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【原创·名校精品解析系列】全国名校高三数学试题精品解析分类汇编·2015年4月第一期B单元 函数与导数


ziye

B 单元 函数与导数

目录
B1 函数及其表示 ............................................................................................................................ 1 B2 反函数 ........................................................................................................................................ 2 B3 函数的单调性与最值 ................................................................................................................ 3 B4 函数的奇偶性与周期性 ............................................................................................................ 6 B5 二次函数 .................................................................................................................................. 16 B6 指数与指数函数 ...................................................................................................................... 17 B7 对数与对数函数 ...................................................................................................................... 18 B8 幂函数与函数的图象 .............................................................................................................. 20 B9 函数与方程 .............................................................................................................................. 23 B10 函数模型及其运算 ................................................................................................................ 37 B11 导数及其运算 ........................................................................................................................ 38 B12 导数的应用 ............................................................................................................................ 56 B13 定积分与微积分基本定理 .................................................................................................... 81 B14 单元综合 ................................................................................................................................ 82

B1 函数及其表示
【数学理卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)word 版】13. 已知函数

? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? f ? x ? ? x ? sin ? x ? 3 , 则 f ? ?? f ? ?? f ? ?? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ?
为 . 【知识点】函数的值 B1 【答案】 【解析】 ?8058

? 4029 ? ?f? ? 的值 ? 2015 ?

解析:因为函数 f ? x ? ? x ? sin ? x ? 3 ,所以

? 1 ? f? ?? ? 2015 ?

? 2 ? f? ?? ? 2015 ?

? 3 ? f? ?? ? 2015 ?

1 4029 ? ? 4029 ? ? 1 ?f? ? ? ... ? ?=? ? ?+ 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 2015

? ? ? ? 2014? ? ? ? 2? 2014? ? ? ? sin ? sin ? ... ? sin ? ? ? ?sin ? ? ? ? ? ... ? sin ? ? ? ? ? ? 2015 2015 ? 2015 ? 2015 ? ? ? 2015 ? ? ? ?
?3 ? 4029 ? 4029 ? 0 ? 3 ? 4029 ? ?8058 ,故答案为 ?8058 .

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【思路点拨】代入数值后分组求和法即可。

【 数 学 理卷 · 2015 届广东 省 广 州市 高 三调 研 测试 ( 201501 ) word 版】 8. 已 知映 射

f : P(m, n) ? P?( m , n ) ? m ? 0, n ? 0 ? .设点 A?1,3? , B ? 2,2? ,点 M 是线段 AB 上一
动点, f : M ? M ? .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应 点 M ? 所经过的路线长度为 A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

【知识点】映射.B1 【答案】 【解析】B 解析:设点 M ? 从 A′ 开始运动,直到点 B′ 结束,由题意知 AB 的方 程为:x+y=4.设 M′ (x,y) , 2 2 2 2 则 M(x ,y ) ,由点 M 在线段 AB 上可得 x +y =4. 按照映射 f : P(m, n) ? P?( m , n ) ? m ? 0, n ? 0 ? 可得 A?1,3? →A′ (1, ) ,

B ?2 ,

? →B′ ?

2, 2 ,

?

故 tan∠A′ OX= 3 ,∴∠A′ OX= tan∠B′ OX=1,∴∠B′ OX=

? ? ,故∠A′ OB′ =∠A′ OX﹣∠B′ OX= , 12 4 ? ? 点 M 的对应点 M′ 所经过的路线长度为弧长为为∠A′ OB′ ?r= ×2= ; 6 12
故选:B. 【思路点拨】根据所给的两个点的坐标写出直线的方程,设出两个点的坐标,根据所给的映 射的对应法则得到两个点坐标之间的关系, 代入直线的方程求出一个圆的方程, 得到轨迹是 一个圆弧,求出弧长.

? . 3

B2 反函数

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B3 函数的单调性与最值
【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】13.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,9), 若 P (? ? 3) ? a , P (1 ? ? ? 3) ? b ,

a2 ? a ? 1 f (a ) ? 则函数 a ? 1 的值域是 _________
【知识点】正态分布;函数的值域 I3 B3 【答案】 【 解 析 】 ( ?1, ? )

1 6

解析:易知正态曲线关于直线 x ? 2 对称,所以

P(? ? 3) ? P(? ? 1) ? a, 则有

? 2a ? b ? 1 1 1 1 3 函 ? 0 ? a ? , f (a ) ? a ? ? ( a ? 1) ? ? 1 , 令 t ? a +1 ? (1,), ? 2 a ?1 a ?1 2 ?a ? 0, b ? 0
数 f ( a ) ? g (t ) ? t ? ? 1 在 t ? (1, ) 上是增函数,所以

1 t

3 2

3 1 g (t ) ? ( g (1), g ( )) ? ( ?1, ? ). 2 6
【思路点拨】先由正态曲线的性质可得正态曲线关于直线 x ?2 对称,则有

? 2a ? b ? 1 1 ? 0 ? a ? , 再结合函数的单调性即可。 ? 2 ?a ? 0, b ? 0

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 ( 201504 ) 】 10 . 已 知 ?ABC 是 半 径 为 5 的 圆 O 的 内 接 三 角 形 , 且 tan A ?

4 ,若 3

AO ? x AB ? y AC ( x、y ? R ), 则 x ? y 的最大值为(



4 A. 3

2 3 B. 3

C.1

5 D. 8

【知识点】向量的数量积;函数的最值 B3 F3 【答案】 【解析】 D 解析: 延长 AO 与 BC 相交于点 D, 作 OA1 ∥ DA2 ∥ AB, OB1 ∥

DB2 ∥ AC ,

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B B2 B1 A A1 O A2 C M D

设 AD ? m AB ? n AC (m ? 0, n ? 0), 易知 x ? 0, y ? 0, 则
? ?m ? ? ? ?n ? ? ? AD x AO AD y AO

AD m n ? ? ? x y AO

? AD ? x ?

AD AD AB ? y ? AC , 又 B、D、C 三点共线,所以 AO AO

x?

AD AD AO AO 1 OD ,只需 最小,就能使 ? y? ?1? x ? y ? ? ? AO AO AD AO ? OD 1 ? OD AO AO

x ? y 最大,所以当 OD 最小即可,过点 O 作 OM ? BC 于点 M , 从而 OD ? OM ,
又 ?BOM ? ?BAC ? ? , 由 tan ? ?
x? y? 1 1? 3 5 ? 5 8
4 3 OM ? cos ? ? ? ? OM ? 3, 那么 3 5 OB

【思路点拨】延长 AO 与 BC 相交于点 D, 作 OA1 ∥ DA2 ∥ AB, OB1 ∥ DB2 ∥ AC ,

设 AD ? m AB ? n AC (m ? 0, n ? 0), 易知 x ? 0, y ? 0, 则 AD ? x ?

AD AO

AB ? y ?

AD AO

AC, 结合 B、D、C 三点共线,即求

OD 最小,然后再 AO

利用三角公式求之即可。

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) ( 201504 ) 】 12. 设 x ? R ,若函数 f ? x ? 为单调递增函数,且对任意实数 x ,都有
x ,则 f ? ln 2 ? ? ( f? ? f ? x? ? e ? ? ? e ? 1 ( e 是自然对数的底数)

)

A. 1 B. e ? 1 【知识点】函数单调性的性质.B3

C.

3

D. e ? 3

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【答案】 【解析】C 解析:设 t=f(x)﹣e ,则 f(x)=e +t,则条件等价为 f(t)=e+1, t 令 x=t,则 f(t)=e +t=e+1,∵函数 f(x)为单调递增函数,∴函数为一对一函数,解得 t=1, x ln2 ∴f(x)=e +1,即 f(ln2)=e +1=2+1=3,故选:C. 【思路点拨】利用换元法 将函数转化为 f(t)=e+1,根据函数的对应关系求出 t 的值,即 可求出函数 f(x)的表达式,即可得到结论. 第Ⅱ卷

x

x

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】

?1? 5.函数 y ? 1 ? ? ? 的值域为( ?2?
A、 ?0,?? ? B、 ?0,1?

x



C、 ?0,1?

D、 ?0,1?

【知识点】函数的值域 B3

【答案】 【解析】C

? ? 1 ?x ? ? ? ?0 x ? ?2? ?1? 解析:根据题意可知 ? ,所以 0 ? 1 ? ? ? ? 1 ,则函数 x ?2? ? ?1? 1 ? ? 0 ? ? ? ?2? ?

?1? y ? 1 ? ? ? 的值域为 ?0,1? ,故选 C. ?2?
【思路点拨】先利用指数函数的性质得到 ?

x

?1? ? ? 0 ,再结合根式的意义,最后求出值域。 ?2?

x

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】12.设 x ? R ,若函数 f ? x ? 为单调递增函数,且对任意实数 x,都有
x ,则 f ? ln 2 ? ? ( f? ? f ? x? ? e ? ? ? e ? 1 ( e 是自然对数的底数)

)

A. 1

B.

e ?1

C. 3 第Ⅱ卷

D. e ? 3

【知识点】函数单调性的性质.B3 【答案】 【解析】C 解析:设 t=f(x)﹣e ,则 f(x)=e +t,则条件等价为 f(t)=e+1, t 令 x=t,则 f(t)=e +t=e+1,∵函数 f(x)为单调递增函数,∴函数为一对一函数,解得 x ln2 t=1,∴f(x)=e +1,即 f(ln2)=e +1=2+1=3,故选:C. 【思路点拨】利用换元法 将函数转化为 f(t)=e+1,根据函数的对应关系求出 t 的值,即
x x

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可求出函数 f(x)的表达式,即可得到结论.

【数学文卷· 2015 届广东省深圳市高三年级第一次调研考试 (201501) 】 9 函数 f ( x ) ? x ? 在 (??,?1) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是( A. [1,??) B。 (??,0) U (0,1] C。 (0,1] ) D。 (??,0) U [1,??)

1 ax

【知识点】函数的单调性与最值 B3 【答案】B 【解析】排除法,代入 a=2,f(x)=x+

1 1 在 (??,?1) 不为增函数,再代入 a=-1,f(x)=x2x x

为增函数成立,故选 B. 【思路点拨】比较选项代入 a 值,求出单调性判定结果。

B4 函数的奇偶性与周期性
【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考
x 试 (201504) 】 9. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2

? x ? 3, 则 f ( x)

的零点个数为(



A.1

B.2

C.3

D.4

【知识点】函数零点的判定定理;函数奇偶性的性质.B4 B9 【答案】 【解析】C 解析:∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,

∴f(0)=0,所以 0 是函数 f(x)的一个零点 当 x>0 时,令 f(x)=ex+x-3=0,则 ex=-x+3, 分别画出函数 y=ex,和 y=-x+3 的图象,如图所示,有一个交点,所以函数 f(x)有一个零 点,

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又根据对称性知,当 x<0 时函数 f(x)也有一个零点. 综上所述,f(x)的零点个数为 3 个,故选 C. 【思路点拨】先由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数确定 0 是一个零点,再令 x>0 时的函 数 f(x)的解析式等于 0 转化成两个函数,转化为判断两函数交点个数问题,最后根据奇函 数的对称性确定答案.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 18.已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? 的最大值为 2、最小正周期为

?
2

, x ? R ) ,且函数 f ( x )

?
2

,并且函数 f ( x ) 的图像过点 (

?
24

,0).

(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

C 3 f ( ) ? 2, c ? , (2) 设 ?ABC 的角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,且 4 2 求 a ? 2b 的
取值范围. 【知识点】三角函数的图像和性质;解三角形的应用 B4 【答案】 【解析】 (1) f ( x) ? 2sin(4 x ? 解析:.(1)易求得 A ? 2, ? ? 4, ? ? ? (2) 因 为

?
6

); (2)

(

3 , 2

3)

?
6

? f ( x ) ? 2sin(4 x ?

?
6

).
正 弦 定 理 得

C ? 2? f ( ) ? 2 sin(C ? )? 2? C ? , 4 6 3



?a ? sin A a b c 3 2 ? ? ? ? ?1? ? ? a ? 2b ? sin A ? 2sin B ,又 sin A sin B sin C 2 3 ?b ? sin B

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A? B ?? ?

2? ? ? ? ? ? ? A ? ? B ,则 a ? 2b ? 3 sin( B ? )(0 ? B ? ) ? 3 3 3 6 3

a ? 2b ? (

3 , 3). 2
C 4 2? ,再结合正弦 3

【思路点拨】 (1)根据已知条件易得解析式; (2)由 f ( ) ? 2 可得 C ? 定理可得结果。

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届山西省康杰中学等四校高三第三次联考(201503)】

2 x sin( ? 6 x) 2 10. 函数 y ? 的图象大致为 4x ?1

?

【知识点】函数的图像;函数的奇偶性 B4 B8

【答案】 【解析】 D

p 2 x sin( + 6 x) 2- x cos ( - 6 x) 2x cos 6 x 2 解析: 由 f ( x) = 知:f (- x) = = 4- x - 1 4x - 1 4x - 1
,总会存在

=-

2 x cos 6 x ,即 f (- x) = - f ( x) ,所以函数为奇函数,排除 A;当 x ? 4x - 1

x,使 cos6x<0,故排除 B,C,故选 D. 【思路点拨】先判断出原函数为奇函数,再利用排除法即可。

【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】19.(本小题满分 12 分)如图,矩形 ABCD 中, AD ? 平面ABE ,

AE ? EB ? BC ? 2 , G 是 AC 中点, F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面ACE . (1)求证: AE ? 平面BCE ; (2)求三棱锥 C ? BGF 的体积.

【知识点】线面垂直的判定定理;空间几何体的体积 B4
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【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)

1 3 解析: (I)证明:? AD ? 平面ABE , AD // BC ∴ BC ? 平面ABE ,则 AE ? BC ,又? BF ? 平面ACE ,则 AE ? BF BC BF ? B, ∴ AE ? 平面BCE (2)? BF ? 平面ACE , BF ? CE , 为等腰三角形, ?BCE 1 为 CE 的中点, G 是 中点 ∴ FG 且 FG ? AE ? 1 AC 2 // AE ?F ? BCE ,? FG ? 平面 , AE ? 平面 BCE 1 Rt?BCE 中, BF ? CF ? CE ? 2 ? 2


S ?CFB ?
∴V
C ? BFG

1 ? 2 ? 2 ?1 2 1 1 ? VG ? BCF ? ? S ?CFB ? FG ? 3 3

【思路点拨】 (1)先由已知条件 AD ? 平面ABE 得到 BC ? 平面ABE ,然后结合线面垂 直的判定定理即可; (2)先证明出 BF ? CE ,结合已知条件先得到 FG ? 平面 BCE ,然 后利用体积公式即可。

【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试 (201504) 】 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列

?an ? ,Sn 为其前 n 项和,a5 ? 10, S7 ? 56.

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an ? ( 3) n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。
a

【知识点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. D2 D3


B4 【答案】 【解析】 (1) an ? 2n ; (2) Tn ? n ? n ?
2

3n?1 ? 3 2

解析: (1)由 S7 ? 7 a4 ? 56 ? a4 ? 8. 公差 d ? a5 ? a4 ? 2,

a1 ? a5 ? 4d ? 2, an ? 2n;
(2) bn ? 2n ? 3n , Tn ? (2 ? 3 ) ? (4 ? 3 ) ? (6 ? 3 ) ?
1 2 3

? (2n ? 3n )

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Tn ? (2 ? 4 ?

? 2n) ? (3 ? 32 ?

? 3n ) ?

n(2 ? 2n) 3 ? (1 ? 3n ) ? 2 1? 3

? n2 ? n ?

3n ?1 ? 3 。 2

【思路点拨】 (1 ) 由等差数列的性质可得公差, 进而求出通项公式; (2) 利用分组求和即可。
【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】13.某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分层抽样抽取容量为 45 的样本,那么高三年级应抽取的人数为 人

【知识点】分层抽样 B4 【答案】 【解析】20 解析:高三年级应抽取的人数为 45 ?

400 ? 20 ,故答案为 20. 900

【思路点拨】利用分层抽样的定义即可。

【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试 (201504) 】 9. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 的零点个数为( )
x

? x ? 3, 则 f ( x)

A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】函数零点的判定定理;函数奇偶性的性质.B4 B9 【答案】 【解析】C 解析:∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,

∴f(0)=0,所以 0 是函数 f(x)的一个零点 当 x>0 时,令 f(x)=ex+x-3=0,则 ex=-x+3, 分别画出函数 y=ex,和 y=-x+3 的图象,如图所示,有一个交点,所以函数 f(x)有一个零 点,

又根据对称性知,当 x<0 时函数 f(x)也有一个零点. 综上所述,f(x)的零点个数为 3 个,故选 C.

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【思路点拨】先由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数确定 0 是一个零点,再令 x>0 时的函 数 f(x)的解析式等于 0 转化成两个函数,转化为判断两函数交点个数问题,最后根据奇函 数的对称性确定答案.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】14.已知 f(x)是 R 上的奇函数,f(x)= ? 解集为 . 【知识点】函数奇偶性的性质.B4 【答案】 【解析】 (﹣1,+∞)解析:f(x)是 R 上的奇函数;∴f(﹣1)=﹣f(1) ; ∴﹣1﹣m=﹣3;∴m=2; 容易判断二次函数 x +2x 在[0,+∞)单调递增,﹣x +2x 在(﹣∞,0)上单调递增; ∴x +2x≥0,﹣x +2x<0; ∴函数 f(x)= 在 R 上单调递增;
2 2 2 2
2 ? ? x ? 2 x( x ? 0) , 则 f(x-1)? f (m x) 2 ? ? x ? m x ( x ? 0 ) ?

∴由 f(x﹣1)<f(2x)得,x﹣1<2x;∴x>﹣1; ∴f(x﹣1)<f(mx)的解集为(﹣1,+∞) .故答案为: (﹣1,+∞) . 【思路点拨】先根据 f(x)为奇函数,便有 f(﹣1)=﹣f(1) ,所以可求出 m=2,所以 f (x)= ,而根据二次函数的单调性以及分段函数单调性的判断方法可得

出函数 f(x)在 R 上单调递增.所以由 f(x﹣1)<f(2x)便得到 x﹣1<2x,这样便解得 x>﹣1.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】7.函数 f(x)=x·2
x

-x-1 的零点个数为 C.0 D.1

A.2 B.3 【知识点】函数零点的判定定理 B4 【答案】 【解析】D

解析:当 x<0 时,f(x)=x?2|x|-x-1=x(2|x|-1)-1<-1;

故函数 f(x)=x?2|x|-x-1 在(-∞,0)上没有零点; 当 x≥0 时,f(x)=x?2x-x-1,f′(x)=2x+xln2?2x-1=xln2?2x+2x-1≥0;

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故 f(x)=x?2x-x-1 在[0,+∞)上是增函数,且 f(0)=-1,f(2)=8-2-1=5>0; 故函数 f(x)=x?2|x|-x-1 在[0,+∞)上有且只有一个零点; 综上所述,函数 f(x)=x?2|x|-x-1 的零点个数为 1; 故选:D. 【思路点拨】注意到绝对值,分 x<0 与 x≥0 讨论,从而函数的单调性及函数零点的判定定 理判断零点的个数.

