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华师一附中2011届高三数学模拟考试卷(一)


2011 届高三数学模拟考试卷(一)
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. (理)在复平面内,复数 z ? cos 2 ? i sin 2 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (文)单位圆上的点( c

os 2, sin 2 )位于 A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限

2. 条件 p: a ? 2 条件 q: a(a ? 2) ? 0 ,则 ? p 是 ? q 的 A.充分条件但不是必要条件 C.充要条件 B. 必要条件但不是充分条件 D.既不是充分条件也不是必要条件

3. 函数 y ? log2 ( x ? 4 ? 2)(x ? 0) 的反函数是 A. y ? 4 x ? 2 x?1 ( x ? 0) C. y ? 4 x ? 2 x?2 ( x ? 0) 4. 等比数列{ an }前 n 项和为 S n ,若 S n = x ? 3 A.
n ?1

B. y ? 4 x ? 2 x?1 ( x ? R) D. y ? 4 x ? 2 x?2 ( x ? R)

1 6

B.

1 3

1 ,则 x 的值为 6 1 C. 2 ?

D. 1

5. ( 3x ? 3 2 )100 展开式中系数为有理数的共有 A. 50 项 B.17 项 C.16 项 D.15 项 6. 一批救灾物资用 17 辆汽车从某市以 v km/h 的速度匀速运往 400 km 外的灾区,为保证车队畅通,规 定两辆汽车间的间距不得小于 (

v 2 ) km,则这批物资全部运抵灾区最少需 20

A.4h B.8h C.12h D.16h 7.(理) 正四面体的四个表面分别写有数字 1,2,3,4.将 4 个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上, 与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积能被 4 整除的概率是 A.

1 8

B.

1 16

C.

13 16

D.

9 64

(文)五个人各写一张贺卡,用信封封好后每人都从其中拿一张,则有且只有两个人拿到自己写的贺卡的 概率为

1 1 1 C. D. 4 6 12 8. (理)正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,P 为平面 ACB1 上一动点, 且点 P 到平面 ABCD 的距离等于点 P 到 点 B1 的距离,则动点 P 的轨迹所在的曲线是
A. B. A.圆 B.抛物线 C. 双曲线 D.椭圆 (文)在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动,则异面直线 CP 与 BA 所成的角 ? 的 1 取值范围是

1 2

1

2 3 1 3 2 9.(理)若 0 ? a ? 2 ,则方程 x ? ax ? 12 ? 0 在区间(0,4)上恰有 3
A.3 个根 B.2 个根 C.1 个根

A. 0 ? ? ?

?
2

B. 0 ? ? ?

?

C. 0 ? ? ?

?

D. 0 ? ? ?

?
3

D.0 个根

(文) 在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,满足横、纵坐标均为整数且过该点的函数图象的切线的倾斜角小于 45° ,则这样的点有 A.3 个

B.2 个

C.1 个

D.0 个

x2 y 2 10.(理)椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 P、Q 两点,且 OP ? OQ(O 为坐标 a b
原点) ,若椭圆的离心率 e ? [

3 2 , ] ,则椭圆长轴长的取值范围是 3 2
C. [ 3, 6 ] D. [ 5 , 7 ]

A. [ 5, 6 ]

B. [5,6]

(文) 若抛物线 y ? 2x 2 上两点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称, x1 x 2 ? ? 且 取值为 A.

1 , m的 则 2

3 2

B.2

C.

5 2

D.3

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应处) 11. 已知 tan

?
2

? 2 ,则 tan(? ?

?
4

) ? _______________.

12.(理)设随机变量 ? 服从正态分布 N(1,4) ,若 P( ? ? a )=P( ? ? a ? 2 ),则 a =______________; (文)一组数据的方差为 a ,将这组数据中的每个数据都扩大到原来的 3 倍,所得到的新一组数据的 方差为_______________. 13. 某商场在五一节至六一节期间对顾客实行一定的优惠,具体规定如下: ①若一次购物不超过 200 元,则按原价不予优惠; ②若一次购物超过 200 元,但不超过 500 元,按原价予以九折优惠; ③若一次购物超过 500 元,则其中 500 元给予九折优惠,超过 500 元的部分予以八五折优惠. 某人相中了两件商品,若分两次去购买,需分别付款 160 元和 484 元,若其只去一次购买同样的商品则 应付款_______________. 14. 双曲线 4 x ? y ? 64 ? 0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 17 ,则点 P 到较远的那条准线的距离
2 2

是_______________. 15.(理)数列{ an }是递增数列,且对于任意 n ? N ,均有 an ? n ? ?n 成立,则实数 ? 的取值范围
*

2

_______________. (文)等差数列{ an }前 n 项和为 S n ,若 a1 ? a11 ? 200,则 S11 的最大值为_______________.
2 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)

2

已知 a ? (cos( 2 x ?

