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高中物理竞赛辅导 恒定电流


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稳恒电流

§2、1





2.1 .1.电流、电流强度、电流密度 . .电流、电流强

度、 导体处于静电平衡时,导体内部场强处处为零。如果导体内部场强不为零,带电粒子在 电场力作用下发生定向移动,形成了电流。形成电流条件是:存在自由电荷和导体两端有电 势差(即导体中存在电场)。自由电荷在不同种类导体内部是不同的,金属导体中自由电荷 是电子;酸、碱、盐在水溶液中是正离子和负离子;在导电气体中是正离子、负离子和电子。 电流强度是描述电流强弱的物理量,单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。用 定义式表示为

I = q/t
电流强度是标量。但电流具有方向性,规定正电荷定向移动方向为电流方向。在金属导 体中电流强度的表达式是

I = nevS
n 是金属导体中自由电子密度,e 是电子电量,v 是电子定向移动平均速度,S 是导体的横 截面积。 在垂直于电流方向上,单位面积内电流强度叫做电流密度,表示为

j = I /S
金属导体中,电流密度为

j = nev
电流密度 j 是矢量,其方向与电流方向一致。 2.1 .2、电阻定律导体的电阻为 . 、电阻定律

R = ρL / S =

L σS

1? ? ?ρ = ? σ ? , 由导体的性质决定。 式中 ρ 、 σ 称为导体电阻率、电导率 ? 实验表明,多数材料的电阻率都随温度的升高而增大,在温度变化范围不大时,纯金属 的电阻率与温度之间近似地有如下线性关系 ρ = ρ 0 (1 + αt )
?1

ρ 0 为 0℃时电子率, ρ 为 t 时电阻率,α 为电阻率的温度系数,多数纯金属α 值接近于

4 × 10 ?3 ℃ ,而对半导体和绝缘体电阻率随温度 的升高而减小。某些导体材料在温度接近
某一临界温度时,其电阻率突减为零,这种现象叫超导现象。 超导材料除了具有零电阻特性外,还具有完全抗磁性,即超导体进入超导 状态时,体内磁通量被排除在体外,可以用这样一个实验来形象地说明:在一
N S

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图 2-2-1

个浅平的锡盘中,放入一个体积很小但磁性很强的永磁铁,整个装置放入低温容器里,然后 把温度降低到锡出现超导电性的温度。这时可以看到,小磁铁竟然离开锡盘表面,飘然升起 与锡盘保持一定距离后,悬在空中不动了,如图 2-2-1 所示。这是由于超导体的完全抗磁性, 使小磁铁的磁感线无法穿透超导体,磁场畸变产生一个向上的很大的排斥力,把磁铁托在空 中,这就是磁悬浮的道理,这一特性启示了人们用超导材料制造磁悬浮列车。 超导现象是 1911 年荷兰物理学家昂尼斯首先发现的。他发现在 4.2 K ( ? 268.8 ℃), 汞的电阻突然消失,并把这种“零”电阻特性称为“超导电性”。接着他又发现在 7.3K 附 近,铅也具有“超导性”。 1933 年,迈斯纳发现了超导的“完全抗磁性”,他证明处于磁场中的超导体可以把磁感 线完全排斥在体外,从而使自身可以悬浮在磁体之上。这个现象称为“迈斯纳效应”。至今 人们仍把“零电阻特性”和“完全抗磁性”作为判定材料达到“超导状态”的两个必要条件。 例 1、为了使一圆柱形导体棒电阻不随温度变化,可将两根截面积相同的碳棒和铁棒串联
?5 ?4 起来,已知碳的电阻率为 ρ 0 碳 = 3.5 × 10 ? ? m ,电阻率温度系数 α 碳 = ?5 × 10 ℃ ?8

?1

,而

铁 ρ 0 铁 = 8.9 × 10 ? ? m , 铁 ℃ 求这两棒的长度之比是多少? 解: 各种材料的长度和截面积都会随温度变化而变化,但它们电阻率的变化比线度的变 化要明显得多(一般相差两个数量级),因此可以忽略线度的变化。 将ρ =