【 【名校精品解析系列】 数学卷· 2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试 (201504) 】 19. (本 小题满分 16 分)

设 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a ? a . (1)若 f ( x) 为奇函数,求 a 的值;
3] , f ( x )≥0 恒成立,求 a 的取值范围; (2)若对任意的 x ? [2,

(3)当 a ? 4 时,求函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 零点的个数. 【知识点】函数的奇偶性;不等式恒成立;函数的零点 B4 B9 【答案】 【解析】 (1) a ? 0 ; (2) a≤ 4 或 a≥ 9 ; (3)见解析 2 3 解析: (1)若 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) , 令 x ? 0 得, f (0) ? ? f (0) ,即 f (0) ? 0 , 所以 a ? 0 ,此时 f ( x) ? x x 为奇函数. ?? 4 分

3] , f ( x )≥0 恒成立,所以 f ( x)min ≥0 . (2)因为对任意的 x ? [2, 3] , f ( x) ? x x ? a ? a≥0 恒成立,所以 a≤0 ; ?? 6 分 当 a≤0 时,对任意的 x ? [2,
2 ? x ? a, ?? x ? ax ? a, 当 a ? 0 时,易得 f ( x) ? ? 2 在 ??,a ? 上是单调增函数,在 ? a , a? 上 ?2 ? ? 2? ? ? ? ? x ? ax ? a, x≥a

?

? ? ? 上是单调增函数, 是单调减函数,在 ? a,
当 0 ? a ? 2 时, f ( x)min ? f (2) ? 2(2 ? a) ? a≥0 ,解得 a≤ 4 ,所以 a≤ 4 ; 3 3 当 2≤ a≤3 时, f ( x)min ? f (a) ? ?a≥0 ,解得 a≤0 ,所以 a 不存在;

3(a ? 3) ? a?≥0 , 当 a ? 3 时,f ( x)min ? min ? f (2) ,f (3)? = min ?2(a ? 2) ? a , 解得 a≥ 9 , 2
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所以 a≥ 9 ; 2 综上得, a≤ 4 或 a≥ 9 . 2 3 (3)设 F ( x) ? f ? f (x) ? a ? , 令 t ? f ( x) ? a ? x x ? a 则 y ? f (t ) ? t t ? a ? a , a ? 4 , 第一步,令 f (t ) ? 0 ? t t ? a ? a , 所以,当 t ? a 时, t 2 ? at ? a ? 0 ,判别式 ? ? a(a ? 4) ? 0 ,
2 2 解得 t1 ? a ? a ? 4a , t2 ? a ? a ? 4a ; 2 2

?? 10 分

当 t≥a 时,由 f (t ) ? 0 得,即 t (t ? a) ? a ,
2 解得 t3 ? a ? a ? 4a ; 2
2 第二步,易得 0 ? t1 ? a ? t2 ? a ? t3 ,且 a ? a , 2 4

① 若 x x ? a ? t1 ,其中 0 ? t1 ? a , 4 当 x ? a 时, x2 ? ax ? t1 ? 0 ,记 p( x) ? x2 ? ax ? t1 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2 且 ?1 ? a 2 ? 4t1 ? 0 , 所以方程 t 2 ? at ? t1 ? 0 有 2 个不同的实根; p(a) ? t1 ? 0 , 当 x≥a 时, x2 ? ax ? t1 ? 0 ,记 q( x) ? x2 ? ax ? t1 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
q(a) ? ?t1 ? 0 ,且 ?2 ? a2 ? 4t1 ? 0 ,所以方程 x2 ? ax ? t1 ? 0 有 1 个实根,

2

从而方程 x x ? a ? t1 有 3 个不同的实根; ② 若 x x ? a ? t2 ,其中 0 ? t2 ? a , 4 由①知,方程 x x ? a ? t2 有 3 个不同的实根; ③ 若 x x ? a ? t3 , 当 x ? a 时, x2 ? ax ? t3 ? 0 ,记 r ( x) ? x2 ? ax ? t3 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
r (a) ? ?t3 ? 0 ,且 ?3 ? a2 ? 4t3 ? 0 ,所以方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 1 个实根;
2

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当 x≤a 时, x2 ? ax ? t3 ? 0 ,记 s( x) ? x2 ? ax ? t3 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
s(a) ? t3 ? 0 ,且 ?3 ? a2 ? 4t3 ,

a 2 ? 4t3 ? 0 ? a3 ? 4a 2 ? 16 ? 0 ,

?? 14 分

记 m(a) ? a3 ? 4a 2 ? 16 ,则 m?(a) ? a(3a ? 8) ? 0 , 故 m(a) 为 (4,? ?) 上增函数,且 m(4) ? ?16 ? 0 , m(5) ? 9 ? 0 ,
5) , 所以 m(a) ? 0 有唯一解,不妨记为 a 0 ,且 a0 ? (4 ,

若 4 ? a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 0 个实根; 若 a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 1 个实根; 若 a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 2 个实根, 所以,当 4 ? a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 1 个实根; 当 a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 2 个实根; 当 a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 3 个实根. 综上,当 4 ? a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 7; 当 a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 8; 当 a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 9. ?? 16 分
3] , f ( x )≥0 恒成 【思路点拨】 (1)利用奇函数的定义判定即可; (2)因为对任意的 x ? [2,

立,所以 f ( x)min ≥0 ,然后对 a 分类讨论即可; (3)设 F ( x) ? f ? f (x) ? a ? , 令 t ? f ( x) ? a ? x x ? a 则 y ? f (t ) ? t t ? a ? a , a ? 4 ,再进行分类讨论。

【数学文卷· 2015 届广东省深圳市高三年级第一次调研考试( 201501 ) 】 11 已知函数

? x 2 ? 3, x ? 0 f ( x) ? ? ,则 f (2015) ? f (?2015) ? 2 x ? 0 3 ? x , ?
【知识点】函数的奇偶性 B4 【答案】0 【解析】由题意得 f(x)的定义域为 R,f(-x)=-f(x)为奇函数可知 f (2015) ? f (?2015) ? 0

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【思路点拨】先判断奇偶性再求出结果。

【数学文卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)WORD 版(修改) 】12. 在平面 直角坐标系 xOy 中,设不等式组 ?

??1 ? x ? 1, 所表示的平面区域是 W ,从区域 W 中随 ?0 ? y ? 2
.

机取点 M ? x, y ? ,则 OM ? 2 的概率是 【知识点】几何概型.B4 【答案】 【解析】

2? ? 3 3 12

解析:若 ?

??1 ? x ? 1, ,则区域 W 的面积是 2×2=4. 0 ? y ? 2 ?

满足 OM ? 2 的点 M 构成的区域为{ ? x, y ? | ?1 ? x ? 1 , 0 ? y ? 2 , x2 ? y 2 ? 4 }, 面积为 2 ?

?1 1 ?1 ?? 2? ? ? 22 ? ? ? ? 22 ? ?1? 3 ?? ? ? 3, 2 ?6 ?? 3 ?4
2? ? 3 3 . 12

故 OM ? 2 的概率为

故答案为:

2? ? 3 3 . 12

【思路点拨】若 x,y∈R,则区域 W 的面积是 2× 2=4.满足 OM ? 2 的点 M 构成的区域为 { ? x, y ? | ?1 ? x ? 1 , 0 ? y ? 2 , x2 ? y 2 ? 4 },求出面积,即可求出概率.

【数学文卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)WORD 版(修改) 】10. 已知函 数 f ? x ? ? x ? sin ? x ? 3 , 则 f ? A. 4029 【知识点】函数的值 B4 【答案】 【解析】D 解析:因为函数 f ? x ? ? x ? sin ? x ? 3 ,所以

? 1 ? ?? ? 2015 ?

? 2 ? f? ?? ? 2015 ?

? 3 ? f? ?? ? 2015 ?

? 4029 ? ?f? ? 的值为 ? 2015 ?
D. ?8058

B. ?4029

C. 8058

? 1 ? f? ?? ? 2015 ?

? 2 ? f? ?? ? 2015 ?

? 3 ? f? ?? ? 2015 ?

1 4029 ? ? 4029 ? ? 1 ?f? ? ? ... ? ?=? ? ?+ 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 2015

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? ? ? ? 2014? ? ? ? 2? 2014? ? ? ? sin ? sin ? ... ? sin ? ? ? ?sin ? ? ? ? ? ... ? sin ? ? ? ? ? ? 2015 2015 ? 2015 ? 2015 ? ? ? 2015 ? ? ? ?
?3 ? 4029 ? 4029 ? 0 ? 3 ? 4029 ? ?8058 ,故选 D.
【思路点拨】代入数值后分组求和法即可。

B5 二次函数
【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试 (201504)WORD 版】10.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c? ac ? 0? 图象的顶点坐标为
2

(-

b 1 ,- ) ,与 x 轴的交点 P , Q 位于 y 轴的两侧,以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴 2a 4a

4) 和 F2 (0,-4) ,则点 (b,c) 所在曲线为 交于 F1 (0,
A. 圆 B.椭圆 【知识点】轨迹方程;二次函数的性质.B5 C.双曲线 D.抛物线

【答案】 【解析】B

b 4ac-b 解析:结合二次函数的顶点坐标为( - , ),根据题意可得 2a 4a
-b +1 - b-1 , 0 )和( , 0 ), 2a 2a

2

? ? b 2 ? 4ac ? 1,①,二次函数图像和 x 轴的两个交点分别为(
利用射影定理即得: ?(

?b ? 1 ?b ? 1 ? ) ? 16 ?1 ? b 2 ? 64a 2 ,结合①先求出 a 和 c 之间的 2a 2a
2

关系,代入①可得到,( b, c )所在的曲线为 b ?

c2 ? 1 ,表示椭圆.故选 B. 4
2

【思路点拨】 确定以线段 PQ 为直径的圆的圆心坐标, 利用|CM|=|CQ|, 及二次函数 y=ax +bx+c (ac≠0)图象的顶点坐标,化简,即可求得点(b,c)所在曲线.

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】16.已知函数

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3, 集合 M ? ?( x, y ) | f ( x) ? f ( y ) ? 0? ,集合

N ? ?( x, y ) | f ( x) ? f ( y ) ? 0? ,则集合 M

N 的面积为

【知识点】交集及其运算;二次函数的性质.A1 B5
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【答案】 【解析】 ? 解析:∵f(x)=x ﹣4x+3,集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集 合 N={(x,y)|f(x)﹣f(y)≥0},
2

∴集合 M: (x﹣2) +(y﹣2 ≤2,是一个以(2,2)为圆心, 为半径的圆,面积是 2π, 2 2 集合 N: (x﹣2) ≥(y﹣2) ,或者(x+y﹣4) (x﹣y)≥0, 两条直线 x+y﹣4=0 和 x﹣y=0 把 M 平均分为 4 份,其中两份就是 M 与 N 的交集, 则 M∩ N 面积= ×2π×2= ×2=π.故答案为:π.

2

2

【思路点拨】根据题意确定出 M,N 所表示的平面区域,两条直线 x+y﹣4=0 和 x﹣y=0 把 M 平均分为 4 份,其中两份就是 M 与 N 的交集,求出即可.

【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】16.已知函数

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3, 集合 M ? ?( x, y ) | f ( x) ? f ( y ) ? 0? ,集合

N ? ?( x, y ) | f ( x) ? f ( y ) ? 0? ,则集合 M
2

N 的面积为

【知识点】交集及其运算;二次函数的性质.A1 B5 【答案】 【解析】 ? 解析:∵f(x)=x ﹣4x+3,集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集 合 N={(x,y)|f(x)﹣f(y)≥0}, 2 2 ∴集合 M: (x﹣2) +(y﹣2 ≤2,是一个以(2,2)为圆心, 为半径的圆,面积是 2π, 2 2 集合 N: (x﹣2) ≥(y﹣2) ,或者(x+y﹣4) (x﹣y)≥0, 两条直线 x+y﹣4=0 和 x﹣y=0 把 M 平均分为 4 份,其中两份就是 M 与 N 的交集, 则 M∩ N 面积= ×2π×2= ×2=π.故答案为:π.

【思路点拨】根据题意确定出 M,N 所表示的平面区域,两条直线 x+y﹣4=0 和 x﹣y=0 把 M 平均分为 4 份,其中两份就是 M 与 N 的交集,求出即可.

B6 指数与指数函数
【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 9.已知 a ? 0, b ? 0 且 a ( )

? 1 ,若函数 y ? log a x 过点 ?a ? 2b,0 ? ,则

1 1 ? 的最小值为 a ?1 b

A、

3? 2 2 2

B、

14 3

C、

15 4

D、 2 2

【知识点】对数函数的性质;基本不等式 B7 B6

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【答案】 【解析】A

解析:因为函数 y ? log a x 过点 ?a ? 2b,0 ? ,所以有 a + 2b = 1 ,即

b=


1- a 1 1 1 2 3- a + = + = ,所以 ,令 t = 3 - a ,即 a = 3 - t ,代入关系式可 2 a +1 b a +1 1 - a 1 - a 2

t = 6t - t 2 - 8

1 1 ? 骣 8 8 6- 琪 t+ 6- 2 t 琪 桫 t t

3 +2 2 ,故选 A. 2

【思路点拨】 先由函数 y ? log a x 过点 ?a ? 2b,0 ? 得到 a + 2b = 1 , 然后用一个参量 a 表示出

1 1 ? ,最后利用基本不等式即可。 a ?1 b

【数学文卷·2015 届广东省广州市高三调研测试( 201501) WORD 版(修改) 】 8. 已知

log 2 a ? log 2 b ,则下列不等式一定成立的是
A.

1 1 ? a b
a b

B. log2 ? a ? b? ? 0 D. 2
a ?b

?1? ?1? C. ? ? ? ? ? ? 3? ? 2?

?1

【知识点】指数函数、对数函数的性质 B6 B7 【答案】 【解析】 C 故选 C. 【思路点拨】先由对数函数的性质得到 a ? b ? 0 ,再由指数函数的性质可得结果。 解析: 因为 log 2 a ? log 2 b , 所以 a ? b ? 0 , 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ,

?1? ? 3?

a

?1? ? 3?

b

?1? ? 2?

b

B7 对数与对数函数
【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 9.已知 a ? 0, b ? 0 且 a ( )

? 1 ,若函数 y ? log a x 过点 ?a ? 2b,0 ? ,则

1 1 ? 的最小值为 a ?1 b

A、

3? 2 2 2

B、

14 3

C、

15 4

D、 2 2

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【知识点】对数函数的性质;基本不等式 B7 B6 【答案】 【解析】A 解析:因为函数 y ? log a x 过点 ?a ? 2b,0 ? ,所以有 a + 2b = 1 ,即

b=


1- a 1 1 1 2 3- a + = + = ,所以 ,令 t = 3 - a ,即 a = 3 - t ,代入关系式可 2 a +1 b a +1 1 - a 1 - a 2

t = 6t - t 2 - 8

1 1 ? 骣 8 8 6- 琪 t+ 6- 2 t 琪 t 桫 t

3 +2 2 ,故选 A. 2

【思路点拨】 先由函数 y ? log a x 过点 ?a ? 2b,0 ? 得到 a + 2b = 1 , 然后用一个参量 a 表示出

1 1 ? ,最后利用基本不等式即可。 a ?1 b

【【名校精品解析系列】数学卷·2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试(201504)】13.设

x , y , z 均为大于 1 的实数,且 z 为 x 和 y 的等比中项,则

lg z lg z 的最小值为 ▲ . ? 4lg x lg y

【知识点】对数的运算性质;基本不等式 B7 E6 【答案】 【解析】 9 解析:因为 x , y , z 均为大于 1 的实数,所以 lg x ? 0,lg y ? 0,lg z ? 0 , 8

lg z lg z 4lg x ? lg y 1 4lg x ? lg y 又由 z 为 x 和 y 的等比中项, 可得 z 2 ? xy , ? ? lg z ? ? lg xy ? 4lg x lg y 4lg x ? lg y 2 4lg x ? lg y
?

? lg x ? lg y ?? 4lg x ? lg y ?
8lg x ? lg y

4 ? lg x ? ? 5lg x ? lg y ? ? lg y ? 9lg x ? lg y 9 ? ? ? ,故答案为 9 。 8lg x ? lg y 8lg x ? lg y 8 8
2 2

【思路点拨】先由 x , y , z 均为大于 1 的实数,所以 lg x ? 0,lg y ? 0,lg z ? 0 , 又由 z 为 x 和 y 的等比中项,可得 z 2 ? xy ,然后再利用基本不等式即可。

【数学文卷·2015 届广东省广州市高三调研测试( 201501) WORD 版(修改) 】 8. 已知

log 2 a ? log 2 b ,则下列不等式一定成立的是
A.