?
3

), sin( x ?

?

(1) f (x) 的最小正周期;

1 ? )), b ? ( , sin( x ? )) , f ( x) ? a ? b ,试求: 4 2 4 5? (2) f (x) 在区间[0, ]上的值域. 12

17. (本小题满分 12 分) 某厂生产北京奥运会纪念品吉祥物福娃,每套吉祥物由 5 个不同的福娃组成.出厂前要对每套中的 5 个福娃逐一检测,如果至少有 2 个福娃有瑕疵则此套产品就不能出厂.已知每个福娃的生产是相互独立的. 由于生产工艺的制约,每个福娃出现瑕疵的概率均为

1 . 5

(1)求一套产品不能出厂的概率; (2) (理)由于某工作人员的失误,一批准备出厂的 6 套产品中含有 2 套不能出厂的产品,则需逐套 检验将其找出.试求恰在第 4 次检验时将不合格产品全部确定的概率. (文)由于某工作人员的失误,一批准备出厂的 6 套产品中含有 2 套不能出厂的产品,则需逐套检验 将其找出.试求恰在第 3 次检验时将不合格产品全部确定的概率. 18. (本小题满分 12 分) 如图,已知正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2,侧棱 BB1 ? 4 , 过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于 E (1)求 A1 B 与平面 BED 所成的角; (2)若 F 为 A1 B1 的中点,求 F 到平面 BED 的距离. 19. (本小题满分 12 分) (理) 已知数列{ an }, 其前 n 项和为 S n , a1 ? 2, 当 n ? 2 时,S n ? 2n ? nan 。 且 (1)求 a2、a3 ; (2)求数列{ an }的通项公式. A D B C A1 D1 F B1 E C1

(文)设{ an }是等差数列,{ bn }为各项都是正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1, a3 ? b5 ? 19, a5 ? b3 ? 9 , (1)求{ an }、{ bn }的通项公式; 20. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 y ? 4 x ,过点 M ( ? 1 ,0)作一条直线 l 与抛物线相交于不同的两点 A、B , 点 A 关于 x
2

(2)求数列{

an }前 n 项和为 S n . bn

轴的对称点为点 C . (1)求证:直线 BC 过定点; (2)若点 P 为线段 AB 的中点,求动点 P 的轨迹方程; (3) (理)在 x 轴上取点 Q(a,0), (a ? ?1) ,当点 P 在 x 轴上 方运动时,求直线 PQ 的斜率的取值范围. (文)在 x 轴上取点 Q(?4,0) ,当点 P 在 x 轴上方运动时, 求直线 PQ 的斜率的最大值.
3

Y B Q M O

A

l

X

C

21. (本小题满分 14 分) (理) 已知函数 f ( x) ? x ?

a ? 2 ln( x ? 1), ( x ? ?1) x ?1

(1)若函数 f (x) 在其定义域上为单调函数,求实数 a 的取值集合 A;

a (2) a 取 A 中最小元素时, 当 定义数列{ an }: 1 ? 1, a n ? 1 ? f (? )( n ? 2) , 数列{ an }前 n 项和为 S n ,
求证:当 n ? 2 时,① an ? 0 ; ②

1 n

1 ? S n ? 1. n

(文)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax a ? 1) ,直线 y ? a ? 1 与 f (x) 的图象有且只有两个公共点, ( (1)求 a 的值; (2)若过 P(1, m)(P 不在 f (x) 的图象上)可作 f (x) 的图象的三条切线,求 m 的取值范围.