α = 5 × 10

?3

?1

R = R0 (1 + αt )

ρ 0 (1 + αt ) 代入 R = ρL / S ,得

式中 R0 为材料 0℃时电阻 将碳棒和铁棒串联,总电阻为

R = R碳 + R铁 = R0碳 + R0铁 + R0碳α 碳 t + R0铁α 铁 t
要 R 不随温度变化,必须有

R0碳α 碳 t + R0铁α 铁 t = 0
由R

ρ 碳α 碳 3.5 × 10 ?5 × (? 5 × 10 ?4 ) = =? L碳 ρ 铁α 铁 8.9 × 10 ?8 × 5 × 10 ?3
L铁

= ρL / S ,可知截面积相同的两棒长度之比为

= 39.3 : 1
2. 1 .3、电流密度和电场强度的关系 、 通电导体中取一小段长 ?L ,其两端电压 ?U ,则有:

?U = I ? ρ

?L I ? ?L = S σS

?U / ?L = E ,
得到

I = j S

j = σE

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上式给出了电流密度与推动电荷流动的电场之间的对应关系,更细致地描述了导体的导 电规律,被称为欧姆定律的微分形式。 ①对于金属中的电流,上式中的 σ 还可有更深入的表示。 当金属内部有电场时,所有自由电子都将在原有的热运动的基础上附加一个逆场强的定 向运动,就是所有电子的这种定向运动形成宏观电流。 由于与晶体点阵的碰撞,自由电子定向速度的增加受到限制。电子与晶体点阵碰撞后散 射的速度沿各个方向几率相等,这样电子定向运动特征完全丧失,其定向速度为 0。这样电子

在电场力的作用下从零开始作匀加速运动, 设两次碰撞之间的平均时间为τ , 平均路程为 λ ,

则电子定向运动平均速度 V 。

V =

V0 + Vτ 1 ? e e ? = ? 0 ? Eτ ? = ? Eτ 2 2? 2m m ?



τ=

λ
u
, u 是电子热运动的平均速率。所以

V =?
下面我们看电流密度矢量

e λ E 2m u
的关系。在金属内部,在与

j 与电子定向运动平均速度V

j垂

直方向取一面积为 ?S 的面元,以 ?S 为底,V 为高作一个柱体。设单位体积内自由电子数 为 n,则单位时间内柱体内的所有为由电子 nV ?S 能穿过 ?S 面而形成电流, ?S 面上任一 点的电流密度:

j=

en?SV = enV ?S
的方向相反

j 的方向以正电荷运动方向为准,电子带负电, j 的方向与V
j = ?enV
代入V ,我们得到

相比,金属的电导率 σ 为

ne 2 λ 对于一定的金属导体, 在一定温度下,2mu ne 2 λ σ= 2mu

ne 2 λ E j= 2mu

是一定的, 与欧姆定律的微分形式

j = σE

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②对于导电液体, σ 同样有更细微的表达式。 能够导电的液体称为电解液。电解液中能自由移动的带电粒子是正、负离子。在没有外 电场时,正负离子作无规则的热运动。在有外场作用时,液体中正负离子定向移动形成宏观 电流,正、负离子的平均定向速度(以称迁移速度) V+ 和 V? 与所加的电场成正比。若单位 体积内有 n 对正负离子,每个离子带电量 q,考虑到负电荷的运动等效于等量的正电荷反方向 的运动,则所研究面元的电流密度大小为

j = nqV+ + nqV?
定义单位场强下的迁移速度为迁移率,分别用V+ 和V? 表示
0 0

V+0 =


σ = nq(V+0 + V?0 )

V+ V V?0 = ? E E 0 0 j = nq(V+ + V? )E = σE
0 0

对于一定浓度的某一种电解液, n、q、V+ 、V? 均为恒量,液体导电仍满足欧姆定 律。

§2、2 电路
2.2 .1、电路连接与电表改装 . 、 (1)串、并联电路的性质 串联电路通过各电阻电流相同,总电压为各电阻两端电压之和,电压的分配与电阻成正 比,功率的分配也与电阻成正比,即