1 1 ? a b

B. log2 ? a ? b? ? 0

C. ? ? ? ?

?1? ? 3?

a

?1? ? ?2?

b

D. 2

a ?b

?1

【知识点】指数函数、对数函数的性质 B6 B7 【答案】 【解析】 C

?1? ?1? ? 1? 解析: 因为 log 2 a ? log 2 b , 所以 a ? b ? 0 , 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? , ? 3? ? 3? ? 2?
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a

b

b

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故选 C. 【思路点拨】先由对数函数的性质得到 a ? b ? 0 ,再由指数函数的性质可得结果。

B8 幂函数与函数的图象
【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试 ( 201504 ) WORD 版 】 9 . 对 于 函 数 f ( x ) , 若 存 在 区 间 A ? [m,n] , 使 得

?y | y ?

f ( x),x ? A? ? A ,则称函数 f ( x) 为“可等域函数” ,区间 A 为函数 f ( x ) 的
? x) 2
B. f ( x) ? 2 x - 1
2

一个“可等域区间” .下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 A. f ( x) ? sin(

C. f ( x) ? 2 x ? 1 【知识点】函数的图象.B8 【答案】 【解析】B

D. f ( x) ? log 2 (2x ? 2)

解析:选项 A 中,区间 [?1,0],[0,1],[?1,1] 都可以是“等可域区间” ;

选项 C,D 中,函数均为增函数且与 y ? x 不可能有两个交点;选项 B 中, “等可域区间” 为 [?1,1] .故选 B. 【思路点拨】根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】11.已知函数 f ( x) ? a ln x ? 像不可能是( )

2(1 ? x) ( a ? R )定义域为 (0,1) ,则 f ( x) 的图 1? x

【知识点】函数的图象.B8

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【答案】 【解析】D

解析:已知函数 f(x)=alnx+

(a∈R) ,定义域为(0,1) ,

下面把参数分以下三种情况进行讨论: (1)当 a=0 函数 f(x)=alnx+ 转化为 f(x)= 对定义域(0,1)

内的每一个 x 代入关系式得到,f(x)>0.故 A 符合 (2)当 a<0 用单调性来进行讨论 由于函数 lnx 在定义域(0,1)内为增函数,则 alnx 为减函数 同时 = 也为减函数,所以函数 f(x)为减函数,故 A 符合 ,

(3)当 a>0 利用函数的导数来讨论,已知 f(x)=alnx+

则 f′(x)= +

=

,令 f′(x)=0 即 ax +(2a﹣4)x+a=0

2

则△=16﹣16a 下面再分三种情况讨论 ①当 a=1,f′(x)= 故 B 符合 ②当 1>a>0 时 ax +(2a﹣4)x+a=0 存在两根 x1= x2= ,由于 1>a>0 则 得到 1>x1>0,x2>1
2

=

>0 则函数 f(x)为增函数



当 x1>x>0 函数图象为增函数 当 x1<x<1 时为减函数 故 C 符合 ③当 a>1 时 f′(x)>0 恒成立 故 B 符合 通过以上讨论,排除得到答案应 D. 【思路点拨】已知函数 f(x)=alnx+ (a∈R) ,在函数式中含有参数,所以本题

在定义域内对参数的讨论是本题的重点,可以对参数 a 分以下几种情况进行讨论①a=0②a <0③a>0 根据不同的情况进行具体分析。

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届山西省康杰中学等四校高三第三次联考(201503)】

2 x sin( ? 6 x) 2 10. 函数 y ? 的图象大致为 x 4 ?1

?

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【知识点】函数的图像;函数的奇偶性 B4 B8

【答案】 【解析】 D

p 2 x sin( + 6 x) 2- x cos ( - 6 x) 2x cos 6 x 2 解析: 由 f ( x) = 知: f ( x ) = = 4- x - 1 4x - 1 4x - 1
,总会存在

=-

2 x cos 6 x ,即 f (- x) = - f ( x) ,所以函数为奇函数,排除 A;当 x ? 4x - 1

x,使 cos6x<0,故排除 B,C,故选 D. 【思路点拨】先判断出原函数为奇函数,再利用排除法即可。

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】11.已知函数 f ( x) ? a ln x ? 不可能是( y ) y y y

2(1 ? x) ( a ? R )定义域为 (0,1) ,则 f ( x) 的图像 1? x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

A. B. 【知识点】函数的图象.B8 【答案】 【解析】D

C.

D.

解析:已知函数 f(x)=alnx+

(a∈R) ,定义域为(0,1) ,

下面把参数分以下三种情况进行讨论: (1)当 a=0 函数 f(x)=alnx+ 转化为 f(x)= 对定义域(0,1)

内的每一个 x 代入关系式得到,f(x)>0.故 A 符合 (2)当 a<0 用单调性来进行讨论 由于函数 lnx 在定义域(0,1)内为增函数,则 alnx 为减函数同时 = 也为减函数,所以函数 f(x)为减函数,故 A 符合 ,

(3)当 a>0 利用函数的导数来讨论,已知 f(x)=alnx+

则 f′(x)= +

=

,令 f′(x)=0 即 ax +(2a﹣4)x+a=0

2

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则△=16﹣16a 下面再分三种情况讨论 ①当 a=1,f′(x)= 故 B 符合 ②当 1>a>0 时 ax +(2a﹣4)x+a=0 存在两根 x1= x2= ,由于 1>a>0 则 得到 1>x1>0,x2>1
2

=

>0 则函数 f(x)为增函数



当 x1>x>0 函数图象为增函数 当 x1<x<1 时为减函数故 C 符合 ③当 a>1 时 f′(x)>0 恒成立故 B 符合,通过以上讨论,排除得到答案应 D. 【思路点拨】已知函数 f(x)=alnx+ (a∈R) ,在函数式中含有参数,所以本题

在定义域内对参数的讨论是本题的重点,可以对参数 a 分以下几种情况进行讨论①a=0②a <0③a>0 根据不同的情况进行具体分析。

B9 函数与方程
【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

椭圆的短轴端点与双曲线

y2 ? x 2 ? 1 的焦点重合,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 2

C 相交于 A, B 两点。
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围。 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.H5 H8

13 x2 y 2 [?4, ) ? ?1 【答案】 【解析】 (1) 4 ; (2) 4 3
解析: (1)由题意知 e ?

c 1 c2 a 2 ? b2 1 ? ,? e 2 ? 2 ? ? , a 2 a a2 4

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4 。又双曲线的焦点坐标为 (0, ? 3), b ? 3 ,? a 2 ? 4, b 2 ? 3 , a 2 ? b2 3
? 椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

(2)若直线 l 的倾斜角为 0 ,则 A(?2, 0), B (2, 0), OA ? OB ? ?4 , 当直线 l 的倾斜角不为

0

时,直线 l 可设为 x ? my ? 4 ,

? x ? my ? 4 ? (3m 2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ,由 ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12
? ? 0 ? (24m) 2 ? 4 ? (3m 2 ? 4) ? 36 ? 0 ? m 2 ? 4
设 A(my1 ? 4, y1 ), B (my2 ? 4, y2 ) , y1 ? y2 ? ?

24m 36 , , y1 y2 ? 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

OA ? OB ? (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2 ? m 2 y1 y2 ? 4my1 y2 ? 16 ? y1 y2
?
13 116 m 2 ? 4,? OA ? OB ? (?4, ) 13 ? 4 , 4 ,综上所述:范围为 [?4, ) , 3m 2 ? 4 4
=1 得焦点 , 得 b= . 又 , a =b +c ,
2 2 2

【思路点拨】 (1) 由双曲线

联立解得即可; (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣4) ,与椭圆 方程联立得到, (4k +3)x ﹣32k x+64k ﹣12=0,由△>0 得 y 2) ,利用根与系数的关系可得
2 2 2 2

.设 A(x1,y1) ,B(x2,

=x1x2+y1y2,进而得到取值范围.
x

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e sin x (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? kx ,求实数 k 的取值范围。

【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.B9 B12 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2) (??,1] 解析: (1) f ( x) ? e sin x ? e cos x ? e (sin x ? cos x) ,
' x x x

令 y ? sin x ? cos x ?

? ? 3? 2 sin( x ? ), 当 x ? (2k? ? , 2k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单增, 4 4 4
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x ? (2k? ?

3? 7? , 2 k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单减 4 4
x

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx ,即 g ( x) ? 0 恒成立, 而 g ( x) ? e (sin x ? cos x) ? k ,
' x

令 h( x) ? e (sin x ? cos x) ? h ( x) ? e (sin x ? cos x) ? e (cos x ? sin x) ? 2e cos x
x ' x x x

x ? [0, ], h ( x) ? 0 ? h( x) 在 [0, ] 上单调递增,1 ? h( x) ? e 2 , 2 2
'

?

?

?

当 k ? 1 时, g ( x) ? 0, g ( x) 在 [0,
'

?
2

] 上单调递增, g ( x) ? g (0) ? 0 ,符合题意;

当 k ? e 2 时, g ( x) ? 0 ? g ( x) 在 [0,
'

?

?
2

] 上单调递减, g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合;

当 1 ? k ? e 2 时, g ( x) 为一个单调递增的函数,而 g (0) ? 1 ? k ? 0, g ( ) ? e 2 ? k ? 0 ,
'
' '

?

?

?

2

由零点存在性定理,必存在一个零点 x0 ,使得 g ' ( x0 ) ? 0 ,当 x ? [0, x0 ) 时, g ( x) ? 0, 从
'

而 g ( x) 在 x ? [0, x0 ) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合, 综上所述: k 的取值范围为 (??,1] 【思路点拨】 (1)f′ (x)=e sinx+e cosx=
x x

e

x x

,分别解出 f′ (x)>0,f′ (x)

<0,即可得出单调区间; (2)令 g(x)=f(x)﹣kx=e sinx﹣kx,即 g(x)≥0 恒成立,而 g′ x x (x)=e (sinx+cosx)﹣k,令 h(x)=e (sinx+cosx) ,利用导数研究函数 h(x)的单调性 可得:在 上单调递增, ,对 k 分类讨论,即可得出函数 g(x)

的单调性,进而得出 k 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1,几何证明选讲 如图所示, 圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E ,EF ∥ CB ,EF 交 AD 的延长线于点 F ,FG 切圆 O 于点 G . (1)求证:△ DEF ∽△ EFA ; (2)如果 FG ? 1 ,求 EF 的长.

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【知识点】相似三角形的性质;相似三角形的判定.N1 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)1 解析: (1)

EF // BC ? ?DEF ? ?EBC ? ? ? ?DEF ? ?BAD ? ?DEF ∽ ?EFA ?BCD ? ?BAD ?
(2) ?EFA ∽ ?EFD ? FE 2 ? FD ? FA 又因为 FG 为切线,则 FG 2 ? FD ? FA 所以, EF ? FG ? 1 . 【思路点拨】 (1)由同位角相等得出∠BCE=∠FED,由圆中同弧所对圆周角相等得出∠BAD= 2 ∠BCD,结合公共角∠EFD=∠EFD,证出△DEF∽△EFA(2)由(1)得 EF =FA?FD,再由圆的 2 切线长定理 FG =FD?FA,所以 EF=FG=1。

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试 (201504) 】 9. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 的零点个数为( )
x

? x ? 3, 则 f ( x)

A.1

B.2

C.3

D.4

【知识点】函数零点的判定定理;函数奇偶性的性质.B4 B9 【答案】 【解析】C 解析:∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,

∴f(0)=0,所以 0 是函数 f(x)的一个零点 当 x>0 时,令 f(x)=ex+x-3=0,则 ex=-x+3, 分别画出函数 y=ex,和 y=-x+3 的图象,如图所示,有一个交点,所以函数 f(x)有一个零 点,

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又根据对称性知,当 x<0 时函数 f(x)也有一个零点. 综上所述,f(x)的零点个数为 3 个,故选 C. 【思路点拨】先由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数确定 0 是一个零点,再令 x>0 时的函 数 f(x)的解析式等于 0 转化成两个函数,转化为判断两函数交点个数问题,最后根据奇函 数的对称性确定答案.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】11.函数

f ( x) ?

x ?1 x ? 1 ( x ? R ) 的零点是 _______
x ?1 ? 0, 解得 x ? 1 ,故答案为 x ? 1 x ?1

【知识点】函数的零点 B9 【答案】 【解析】 x ? 1 解析:由 f ( x) ?

【思路点拨】根据函数零点的定义即可得到结果。

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】16. 已知 x1 , x2 是函数 的取值范围是 . 【知识点】函数的零点与方程根的关系.B9 【答案】 【解析】 ,则 x1 x2 f ( x) ? e ? x ? | ln x | 的两个零点,

1 < x1 x2 < 1 解析:令 f(x)=0,则 e? x ? ? | ln x | , e
?x

作出 y ? ? | ln x | 和 y ? e 在 R 上的图象, 可知恰有两个交点,设零点为 x1,x2 且 | ln x1 | >| ln x2 | ,x1<1,x2>1,故有 x1x2<1.又 f( >x2,即

1 )<0,f(1)>0, e
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1 1 <x1<1,∴x1x2> . e e 1 故答案为: ( , 1) . e


【思路点拨】作出 y ? ? | ln x | 和 y ? e 在 R 上的图象,可知恰有两个交点,设零点为 x1, x2 且 | ln x1 | >| ln x2 | ,再结合零点存在定理,可得结论.

?x

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届山西省康杰中学等四校高三第三次联考(201503)】 15. 函数

?1 ? x 2 , x ? 1 1 , 若方程 f ( x) ? mx ? 恰有四个不相等的实数根, 则实数 m f ( x) ? ? 2 ?ln x, x ? 1

的取值范围是____________.

【知识点】函数的零点与方程根的关系.B9 【答案】 【解析】 ( ,

1 1 ) 2 e

解析:方程 f(x)=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根可化为

?1 ? x 2 , x ? 1 函数 f ( x) ? ? 与函数 y=mx﹣ 有四个不同的交点, ?ln x, x ? 1 ?1 ? x 2 , x ? 1 作函数 f ( x) ? ? 与函数 y=mx﹣ 的图象如下, ?ln x, x ? 1

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由题意,C(0,﹣ ) ,B(1,0) ;故 kBC = , 当 x>1 时,f(x)=lnx,f′ (x)= ;

设切点 A 的坐标为(x1,lnx1) ,则

=

;解得,x1=



故 kAC =

;结合图象可得,实数 m 的取值范围是 ( ,

1 1 ). 2 e

故答案为: ( ,

1 1 ). 2 e

?1 ? x 2 , x ? 1 【思路点拨】方程 f(x)=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根可化为函数 f ( x) ? ? ?ln x, x ? 1
?1 ? x 2 , x ? 1 与函数 y=mx﹣ 有四个不同的交点,作函数 f ( x) ? ? 与函数 y=mx﹣ 的图象, ?ln x, x ? 1
由数形结合求解.

【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】21.(本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? e x sin x

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? kx ,求实数 k 的取值范围。

【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.B9 B12 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2) (??,1] 解析: (1) f ( x) ? e sin x ? e cos x ? e (sin x ? cos x) ,
' x x x

? y ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ), x ? (2k? ? ? , 2k? ? 3? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 令 单增, 4 当 4 4
x ? (2k? ? 3? 7? , 2 k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单减 4 4
x

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx ,即 g ( x) ? 0 恒成立, 而 g ( x) ? e (sin x ? cos x) ? k ,
' x

令 h( x) ? e x (sin x ? cos x) ? h ' ( x) ? e x (sin x ? cos x) ? e x (cos x ? sin x) ? 2e x cos x
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x ? [0, ], h ' ( x) ? 0 ? h( x) 在 [0, ] 上单调递增,1 ? h( x) ? e 2 , 2 2
当 k ? 1 时, g ' ( x) ? 0, g ( x) 在 [0, 2 ] 上单调递增, g ( x) ? g (0) ? 0 ,符合题意; 当 k ? e 2 时, g ' ( x) ? 0 ? g ( x) 在 [0, 2 ] 上单调递减, g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合; 当 1 ? k ? e 2 时, g ' ( x) 为一个单调递增的函数,而 g (0) ? 1 ? k ? 0, g ( ) ? e 2 ? k ? 0 ,
' '

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

由零点存在性定理,必存在一个零点 x0 ,使得 g ' ( x0 ) ? 0 ,当 x ? [0, x0 ) 时, g ( x) ? 0, 从
'

而 g ( x) 在 x ? [0, x0 ) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合, 综上所述: k 的取值范围为 (??,1] 【思路点拨】 (1)f′ (x)=e sinx+e cosx=
x x

e

x x

,分别解出 f′ (x)>0,f′ (x)

<0,即可得出单调区间; (2)令 g(x)=f(x)﹣kx=e sinx﹣kx,即 g(x)≥0 恒成立,而 g′ x x (x)=e (sinx+cosx)﹣k,令 h(x)=e (sinx+cosx) ,利用导数研究函数 h(x)的单调性 可得:在 上单调递增, ,对 k 分类讨论,即可得出函数 g(x)

的单调性,进而得出 k 的取值范围.

【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试 (201504) 】 9. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 的零点个数为( )
x

? x ? 3, 则 f ( x)

A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】函数零点的判定定理;函数奇偶性的性质.B4 B9 【答案】 【解析】C 解析:∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,

∴f(0)=0,所以 0 是函数 f(x)的一个零点 当 x>0 时,令 f(x)=ex+x-3=0,则 ex=-x+3, 分别画出函数 y=ex,和 y=-x+3 的图象,如图所示,有一个交点,所以函数 f(x)有一个零 点,

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又根据对称性知,当 x<0 时函数 f(x)也有一个零点. 综上所述,f(x)的零点个数为 3 个,故选 C. 【思路点拨】先由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数确定 0 是一个零点,再令 x>0 时的函 数 f(x)的解析式等于 0 转化成两个函数,转化为判断两函数交点个数问题,最后根据奇函 数的对称性确定答案.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】 16. 已知 x1 , x2 是函数 取值范围是 . 【知识点】函数的零点与方程根的关系.B9 【答案】 【解析】 , 则 x1 x2 的 f ( x) ? e ? x ? | ln x | 的两个零点,

1 < x1 x2 < 1 解析:令 f(x)=0,则 e? x ? ? | ln x | , e
?x

作出 y ? ? | ln x | 和 y ? e 在 R 上的图象, 可知恰有两个交点,设零点为 x1,x2 且 | ln x1 | >| ln x2 | ,x1<1,x2>1,故有 >x2,即

1 )<0,f(1)>0, e 1 1 1 ∴ <x1<1,∴x1x2> .故答案为: ( ,1) . e e e
x1x2<1.又 f(

【思路点拨】作出 y ? ? | ln x | 和 y ? e 在 R 上的图象,可知恰有两个交点,设零点为 x1,

?x

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x2 且 | ln x1 | >| ln x2 | ,再结合零点存在定理,可得结论.

【 【名校精品解析系列】 数学卷· 2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试 (201504) 】 19. (本 小题满分 16 分)

设 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a ? a . (1)若 f ( x) 为奇函数,求 a 的值;
3] , f ( x )≥0 恒成立,求 a 的取值范围; (2)若对任意的 x ? [2,

(3)当 a ? 4 时,求函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 零点的个数. 【知识点】函数的奇偶性;不等式恒成立;函数的零点 B4 B9 【答案】 【解析】 (1) a ? 0 ; (2) a≤ 4 或 a≥ 9 ; (3)见解析 2 3 解析: (1)若 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) , 令 x ? 0 得, f (0) ? ? f (0) ,即 f (0) ? 0 , 所以 a ? 0 ,此时 f ( x) ? x x 为奇函数. ?? 4 分

3] , f ( x )≥0 恒成立,所以 f ( x)min ≥0 . (2)因为对任意的 x ? [2, 3] , f ( x) ? x x ? a ? a≥0 恒成立,所以 a≤0 ; ?? 6 分 当 a≤0 时,对任意的 x ? [2,
2 ? x ? a, ?? x ? ax ? a, 当 a ? 0 时,易得 f ( x) ? ? 2 在 ??,a ? 上是单调增函数,在 ? a , a? 上 ? ? ? 2 2 ? ? ? x ? ax ? a , x ≥ a ? ?

?