参 考 答 案
1.C 11. ? 2.A 3.D 4.C 5.B 13.620 元 6.B 7.C 14. 8.D 9.D 10.A

1 7

12. 理 2 文 9 a

34 5 66 5 或 5 5

15. 理 ? ? ?3 文 110

1 ? ? ? 1 ? ? ? cos( 2 x ? ) ? sin( x ? ) sin( x ? ) = cos( 2 x ? ) ? sin( x ? ) cos( x ? ) 2 3 4 4 2 3 4 4 1 ? 1 ? 1 ? 1 = cos( 2 x ? ) ? sin( 2 x ? ) = cos( 2 x ? ) ? cos 2 x 2 3 2 2 2 3 2
16. 解: f (x) = a ? b ? =

1 1 3 1 3 1 1 ? ( cos 2 x ? sin 2 x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 4 4 2 6
(1) f (x) 的最小正周期 T ? ? (2) x ? [0,

5? ? ? 2 ? 1 1 1 ] 时, 2 x ? ? [? , ? ], sin( 2 x ? ) ? [? ,1] ,则 f (x) 的值域为 [? , ] 。 12 6 6 3 6 2 4 2 1 5
5

17.解: (1)对一套产品检测,记事件 A 为:5 个福娃全合格;事件 B 为:5 个福娃中只有 1 个不合格. A、

1024 1 4 1280 1 1 , P(B)= C 5 ? ? (1 ? ) ? ,所以一套产品能出厂的概率 3125 5 5 3125 1024 1280 2304 2304 821 ? ? ? P(A+B)=P(A)+P(B)= ,则一套产品不能出厂的概率 P=1-P(A+B)=1. 3125 3125 3125 3125 3125
B 为互斥事件。P(A)= (1 ? ) ? (2) (理)对 6 套产品逐一检验,恰好在第 4 次将不合格的产品全部确定有两种可能:事件 M:前 3 次检出了一套不合格产品,第 4 次正好检出另 1 套不合格品;事件 N:4 次均检出合格产品,则未检验的 即为不合格产品.且 M、N 互斥. P(M)=
1 2 3 C2 C4 A3 1 A4 1 ? ,P(N)= 4 ? .则恰好在第 4 次将不合格的产品全 4 4 5 A6 A6 15

4

部确定的概率 P(M+N)=P(M)+P(N)=

1 1 4 ? ? . 5 15 15
1 1 2 C 2 C 4 A2 2 ? 3 15 A6

(文)对 6 套产品逐一检验,记恰好在第 3 次将不合格的产品全部确定为事件 A,则 A 为前 2 次检出 了一套不合格产品,第 3 次正好检出另 1 套不合格品 P(A)=

18.解: (1) A1C 在底面的射影为 AC,AC ? BD,则 A1C ? BD, 同法 A1C ? B1E,∴A1C ? 平面 BDE ,则平面 BDE 的法向量为 AC , 分别以 DA、DC、DD1 为横、纵、竖轴建立坐标系,则 1 A1(2,0,4) ,B(2,2,0) ,C(0,2,O) ,∴ AC =(-2,2,-4) ,又 A B =(O,2,-4) 1 1 ∴cos ? AC , A B ? = 1 1

???? ?

???? ?

????

???? ???? ?

30 30 30 ,则 A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值为 ,所求角为 arcsin . 6 6 6
??? ?

(2) F(2,1,4) FB =(0,1,-4) , ,∴F 到平面 BDE 的距离 d= FB ? AC /︱ AC ︱= 1 1

???? ???? ? ?

???? ?

3 6 2
2 ; 3

19. (理)解: (1)? a1 ? 1, S n ? 2n ? nan (n ? 2) ?当 n ? 2 时,由 a1 ? a2 ? 4 ? 2a2 得 a 2 ? 当 n ? 3 时,由 a1 ? a2 ? a3 ? 6 ? 3a3 得 a 3 ?

5 . 6

(2)当 n ? 2 时, S n ? 2n ? nan ,则 n ? 3 时, S n?1 ? (n ? 1 ? n ? 1 an?1 ,相减得当 n ? 3 时, 2 ) ( )

an ? 2 ? nan ? (n ? 1)an?1 ,即(n ? 1)an ? 2 ? (n ? 1)an?1
则 (n ? 1)(an ? 1) ? (n ? 1)(an?1 ? 1),?

a n ? 1 n ? 1 a3 ? 1 2 a ?1 2?3 , ? ,? ? ? ? ,相乘得 n ? an?1 ? 1 n ? 1 a2 ? 1 4 a2 ? 1 n(n ? 1)

?1 (n ? 1) 2 ? 所以当 n ? 3 时, a n ? 1 ? , n =2 也满足上式,所以 a n ? ? 2 n(n ? 1) ?1 ? n(n ? 1) ?
方法二:先归纳、猜想再用数学归纳法证明当 n ? 2 时, a n ? 1 ?