U = U 1 + U 2 + … + U n = I (R1 + R2 + … Rn ) Pn = I 2 Ra
串联电路总电阻

I1 = I 2 = … = I

R = R1 + R2 + … Rn
并联电路各电阻两端电压相同,总电流为通过各支路电流之后,电流的分配与电阻成反 比,功率的分配亦与电阻成反比,即 I g Rg R

U1 = U 2 … = U

G

U U U I = I1 + I 2 + … + I n = + +…+ R1 R 2 Rn
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Ug
U

UR

http://www.fazhi.net.cn V
U

UV

图 2-2-1

U2 Pn = Rn
总电阻:

1 1 1 1 = + …+ R R1 R 2 Rn
(2)电表改装 ①欲将满偏电流为 g ,内阻为 g 的电流表改装为量程为 U 的电压表,需将分压电阻 R 和电流表串联,如图 2-2-1 所示,所谓量程为 U 时,就是当电压表两端的电压为 U 时,通过 电流表的电流为

I

R

I g ,电流表分担的电压为U g 。根据串联电路的规律有

R=



U ?U g UR U ? Rg = ? Rg n= Ug Ug I g Rg U ? I g Rg R= ? Rg = (n ? 1)Rg I g Rg RV = R + Rg = U ? Rg = nRg I g Rg

电压表内阻

通常, RV 都很大,理想情况下可认为 RV

→ ∞。

②欲将内阻为 g ,满偏电流为 g 的电流表改装为量程为 I 的电流表时,需将分流电阻 R 和电流表并联,如图 2-2-2 所示。同理可推得

R

I

R=

Ig IR

? Rg =

I n= Ig Ig I ? Ig ? Rg = 1 Rg n ?1
= R ,理想

I

Ig

R

Ig G R
Rg
G

I

R 通常,R 很小 ( R << R g ) ,可认为电流表内阻 g
情况下可认为 R → 0 。 ③将电流表改装成欧姆表

图 2-2-2

简易欧姆表接法示意图如图 2-2-3 所示, R0 为调零电阻,表头 内阻为

+

Rg ,满偏刻度为 I g 。测量前,应先将两表笔短接,调节 R0
+

G

?
R0

?


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http://www.fazhi.net.cn 红

图 2-2-3

使流过表头的电流为

Ig =

ε

I g ,若电池的电动势为 ε ,内阻为 r ,则

R0 + Rg + r

=

ε

R中

如果在两表笔间接一电阻

Rx1 = R中 , 则 电 流 减 半 , 指 针 指 表 盘 中 央 , 因 此 ,

R0 + Rg + r 称为“中值电阻”,表盘最左刻度对应于 Rx 2 → ∞ ,最右边刻度对应于

Rx 3 = 0 ,对于任一阻值 Rx ,若
I= Ig n R中 + Rx Rx 3 = 0 Rx = (n ? 1)R中 =

ε

,

8 . 4 k 3 .6 k

1.2 k 0



得 这就是欧姆表的刻度原理,如欧姆表的中值电阻

R = 1.2k? 中 ,表盘满偏 1 / 4 处的刻度为 (4 ?1)×1.2k? = 3.6k? ,

图 2-2-4

表盘满偏 1 / 8 处的刻度为 8.4k? ,如图 2-2-4 所示。 欧姆表的量程改变后,各刻度所对应的电阻值应乘以相同倍率,另外要注意,凡使用欧 姆表,必须进行机械调零和欧姆调零,并且,换档后一定要重新进行欧姆调零。 ④将电流表改装成交流电压表 交流电压表是直流电压表的基础上改装而成的,在直流电压表上串联一个二极管,就组 成交流电压表。串联二极管后,电表显示的是交流电的平均值(它等于有效值的 0.45 倍)。 用 U 代表某一量程的交流电压有效值,若不考虑二极管正向电阻值,则限流电阻计算公式为
R=