? ? ? 上是单调增函数, 是单调减函数,在 ? a,
当 0 ? a ? 2 时, f ( x)min ? f (2) ? 2(2 ? a) ? a≥0 ,解得 a≤ 4 ,所以 a≤ 4 ; 3 3 当 2≤ a≤3 时, f ( x)min ? f (a) ? ?a≥0 ,解得 a≤0 ,所以 a 不存在;

3(a ? 3) ? a?≥0 , 当 a ? 3 时,f ( x)min ? min ? f (2) ,f (3)? = min ?2(a ? 2) ? a , 解得 a≥ 9 , 2
所以 a≥ 9 ; 2 综上得, a≤ 4 或 a≥ 9 . 2 3 (3)设 F ( x) ? f ? f (x) ? a ? , 令 t ? f ( x) ? a ? x x ? a
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?? 10 分

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则 y ? f (t ) ? t t ? a ? a , a ? 4 , 第一步,令 f (t ) ? 0 ? t t ? a ? a , 所以,当 t ? a 时, t 2 ? at ? a ? 0 ,判别式 ? ? a(a ? 4) ? 0 ,
2 2 解得 t1 ? a ? a ? 4a , t2 ? a ? a ? 4a ; 2 2

当 t≥a 时,由 f (t ) ? 0 得,即 t (t ? a) ? a ,
2 解得 t3 ? a ? a ? 4a ; 2
2 第二步,易得 0 ? t1 ? a ? t2 ? a ? t3 ,且 a ? a , 2 4

① 若 x x ? a ? t1 ,其中 0 ? t1 ? a , 4 当 x ? a 时, x2 ? ax ? t1 ? 0 ,记 p( x) ? x2 ? ax ? t1 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2 且 ?1 ? a 2 ? 4t1 ? 0 , 所以方程 t 2 ? at ? t1 ? 0 有 2 个不同的实根; p(a) ? t1 ? 0 , 当 x≥a 时, x2 ? ax ? t1 ? 0 ,记 q( x) ? x2 ? ax ? t1 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
q(a) ? ?t1 ? 0 ,且 ?2 ? a2 ? 4t1 ? 0 ,所以方程 x2 ? ax ? t1 ? 0 有 1 个实根,

2

从而方程 x x ? a ? t1 有 3 个不同的实根; ② 若 x x ? a ? t2 ,其中 0 ? t2 ? a , 4 由①知,方程 x x ? a ? t2 有 3 个不同的实根; ③ 若 x x ? a ? t3 , 当 x ? a 时, x2 ? ax ? t3 ? 0 ,记 r ( x) ? x2 ? ax ? t3 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
r (a) ? ?t3 ? 0 ,且 ?3 ? a2 ? 4t3 ? 0 ,所以方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 1 个实根;
2

当 x≤a 时, x2 ? ax ? t3 ? 0 ,记 s( x) ? x2 ? ax ? t3 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
s(a) ? t3 ? 0 ,且 ?3 ? a2 ? 4t3 ,

a 2 ? 4t3 ? 0 ? a3 ? 4a 2 ? 16 ? 0 ,

?? 14 分

记 m(a) ? a3 ? 4a 2 ? 16 ,则 m?(a) ? a(3a ? 8) ? 0 ,

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故 m(a) 为 (4,? ?) 上增函数,且 m(4) ? ?16 ? 0 , m(5) ? 9 ? 0 ,
5) , 所以 m(a) ? 0 有唯一解,不妨记为 a 0 ,且 a0 ? (4 ,

若 4 ? a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 0 个实根; 若 a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 1 个实根; 若 a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 2 个实根, 所以,当 4 ? a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 1 个实根; 当 a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 2 个实根; 当 a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 3 个实根. 综上,当 4 ? a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 7; 当 a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 8; 当 a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 9. ?? 16 分
3] , f ( x )≥0 恒成 【思路点拨】 (1)利用奇函数的定义判定即可; (2)因为对任意的 x ? [2,

立,所以 f ( x)min ≥0 ,然后对 a 分类讨论即可; (3)设 F ( x) ? f ? f (x) ? a ? , 令 t ? f ( x) ? a ? x x ? a 则 y ? f (t ) ? t t ? a ? a , a ? 4 ,再进行分类讨论。

【数学理卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)word 版】16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? a cos x ( x ? R ) ,

? 是函数 f ? x ? 的一个零点. 4

(1)求 a 的值,并求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 ? , ? ? ? 0,

? ?

??

?? 10 3? ? ? , f ?? ? ? ,且 f ? ? ? ? ? 2? 4? 5 4 ? ?

? 3 5 ,求 sin ?? ? ? ? 的 ?? 5 ?

值. 【知识点】函数零点的判定定理;两角和与差的正弦函数.B9 C5 【答案】 【解析】 (1) a ? ?1 , ? 2k? ?

? ?

?
4

, 2 k? ?

2 3? ? ;(2) ? 2 4 ?

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解析: (1)∵

? 是函数 f ? x ? 的一个零点, 4

∴ f?

? ? ?? ? ? ? sin ? a cos ? 0 . 4 4 ?4?

??????1 分 ???????2 分

∴ a ? ?1 . ∴ f ? x ? ? sin x ? cos x ?

? 2 ? 2 2? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? ? ?
???4 分

????3 分

?? ? ? 2 sin ? x ? ? . 4? ?
由 2 k? ? 得 2 k? ?

?
2

? x?

?
4

? 2k? ?

?
2

, k ?Z ,

?
4

? x ? 2k? ?

3? , k ? Z ,???5 分 4

∴ 函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 2k? ? (2)∵ f ? ? ?

? ?

?
4

, 2 k? ?

3? ? (k ? Z ) . ??6 分 4 ? ?

? ?

??

10 10 , ∴ 2 sin ? ? . ?? 5 4? 5
5 . 5
????7 分

∴ sin ? ? ∵ ? ? ? 0, ∵ f ?? ?

? ?

??

2 5 2 . ??8 分 ? , ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 5 2?

? ?

3? 4

?? 3 5 ? 3 5 ? , ∴ 2 sin ? ? ? ? ? . ?? 5 2? 5 ? ?

∴ cos ? ? ∵ ? ? ? 0,

3 10 . ?????9 分 10

? ?

??

10 2 . ????10 分 ? , ∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 10 2?

∴ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ???11 分

?
?

5 3 10 2 5 10 ? ? ? 5 10 5 10
2 . 2
??12 分

第 35 页 共 82 页

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【思路点拨】 (1)由

? 是函数 f ? x ? 的一个零点知 4
? ?

? ? ?? ? f ? ? ? sin ? a cos ? 0 ;从而求 a 4 4 ?4?

的值并求函数的单调区间; (2)由 f ? ? ?

??

10 10 得 2 sin ? ? ;由 ?? 5 4? 5

3? ? f ?? ? 4 ?

?? 3 5 ? 3 5 ? 得 2 sin ? ? ? ? ? ;从而根据角的范围求角的三角函数值,再 ?? 5 2? 5 ? ?

由恒等变换求解.

【数学文卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)WORD 版(修改) 】16. (本小 题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? a cos x ( x ? R ) ,

? 是函数 f ? x ? 的一个零点. 4

(1)求 a 的值,并求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 ? , ? ? ? 0,

? ?

??

?? 10 3? ? 3 5 ? ? , f ?? ? ,求 sin ?? ? ? ? 的 ? ,且 f ? ? ? ? ? ?? 2? 4? 5 4 ? 5 ? ?

值. 【知识点】函数零点的判定定理;两角和与差的正弦函数.B9 C5 【答案】 【解析】 (1) a ? ?1 , ? 2k? ? 解析: (1)∵

? ?

?
4

, 2 k? ?

2 3? ? ;(2) ? 2 4 ?

? 是函数 f ? x ? 的一个零点, 4

∴ f?

? ? ?? ? ? ? sin ? a cos ? 0 . 4 4 ?4?

??????1 分 ???????2 分

∴ a ? ?1 . ∴ f ? x ? ? sin x ? cos x ?

? 2 ? 2 2? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 ? ?
???4 分

????3 分

?? ? ? 2 sin ? x ? ? . 4? ?
由 2 k? ? 得 2 k? ?

?
2

? x?

?
4

? 2k? ?

?
2

, k ?Z ,

?
4

? x ? 2k? ?

3? , k ? Z ,???5 分 4

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∴ 函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 2k? ? (2)∵ f ? ? ?

? ?

?
4

, 2 k? ?

3? ? (k ? Z ) . ??6 分 4 ? ?

? ?

??

10 10 , ∴ 2 sin ? ? . ?? 5 4? 5
5 . 5
????7 分

∴ sin ? ? ∵ ? ? ? 0, ∵ f ?? ?

? ?

??

2 5 2 . ??8 分 ? , ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 5 2?

? ?

3? ? 3 5 ?? 3 5 ? , ∴ 2 sin ? ? ? ? ? . ?? 4 ? 5 2? 5 ?
3 10 . ?????9 分 10

∴ cos ? ? ∵ ? ? ? 0,

? ?

??

10 2 . ????10 分 ? , ∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 10 2?

∴ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ???11 分

?
?

5 3 10 2 5 10 ? ? ? 5 10 5 10
2 . 2
??12 分

【思路点拨】 (1)由

? 是函数 f ? x ? 的一个零点知 4
? ?

? ? ?? ? f ? ? ? sin ? a cos ? 0 ;从而求 a 4 4 ?4?

的值并求函数的单调区间; (2)由 f ? ? ?

??

10 10 得 2 sin ? ? ;由 ?? 5 4? 5

3? ? f ?? ? 4 ?

?? 3 5 ? 3 5 ? 得 2 sin ? ? ? ? ? ;从而根据角的范围求角的三角函数值,再 ?? 5 2? 5 ? ?

由恒等变换求解.

B10 函数模型及其运算
【 【名校精品解析系列】 数学 (文) 卷· 2015 届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试 (201504)
第 37 页 共 82 页

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x ? 1 ?2 , ( x ≤ 0) WORD 版】13.设函数 f ( x) ? ? ,则方程 f ( x) ? 的解集为 2 ? ? log 2 x , ( x ? 0)



【知识点】函数的零点.B10 【答案】 【解析】{ - 1, ,2 }

2 2

解析:令 2 =

x

1 1 1 或 log2 x = 或 log 2 x = - .故答 2 2 2

案为 { - 1, ,2 } 。 【思路点拨】结合指数函数和对数函数的性质,解方程即可.

2 2

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】 14. 已知 ( f x) =?

? ?1gx ( x ? 0) , 则函数 h (x) =f (( f x) ) -1 的零点个数为 x ? 2 ( x ? 0 ) ?



【知识点】函数零点 B10 【答案】 【解析】6 解析:因为函数 h(x)=f(f(x) )-1 的零点,即 f(f(x) )-1=0,

即 f(f(x) )=1,即 f(x)=0 或 10 或

1 ,画出图像如下图, 10

由图像可知交点的个数为 6,所以函数零点的个数为 6,故答案为 6. 【思路点拨】把原函数 h(x)=f(f(x) )-1 求零点的个数转化为函数图象交点的个数即 可。

B11 导数及其运算
【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试 (201504)WORD 版】21. (本小题满分 14 分)

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已知函数 f ( x ) ?

ln x ? 1 , x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间,并判断是否有极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? 1 ,恒有 ln( x ? 1) ? k ? 1≤ kx 成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ( n ? N ? ,n ≥ 2 ) . ? ? ....... ? ? 22 32 n2 4(n ? 1)

【知识点】 利用导数研究函数的单调性; 利用导数求闭区间上函数的最值; 数列的求和. B11 B12 【答案】 【解析】(Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) k ≥ 1 ;(Ⅲ)见解析 解析: (Ⅰ) f ( x ) ?

ln x ? 1 ? ln x , (x ? 0) , f ?( x ) ? , x x2

即 x ? (0,1), f ?( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) , f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, 在 x ? 1 处取得极大值,极大值为 f (1) ? 1 ,无极小值.???????????4分 (Ⅱ)方法 1:因为 ln( x ? 1) ? k ? 1≤ kx , ? ln( x ? 1) ? 1 ≤ k ( x ? 1) ?

ln( x ? 1) ? 1 ≤k x ?1

k ≥ f ( x ?1) max 对任意的 x ? 1 恒成立,由(1)知 f ( x) max ? f (1) ?1 ,
则有 f ( x ?1) max ? 1 ,所以 k ≥ 1 .?????????????????9 分 方法 2:记 g ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 , g ?( x ) ?

1 ? k , ( x ? 1) , x ?1 1 当k ? 0时 , g ?( x) ≥ 0 , 当k ? 0时 ,由 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 ? , 即 k
当k ? 0时 g ( x)在(1, ??) 上为增函数;

1 ? 1 ? 当k ? 0时 g ( x)在(1,1+ ) 上为增函数;在 ?1 ? , ?? ? 上为减函数. k ? k ?
因为对 ?x ? 1,ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 ? 0, 即要求 g ( x) ≤ 0 恒成立,

所以 k ? 0 符合且 g ( x) max = g (1 ? ) ? ? ln k ≤ 0 得k ?1. (Ⅲ) f ( x ) ? ???????????????????????? 9 分

1 k

1 ? ln x 1 ? ln x ? f ( x) max ? f (1) ? 1 , ,由(Ⅰ)知 f ( x) ? x x 1 ? ln x ln x 1 ?1? ? 1 ? (当且仅当 x ? 1 取等号) 则 . x x x

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令 x ? n 2 ( n ? N ?, n ≥ 2 ) ,即

ln n 2 1 ? 1 ? 2 ,则有 2 n n

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ...... ? 2 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ....(1 ? 2 ) ? (n ? 1) ? ( 2 ? 2 ? .... 2 ) 2 2 3 n 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 ? (n ? 1) ? ( ? ? .... ) ? (n ? 1) ? ( ? ? ? ? .... ? ? ) ? n? + 2 ? 3 3? 4 n ? (n ? 1) 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1
∴ l n 22 ? 22 l 2 n 3 n 2l n ? . . . ? . . . ? 32 n 2 2 ? 22 ( l n 2 l nn 3 l n ? 2 ? . .? .n .2 ? . . . ) 3 n n 2? 1 3 + 1

2 ln 3 ln n 1 3 1 2n 2 ? n ? 1 ∴ ln 2 ? 2 ? ....... ? 2 ? (n ? + )? 2 3 n 2 2 n ?1 4(n ? 1)
则得证 ???????????????????????? 14 分

【思路点拨】(Ⅰ)

, (x>0) ,

,分别解出 f'(x)>0,

f'(x)<0,即可得出单调区间、极值; (Ⅱ) 方法 1:由 ln(x﹣1)+k+1≤kx,分离参数可 得:k≥f(x﹣1)max 对任意的 x>1 恒成立,由(I)即可得出. 方法 2:记 g(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1, 分类讨论研究其单调性即可得出; (Ⅲ)
2 *

,对 k

, 由 (Ⅰ) 知:

(当且仅当 x=1 取等号) . 令

x=n (n∈N ,n≥2) ,即

,再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】14. 设 a 为实数,函数

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? (a ? 3) x 的导函数为

f ' ( x) , 且 f ' ( x) 是 偶 函 数 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (2, f (2)) 处 的 切 线 方 程
为 . 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11 【答案】 【解析】 9 x - y - 16 = 0
2

解析:∵f(x)=x +ax +(a﹣3)x,

3

2

∴f′(x)=3x +2ax+(a﹣3) ,∵f′(x)是偶函数, 2 2 ∴3(﹣x) +2a(﹣x)+(a﹣3)=3x +2ax+(a﹣3) ,解得 a=0, 3 2 ∴f(x)=x ﹣3x,f′(x)=3x ﹣3,则 f(2)=2,k=f′(2)=9, 即切点为(2,2) ,切线的斜率为 9, ∴切线方程为 y﹣2=9(x﹣2) ,即 9x﹣y﹣16=0.故答案为:9x﹣y﹣16=0.
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【思路点拨】先由求导公式求出 f′(x) ,根据偶函数的性质,可得 f′(﹣x)=f′(x) , 从而求出 a 的值,然后利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而写出切线方程.

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届山西省康杰中学等四校高三第三次联考(201503)】 21. (本小题满分 12 分)

函数 f ( x ) ?

a ? ln x ,若曲线 f ( x) 在点 (e , f (e)) 处的切线与直线 e 2 x ? y ? e ? 0 垂 x

直(其中 e 为自然对数的底数). (1)若 f ( x) 在 (m, m ? 1) 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (2)求证:当 x ? 1 时,

f ( x) 2e x ?1 . ? e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)

【知识点】利用导数求函数的极值;利用导数证明不等式 B11 B12 【答案】 【解析】 (1) ; (2)见解析 (0,1 ) 解析: (1)∵ f ?( x) ?

1 ? a ? ln x x2 1 a 1 由已知 f ?(e) ? ? 2 ∴ - 2 ? ? 2 得a ?1 e e e 1 ? ln x ln x f ?( x) ? ? 2 ( x ? 0) ∴ f ( x) ? x x 当 x ? (0,1)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数; 当 x ? (1,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数。 ∴ x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点 又 f ( x) 在 (m, m ? 1) 上存在极值 ∴ m ? 1 ? m ?1 即0 ? m ? 1 故实数 m 的取值范围是 (0,1 )

???2 分

???4 分

???5 分

(2)

f ( x) 2e x ?1 ? e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)
???6 分

1 (x ? 1)(ln x ? 1) 2e x ?1 ? x e ?1 x xe ? 1 ( x ? 1)(ln x ? 1) 令 g ( x) ? x [( x ? 1)(ln x ? 1)]? x ? ( x ? 1)(ln x ? 1) x ? ln x ? 则 g ?( x) ? x2 x2 1 x ?1 ? 1? ? 再令 ?(x) ? x ? ln x 则 ? ?(x) x x ( 1, ? ?) ∵x ?1 ∴ ? ?( x) ? 0 ∴ ? ( x) 在 上是增函数 ∴ ? ( x) ? ? (1) ? 1 ? 0 ∴ g ?( x) ? 0 ( 1, ? ?) ∴ g ( x) 在 上是增函数
即为

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∴ x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 2 令 h( x ) ?



g ( x) 2 ? e ?1 e ?1

???9 分

2e x ?1 xe x ? 1 e x ?1 ( xe x ? 1) ? ( xe x ? 1)?e x ?1 2e x ?1 (1 ? e x ) 则 h?( x) ? 2 ? ( xe x ? 1) 2 ( xe x ? 1) 2 ( 1, ? ?) ∵x ?1 ∴ 1 ? e x ? 0 ∴ h?( x) ? 0 即 h( x) 上是减函数 2 ∴ x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? ???11 分 e ?1 g ( x) f ( x) 2e x ?1 ? h( x) , 即 所以 ???12 分 ? e ?1 e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1) 1 ? a ? ln x 【思路点拨】(1)先求导得 f ?( x) ? ,利用单调性判断出 x ? 1 是函数 f ( x) 的 x2 极 大 值 点 , 所 以 有 m ? 1 ? m ? 1 , 解 不 等 式 组 即 可 ;( 2 ) 先 转 化 为 1 (x ? 1)(ln x ? 1) 2e x ?1 ( x ? 1)(ln x ? 1) ? x , 令 g ( x) ? ,再求导结合单调性证明。 x e ?1 x xe ? 1

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】21. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)= x1nx ? x ?

