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2000-2012全国高中数学联赛分类汇编


1、 (2000 一试 3)已知点 A 为双曲线 x ?y =1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上, △ ABC 是 等 边 三 角 形 , 则 △ ABC 的 面 积 是 ( )
2 2

(A)

3 3

(B)

3 3 2

(C) 3 3

/>
(D)

6 3

3、 (2002 一试 2)若实数 x, y 满足(x+5) +(y? (A ) 2 【答案】B
[来源:学科网 ZXXK]

2

12) =14 ,则 x +y 的最小值为( (C)

2

2

2

2

)

(B) 1

3

(D)

2

【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答, x ? y 表示圆上的点(x,y)到原点的距
2 2

离。

4、 (2002 一试 4)直线

x2 y2 x y ? ? 1 相交于 A,B 两点,该圆上点 P,使得⊿ 椭圆 ? ?1 16 9 4 3
)

PAB 面积等于 3,这样的点 P 共有(

(A) 1 个 【答案】B

(B) 2 个

(C) 3 个

(D) 4 个

5、 (2003 一试 2) 设 a, b∈R, ab≠0, 那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx +ay =ab 的图形是 (

2

2



y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

【答案】B

6、 (2003 一试 3)过抛物线 y =8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线,若此直线与抛物线 交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P,则线段 PF 的长等于( ) (A) 【答案】A 【解析】 抛物线的焦点为原点(0, 0), 弦 AB 所在直线方程为 y= 3x, 弦的中点在 y= = 16 3 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3

2

p 4 上, k 3

4 4 3 4 4 16 即 AB 中点为( , ),中垂线方程为 y=- (x- )+ ,令 y=0,得点 P 的坐标为 .∴ 3 3 3 3 3 3

PF= .选 A.

16 3

7、 (2004 一试 2)已知 M={(x,y)|x +2y =3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的 m∈R, 均 有 M ∩ N?? , 则 b 的 取 值 范 围 是 ( )

2

2

A.[-
2 3 ] 3 【答案】A

6 6 , ] 2 2

B.(-

6 6 , ) 2 2

C.( -

2 3 2 3 , ] 3 3

D.[-

2 3 , 3

【解析】点(0,b)在椭圆内或椭圆上,?2b ≤3,?b∈[-
2
[来源:学科网]

6 6 , ].选 A. 2 2

8、 (2005 一试 5)方程

x2 sin 2 ? sin 3

?

y2 cos 2 ? cos 3

? 1 表示的曲线是(



A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 【答案】C

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

9、 (2007 一试 5)设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心 轨迹不可能是( )

【答案】A 【解析】设圆 O1 和圆 O2 的半径分别是 r1、r2,|O1O2|=2c,则一般地,圆 P 的圆心轨迹是焦 点为 O1、O2,且离心率分别是

2c 2c 和 的圆锥曲线(当 r1=r2 时,O1O2 的中垂线是轨 r1 ? r2 | r1 ? r2 |

迹的一部份,当 c =0 时,轨迹是两个同心圆)。 当 r1=r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 B;当 0<2c<|r1? r2|时,圆 P 的圆心轨迹如 选项 C;当 r1≠r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 D。由于选项 A 中的椭圆和双曲线 的焦点不重合,因此圆 P 的圆心轨迹不可能是选项 A。

11、 (2001 一试 7)椭圆 ρ =1/(2-cosθ )的短轴长等于______________. 【答案】

2 3 3

12、 (2003 一试 8) 设 F1、 F2 是椭圆 + =1 的两个焦点, P 是椭圆上一点, 且|PF1|∶|PF2|=2∶ 9 4 1,则△PF1F2 的面积等于 【答案】4 .

x2 y2

【解析】F1(- 5,0),F2( 5,0);|F1F2|=2 5. 2 2 2 |PF1|+|PF2|=6,?|PF1|=4,|PF2|=2.由于 4 +2 =(2 5) .故?PF1F2 是 直角三角形 5 5.∴ S=4.