0.45U ? R′ g Ig

实验指出,二极管是一且非线性元件,它的伏安特性为一条 60 弯曲的图线,如图 2-1-5 所示,当二极管的正向电阻后,限流电 40 阻 R 与交流电压 U 之间的关系不再是线性的。因此,最大量程的 交流电压表的表盘刻度是不均匀的,如采用 J0411 型多用电表测 20 量 2.5V 以下的交流电压时, 要使用表盘上第三条刻度线, 它的起 0 始段刻度很密,刻度是不均匀的。这一点,从图 2-2-5 中可以看 得很清楚,在二极管两端电压小于 0.8V 的一段图线上,相同的 电压变化(例如 0.2 V)所对应的电流是不同的:顺次分别为

0 .4

0 .8

U (V )

图 2-2-5

1.7 mA、 3.5 mA、 7.1 mA、18.3 mA。
2.2 .2、电动势与电功率 . 、 (1)电源有保持两极间有一定电压的作用,不同种类的电源,保持两极间有一定电压的 本领不同。例如:干电池可保持正、负极间有1.5 V 的电压;常用的铅锌蓄电池可保持两极间

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有 2.0 V 的电压。为了表征电源的这种特性,物理学上引入了电动势这个物理量,电源的电 动势在数值上等于电源没有接入外电路时两极间的电压。将理想表直接接在电源的两极上测 出的电压就是电源的电动势。 (2)电流通过一段路时,自由电荷在电场力作用下发生定向移动,电场力对自由电荷作 功。电流在一段电路上所做的功 W,等于这段电路两端的电压 U、电路中电流 I 和通电时间 t 三者的乘积。即

W = UIt
单位时间内电流所做功叫做电功率,用 P 表示电功率,则

P=

W = UI t 。

§2.3、电学基本定律
2.3.1、 焦耳定律 . . 、 电流在一段只有电阻元件的电路上所做的功等于电流通过这段电路时的所产生的热量 Q。 焦耳通过实验得到结论: 如果通过一段只有电阻元件的电路的电流为 I, 这段电路的电阻为 R, 通电时间为 t,则

Q = I 2 Rt
这就是焦耳定律,我们还可推出这段电路中电流的发热功率为 P = I R 。 电流做功的过程,就是电能转化为其他形式的能的过程。一般来讲,人们用电的目的往 往不是为了发热。如使用电动机是为了将电能转化为机械能,使用电解槽是为了将电能转化 为化学能等等。发热只是副效应,因此,一般说来电热只是电功的一部分,热功率是电功的 一部分。 2.3.2、欧姆定律 . . 、 ①部分电路欧姆定律: 导体中的电流强度 I 跟它两端所加的电压 U 成正比, 跟它的电阻 R 成反比,即
2

I=

U R

上式适用于金属导电和电解液导电的情况。对非线线元件(如灯丝、二极管)和气体导 电等情况不适用。 ②一段含源电路欧姆定律:电路中任意两点间的电势差等于连接这两点的支路上各电路 元件上电势降落的代数和,其中电势降落的正、负符号规定如下: a.当从电路中的一点到另一点的走向确定后, 如果支路 上的电流流向和走向一致,该支路电阻元件上的电势降取 R2 正号,反之取负号。 R1 R2 I2 B b.支路上电源电动势的方向和走向一致时, 电源的电势 A
I1

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r1 ε1 ε r2 2

r3 ε 3

图 2-3-1

降为电源电动势的负值(电源内阻视为支路电阻)。反之,取正值。 如图 2-3-1 所示,对某电路的一部分,由一段含源电路欧姆定律可求得:

U A ? U B = I1 R1 ? ε 1 + I1r1 + ε 2 ? I 2 r2 ? I 2 R2 ? ε 3 ? I 2 R3
③闭合电路欧姆定律和电源输出功率 〈1〉闭合电路欧姆定律 U 闭合电路欧姆定律公式: ε
U