1 2 1 3 x ? ax , f ?( x) 为函数 f(x) 2 3

的导函数. (l)若 F(x)=f(x)+b,函数 F(x)在 x=1 处的切线方程为 2x +y-l=0,求 a、b 的 值; (2)若 f ? (x)≤-x+ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 若曲线 y=f(x) 上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线, 求实数 a 的取值范围. 【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数解决不等式恒成立的问 题 B11 B12

1 ; (2) a ? 1 ; (3) 0 ? a ? 1 2 1 2 1 2 解析: (1) F ? x ? ? x ln x ? x ? x ? ax ? b , 2 3
【答案】 【解析】 (1) a ? 3, b ?

F ? ? x ? ? ln x ? x ? ax2
切点为 ?1, ?1? ,切线斜率为 k ? ?2 ,

1 ? 1 ? 1 ? F ?1? ? 1 ?? a ? b ? ? 得到 ? 3 \ ? 2 ,解得 a ? 3, b ? 。 2 ? ? F ? ?1? ? ?2 ? ? 1 ? a ? ?2
2 (2) f ? ? x ? ? ln x ? x ? ax

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f ? ? x ? ? ? x ? ax 恒成立,可得当 x ? 0 时, a ?
令 G ? x? ?

ln x ? 2 x 恒成立, x2 ? x

ln x ? 2 x ? x ? 0 ? ,则 a ? G ? x ?max , x2 ? x

?1 ? 2 ? ? 2 ? ? x ? x ? ? ? ln x ? 2 x ?? 2 x ? 1? ? 2 x ? 1?? x ? 1 ? ln x ? x ? G? ? x ? ? ? ?? 2 2 ? x2 ? x ? ? x2 ? x ?
令 g ? x ? ? x ?1? ln x ? x ? 0? , g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 递增,且 g ?1? ? 0 ,

\ 当 x ? ? 0,1? 时, x ?1 ? ln x ? 0, G? ? x ? ? 0 ,
x ? ?1, ??? x ?1 ? ln x ? 0, G? ? x ? ? 0 ,

\ G ? x ? 在 ? 0,1? 递增,在 ?1, ?? ? 递减, \ x ? 1 时, G ? x ?max ? 1

\ a ?1
(3) f ? ? x ? ? ln x ? x ? ax ,令 g ? x ? ? f ? ? x ? ? ln x ? x ? ax
2 2

? x ? 0? ,

g? ? x ? ?

1 ?2ax 2 ? x ? 1 ? 1 ? 2ax ? , x x
2

令 h ? x ? ? ?2ax ? x ?1? x ? 0? , 当 a ? 0 时, h ? x ? ? 0 ,

\ g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 递增,不合适。
当 a ? 0 时, h ? x ? 的 ? 1 ? 8a ? 0 ,设方程 h ? x ? ? 0 的二根为 x1 , x2 , 则 x1 x2 ? ?

1 ? 0 ,不妨设 x1 ? 0 ? x2 , 2a

\ 当 x ? ? 0, x2 ? 时, g? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x2 , ??? 时, g? ? x ? ? 0 \ g ? x ? 在 ? 0, x2 ? 递增,在 ? x2 , ??? 递减, \ ?
2 2 ? ? ?2ax2 ? x2 ? 1 ? 0 ??2ax2 ? x2 ? 1 ? 0 得到 ? , 2 g x ? 0 ? ? ln x ? x ? ax ? 0 ? 2 ? ? 2 2 2

2 整理得 ax2 ?

x2 ? 1 , 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 , 2

函数 u ? x ? ? 2ln x ? x ?1 在 ? 0, ?? ? 递增, u ?1? ? 0 ,
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x ?1 ? 1 1 ? 1 \ 可得 x2 ? 1, 2a ? 2 2 ? ? ? ? ? x2 ? x2 2 ? 4

2

0?

1 ? 1 ,\ 0 ? 2 a ? 2 x2
ln x ? 2 x 恒成立, x2 ? x

\ 0 ? a ?1
【思路点拨】 (1)利用导数的几何意义即可; (2)把原不等式转化为 a ?
2

借助于导数即可; (3)把原式转化为 h ? x ? ? ?2ax ? x ?1? x ? 0? ,对 a 分类讨论即可。

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】15.设 f ? (x)为 f(x)的导函数, f ?? (x)是 f ? (x)的导函数,如果 f(x) 同时满足下列条件:① 存在 x0,使 f ?? (x0)=0;② 存在 ? >0,使 f ? (x)在区间(x0 - ? ,x0)单调递增,在区问(x0,x0+ ? )单调递减.则称 x0 为 f(x)的“上趋拐点”; 如果 f(x) )同时满足下列条件:①存在 x0,使 f ?? (x0)=0;②存在 ? >0,使 f ? (x) 在区间(x0- ? ,x0)单调递减,在区间(x0,x0+ ? )单调递增。则称 x0 为 f(x)的“下 趋拐点”.给出以下命题,其中正确的是 (只写出正确结论的序号) 3 ①0 为 f(x)=x 的“下趋拐点” ; 2 x ②f(x)=x +e 在定义域内存在“上趋拐点”; ③f(x)=e -ax2 在(1,+∞)上存在“下趋拐点”,则 a 的取值范围为(
x

e ,+∞) ; 2

④f (x) =

1 ax 1 2 e ? x (a≠0) , x0 是 f (x) 的“下趋拐点”, 则 x0>1 的必要条件是 0<a<1. a 2
解析:对于①: f ? x ? ? x ,则 f ? ? x ? ? 3x , f ?? ? x ? ? 6x ,存
3 2

【知识点】利用导数研究函数的单调性;新定义 B11 【答案】 【解析】①③④

在 x0 ? 0 , 使 f ?? ? 0? ? 0 ; 存在 ? >0, f ?? ? x ? 在区间 (- ? ,0) 满足 f ?? ? x ? ? 0 , 在区间 ( 0,

? )满足 f ?? ? x ? ? 0 ,所以 f ? (x)在区间(- ? ,0)单调递减,在区间(0,? )单调递增,
所以①正确;
2 x x x 对于②: f ? x ? ? x ? e ,则 f ? ? x ? ? 2x ? e , f ?? ? x ? ?2 ? e ,在定义域 R 上 f ?? ? x ? ? 0 恒

成立,所以 f ? x ? ? x ? e 在定义域内存在“上趋拐点”,所以②错误;
2 x

x 2 x l2 a , 对于③:f ? x ? ? e -ax 在 (1, +∞) 上存在“下趋拐点”, f ?? ? x ? ? e ? 2a ? 0 , 即 x ?n

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所以 f ? ?1? ? e ? 2a ? 0 ,故 a 的取值范围为( 对于④: f ? x ? ?

e ,+∞) ;故③正确; 2

f ?? ? x0 ? ? aeax0

1 ax 1 2 e ? x ,则 f ? ? x ? ? eax ? x , f ?? ? x ? ? aeax ?1,即 a 2 1 ?1 ? 0 ,解得 x0 ? ? ln a ,则 x0>1 可解得 0<a<1,故④正确; a

综上:正确应是①③④ 【思路点拨】利用新定义结合导数的单调性即可。

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】10.设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f ? (x) ,对 ? x∈ R,f(-x)+f(x)=x2,且 在(0,+∞)上, f ? (x)>x.若有 f(2-a)-f(a)≥2-2a,则实数 a 的取值范围 为 A. (-∞,1]

B.[1,+ ∞)

C. (-∞,2]

D.[2,+∞)

【知识点】导数的运算.B11 【答案】 【解析】A 解析:∵f(﹣x)+f(x)=x ,∴f(x)﹣ x +f(﹣x)﹣ x =0,
2 2 2 2 2 2

令 g(x)=f(x)﹣ x ,∵g(﹣x)+g(x)=f(﹣x)﹣ x +f(x)﹣ x =0, ∴函数 g(x)为奇函数.∵x∈(0,+∞)时,f′ (x)>x. ∴x∈(0,+∞)时,g′ (x)=f′ (x)﹣x>0,故函数 g(x)在(0,+∞)上是增函数, 故函数 g(x)在(﹣∞,0)上也是增函数,由 f(0)=0,可得 g(x)在 R 上是增函数. f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,等价于 f(2﹣a)﹣ 即 g(2﹣a)≥g(a) ,∴2﹣a≥a,解得 a≤1,故选:A. 【思路点拨】令 g(x)=f(x)﹣ x ,由 g(﹣x)+g(x)=0,可得函数 g(x)为奇函数.利 用导数可得函数 g(x)在 R 上是增函数,f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,即 g(2﹣a)≥g(a) , 可得 2﹣a≥a,由此解得 a 的范围.
2

≥f(a)﹣



【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a ln x 在点 ?1, f (1) ? 处的切线平行于 x 轴. x

(1)求 a 的值;
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(2)求 f ( x) 的单调区间与极值. 【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性与极值 B11 B12 【答案】 【解析】 (1) a = - 3 ;(2)见解析 解析: (1)

f ?( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ( x ? ? 0, ?? ? ) ? ? x2 x x2

? f ?(1) ? 3 ? a ? 0,? a ? ?3

x 2 ? 3 x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) (2)由(1)知, f ?( x) ? ( x ? ? 0, ?? ? ) ? x2 x2
则 f ?( x) ? 0 的两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 在 ? 0,1? 和 ? 2, ?? ? 上 f ?( x) ? 0 ;在 ?1, 2 ? 上 f ?( x) ? 0 . 所以, f ( x) 的单调增区间为 ? 0,1? 和 ? 2, ?? ? ;单调减区间为 ?1, 2 ? .

f ( x) 在 x1 ? 1 处取得极大值 f ( x)极大 ? f (1) ? ?1 ; f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极小值 f ( x)极小 ? f (2) ? 1 ? 3ln 2 .
【思路点拨】 (1)根据导数的几何意义可得 f ? (2)对原函数 (1) = 3 + a = 0 ,解得 a 即可; 求导,进而判断出单调区间和极值。

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】14. 设 a 为实数,函数

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? (a ? 3) x 的导函数为

f ' ( x) , 且 f ' ( x) 是 偶 函 数 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (2, f (2)) 处 的 切 线 方 程
为 . 【 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11 【答案】 【解析】 9 x - y - 16 = 0
2

解析:∵f(x)=x +ax +(a﹣3)x,

3

2

∴f′(x)=3x +2ax+(a﹣3) ,∵f′(x)是偶函数, 2 2 ∴3(﹣x) +2a(﹣x)+(a﹣3)=3x +2ax+(a﹣3) ,解得 a=0, 3 2 ∴f(x)=x ﹣3x,f′(x)=3x ﹣3,则 f(2)=2,k=f′(2)=9, 即切点为(2,2) ,切线的斜率为 9, ∴切线方程为 y﹣2=9(x﹣2) ,即 9x﹣y﹣16=0.故答案为:9x﹣y﹣16=0. 【思路点拨】先由求导公式求出 f′(x) ,根据偶函数的性质,可得 f′(﹣x)=f′(x) , 从而求出 a 的值,然后利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而写出切线方程.
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【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】21. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=

1 2 x ? (a ? 1) x ? a1nx . 2

(l)讨论 f(x)的单调性; (2)设 a<0,若对任意 x1、x2∈(0,+∞), (x1≠x2) ,|f(x1)-f(x2)|>4 |x1-x2|,求实 数 a 的取值范围; (3)设 g(x)=f(x)+(a-1)x,A(x1,g(x1) ) ,B(x2 ,g(x2))为 g(x)图象上任意 两点,x0=

x1 ? x 2 , AB 的斜率为 k, g ? (x)为 g(x)的导函数,当 a>0 时,求证: g ? 2

(x0)>k. 【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数解决不等式恒成立的问 题 B11 B12 【答案】 【解析】 (1)当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上递增;当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, a ? 递 减,在 ? a, ??? 递增。 (2) a ? 1 ; (3) 解析: (1)定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? x ? ? a ? 1? ?

a ? x ? a ?? x ? 1? ? x x

① 当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? a , 由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? a ,又 x ? 0 ,

? f ? x ? 在 ? 0, a ? 递减,在 ? a, ??? 递增
综上:当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, a ? 递减,在 ? a, ??? 递增。 (2)因为 a < 0 ,所以由(1)知 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上递增; 不妨设 0 < x1 < x2 , 则 f x1 < f x2 ,所以由 | f x1 - f x2 > 4 x1-x2 | 得 f x2 - 4x2 > f x1 - 4x1 , 令 F x = f x - 4x , 所以 F x 在 ? 0, ?? ? 上递增;

( )

( )

( )

( )

( )
()

( )

()

()

所以 F x =

( )

1 2 x - (a + 3) x - a1nx , 2
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F ?( x) = x - ( a + 3) 即a ?

a x

0 对一切 x ? ( 0,

) 恒成立,

x 2 - 3x 对一切 x ? ( 0, x +1

) 恒成立,

令y=

x 2 - 3x ( x > 0) , t = x +1, t >1 x +1

t 2 - 5t + 4 4 4 所以 y = =t + - 5匙 2 t - 5 = - 1, t t t
当且仅当 t =

4 ,即 t=2,即 x=1 时取等号, t

x=1 时, ymin = - 1,所以 a ? 1 (3)因为 g x = 所以 g ? x = x -

( )

1 2 x - a ln x (a>0) 2

( )

a , x

1 2 1 x1 - a ln x1 - x2 2 - a ln x2 a ln x - ln x2 ) 1 2 = ( x1 + x2 ) + ( 1 设 0 < x1 < x2 ,则 k = 2 , x1 - x2 2 x1 - x2

轾 x2 -1 犏 x x a 犏 g ?( x0 ) - k = ln 2 - 2 1 , 犏 x2 x2 - x1 犏 x1 1+ 犏 x1 臌
t - 1) 1 4 t-1 x t) = =( >0 令 t = 2 , t >1 , h ( t ) = ln t - 2 , h? ( 2 2 t +1 t ( t +1) x1 t ( t +1)
2

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【思路点拨】 (1)结合定义域,对原函数求导,再分类讨论即可; (2)因为 a < 0 ,所以由 ( 1 ) 知 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 递 增 ; 不 妨 设 0 < x1 < x2 , 则 f x1 < f x2 , 所 以 由

( )

( )

| f ( x1) - f ( x2 ) > 4 x1-x2 | ,利用 F ( x) 在 ? 0, ?? ? 上递增;转化为 a ? x ? ( 0,

x 2 - 3x 对一切 x +1

)

恒 成 立 , 再 利 用 基 本 不 等 式 即 可 ;( 3 ) 化 简 为

轾 x2 -1 犏 x1 a 犏 x2 ? g ( x0 ) - k = ln - 2 ,再利用导数的单调性解即可。 犏 x2 x2 - x1 犏 x1 1+ 犏 x1 臌

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】15.设 f ? (x)为 f(x)的导函数, f ?? (x)是 f ? (x)的导函数,如果 f(x) 同时满足下列条件:① 存在 x0,使 f ?? (x0)=0;② 存在 ? >0,使 f ? (x)在区间(x0 - ? ,x0)单调递增,在区问(x0,x0+ ? )单调递减.则称 x0 为 f(x)的“上趋拐点”; 如果 f(x) )同时满足下列条件:①存在 x0,使 f ?? (x0)=0;②存在 ? >0,使 f ? (x) 在区间(x0- ? ,x0)单调递减,在区间(x0,x0+ ? )单调递增。则称 x0 为 f(x)的“下 趋拐点”.给出以下命题,其中正确的是 (只写出正确结论的序号) ①0 为 f(x)=x3 的“下趋拐点” ; ②f(x)=x2+ex 在定义域内存在“上趋拐点”; ③f(x)=e -ax2 在(1,+∞)上存在“下趋拐点”,则 a 的取值范围为(
x

e ,+∞) ; 2

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3 ④f(x)= ax ?

1 3

1 a(a ? 1) x 2 ? a 2 x ? 1 ,若 a 为 f(x)的“上趋拐点” ,则 a=-1. 2
解析:对于①: f ? x ? ? x ,则 f ? ? x ? ? 3x , f ?? ? x ? ? 6x ,存
3 2

【知识点】利用导数研究函数的单调性;新定义 B11 【答案】 【解析】①③④

在 x0 ? 0 , 使 f ?? ? 0? ? 0 ; 存在 ? >0, f ?? ? x ? 在区间 (- ? ,0) 满足 f ?? ? x ? ? 0 , 在区间 ( 0,

? )满足 f ?? ? x ? ? 0 ,所以 f ? (x)在区间(- ? ,0)单调递减,在区间(0,? )单调递增,
所以①正确; 对于②: f ? x ? ? x ? e ,则 f ? ? x ? ? 2x ? e , f ?? ? x ? ?2 ? e ,在定义域 R 上 f ?? ? x ? ? 0 恒
2 x

x

x

成立,所以 f ? x ? ? x ? e 在定义域内存在“上趋拐点”,所以②错误;
2 x

x 2 x l2 a , 对于③:f ? x ? ? e -ax 在 (1, +∞) 上存在“下趋拐点”, f ?? ? x ? ? e ? 2a ? 0 , 即 x ?n

所以 f ? ?1? ? e ? 2a ? 0 ,故 a 的取值范围为( 对于④: f x =

e ,+∞) ;故③正确; 2

( )

1 3 1 ax - a (a - 1) x 2 - a 2 x +1 , 则 f ? x) = ax2 - a ( a - 1) x - a2 , ( 3 2

, fⅱ ( x) = 2ax - a ( a - 1) ,因为 a 为 f(x)的“上趋拐点”
2 所以 f ⅱa = 2a - a a - 1 = 0 ,解得 a = - 1 或 a = 0 (舍) ,则 a = - 1 ,故④正确;

( )

(

)

综上:正确应是①③④ 【思路点拨】利用新定义结合导数的单调性即可。

【 【名校精品解析系列】 数学卷· 2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试 (201504) 】 17. (本 小题满分 14 分)
b ? (0, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 a ? (1, 0), 2).设向量 x ? a ? ( 1 ? cos ? ) b ,

y ? ? ka ? 1 b ,其中 0 ? ? ? π . sin ?

(1)若 k ? 4 , ? ? π ,求 x ? y 的值; 6 (2)若 x // y,求实数 k 的最大值,并求取最大值时 ? 的值. 【知识点】平面向量数量积的运算;平面向量的数量积的坐标表示;利用导数研究函数的最 值;三角函数的性质 F2 F3 B11 C3 【答案】 【解析】 (1) 4 ? 4 3 ; (2) ? 4 3 9
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解析: (1) (方法 1)当 k ? 4 , ? ? π 时, x ? 1 ,2 ? 3 , y ? ( ?4 ,4 ), ?? 2 分 6 则 x ? y ? 1 ? (?4) ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 4 3 .?? 6 分 (方法 2)依题意, a ? b ? 0 , ?? 2 分

?