13、 (2004 一试 12)在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动,当∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为 y 【答案】1 N 【解析】当∠MPN 最大时,⊙MNP 与 x 轴相切于点 P(否则⊙MNP 与 x M 轴交于 PQ,则线段 PQ 上的点 P?使∠MP?N 更大).于是,延长 NM 交 x 2 轴于 K(-3,0),有 KM·KN=KP ,?KP=4.P(1,0),(-7,0 ),但 O P K (1,0)处⊙MNP 的半径小,从而点 P 的横坐标=1.

x

14、 (2005 一试 11)若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两个顶点在抛物 线 y ? x 上.则该正方形面积的最小值为
2

.

15、 (2006 一试 9)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 与 F2 ,点 P 在直线 l: 16 4

x ? 3y ? 8 ? 2 3 ? 0
上. 当 ?F1 PF2 取最大值时,比 【答案】 3 ? 1 【解析】由平面几何知,要使 ?F1 PF2 最大,则过 F1 , F2 ,P 三点的圆必定和直线 l 相切于

PF1 PF2

的值为

.

P 点。设直线 l 交 x 轴于 A (?8 ? 2 3, 0) ,则 ?APF1 ? ?AF2 P ,即 ?APF1 ? ?AF2 P ,即

PF1 PF2

?

AP AF2

(1) , 又由圆幂定理, AP ? AF1 ? AF2 (2) , 而 F1 (?2 3, 0) ,F2 (2 3, 0) ,

2

A (?8 ? 2 3, 0) , 从 而 有 AF1 ? 8 , AF2 ? 8 ? 4 3 。 代 入 ( 1 ),( 2 ) 得

PF1 PF2

?

AF1 AF2

?

8 8? 4 3

? 4 ? 2 3 ? 3 ?1 。

17、 (2009 一试 2) 已知直线 L : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x 2 ? 2 y 2 ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 , 点 A 在直线 L 上, B , C 为圆 M 上两点,在 ?ABC 中, ?BAC ? 45? , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范围 为 . 6? 【答案】 ?3 ,
[来源:学§科§网]

9 ? a? , 【解析】 设 A? a , 则圆心 M 到直线 AC 的距离 d ? AM sin 45? , 由直线 AC 与圆 M 相

交,得 d ≤

34 .解得 3 ≤ a ≤ 6 . 2

18、 (2009 一试 5 )椭圆
OP ? OQ 的最小值为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 上任意两点 P , Q ,若 OP ? OQ ,则乘积 a 2 b2 .

19、 (2010 一试 3) 双曲线 x ? y ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部 (不含边界)
2 2

整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 【答案】9800

.

【解析】由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1,2,?,99) 与双曲线右半 支于 Ak ,交直线 x ? 100 于 Bk , 则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k , 从而在 x 轴上方 区域内部整点的个数为

? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 . 又 x 轴 上 有
k ?1

99

98 个 整 点 , 所 以 所 求 整 点 的 个 数 为

2 ? 4851 ? 98 ? 9800 .
20、 (2011 一试 7)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点, C 为抛物线上的一点,
?ACB ? 90? ,则点 C 的坐标为 【答案】 (1,?2) 或 (9,?6)



21、 (2012一试4)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为l, A, B 是抛物线上的两
2

个动点,且满足 ?AFB ? 值是 【答案】1

| MN | ? .设线段AB的中点 M 在l上的投影为 N ,则 的最大 | AB | 3
.

【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 MN ?
2 2 2

AF ? BF 2

.

在 ?AFB 中,由余弦定理得 AB ? AF ? BF ? 2 AF ? BF cos

?
3

? ( AF ? BF ) 2 ? 3 AF ? BF ? ( AF ? BF ) 2 ? 3(

AF ? BF 2

)2

?(

AF ? BF 2

)2 ? MN .
MN AB
的最大值为1.

