不存在;当 B≠0 时,k=-B。


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