?

?

?

? 3 b ? ? ?4a ? 2b ? ?4a 2 ? 2 ? 1 ? 3 b 2 则 x ? y ? ?a ? 1 ? ? ? ? 2 2 ? ?

?

?

?

?

? ? ?4 ?4 2 ? 2cos? ? , y ? ? ?k , 2 ? , (2)依题意, x ? ?1, sin ?
? ? 4 ?2 ? 1 ?3 2

? 4 . 3 ?? 6 分

因为 x // y,所以 2 ? ?k (2 ? 2cos ? ) ,整理得, 1 ? sin ? ? cos? ? 1? , ?? 9 分 sin ? k 令 f (? ) ? sin ? ? cos? ? 1? ,则 f ?(? ) ? cos? ? cos? ? 1? ? sin ? (? sin ? )
? 2cos 2 ? ? cos ? ? 1 ? ? 2cos? ? 1?? cos? ? 1? .

?? 11 分

令 f ?(? ) ? 0 ,得 cos? ? ? 1 或 cos ? ? 1 ,又 0 ? ? ? π ,故 ? ? 2π . 2 3 列表:

故当 ? ? 2π 时, f (? )min ? ? 3 3 ,此时实数 k 取最大值 ? 4 3 . 3 4 9

?? 14 分

【思路点拨】 (1)当 k ? 4 ,? ? π 时,代入利用向量数量积的坐标运算即可; (2)由 x // y, 6 整理得 1 ? sin ? ? cos? ? 1? ,再利用导数求出极值即可。 k

【【名校精品解析系列】数学卷·2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试(201504)】10.设

f ( x) ? 4 x3 ? mx2 ? (m ? 3) x ? n ( m ,n ? R )是 R 上的单调增函数,则 m 的值为 ▲ .
【知识点】利用导数研究函数的单调性 B11 【答案】 【解析】6 解析:因为 f ( x) ? 4 x3 ? mx2 ? (m ? 3) x ? n ( m ,n ? R )是 R 上的单调增函

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数,所以 f ? ? x ? ? 12x2 ? 2mx ? m ? 3 ? 0 ,即满足 ? ? m2 ? 12m ? 36 ? 0 ,则 ? m ? 6? ? 0 ,解
2

得 m ? 6 ,故答案为 6. 【思路点拨】由 f ( x) ? 4 x3 ? mx2 ? (m ? 3) x ? n ( m ,n ? R )是 R 上的单调增函数,可得

f ? ? x ? ? 0 ,所以 ? ? 0 可解得 m 的值。

【【名校精品解析系列】数学卷·2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试(201504)】7. 在 平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ln x 在 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线与直线

ax ? y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值为 ▲ .

【知识点】导数的几何意义;两直线垂直的充要条件 B11 H2 【答案】 【解析】 ?e 解析:因为 y ? ln x ,所以 y ? ? 1 ,则曲线 y ? ln x 在 x ? e ( e 为自然对 x 数的底数)处的切线的斜率为 y ?
x ?e

? 1 ,又因为曲线 y ? ln x 在 x ? e ( e 为自然对数的底数) e

处的切线与直线 ax ? y ? 3 ? 0 垂直,所以 1 ? a ? ?1 ,解得 a ? ?e ,故答案为 ?e 。 e 【思路点拨】先结合导数的几何意义求出斜率,再利用两直线垂直求出 a 即可。

【数学理卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)word 版】21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?

a ? 2 ln x , a ?R . x

(1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 , 求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下, 证明: f ? x2 ? ? x2 ?1. 【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的单调区间.B11 B12 【答案】 【解析】 (1)见解析;(2) 0 ? a ? 1 (3)见解析 解析:(1)函数 f ? x ? ? x ?

a ? 2 ln x 的定义域为 ? 0, ?? ? , x

f ?? x? ? 1?

a 2 x2 ? 2x ? a ? ? , ????????1 分 x2 x x2

2 令 f ? ? x ? ? 0 , 得 x ? 2 x ? a ? 0 , 其判别式 ? ? 4 ? 4a ,

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① 当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时, x2 ? 2 x ? a ? 0 , f ? ? x ? ? 0 , 此时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递 增; ??2 分 ② 当 ? ? 0 , 即 a ? 1 时, 方程 x2 ? 2 x ? a ? 0 的两根为

x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a ? 1,?3 分
若 a ? 0 , 则 x1 ? 0 , 则 x ? ? 0, x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? ? x2 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 , 此时, f ? x ? 在 ? 0, x2 ? 上单调递减, 在 ? x2 , ??? 上单调递增;?????4 分 若 a ? 0 ,则 x1 ? 0 , 则 x ? ? 0, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? ? x1 , x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,

x ? ? x2 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ,
此 时 , f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上 单 调 递 增 , 在 ? x1 , x2 ? 上 单 调递 减 , 在 ? x2 , ??? 上 单 调 递 增. ??5 分 综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 f ? x ? 在 ? 0, x2 ? 上单调递减, 在 ? x2 , ??? 上单调递增; 当 0 ? a ? 1 时, 函数 f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上单调递增, 在 ? x1 , x2 ? 上单调递减, 在 ? x2 , ??? 上 单调递增; 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. ?????6 分
2 (2) 由(1)可知, 函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,等价于方程 x ? 2 x ? a ? 0 在 ? 0, ?? ? 有

两不等实根, 故 0 ? a ? 1 .

??????7 分

2 (3) 由(1), (2)得 0 ? a ? 1 , x2 ? 1 ? 1 ? a , 且 1 ? x2 ? 2 , a ? ? x2 ? 2x2 . ?8 分

f ? x2 ? ? x2 ? 1 ? x2 ?

2 ? x2 ? 2 x2 ? 2ln x2 ? x2 ? 1 ? x2 ? 2ln x2 ? 1 ,???????9 分 x2

令 g ? t ? ? t ? 2ln t ?1, 1 ? t ? 2 , 则 g? ?t ? ? 1 ?

2 t?2 ? , t t

??????????????10 分

由于 1 ? t ? 2 , 则 g ? ? t ? ? 0 , 故 g ? t ? 在 ?1, 2 ? 上单调递减.??????11 分 故 g ?t ? ? g ?1? ? 1? 2ln1 ?1 ? 0 . ∴ f ? x2 ? ? x2 ? 1 ? g ? x2 ? ? 0 . ??????????????12 分 ??????????????13 分

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∴ f ? x2 ? ? x2 ?1.

??????????????14 分

【思路点拨】 (1)对原函数求导后,再对判别式以及 a 进行分类讨论即可; (2)由(1)可知, 函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,等价于方程 x2 ? 2 x ? a ? 0 在 ? 0, ?? ? 有两不等实根, 故 可求 a 的范围.(3)由(1), (2)得 f ? x2 ? ? x2 ? 1 ? x2 ? 2ln x2 ?1,令 g ? t ? ? t ? 2ln t ?1, 则 g? ?t ? ? 1 ?

2 t?2 ? ,然后借助于单调性证明即可。 t t

【数学文卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)WORD 版(修改) 】21. (本小 题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? b ln x 在点 1, f ?1? 处的切线为 y ? 1 .
2

?

?

(1)求实数 a , b 的值; (2) 是否存在实数 m , 当 x ??0 1 ,

? 时,函数 g ? x? ? f ? x? ? x2 ? m ? x ?1? 的最小值为 0 ,

若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)若 0 ? x1 ? x2 ,求证:

x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的切线方程.B11 B12 【答案】 【解析】 (1) a ? 1, b ? 2 ; (2) (??, 2]
2

(3)见解析

解析: (1)∵ f ? x ? ? ax ? b ln x ,其定义域为 ? 0, ?? ? ,
b ∴ f ?( x) ? 2ax ? . x
? f (1) ? a ? 1, 依题意可得 ? ? f ?(1) ? 2a ? b ? 0.

???1 分

?????2 分 ?????4 分

解得 a ? 1, b ? 2 .

(2) g ( x) ? f ( x) ? x2 ? m( x ? 1) ? m( x ? 1) ? 2ln x, x ? (0,1] , ∴ g ?( x) ? m ?
2 mx ? 2 . ? x x

???????5 分

① 当 m ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,则 g ( x) 在 (0,1] 上单调递减, ∴ g ( x)min ? g (1) ? 0 . ????????6 分

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② 当 0 ? m ? 2 时, g ?( x) ? ∴ g ( x)min ? g (1) ? 0 . ③当 m ? 2 时,则 x ? ? 0,

m( x ? x

2 ) m ? 0 ,则 g x 在 (0,1] 上单调递减, ? ?

???????7 分

? ?

2? ?2 ? ? 时, g? ? x ? ? 0 ; x ? ? ,1? 时, g? ? x ? ? 0 , m? ?m ?

∴ g ( x) 在 ? 0,

? ?

2? ?2 ? ? 上单调递减,在 ? ,1? 上单调递增. m? ?m ?

故当 x ?

2 ?2? 时, g ? x ? 的最小值为 g ? ? . m ?m?

?2? ∵ g ? ? ? g (1) ? 0 . ?m?

∴ g ( x)min ? 0 .

?????????8 分

综上所述,存在 m 满足题意,其取值范围为 (??, 2] . ????9 分 (3)证法 1:由(2)知,当 m ? 1 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2ln x 在 (0,1) 上单调递减, ∴ x ? (0,1) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 即 x ? 1 ? 2 ln x . ∵ 0 ? x1 ? x2 , ∴ 0? ∴ ∴
x1 ? 1. x2

????10 分

???????11 分 ???????12 分 ????????13 分

x1 x ? 1 ? 2 ln 1 . x2 x2 x1 ? x2 ? 2(ln x1 ? ln x2 ) . x2

∵ ln x2 ? ln x1 , ∴
x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

?????????14 分

证法 2: 设 ? ( x) ? 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x(0 ? x ? x2 ) , 则 ? ?( x) ? ?
2x2 x ? 2x2 . ?1 ? x x

当 x ? (0, x2 ) , ? ?( x) ? 0 , ∴ ? ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减

?????10 分

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∴ ? ( x) ? ? ( x2 ) ? 0 .

?????????11 分

∴ x ? (0, x2 ) 时, 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x . ???????12 分
0 ? x1 ? x2 ,

∴ 2 x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? x2 ? x1 .
ln x2 ? ln x1 ,

????????13 分



x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

?????????14 分

【思路点拨】 ( 1 )先求出其定义域,再根据题意得到 a,b 的方程组解之即可; ( 2 )把 (3)由(2)知,当 m ?1 时, g ( x) ? m( x ? 1) ? 2ln x 求 导 后 对 m 分 类 讨 论 即 可 ;
g ( x) ? x ? 1 ? 2 l nx 在 (0,1) 上单调递减,得到 x ? 1 ? 2 ln x ,再证明即可。

B12 导数的应用
【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试 (201504)WORD 版】21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

ln x ? 1 , x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间,并判断是否有极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? 1 ,恒有 ln( x ? 1) ? k ? 1≤ kx 成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ( n ? N ? ,n ≥ 2 ) . ? ? ....... ? ? 22 32 n2 4(n ? 1)

【知识点】 利用导数研究函数的单调性; 利用导数求闭区间上函数的最值; 数列的求和. B11 B12 【答案】 【解析】(Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) k ≥ 1 ;(Ⅲ)见解析 解析: (Ⅰ) f ( x ) ?

ln x ? 1 ? ln x , (x ? 0) , f ?( x ) ? , x x2

即 x ? (0,1), f ?( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) , f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减,

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在 x ? 1 处取得极大值,极大值为 f (1) ? 1 ,无极小值.???????????4分 (Ⅱ)方法 1:因为 ln( x ? 1) ? k ? 1≤ kx , ? ln( x ? 1) ? 1 ≤ k ( x ? 1) ?

ln( x ? 1) ? 1 ≤k x ?1

k ≥ f ( x ?1) max 对任意的 x ? 1 恒成立,由(1)知 f ( x) max ? f (1) ?1 ,
则有 f ( x ?1) max ? 1 ,所以 k ≥ 1 .?????????????????9 分 方法 2:记 g ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 , g ?( x ) ?

1 ? k , ( x ? 1) , x ?1 1 当k ? 0时 , g ?( x) ≥ 0 , 当k ? 0时 ,由 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 ? , 即 k
当k ? 0时 g ( x)在(1, ??) 上为增函数;

1 ? 1 ? 当k ? 0时 g ( x)在(1,1+ ) 上为增函数;在 ?1 ? , ?? ? 上为减函数. k ? k ?
因为对 ?x ? 1,ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 ? 0, 即要求 g ( x) ≤ 0 恒成立,

所以 k ? 0 符合且 g ( x) max = g (1 ? ) ? ? ln k ≤ 0 得k ?1. (Ⅲ) f ( x ) ? ???????????????????????? 9 分

1 k

1 ? ln x 1 ? ln x ? f ( x) max ? f (1) ? 1 , ,由(Ⅰ)知 f ( x) ? x x 1 ? ln x ln x 1 ?1? ? 1 ? (当且仅当 x ? 1 取等号) 则 . x x x
令 x ? n ( n? N , n≥2) ,即
2

?

ln n 2 1 ? 1 ? 2 ,则有 2 n n

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ...... ? ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ....(1 ? 2 ) ? (n ? 1) ? ( 2 ? 2 ? .... 2 ) 2 2 2 2 3 n 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 ? (n ? 1) ? ( ? ? .... ) ? (n ? 1) ? ( ? ? ? ? .... ? ? ) ? n? + 2 ? 3 3? 4 n ? (n ? 1) 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1
∴ l n 22 ? 22 l 2 n 3 n 2l n ? . . . ? . . . ? 32 n 2 2 ? 22 ( l n 2 l nn 3 l n ? 2 ? . .? .n .2 ? . . . ) 3 n n 2? 1 3 + 1

2 ln 3 ln n 1 3 1 2n 2 ? n ? 1 ∴ ln 2 ? 2 ? ....... ? 2 ? (n ? + )? 2 3 n 2 2 n ?1 4(n ? 1)
则得证 ???????????????????????? 14 分

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【思路点拨】(Ⅰ)

, (x>0) ,

,分别解出 f'(x)>0,

f'(x)<0,即可得出单调区间、极值; (Ⅱ) 方法 1:由 ln(x﹣1)+k+1≤kx,分离参数可 得:k≥f(x﹣1)max 对任意的 x>1 恒成立,由(I)即可得出. 方法 2:记 g(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1, 分类讨论研究其单调性即可得出; (Ⅲ)
2 *

,对 k

, 由 (Ⅰ) 知:

(当且仅当 x=1 取等号) . 令

x=n (n∈N ,n≥2) ,即

,再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出.

【 【名校精品解析系列】 数学 (文) 卷· 2015 届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试 (201504) WORD 版】 16 .在 (1, ? ? ) 上的函数 f (x) 满足:① f (2x)=cf ( x)(c 为正常数);②当

2 ≤ x ≤ 4 时, f (x)=1? (x ? 3)2 ,若函数 f (x) 的图象上所有极大值对应的点均落在同
一条直线上,则 c 等于__________.

【知识点】函数的极值 B12 【答案】 【解析】 1或2 解析:先令 1 #x

2 ,那么 2 #2 x 8 ,那么 2 #
x 2

4,
4,

f ( x) =

f (2 x) 1 2 = [1-( 2 x-3) ] ;再令 4 #x c c

1 3 1 1 2 f ( x) = cf ( x) = c[1-( x-3) ] ;分别算出它们的极值点为( , ),(3,1) , (6, c) ,三点共 2 2 c 2
线解得 c ? 1或c ? 2 .故答案为 1或2 。 【思路点拨】先令 1 #x

2 ,那么 2 #2 x

4 , f ( x) =

f (2 x) 1 2 = [1-( 2 x-3) ] ;再令 c c

4 #x
3 1 2 c

8 ,那么 2 #

x 2

1 1 2 4 , f ( x) = cf ( x) = c[1-( x-3) ] ;分别算出它们的极值点为 2 2

( , ), (3,1) , (6, c) ,三点共线可得结果.

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考

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试(201504)】20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

椭圆的短轴端点与双曲线

y2 ? x 2 ? 1 的焦点重合,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 2

C 相交于 A, B 两点。
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围。 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 y 2 13 (2) [?4, ) ? ? 1; 4 3 4 c 1 c2 a 2 ? b2 1 ? ,? e 2 ? 2 ? ? , a 2 a a2 4

解析: (1)由题意知 e ?

4 a 2 ? b 2 。又双曲线的焦点坐标为 (0, ? 3), b ? 3 ,? a 2 ? 4, b 2 ? 3 , 3

x2 y 2 ? 1。 ? 椭圆的方程为 ? 4 3
(2)若直线 l 的倾斜角为 0 ,则 A(?2, 0), B (2, 0), OA ? OB ? ?4 , 当直线 l 的倾斜角不为 0 时,直线 l 可设为 x ? my ? 4 ,

? x ? my ? 4 ? (3m 2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ,由 ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12
? ? 0 ? (24m) 2 ? 4 ? (3m 2 ? 4) ? 36 ? 0 ? m 2 ? 4
设 A(my1 ? 4, y1 ), B (my2 ? 4, y2 ) , y1 ? y2 ? ?

24m 36 , , y1 y2 ? 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

OA ? OB ? (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2 ? m 2 y1 y2 ? 4my1 y2 ? 16 ? y1 y2
? 116 13 13 ? 4 , m 2 ? 4,? OA ? OB ? (?4, ) ,综上所述:范围为 [?4, ) , 2 3m ? 4 4 4
=1 得焦点 , 得 b= . 又 , a =b +c ,
2 2 2

【思路点拨】 (1) 由双曲线

联立解得即可; (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣4) ,与椭圆

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方程联立得到, (4k +3)x ﹣32k x+64k ﹣12=0,由△>0 得 y 2) ,利用根与系数的关系可得

2

2

2

2

.设 A(x1,y1) ,B(x2,

=x1x2+y1y2,进而得到取值范围.
x

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e sin x (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? kx ,求实数 k 的取值范围。

【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.B9 B12 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2) (??,1] 解析: (1) f ( x) ? e sin x ? e cos x ? e (sin x ? cos x) ,
' x x x

令 y ? sin x ? cos x ?

? ? 3? 2 sin( x ? ), 当 x ? (2k? ? , 2k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单增, 4 4 4 3? 7? x ? (2k? ? , 2 k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单减 4 4
x

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx ,即 g ( x) ? 0 恒成立, 而 g ( x) ? e (sin x ? cos x) ? k ,
' x

令 h( x) ? e (sin x ? cos x) ? h ( x) ? e (sin x ? cos x) ? e (cos x ? sin x) ? 2e cos x
x ' x x x

x ? [0, ], h ' ( x) ? 0 ? h( x) 在 [0, ] 上单调递增,1 ? h( x) ? e 2 , 2 2
当 k ? 1 时, g ( x) ? 0, g ( x) 在 [0,
'

?