2

当且仅当 AF ? BF 时等号成立.故

? 1 (a>b>0)。试问:当且仅当 a,b 满 a2 b2 足什么条件时, 对 C1 上任意一点 P, 均存在以 P 为项点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形? 并证明你的结论。

22、 (2000 一试 15)已知 C0:x +y =1 和 C1:

2

2

x2

?

y2

cos2 (? ? ) sin 2 (? ? ) cos ? sin ? 1 1 1 1 2 ]= 1 + 2 + ? 是, + = 2 ? 2 =( )+[ 2 2 2 2 2 2 R1 R2 OQ a b a2 OP b a
2 2

?

?

1 =1. b2
又在 Rt△POQ 中,设点 O 到 PQ 的距离为 h,则

1 1 1 = + =1,故得 h=1 2 h OP OQ 2

同理,点 O 到 QR,RS,SP 的距离也为 1,故菱形 PQRS 与 C0 外切.充分性得证. [注]对于给出 a ? b ? a b
2 2 2 2



ab a2 ? b2

=1 等条件者,应同样给分.

23、 (2001 一试 14)设曲线 C1: 个公共点 P。

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方公有一 2 a

(1) 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2) O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 大值(用 a 表示) 。

1 时,试求⊿OAP 的面积的最 2

(2)△ OAP 的面积 S ? ∵0<a<

1 ay p 2

1 ,故-a<m≤a 时,0< ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m <a, 2
x p ? ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m

由唯一性得

24、 (2002 一试 13)已知点 A(0,2)和抛物线 y=x +4 上两点 B、C 使得 AB⊥BC,求点 C 的纵 坐标的取值范围。 2 2 【解析】设 B 点坐标为 B(y1 ? 4,y1),C 点坐标为 C(y ? 4,y)
[来源:Z#xx#k.Com]

2

25、 (2003 一试 15)一张纸上画有一个半径为 R 的圆 O 和圆内一个定点 A,且 OA=a,折叠 纸片,使圆周上某一点 A?刚好与点 A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当 A?取 遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.

26、 (2004 一试 14) 在平面直角坐标系 xOy 中, 给 定三点 A(0, 4 ),B(-1,0),C(1,0),点 P 到直线 BC 的距离是该点到直 3 线 AB、AC 距离的等比中项. ⑴ 求点 P 的轨迹方程; ⑵ 若直线 L 经过?ABC 的内心(设为 D),且与 P 点轨迹 恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围. 【解析】 :⑴ 设点 P 的坐标为(x,y),
P B K -1

y
A 1 D C O 1

x

AB 方程:

x 3y + =1,?4x-3y+4=0, -1 4

① ② ③

BC 方程:y=0, AC 方程:4x+3y-4=0, 2 ∴ 25|y| =|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|,

?25y +16x -(3y-4) =0,?16x +16y +24y-16=0, 2 2 ?2x +2y +3y-2=0. 2 2 2 2 2 或 25y -16x +(3y-4) =0,?16x -34y +24y-16=0, 2 2 ?8x -17y +12y-8=0. 2 2 ∴ 所求轨迹为圆:2x +2y +3y-2=0, ④ 2 2 或双曲线:8x -17y +12y-8=0. ⑤ 但应去掉点(-1,0)与(1,0).
2 2 2 2 2

27、 (2005 一试 15)过抛物线 y ? x 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,
2

交 y 轴于 B.点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足

AE ? ?1 ;点 F 在线段 BC 上,满足 EC

BF ? ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ? 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨 FC
迹 方程. 【解析】解一:过抛物线上点 A 的切线斜率为: y ? ? 2 x | x ?1 ? 2,? 切线 AB 的方程为

1 y ? 2 x ? 1. ? B、D 的坐标为 B(0,?1), D( ,0),? D 是线段 AB 的中点. 2 AE 2 设 P( x, y ) 、 C ( x0 , x0 ) 、 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y 2 ) ,则由 ? ?1 知, EC
2 2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 ? 2 x0 ? 1 ? ? 2 x0 BE x1 ? , y1 ? ; , y2 ? . ? ?2 , 得 x2 ? 1 ? ?1 1 ? ?1 FC 1 ? ?2 1 ? ?2
2 1 ? ?1 x 0 1 ? ?1 x 0 x? 1 ? ?1 1 ? ?1 ? , ∴EF 所在直线方程为: 2 2 ? 1 ? ? 2 x 0 1 ? ?1 x 0 ? 2 x0 1 ? ?1 x0 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?1 1 ? ?2 1 ? ?1

y?