(n ? 2)

2 ,同法 1 当 n ? 2 时, n(n ? 1)

a n ?1 ?

2 ? nan . n?2
2 满足公式成立; 3

1° 当 n ? 2 时,由(1) a 2 ?

2° 假设 n ? k (k ? 2) 时命题成立,即 a k ? 1 ?

2 ,那么 n ? k ? 1 时, k (k ? 1)

5

a k ?1 ?

2 ? kak ? k?2

2 ? k[1 ?

2 ] k 2 ? 3k 2 k (k ? 1) ,即 n ? k ? 1 时,命题也成立 ? ? 1? k ?2 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2)

?1 (n ? 1) 2 ? 综合 1° 、2° ,当 n ? 2 时, a n ? 1 ? .所以 a n ? ? 2 n(n ? 1) ?1 ? n(n ? 1) ?

(n ? 2)

.

(文)解: (1)设数列{ an }的公差为 d 、{ bn }的公比为 q(q ? 0) ,依题意 ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 19 ? ,解得 ?1 ? 4d ? q 2 ? 9 ?

d ? 1, q ? 2 ,所以数列{ an }、{ bn }的通项公式分别为 an ? 2n ? 1, bn ? 2n?1 .
3 5 2n ? 1 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ,则 S n = ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2n 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 3 1 2 两式相减的 S n =1+ ( ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? =3? ,所以 S n = 6 ? n ?1 . n n 2 2 2 2 2 2 2 2
(2)由(1)得 S n = 1 ? 20. 解: (1)设直线 l 的方程为 y=k(x+1), k ? 0,点 A( x 1 , y1 )、点 B( x 2 , y 2 ) ,则点 C( x 1 ,- y1 ) , 将直线方程与抛物线方程联立得 y ?
2

y ? y1 x ? x1 4 y ? 4 ? 0 ,有 y1 y 2 =4,直线 BC: , 又 ? k y 2 ? y1 x 2 ? x 1

x1 =

y1 y (x ? 1) 4 , x 2 ? 2 ,代入化简得 y= ,所以直线 BC 过定点(1,0) 4 4 y 2 ? y1
2 2

4 ? 4 ? y1 ? y 2 ? (2)设 P(x,y),方程 y ? y ? 4 ? 0 , 由 ? >0 得-1<k<0 或 0<k<1,且 ? k, k ? y1 y 2 ? 4 ?
2

则 x1 ? x 2 ?

y1 ? y 2 4
2

2

x ? x2 2 ? x? 1 ? 2 ?1 ? 1 ? 4 ? 2 k , 消去 k 得 y 2 =2(x+1),(x>1) . ? 2 ? 2 ,? ? k ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ? 2 k ?

(2) 依题意,0<k<1, K PQ ?

y?0 2 2 ,当且仅 ? ? ? 2 2 x?a 2 ? (a ? 1) 2 ?1? a ? ? 1 ? a )k ( k k2

2 k

当 k= ?

2 1 时取等号,而 0<k<1,需使 a<-3,所以当 a<-3 时, K PQ ? (0, ] a ?1 ? 2(a ? 1 )
2 2 ? 1 ? a)k ,其在(0,1)上是减函数,f(k)>1-a,,所以 K PQ ? (0, ( ) k 1? a

当-3 ? a ? ?1 时,记 f(k)=

6

(文)依题意,0<k<1, K PQ

2 6 y?0 2 2 6 ,当且仅当 k= 时取等号 ? ? k ? ? ? 2 2 3 x?4 6 2 6 ?3 ? 3k k k2
6 . 6

所以直线 PQ 的斜率的最大值为

21. 解: (理) (1) f ' ( x) ? 1 ?