?

?

?
2

] 上单调递增, g ( x) ? g (0) ? 0 ,符合题意;

当 k ? e 2 时, g ( x) ? 0 ? g ( x) 在 [0,
'

?

?
2

] 上单调递减, g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合;

当 1 ? k ? e 2 时, g ( x) 为一个单调递增的函数,而 g (0) ? 1 ? k ? 0, g ( ) ? e 2 ? k ? 0 ,
'
' '

?

?

?

2

由零点存在性定理,必存在一个零点 x0 ,使得 g ' ( x0 ) ? 0 ,当 x ? [0, x0 ) 时, g ( x) ? 0, 从
'

而 g ( x) 在 x ? [0, x0 ) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合, 综上所述: k 的取值范围为 (??,1]

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【思路点拨】 (1)f′ (x)=e sinx+e cosx=

x

x

e

x x

,分别解出 f′ (x)>0,f′ (x)

<0,即可得出单调区间; (2)令 g(x)=f(x)﹣kx=e sinx﹣kx,即 g(x)≥0 恒成立,而 g′ x x (x)=e (sinx+cosx)﹣k,令 h(x)=e (sinx+cosx) ,利用导数研究函数 h(x)的单调性 可得:在 上单调递增, ,对 k 分类讨论,即可得出函数 g(x)

的单调性,进而得出 k 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1,几何证明选讲 如图所示, 圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E ,EF ∥ CB ,EF 交 AD 的延长线于点 F ,FG 切圆 O 于点 G . (1)求证:△ DEF ∽△ EFA ; (2)如果 FG ? 1 ,求 EF 的长.

【知识点】相似三角形的性质;相似三角形的判定.N1 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)1 解析: (1)

EF // BC ? ?DEF ? ?EBC ? ? ? ?DEF ? ?BAD ? ?DEF ∽ ?EFA ?BCD ? ?BAD ?
(2) ?EFA ∽ ?EFD ? FE 2 ? FD ? FA 又因为 FG 为切线,则 FG 2 ? FD ? FA 所以, EF ? FG ? 1 . 【思路点拨】 (1)由同位角相等得出∠BCE=∠FED,由圆中同弧所对圆周角相等得出∠BAD= 2 ∠BCD,结合公共角∠EFD=∠EFD,证出△DEF∽△EFA(2)由(1)得 EF =FA?FD,再由圆的 2 切线长定理 FG =FD?FA,所以 EF=FG=1。 名校精品解析系列】 数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 17.已知函数 f ( x ) ? a ( x ?

1 ) ? m ln x ( a, m ? R, m ? 0). x

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(1)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? m ? 0, 求 a、m 的值; (2)若 m ? 1 且关于 x 的不等式 f '( x ) ? 0 在 [2, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数解决不等式恒成立的问 题 B12 【答案】 【解析】 (1) a ? 2. ;(2) a ? 解析:.(1)因为 f '( x ) ? a ?

2 . 5

a m ? ? f '(1) ? 2a ? m ? 2, 又 (1, f (1) ? (1,0) ? x2 x

2 ? 0 ? m ? 0 ? m ? 2, 那么 a ? 2.
ax 2 ? x ? a x x ?0?a? (2) f '( x) ? 恒成立,设函数 g ( x ) ? ( x ? 2) ? 函 2 x 1? x 1 ? x2
2 2 数 g ( x ) 在 [2, ??) 是减函数,则 g max ( x ) ? g (2) ? , 所以 a ? . 5 5
【思路点拨】 (1)曲线 y ? f ( x ) 在点 (1,f (1)) 处的切线斜率为 f ? ?1? ? 2 ,利用直线方程 的点斜式方程可求 a,m; (2)把不等式转化为 a ?

x ,利用函数的单调性做出解答。 1 ? x2

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】21(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? ax, a ? R
2

(1)若 a ? 3 ,求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 f ? x ? 由两个极值点 x1 , x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B ( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率 k , 问是否存在 a ,使 k ?

2 a ? ,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. a 2

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用.B12 【答案】 【解析】(1) 单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) ; (2) 不存 在实数 a ,使得 k ?

1 2

1 2

2 a ? 。 a 2

解析: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 3 时, f ?( x) ?

1 1 ? 2 x 2 ? 3x ? 2x ? 3 ? x x

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当0 ? x ? 当

1 或 x ? 1 ,时, f ?( x) ? 0 ,.... ....................2 分 2

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .......... 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) ..........4 分 2 2
(Ⅱ) f ?( x) ?
2

1 1 ? 2 x 2 ? ax ? 2x ? a ? x x

令 u ( x) ? 2 x ? ax ? 1 ,则 ? ? a 2 ? 8 ,

1 当 ? ? 0 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 ,
? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值; ..............5 分

2 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 时, f ?( x) ? 0 ,
? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值.............6 分

3 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? 方程 u ( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? 4 4
若 a ? ?2 2 ,两个根 x1 ? x2 ? 0 ,此时, 则当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值.................7 分
若 a ? 2 2 , u ( x) ? 0 的两个根 x1 ? 0, x2 ? 0 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 当 x ? (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 单调递增, 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减, 则 f ( x) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值, 且 x1 ? x2 ?

a 1 , x1 x2 ? 2 2

k?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? x12 ? ax1 ? ln x2 ? x2 2 ? ax2 ? x1 ? x2 x1 ? x2

?

ln x1 ? ln x2 ln x1 ? ln x2 a ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 2

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?

ln x1 ? ln x2 a 2 a ? ? ? x1 ? x2 2 a 2 ln x1 ? ln x2 2 1 ????????(*)............9 分 ? ? x1 ? x2 a x1 ? x2



x1 ?1 x1 x1 ? x2 x2 即 ln ? ? x2 x1 ? x2 x1 ? 1 x2


x1 t ?1 ? t ? (0,1) ,则上式等价于: ln t ? t ?1 x2

令 g (t ) ? (t ? 1) ln t ? t ? 1

t ?1 1 ? 1 ? ln t ? t t 1 令 m(t ) ? ln t ? t 1 1 t ?1 m?(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 t t t
则 g ?(t ) ? ln t ?

? m(t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,且 m(t ) ? m(1) ? 1 ? 0 ,
即 g ?(t ) ? 0 在区间 (0,1) 恒成立

? g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递增,且 g (t ) ? g (1) ? 0
? 对 ?t ? (0,1) ,函数 g (t ) 没有零点,

t ?1 在 t ? (0,1) 上没有实根,.. 11 分 t ?1 2 a 即(*)式无解,? 不存在实数 a ,使得 k ? ? ..12 分 a 2
即方程 ln t ? 【思路点拨】 (1) f (x) 的定义域为 (0, +∞) , 当 a=3 时, ,

由此利用导数性质能求出 f(x)的单调区间. (2)
2 2



u(x)=2x ﹣ax+1,则△=a ﹣8,由此利用分类讨论思想和导数性质能求出是否存在 a,使 k= ﹣ .

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【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届山西省康杰中学等四校高三第三次联考(201503)】 21. (本小题满分 12 分)

函数 f ( x ) ?

a ? ln x ,若曲线 f ( x) 在点 (e , f (e)) 处的切线与直线 e 2 x ? y ? e ? 0 垂 x

直(其中 e 为自然对数的底数). (1)若 f ( x) 在 (m, m ? 1) 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (2)求证:当 x ? 1 时,

f ( x) 2e x ?1 . ? e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)

【知识点】利用导数求函数的极值;利用导数证明不等式 B11 B12 【答案】 【解析】 (1) ; (2)见解析 (0,1 ) 解析: (1)∵ f ?( x) ?

1 ? a ? ln x x2 1 a 1 由已知 f ?(e) ? ? 2 ∴ - 2 ? ? 2 得a ?1 e e e 1 ? ln x ln x f ?( x) ? ? 2 ( x ? 0) ∴ f ( x) ? x x 当 x ? (0,1)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数; 当 x ? (1,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数。 ∴ x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点 又 f ( x) 在 (m, m ? 1) 上存在极值 ∴ m ? 1 ? m ?1 即0 ? m ? 1 故实数 m 的取值范围是 (0,1 )

???2 分

???4 分

???5 分

(3)

f ( x) 2e ? e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)
???6 分

x ?1

1 (x ? 1)(ln x ? 1) 2e x ?1 ? x e ?1 x xe ? 1 ( x ? 1)(ln x ? 1) 令 g ( x) ? x [( x ? 1)(ln x ? 1)]? x ? ( x ? 1)(ln x ? 1) x ? ln x ? 则 g ?( x) ? x2 x2 1 x ?1 ? 1? ? 再令 ?(x) ? x ? ln x 则 ? ?(x) x x ( 1, ? ?) ∵x ?1 ∴ ? ?( x) ? 0 ∴ ? ( x) 在 上是增函数 ∴ ? ( x) ? ? (1) ? 1 ? 0 ∴ g ?( x) ? 0 ( 1, ? ?) ∴ g ( x) 在 上是增函数 g ( x) 2 ? ∴ x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 2 故 e ?1 e ?1 x ?1 2e 令 h( x ) ? xe x ? 1
即为
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???9 分

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e x ?1 ( xe x ? 1) ? ( xe x ? 1)?e x ?1 2e x ?1 (1 ? e x ) ? ( xe x ? 1) 2 ( xe x ? 1) 2 ( 1, ? ?) ∵x ?1 ∴ 1 ? e x ? 0 ∴ h?( x) ? 0 即 h( x) 上是减函数 2 ∴ x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? ???11 分 e ?1 g ( x) f ( x) 2e x ?1 ? h( x) , 即 所以 ???12 分 ? e ?1 e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1) 1 ? a ? ln x 【思路点拨】(1)先求导得 f ?( x) ? ,利用单调性判断出 x ? 1 是函数 f ( x) 的 x2 极 大 值 点 , 所 以 有 m ? 1 ? m ? 1 , 解 不 等 式 组 即 可 ;( 2 ) 先 转 化 为 1 (x ? 1)(ln x ? 1) 2e x ?1 ( x ? 1)(ln x ? 1) ? x , 令 g ( x) ? ,再求导结合单调性证明。 x e ?1 x xe ? 1
则 h?( x) ? 2

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】21. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)= x1nx ? x ?

1 2 1 3 x ? ax , f ?( x) 为函数 f(x) 2 3

的导函数. (l)若 F(x)=f(x)+b,函数 F(x)在 x=1 处的切线方程为 2x +y-l=0,求 a、b 的 值; (2)若 f ? (x)≤-x+ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 若曲线 y=f(x) 上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线, 求实数 a 的取值范围. 【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数解决不等式恒成立的问 题 B11 B12

1 ; (2) a ? 1 ; (3) 0 ? a ? 1 2 1 2 1 2 解析: (1) F ? x ? ? x ln x ? x ? x ? ax ? b , 2 3
【答案】 【解析】 (1) a ? 3, b ?

F ? ? x ? ? ln x ? x ? ax2
切点为 ?1, ?1? ,切线斜率为 k ? ?2 ,

1 ? 1 ? 1 ? F ?1? ? 1 ?? a ? b ? ? 得到 ? 3 \ ? 2 ,解得 a ? 3, b ? 。 2 ? ? F ? ?1? ? ?2 ? ? 1 ? a ? ?2
(2) f ? ? x ? ? ln x ? x ? ax
2

f ? ? x ? ? ? x ? ax 恒成立,可得当 x ? 0 时, a ?
令 G ? x? ?

ln x ? 2 x 恒成立, x2 ? x

ln x ? 2 x ? x ? 0 ? ,则 a ? G ? x ?max , x2 ? x
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?1 ? 2 ? ? 2 ? ? x ? x ? ? ? ln x ? 2 x ?? 2 x ? 1? ? 2 x ? 1?? x ? 1 ? ln x ? x ? G? ? x ? ? ? ?? 2 2 ? x2 ? x ? ? x2 ? x ?
令 g ? x ? ? x ?1? ln x ? x ? 0? , g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 递增,且 g ?1? ? 0 ,

\ 当 x ? ? 0,1? 时, x ?1 ? ln x ? 0, G? ? x ? ? 0 ,
x ? ?1, ??? x ?1 ? ln x ? 0, G? ? x ? ? 0 ,

\ G ? x ? 在 ? 0,1? 递增,在 ?1, ?? ? 递减, \ x ? 1 时, G ? x ?max ? 1

\ a ?1
(3) f ? ? x ? ? ln x ? x ? ax ,令 g ? x ? ? f ? ? x ? ? ln x ? x ? ax
2 2

? x ? 0? ,

g? ? x ? ?

1 ?2ax 2 ? x ? 1 ? 1 ? 2ax ? , x x
2

令 h ? x ? ? ?2ax ? x ?1? x ? 0? , 当 a ? 0 时, h ? x ? ? 0 ,

\ g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 递增,不合适。
当 a ? 0 时, h ? x ? 的 ? 1 ? 8a ? 0 ,设方程 h ? x ? ? 0 的二根为 x1 , x2 , 则 x1 x2 ? ?

1 ? 0 ,不妨设 x1 ? 0 ? x2 , 2a

\ 当 x ? ? 0, x2 ? 时, g? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x2 , ??? 时, g? ? x ? ? 0 \ g ? x ? 在 ? 0, x2 ? 递增,在 ? x2 , ??? 递减,
2 2 ? ? ?2ax2 ? x2 ? 1 ? 0 ??2ax2 ? x2 ? 1 ? 0 得到 ? , \ ? 2 g ? x2 ? ? 0 ? ? ?ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0
2 整理得 ax2 ?

x2 ? 1 , 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 , 2

函数 u ? x ? ? 2ln x ? x ?1 在 ? 0, ?? ? 递增, u ?1? ? 0 ,

x ?1 ? 1 1 ? 1 \ 可得 x2 ? 1, 2a ? 2 2 ? ? ? ? ? x2 ? x2 2 ? 4
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2

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0?

1 ? 1 ,\ 0 ? 2 a ? 2 x2
ln x ? 2 x 恒成立, x2 ? x

\ 0 ? a ?1
【思路点拨】 (1)利用导数的几何意义即可; (2)把原不等式转化为 a ?
2

借助于导数即可; (3)把原式转化为 h ? x ? ? ?2ax ? x ?1? x ? 0? ,对 a 分类讨论即可。

【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】21.(本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? e x sin x

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? kx ,求实数 k 的取值范围。

【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.B9 B12 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2) (??,1] 解析: (1) f ( x) ? e sin x ? e cos x ? e (sin x ? cos x) ,
' x x x

令 y ? sin x ? cos x ?

? ? 3? 2 sin( x ? ), 当 x ? (2k? ? , 2k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单增, 4 4 4 3? 7? x ? (2k? ? , 2 k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单减 4 4
x

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx ,即 g ( x) ? 0 恒成立, 而 g ( x) ? e (sin x ? cos x) ? k ,
' x

令 h( x) ? e (sin x ? cos x) ? h ( x) ? e (sin x ? cos x) ? e (cos x ? sin x) ? 2e cos x
x ' x x x

x ? [0, ], h ' ( x) ? 0 ? h( x) 在 [0, ] 上单调递增,1 ? h( x) ? e 2 , 2 2
当 k ? 1 时, g ( x) ? 0, g ( x) 在 [0,
'

?

?

?

?
2

] 上单调递增, g ( x) ? g (0) ? 0 ,符合题意;

当 k ? e 2 时, g ( x) ? 0 ? g ( x) 在 [0,
'

?

?
2

] 上单调递减, g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合;

当 1 ? k ? e 时, g ( x) 为一个单调递增的函数,而 g (0) ? 1 ? k ? 0, g ( ) ? e 2 ? k ? 0 ,
2

?

'

'

'

?

?

2

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由零点存在性定理,必存在一个零点 x0 ,使得 g ' ( x0 ) ? 0 ,当 x ? [0, x0 ) 时, g ( x) ? 0, 从
'

而 g ( x) 在 x ? [0, x0 ) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合, 综上所述: k 的取值范围为 (??,1] 【思路点拨】 (1)f′ (x)=e sinx+e cosx=
x x

e

x x

,分别解出 f′ (x)>0,f′ (x)

<0,即可得出单调区间; (2)令 g(x)=f(x)﹣kx=e sinx﹣kx,即 g(x)≥0 恒成立,而 g′ x x (x)=e (sinx+cosx)﹣k,令 h(x)=e (sinx+cosx) ,利用导数研究函数 h(x)的单调性 可得:在 上单调递增, ,对 k 分类讨论,即可得出函数 g(x)

的单调性,进而得出 k 的取值范围.

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a ln x 在点 ?1, f (1) ? 处的切线平行于 x 轴. x

(1)求 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间与极值. 【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性与极值 B11 B12 【答案】 【解析】 (1) a = - 3 ;(2)见解析 解析: (1)

f ?( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ( x ? ? 0, ?? ? ) ? ? x2 x x2

? f ?(1) ? 3 ? a ? 0,? a ? ?3

x 2 ? 3 x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) (2)由(1)知, f ?( x) ? ( x ? ? 0, ?? ? ) ? x2 x2
则 f ?( x) ? 0 的两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 在 ? 0,1? 和 ? 2, ?? ? 上 f ?( x) ? 0 ;在 ?1, 2 ? 上 f ?( x) ? 0 . 所以, f ( x) 的单调增区间为 ? 0,1? 和 ? 2, ?? ? ;单调减区间为 ?1, 2 ? .

f ( x) 在 x1 ? 1 处取得极大值 f ( x)极大 ? f (1) ? ?1 ; f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极小值 f ( x)极小 ? f (2) ? 1 ? 3ln 2 .
【思路点拨】 (1)根据导数的几何意义可得 f ? (2)对原函数 (1) = 3 + a = 0 ,解得 a 即可;
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求导,进而判断出单调区间和极值。

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】21(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? ax, a ? R
2

(1)若 a ? 3 ,求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 f ? x ? 由两个极值点 x1 , x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B ( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率 k , 问是否存在 a ,使 k ?

2 a ? ,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. a 2 1 2 1 2

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用.B12 【答案】 【解析】(1) 单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) ; (2) 不存 在实数 a ,使得 k ?