化简得 [(?2 ? ?1 ) x0 ? (1 ? ?2 )] y ? [(? 2 ? ?1 ) x0 ? 3]x ? 1 ? x0 ? ? 2 x0 . ①
2 2

解二:由解一知,AB 的方程为 y ? 2 x ? 1, B(0,?1), D( ,0), 故 D 是 AB 的中点. 令? ?

1 2

CD CA CB , t1 ? ? 1 ? ?1 , t 2 ? ? 1 ? ?2 , 则 t1 ? t 2 ? 3. 因为 CD 为 ?ABC 的中线, CP CE CF

? S ?CAB ? 2S ?CAD ? 2S ?CBD .


28、 (2006 一试 13)给定整数 n ? 2 ,设 M 0 ( x0 , y 0 ) 是抛物线 y ? nx ? 1 与直线 y ? x 的
2

一 个 交 点 . 试 证 明 对 于 任 意 正 整 数 m , 必 存 在 整 数 k ? 2 , 使 ( x0 , y 0 ) 为 抛 物 线

m

m

y 2 ? kx ? 1与直线 y ? x 的一个交点.
【解析】因为 y ? nx ? 1 与 y ? x 的交点为 x0 ? y0 ?
2

n ? n2 ? 4 1 ? n。 .显然有 x0 ? 2 x0

29、 (2007 一试 14)已知过点(0,1)的直线 l 与曲线 C: y ? x ?

1 ( x ? 0) 交于两个不同点 x

M 和 N。求曲线 C 在点 M、N 处切线的交点轨迹。

(6) 式 得 xp=2 。 (4)+(5) 得 2 y p ? (2 ? (

1 1 1 1 ? 2 )) x p ? 2( ? ) … (7) , 其 中 2 x1 x2 x1 x2


1 1 x1 ? x2 ? ? ?1 x1 x2 x1 x2

2 1 1 x12 ? x2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 x ?x 2 ? ? ? ? ( 1 2 )2 ? ? 1 ? 2(1 ? k ) ? 2k ? 1 ,代入(7) 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 3 5 式得 2 yp=(3? 2k)xp+2,而 xp=2,得 yp=4? 2k。又由 ? k ? 1 得 2 ? y p ? ,即点 P 的轨迹 4 2

为(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点)。

30、 (2008 一试 15) 如图, 点 B、C 在 y 轴上, 圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点, 内切于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值.

31、 (2009 一试 9)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 交于不同两 16 12

x2 y 2 点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向量 4 12 ???? ??? ? AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由. ? y ? kx ? m ? 【解析】由 ? x 2 y 2 消去 y 化简整理得 ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 48 ? 0 ?1 ? ? ?16 12 8km 设 A ? x1 ,y1 ? , B ? x2 ,y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 2 ?1 ? ? 8km ? ? 4 ? 3 ? 4k 2 ?? 4m2 ? 48 ? ? 0 ① ………4 分
? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 消去 y 化简整理得 ? 3 ? k 2 ? x 2 ? 2kmx ? m2 ? 12 ? 0 ? ? 1 ? ? 4 12 2km 设 C ? x3 ,y4 ? , D ? x4 ,y4 ? ,则 x3 ? x4 ? 3 ? k2 2 2 2 ? 2 ? ? ?2km ? ? 4 ? 3 ? k ?? m ? 12 ? ? 0 ② …………8 分

???? ??? ? 因为 AC ? BD ? 0 ,所以 ? x4 ? x2 ? ? ? x3 ? x1 ? ? 0 ,此时 ? y4 ? y2 ? ? ? y3 ? y1 ? ? 0 .