2 x ?1 a 2 ' ? .若 a =0,则 f ( x) ? 1 ? , f (x) 在其定义域 ? 2 x ?1 x ?1 x ?1 ( x ? 1)

' 上不是单调函数;所以 a ? 0 , f ( x) ? 1 ?

a 2 1 1 1 ? ? a( ? )2 ?1 ? . 2 x ?1 x ?1 a a ( x ? 1)

若 a ? 0 ,因为 f ' ( x) 不可能恒为非负(或非正) ,所以 f (x) 也不是单调函数;则 a ? 0 ,要使 f (x) 为单调函数,还需 1 ?

1 ? 0 ,所以 a ? 1, A ? {a | a ? 1} . a 1 ? 2 l n(x ? 1) 是 定 义 域 上 的 增 函 数 , 所 以 当 n ? 2 时 , ( 2 ) ① 依 题 意 , a ? 1, f ( x) ? x ? x ?1 1 a n ? 1 ? f (? ) ? 1 ? f (0) ? 1 ? (?1) ? 0, 则 an ? 0 得证. n
② 由①当 n ? 2 时, an ? 0 ,则 S n = a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? a1 ? 1,? S n ? 1 ;

又 a n ? 1 ? f (? ) ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? 2 ln(1 ? ) ? ? ? ? 2 ln(1 ? ) ,考察函数 1 n n n ?1 n ? ?1 n 1 x ' ?1 ? ? g ( x) ? ln(1 ? x) ? x( x ? ?1) , g ' ( x) ? ,当 x ? (?1,0) 时, g ( x) ? 0, g ( x) 在(-1,0) 1? x 1? x

1 n

1 ? n

上递增,当 x ? (0,??) 时, g ' ( x) ? 0, g ( x) 在 (0,??) 上递减, 则 g ( x) max ? g (0) ? 0,? ln( ? x) ? x ? 0(当且仅当 ? 0时取 ? )所以 ln(1 ? x) ? x , (当且仅当 x ? 0 时 1 x

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ln(1 ? ) ? ? ? ? 2(? ) ? ? 那么 a n ? ? ? (n ? 2) n n n ?1 n n n ?1 n n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 当 n ? 2 时, S n =1+ a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 1 3 2 n n ?1 n 1 综上所述,当 n ? 2 时, ? S n ? 1 . n
取=) ,则 ln(1 ? ) ? ?
3 ( (文) (1)因为函数 f ( x) ? x ? ax a ? 1) 与直线 y ? a ? 1 与 f (x) 的图象有且只有两个公共点,且

1 n

, 点 A( ? 1 a ? 1 )为其一个公共点,则直线直线 y ? a ? 1 与 f (x) 的图象必相切于 A 点,
而 f ( x) ? 3x ? a ,所以 f (?1) ? 3 ? a ? 0, a ? 3 .
' 2 ' 2 法 2:方程 x ? ax = a ? 1 即为 x ? 1)(x ? x ? 1 ? a) ? 0 ,要使直线 y ? a ? 1 与 f (x) 的图象有且只 (
3

7

有两个公共点,只需方程 x ? x ? 1 ? a ? 0 还有异于-1 的另外一个根.若方程 x ? x ? 1 ? a ? 0 有等根,
2 2

3 ,不合题意,舍去;若方程 x 2 ? x ? 1 ? a ? 0 有两个不等的根,则其中一个必为-1,则另外一根 4 为 2,得 a ? 3
则a ? (2)由(1) f ( x) ? x 3 ? 3x , f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ,则过 f (x) 的图象上一点 t , f (t )) 的切线方程为: , (

y ? (t 3 ? 3t ) ? (3t 2 ? 3)(x ? t ) .若此切线过 P(1, m) ,则 m ? (t 3 ? 3t ) ? (3t 2 ? 3)(1 ? t ) ,
即 2t ? 3t ? m ? 3 ? 0 ,依题意,方程 2t 3 ? 3t 2 ? m ? 3 ? 0 有三个不同的解,记 h(t ) = 2t 3 ? 3t 2 ? m ? 3
3 2

h ' (t ) ? 6t 2 ? 6t ? 6t (t ? 1) ,则 h(t ) 在 (??,0) 上递增,在(0,1)上递减,在 (1,??) 上递增,
3 2 要使方程 2t ? 3t ? m ? 3 ? 0 有三个不同的解,只需 ?

?h(0) ? 0 ,解得 ? 3 ? m ? ?2 . ?h(1) ? 0

8


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