I=

ε

ε

R+r
O

Im

I

O

R

路端电压

对于确定电源 ε 、 r 一定,则U

U =ε ?r?I R U= ?ε R+r

图 2-3-2

图 2-3-3

Im =

ε

? I 图线和U ? R 图线如图 2-3-2 和 2-3-3 所示。其中

r ,为电源短路电流。

〈2〉电源输出功率

P源 = Iε =
电源的功率

(R + r ) (R + r )
ε2
?R =

ε2

P出 = IU =
电源输出功率 当R

(R + r )2 + 4r
R

ε2

= r 时电源输出功率为最大

P最大 =

ε2
4r

η = 50 % 此时电源效率 电源输出功率 P 随外电阻 R 变化如图 2-3-4 所示,若电源外
电阻分别为 R1 、 R2 时,输出功率相等,则必有

r 2 = R1 ? R2
例 2、如图 2-3-5 所示电路,设电源电压不变,问: (1) R2

I2

R2

R4

A
I3

R3

B

R1

I1

ε

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图 2-3-5

在什么范围内变化时, R2 上消耗的电功率随 R2 的增大而增 大?(2) R2 在什么范围内变化时, R2 上消耗的电功率随 R2 增大而减小? (3)R2 为何值时,R2 上消耗的电功率为最大?
2 解: 先求出 P 随 R2 变化的表达式。

P

P最大

R AB =
I1 =

(R2 + R4 )R3 (R2 + R4 ) + R3
ε

O

R1

r

R2

R

图 2-3-4

R1 +

I1 =

(R2 + R4 ) ? R3 (R2 + R4 ) + R3 (R2 + R4 + R3 )ε
ε ? (R2 + R4 )R3
R1 R2 + R1 R4 + R1 R3 + R2 R3 + R3 R4
2

R1 R2 + R1 R4 + R1 R3 + R2 R3 + R3 R4

U AB = I1 R AB =
2 2

? U AB ? R32ε 2 R2 P2 = I R2 = ? ? R + R ? R2 = (R R + R R + R R + R R + R R )2 ? ? 2 4 ? 1 2 1 4 1 3 2 3 3 4
R32ε 2 R2 = [(R1 R4 + R1 R3 + R3 R4 ) + R2 (R1 + R3 )]2
令:

R1 R4 + R1 R3 + R3 R4 = A
R2 (R1 + R3 ) = B R32ε 2 = C
则:

P2 =

CR2 CR2 = 2 ( A + BR2 ) ( A ? BR2 )2 + 4ABR2

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=

C ? A ? ? ? B R2 ? + 4 AB ? R ? 2 ? ?
2

(1)当 A > B

R2 时,即 R1 R4 + R1 R3 + R3 R4 > R2 (R1 + R3 )

R2 ↑,

A ↓, B R2 ↑, P2 ↑ R2

(2)当 A < B

R2 时,即 R1 R4 + R1 R3 + R3 R4 > R2 (R1 + R3 )
2

? A ? A R2 ↑ ? ? B R2 ? ↑, P2 ? B R2 ? R ? R2 2 ? ? <0,

2 (3)当 A = B R2 时,即 R1 R4 + R1 R3 + R3 R4 = R2 R1 + R3 , P 最大 2.3.3、基尔霍夫定律 . . 、 ①对电路中任何一个节点,流出的电流之和等于流入的电流之和。

(

)

∑I

i入

= ∑ I j出
=0

或可表达为:汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。

∑± I

i

若规定流入电流为正,则从节点流出的电流强度加负号。对于有 n 个节点的完整回路, 可列出 n 个方程,实际上只有 n ? 1 个方程是独立的。 ②沿回路环绕一周,电势降落的代数和为零,即

∑ ± ε + ∑ (± I
i

j

Rj ) = 0

对于给定的回路绕行方向,理想电源,从正极到负极,电势降落为正,反之为负;对电 阻及内阻,若沿电流方向则电势降落为正,反之为负。若复杂电路包括 m 个独立回路,则有 m 个独立回路方程。 例 3、如图 2-3-6 所示电路中,已知