8km 2km . ? 2 3 ? 4k 3 ? k2 4 1 所以 2km ? 0 或 ? .由上 式解得 k ? 0 或 m ? 0 .当 k ? 0 时 ,由① 和②得 ? 2 3 ? 4k 3 ? k2 ?2 3 ? m ? 2 3 .因 m 是整数,所以 m 的值为 ?3 , ?2 , ?1 , 0 , 1 , 2 , 3 .当 m ? 0 ,

由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 得 ?

[来源:Zxxk.Com]

由①和②得 ? 3 ? k ? 3 .因 k 是整数,所以 k ? ?1 , 0 , 1 .于是满足条件的直线共有 9 条.

32、 (2010 一试 10)已知抛物线 y ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2
2

且 x1 ? x 2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.

由 ( 1 )知直线 AB 的方程为 y ? y 0 ?

3 ( x ? 2) ,即 y0

y A

x?

y0 ( y ? y0 ) ? 2 . 3

(2)
2

B

2 ( 2 ) 代 入 y ? 6 x 得 y ? 2 y 0 ( y ? y 0 ) ? 12 , 即
2 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 12 ? 0 .

O

C(5,0)

x

(3)

依题意, y1 , y 2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y 2 , 所以 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ? 12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ,
2 2 2

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .

AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? (
2 y0 )[( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9 2 y0 2 2 )( 4 y 0 ? 4(2 y 0 ? 12)) 9

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3

? (1 ?

? (1 ?

?

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) . 3

解法二:同解法一,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 坐标为 (5,0) .

5 1 2 设 x1 ? t , x2 ? t , t1 ? t 2 , t ? t ? 4 ,则 S ?ABC ? t1 2 2 t2
2 1 2 2 2 1 2 2

0 6t1

1 1 的绝对值,

6t 2 1

1 2 2 2 2 S? ABC ? ( (5 6t1 ? 6t1 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 3 3 3 14 ? (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 ? (4 ? 2t1t 2 )(t1t 2 ? 5)(t1t 2 ? 5) ? ( ) 3 , 2 2 2 3
所 以 S ?ABC ?

14 2 ? 4 , 即 t1 ? 7 , 当 且 仅 当 (t1 ? t 2 ) 2 ? t1t 2 ? 5 且 t12 ? t 2 3
, A(

7? 5 6

,

t2 ? ?

7? 5 6

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(


6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立.所以,?ABC 面积的最大值 3 3

14 7. 3

x2 y 2 1 33、 (2011 一试 11)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : ? ? 1 交于 A, B 两点(如图所示) , 3 36 4

且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; ( 2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面 积.

又 P 在直线 l 的左上方,因此, ?APB 的角平分线是平行于 y 轴的直线,所以△ PAB 的内切 圆的圆心在直线 x ? 3 2 上. (2)若 ?APB ? 60? 时,结合(1)的结论可知 k PA ? 3 , k PB ? ? 3 . 直 线 PA 的 方 程 为 : y ? 2 ? 3 ( x ? 3 2 ) , 代 入
14x 2 ? 9 6 (1 ? 3 3 ) x ? 18(13 ? 3 3 ) ? 0 .

x2 y 2 ? ?1 中 , 消 去 y 得 36 4

它的两根分别是 x 1 和 3 2 ,所以 x1 ? 3 2 ?

3 2 (13 ? 3 3 ) 18(13 ? 3 3 ) ,即 x1 ? .所以 14 14

| PA |? 1 ? ( 3 ) 2 ? | x1 ? 3 2 |?

3 2 (3 3 ? 1) . 7

34、 (2012一试11)如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且

OB ? OD ? 6 .
(1)求证: | OA | ? | OC | 为定值;(2)当点A在半圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上 运动时,求 点 C 的轨迹.
2 2


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