ε1 = 32V , ε 2 = 24V , R1 = 5?, R2 = 6?, R3 = 54?,
求各支路的电流。 分析: 分析: 题中电路共有 2 个节点,故可列出一个节点方程。而支路 3 个,只有二个独立 的回路,因而能列出两个回路方程。三个方程恰好满足求解条件。 解: 规定 I1、I 2、I 3 正方向如图所示,则有
ε1
R1
I1

I3

I1 + I 2 ? I 3 = 0
两个独立回路,有

I2

ε2
R3

R2

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图 2-3-6

? ε1 + ε 2 ? I 2 R2 + I1 R1 = 0 ? ε 2 + I 2 R2 + I 3 R3 = 0 联解方程得: I1 = 1A,I 2 = ?0. A, I 3 = 0.5 A I 2 <0,说明 I 2 实际电流方向与图中所假定电流方向

ε
r

R

相反。 图 2-4-1 §2. 4、电路化简 2.4.1、 等效电源定理 . . 、 实际的直流电源可以看作电动势为 ε ,内阻为零的恒压源与内阻 r 的串联,如图 2-4-1 所 示,这部分电路被称为电压源。 不论外电阻 R 如何,总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源 ε 、r 对外电阻 R 提供电流 I 为

I=

ε r = ? R+r r R+r 其中 ε / r 为电源短路电流 I 0 , 因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源,
I0 r

ε

如图 2-4-2 所示。 实际的电源既可看作电压源,又可看作电流源,电流源与电压 源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利 用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。 等效电压源定理又叫戴维宁定理,内容是:两端有源网络可等 效于一个电压源,其电动势等于网络的开路电压,内阻等于从网络 两端看除电源以外网络的电阻。 如图 2-4-3 所示为两端有源网络 A 与电阻 R 的串联,网络 A 可 视为一电压源,等效电源电动势 ε 0 等 于 a、b 两点开路时端电压,等效内阻

R

图 2-4-2

a
有源 网络

r0 等于网络中除去电动势的内阻,如
图 2-4-4 所示。 等效电流源定理 又叫诺尔顿 定理,内容是:两端有源网络可等效

b

R

ε0
r0

a
R
b

图 2-4-3

图 2-4-4

于一个电流源,电流源的 I 0 等于网络两端短路时流经两端点的电流,内阻等于从网络两端看 除电源外网络的电阻。 例 4、如图 2-4-5 所示的电路中,

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ε = 3.0V , ε = 1.0V , r = 0.5?, r = 1.0?, R = 10.0?, R = 5.0?,
1 2 1 R = 4.5?, R = 19.0? 3 4 2 1 2

(1)试用等效电压源定理计算从电源

(ε 2、r2 ) 正极流出
A

E

ε 1 r1
R1

R3
B R2

D
C

的电流 I 2 ; (2)试用等效电流源定理计算从结点 B 流向节点 A 的电流 I1 。 分析: 根据题意, 分析: 在求通过 ε 2 电源的电流时, 可将 ABCDE 部分电路等效为一个电压源,求解通过 R1 的电流时,可将上下 两个有源支路等效为一个电流源。 解: (1)设 ABCDE 等效电压源电动势 ε 0 ,内阻 r0 ,如 图 2-4-6 所示,由等效电压源定理,应有

R4

ε 2 r2

图 2-4-5
ε0
r2

R ε = 1.5V r +R +R +R R (r + R2 + R3 ) r0 = 1 1 = 5? r1 + R1 + R2 + R3 电源 ε 0、r0 与电源 ε 2、r2 串联,故 ε2 + ε0 I2 = = ?0.02 A r0 + R4 + r2 I 2 <0,表明电流从 ε 2 负极流出。

ε =
0

1

1

1

1

2

3

ε 2 r2

R4

图 2-4-6

(2)将 A、B 两个节点短接,构成等效电流源( I 0、r0 )如图 2-4-7 所示,由等效电流 源定理,I 0 为原电路流经 A、 短接后的支路电流。 B 因