2 a ? 。 a 2

解析: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

1 1 ? 2 x 2 ? 3x 当 a ? 3 时, f ?( x) ? ? 2 x ? 3 ? x x
当0 ? x ? 当

1 或 x ? 1 ,时, f ?( x) ? 0 ,.... ....................2 分 2

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .......... 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) ..........4 分 2 2
(Ⅱ) f ?( x) ?
2

1 1 ? 2 x 2 ? ax ? 2x ? a ? x x

令 u ( x) ? 2 x ? ax ? 1 ,则 ? ? a 2 ? 8 ,

1 当 ? ? 0 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 ,
? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值; ..............5 分

2 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 时, f ?( x) ? 0 ,
? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值.............6 分

3 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时,

第 70 页 共 82 页

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a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? 方程 u ( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? 4 4
若 a ? ?2 2 ,两个根 x1 ? x2 ? 0 ,此时, 则当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值.................7 分
若 a ? 2 2 , u ( x) ? 0 的两个根 x1 ? 0, x2 ? 0 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 当 x ? (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 单调递增, 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减, 则 f ( x) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值, 且 x1 ? x2 ?

a 1 , x1 x2 ? 2 2

k?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? x12 ? ax1 ? ln x2 ? x2 2 ? ax2 ? x1 ? x2 x1 ? x2

?

ln x1 ? ln x2 ln x1 ? ln x2 a ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 2 ln x1 ? ln x2 a 2 a ? ? ? x1 ? x2 2 a 2 ln x1 ? ln x2 2 1 ????????(*)............9 分 ? ? x1 ? x2 a x1 ? x2

?



x1 ?1 x1 x1 ? x2 x2 即 ln ? ? x2 x1 ? x2 x1 ? 1 x2


x1 t ?1 ? t ? (0,1) ,则上式等价于: ln t ? t ?1 x2

令 g (t ) ? (t ? 1) ln t ? t ? 1

t ?1 1 ? 1 ? ln t ? t t 1 令 m(t ) ? ln t ? t
则 g ?(t ) ? ln t ?

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1 1 t ?1 m?(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 t t t
? m(t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,且 m(t ) ? m(1) ? 1 ? 0 ,
即 g ?(t ) ? 0 在区间 (0,1) 恒成立

? g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递增,且 g (t ) ? g (1) ? 0
? 对 ?t ? (0,1) ,函数 g (t ) 没有零点,

t ?1 在 t ? (0,1) 上没有实根,.. 11 分 t ?1 2 a 即(*)式无解,? 不存在实数 a ,使得 k ? ? ..12 分 a 2
即方程 ln t ? 【思路点拨】 (1) f (x) 的定义域为 (0, +∞) , 当 a=3 时, ,

由此利用导数性质能求出 f(x)的单调区间. (2)
2 2



u(x)=2x ﹣ax+1,则△=a ﹣8,由此利用分类讨论思想和导数性质能求出是否存在 a,使 k= ﹣ .

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】21. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=

1 2 x ? (a ? 1) x ? a1nx . 2

(l)讨论 f(x)的单调性; (2)设 a<0,若对任意 x1、x2∈(0,+∞), (x1≠x2) ,|f(x1)-f(x2)|>4 |x1-x2|,求实 数 a 的取值范围; (3)设 g(x)=f(x)+(a-1)x,A(x1,g(x1) ) ,B(x2 ,g(x2))为 g(x)图象上任意 两点,x0=

x1 ? x 2 , AB 的斜率为 k, g ? (x)为 g(x)的导函数,当 a>0 时,求证: g ? 2

(x0)>k. 【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数解决不等式恒成立的问 题 B11 B12 【答案】 【解析】 (1)当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上递增;当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, a ? 递 减,在 ? a, ??? 递增。 (2) a ? 1 ; (3)

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解析: (1)定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? x ? ? a ? 1? ?

a ? x ? a ?? x ? 1? ? x x

① 当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? a , 由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? a ,又 x ? 0 ,

? f ? x ? 在 ? 0, a ? 递减,在 ? a, ??? 递增
综上:当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, a ? 递减,在 ? a, ??? 递增。 (2)因为 a < 0 ,所以由(1)知 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上递增; 不妨设 0 < x1 < x2 , 则 f x1 < f x2 ,所以由 | f x1 - f x2 > 4 x1-x2 | 得 f x2 - 4x2 > f x1 - 4x1 , 令 F x = f x - 4x , 所以 F x 在 ? 0, ?? ? 上递增;

( )

( )

( )

( )

( )
()

( )

()

()

所以 F x =

1 2 x - (a + 3) x - a1nx , 2 a F ?( x) = x - ( a + 3) 0 对一切 x ? ( 0, x

( )

) 恒成立,

即a ?

x 2 - 3x 对一切 x ? ( 0, x +1

) 恒成立,

令y=

x 2 - 3x ( x > 0) , t = x +1, t >1 x +1

所以 y =

t 2 - 5t + 4 4 4 =t + - 5匙 2 t - 5 = - 1, t t t
4 ,即 t=2,即 x=1 时取等号, t

当且仅当 t =

x=1 时, ymin = - 1,所以 a ? 1 (3)因为 g x = 所以 g ? x = x -

( )

1 2 x - a ln x (a>0) 2

( )

a , x
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1 2 1 x1 - a ln x1 - x2 2 - a ln x2 a ln x - ln x2 ) 1 2 = ( x1 + x2 ) + ( 1 设 0 < x1 < x2 ,则 k = 2 , x1 - x2 2 x1 - x2

轾 x2 -1 犏 x x a 犏 2 1 g ?( x0 ) - k = ln - 2 , 犏 x2 x2 - x1 犏 x1 1+ 犏 x1 臌
t - 1) 1 4 t-1 x 令 t = 2 , t >1 , h ( t ) = ln t - 2 , h? t) = =( >0 ( 2 2 t +1 t ( t +1) x1 t ( t +1)
2

【思路点拨】 (1)结合定义域,对原函数求导,再分类讨论即可; (2)因为 a < 0 ,所以由 ( 1 ) 知 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 递 增 ; 不 妨 设 0 < x1 < x2 , 则 f x1 < f x2 , 所 以 由

( )

( )

| f ( x1) - f ( x2 ) x ? ( 0,

x 2 - 3x 对一切 > 4 x1-x2 | ,利用 F ( x) 在 ? 0, ?? ? 上递增;转化为 a ? x +1

)

恒 成 立 , 再 利 用 基 本 不 等 式 即 可 ;( 3 ) 化 简 为

轾 x2 -1 犏 x x a 犏 2 1 g ?( x0 ) - k = ln - 2 ,再利用导数的单调性解即可。 犏 x2 x2 - x1 犏 x1 1+ 犏 x1 臌

【数学理卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)word 版】21.(本小题满分 14 分)

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已知函数 f ? x ? ? x ?

a ? 2 ln x , a ?R . x

(1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 , 求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下, 证明: f ? x2 ? ? x2 ?1. 【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的单调区间.B11 B12 【答案】 【解析】 (1)见解析;(2) 0 ? a ? 1 (3)见解析 解析:(1)函数 f ? x ? ? x ?

a ? 2 ln x 的定义域为 ? 0, ?? ? , x

f ?? x? ? 1?

a 2 x2 ? 2x ? a ? ? , ????????1 分 x2 x x2

2 令 f ? ? x ? ? 0 , 得 x ? 2 x ? a ? 0 , 其判别式 ? ? 4 ? 4a , 2 ① 当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时, x ? 2 x ? a ? 0 , f ? ? x ? ? 0 , 此时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递

增; ??2 分 ② 当 ? ? 0 , 即 a ? 1 时, 方程 x2 ? 2 x ? a ? 0 的两根为

x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a ? 1,?3 分
若 a ? 0 , 则 x1 ? 0 , 则 x ? ? 0, x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? ? x2 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 , 此时, f ? x ? 在 ? 0, x2 ? 上单调递减, 在 ? x2 , ??? 上单调递增;?????4 分 若 a ? 0 ,则 x1 ? 0 , 则 x ? ? 0, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? ? x1 , x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,

x ? ? x2 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ,
此 时 , f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上 单 调 递 增 , 在 ? x1 , x2 ? 上 单 调递 减 , 在 ? x2 , ??? 上 单 调 递 增. ??5 分 综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 f ? x ? 在 ? 0, x2 ? 上单调递减, 在 ? x2 , ??? 上单调递增; 当 0 ? a ? 1 时, 函数 f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上单调递增, 在 ? x1 , x2 ? 上单调递减, 在 ? x2 , ??? 上 单调递增; 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. ?????6 分
2 (2) 由(1)可知, 函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,等价于方程 x ? 2 x ? a ? 0 在 ? 0, ?? ? 有

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两不等实根, 故 0 ? a ? 1 .

??????7 分

2 (3) 由(1), (2)得 0 ? a ? 1 , x2 ? 1 ? 1 ? a , 且 1 ? x2 ? 2 , a ? ? x2 ? 2x2 . ?8 分

2 ? x2 ? 2 x2 f ? x2 ? ? x2 ? 1 ? x2 ? ? 2ln x2 ? x2 ? 1 ? x2 ? 2ln x2 ? 1 ,???????9 分 x2

令 g ? t ? ? t ? 2ln t ?1, 1 ? t ? 2 , 则 g? ?t ? ? 1 ?

2 t?2 ? , t t

??????????????10 分

由于 1 ? t ? 2 , 则 g ? ? t ? ? 0 , 故 g ? t ? 在 ?1, 2 ? 上单调递减.??????11 分 故 g ?t ? ? g ?1? ? 1? 2ln1 ?1 ? 0 . ∴ f ? x2 ? ? x2 ? 1 ? g ? x2 ? ? 0 . ∴ f ? x2 ? ? x2 ?1. ??????????????12 分 ??????????????13 分 ??????????????14 分

【思路点拨】 (1)对原函数求导后,再对判别式以及 a 进行分类讨论即可; (2)由(1)可知,
2 函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,等价于方程 x ? 2 x ? a ? 0 在 ? 0, ?? ? 有两不等实根, 故

可求 a 的范围.(3)由(1), (2)得 f ? x2 ? ? x2 ? 1 ? x2 ? 2ln x2 ?1,令 g ? t ? ? t ? 2ln t ?1, 则 g? ?t ? ? 1 ?

2 t?2 ? ,然后借助于单调性证明即可。 t t

【数学文卷·2015 届广东省深圳市高三年级第一次调研考试(201501) 】21、 (本小题满分 14 分) 已知 a, b ? R ,函数 f ( x) ? (ax ? 2) ln x , g ( x) ? bx 2 ? 4 x ? 5 ,且曲线 y ? f ( x) 与曲线

y ? g ( x) 在 x ? 1 处有相同的切线。
(1)求 a, b 的值; (2)证明:当 x ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 恒在曲线 y ? g ( x) 的下方; (1)当 x ? (0, k ] 时,不等式 (2k ? 1) f ( x) ? (2 x ? 1) g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围。 【知识点】导数的应用 B12 【答案】 (1)b=1,a=4. (2)略(3) (0,1] 【解析】 (1) f ?( x ) ? a (ln x ? 1) ? 又

2 , g ?( x) ? 2bx ? 4 , f ?(1) ? a ? 2 , g ?(1) ? 2b ? 4 x

曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在点(1,0)处有相同的切线
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f(1)=0=g(1)=b+4-5, g ?( x ) ? f ?(1) 即 b=1,a=4. (2)要使得当 x ? 1 时,曲线 y=f(x)恒在曲线 y=g(x)的下方即 f(x)< g(x)( x ? 1 ) 不妨设 F(x)= f(x)- g(x),则 F(x)=(4x+2)lnx- x 2 ? 4 x ? 5 , F ?( x) ? 4 ln x ? 令 G( x) ? F ?( x) , G?( x) ?

2 ? 2x x

?2( x ? 1) 2 4 2 ? 2 ?2= ? 0 恒成立, F ?( x) 在(0,+ ? )上单调 x x x2

递减,, F ?(1) ? 0 ,当 x ? (0,1) , F ?( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) , F ?( x) ? 0 F(x)在 x ? (0,1) 单调递增, x ? (1, ??) 单调递减。 当 x=1 时,F(x)取得最大值 F(1)=0,当 x ? 1 时 F(x)< F(1)=0,即 f(x)< g(x),曲线 y ? f ( x) 恒在曲 线 y ? g ( x) 的下方。 (3)由题意得 k>0,2x+1>0,不等式(2k+1)f(x) ? (2x+1)g(x)可转化为 2(2k+1)lnx ? x 2 ? 4 x ? 5

?2 x 2 ? 4 x ? 4k ? 2 4k ? 2 ? 2x ? 4 = 构造函数 H(x)= , x x
在二次函数 y= ?2 x2 ? 4 x ? 4k ? 2 中,开口向下,对称轴 x=-1,且过定点(0,4k+2)
2 解 ?2 x ? 4 x ? 4k ? 2 =0,得 x1 ? ?1 ? 2k ? 2 (舍) , x2 ? ?1 ? 2k ? 2

(1) 当 x2 ? k , 即 k<-1(舍)或 k>1,此时当 x ? (0, x2 ) ,H ?( x) ? 0 ,x ? ( x2 , k ) ,H ?( x) ? 0 当 x= x2 时, H ( x ) 取得最大值,记 H1 ( x2 ) =2(2k+1)ln x2 - x22 ? 4 x2 ? 5 , 由 x2 ? ?1 ? 2k ? 2 得 2k+1= x2 2 ? 2 x2

2( x2 2 ? 2 x2 ) - 2 x2 H1 ( x2 ) =2( x22 ? 2 x2 )ln x2 - x22 ? 4 x2 ? 5 ? 0 而 H1? ( x2 ) =(4 x2 +4) ln x2 + x2
-4=(4 x2 +4) ln x2 ,则当 x2 ? (0,1) H1 ( x2 ) 单调递减,当 x2 ? (1, ??) H1 ( x2 ) 单调递增,

H1 ( x2 ) 在 x2 =1 处取得最小值 0,所以只有 x2 =1 符合条件,此时 k=1 时不符合条件。
(2)当 x2 =k 时,解得 k=1,当 x ? (0,1) 时, H1? ( x ) ? 0 ,H(x)在 (0,1] 时取得最大值 0 即当 x ? (0,1] 时,H(x) ? 0 恒成立, (3) x2 ? k 时,解得 0<k<1,当 x ? (0, k ) 时, H ? ( x) ? 0

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H(x)在 x ? (0, k ] 时取得最大值, H2 (k ) ? 2( 2k ? 1)lnk ? k 2 ? 4k ? 5

H 2 (k ) 的图像与 F(x)的图像相同,当 0<k<1 时, H2 (k ) ? H2 (1) ? 0 ,原不等式恒成立,
综上所述,实数 k 的取值范围是 (0,1] 【思路点拨】f(1)=0=g(1)=b+4-5, g ?( x ) ? f ?(1) 即 b=1,a=4. F(x)在 x ? (0,1) 单调递增, 当 x=1 时, F(x)取得最大值 F(1)=0, 当 x ? 1 时 F(x)< F(1)=0,即 f(x)< g(x), x ? (1, ??) 单调递减。 曲线 y ? f ( x) 恒在曲线 y ? g ( x) 的下方。根据单调性求出参数 k 的范围。

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【数学文卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)WORD 版(修改) 】21. (本小 题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? b ln x 在点 1, f ?1? 处的切线为 y ? 1 .
2

?

?

(1)求实数 a , b 的值; (2) 是否存在实数 m , 当 x ??0 1 ,

? 时,函数 g ? x? ? f ? x? ? x2 ? m ? x ?1? 的最小值为 0 ,

若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)若 0 ? x1 ? x2 ,求证:

x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的切线方程.B11 B12 【答案】 【解析】 (1) a ? 1, b ? 2 ; (2) (??, 2]
2

(3)见解析

解析: (1)∵ f ? x ? ? ax ? b ln x ,其定义域为 ? 0, ?? ? ,
b ∴ f ?( x) ? 2ax ? . x
? f (1) ? a ? 1, 依题意可得 ? ? f ?(1) ? 2a ? b ? 0.

???1 分

?????2 分 ?????4 分

解得 a ? 1, b ? 2 .

(2) g ( x) ? f ( x) ? x2 ? m( x ? 1) ? m( x ? 1) ? 2ln x, x ? (0,1] , ∴ g ?( x) ? m ?
2 mx ? 2 . ? x x

???????5 分

① 当 m ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,则 g ( x) 在 (0,1] 上单调递减, ∴ g ( x)min ? g (1) ? 0 .
m( x ? x

????????6 分
2 ) m ? 0 ,则 g x 在 (0,1] 上单调递减, ? ?

② 当 0 ? m ? 2 时, g ?( x) ? ∴ g ( x)min ? g (1) ? 0 . ③当 m ? 2 时,则 x ? ? 0,

???????7 分

? ?

2? ?2 ? ? 时, g? ? x ? ? 0 ; x ? ? ,1? 时, g? ? x ? ? 0 , m? ?m ?

∴ g ( x) 在 ? 0,

? ?

2? ?2 ? ? 上单调递减,在 ? ,1? 上单调递增. m? ?m ?

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故当 x ?

2 ?2? 时, g ? x ? 的最小值为 g ? ? . m ?m?

?2? ∵ g ? ? ? g (1) ? 0 . ?m?

∴ g ( x)min ? 0 .

?????????8 分

综上所述,存在 m 满足题意,其取值范围为 (??, 2] . ????9 分 (3)证法 1:由(2)知,当 m ? 1 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2ln x 在 (0,1) 上单调递减, ∴ x ? (0,1) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 即 x ? 1 ? 2 ln x . ∵ 0 ? x1 ? x2 , ∴ 0? ∴ ∴
x1 ? 1. x2

????10 分

???????11 分 ???????12 分 ????????13 分

x1 x ? 1 ? 2 ln 1 . x2 x2 x1 ? x2 ? 2(ln x1 ? ln x2 ) . x2

∵ ln x2 ? ln x1 , ∴
x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

?????????14 分

证法 2: 设 ? ( x) ? 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x(0 ? x ? x2 ) , 则 ? ?( x) ? ?
2x2 x ? 2x2 . ?1 ? x x

当 x ? (0, x2 ) , ? ?( x) ? 0 , ∴ ? ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减 ∴ ? ( x) ? ? ( x2 ) ? 0 .

?????10 分

?????????11 分

∴ x ? (0, x2 ) 时, 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x . ???????12 分
0 ? x1 ? x2 ,

∴ 2 x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? x2 ? x1 .
ln x2 ? ln x1 ,

????????13 分

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x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

?????????14 分

【思路点拨】 ( 1 )先求出其定义域,再根据题意得到 a,b 的方程组解之即可; ( 2 )把 (3)由(2)知,当 m ?1 时, g ( x) ? m( x ? 1) ? 2ln x 求 导 后 对 m 分 类 讨 论 即 可 ;
g ( x) ? x ? 1 ? 2 l nx 在 (0,1) 上单调递减,得到 x ? 1 ? 2 ln x ,再证明即可。

B13 定积分与微积分基本定理
【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】6.已知等比数列 ( )

?an ? ,且 a4 ? a8 ? ?0
C. ?

2

4 ? x 2 dx, 则 a6 (a2 ? 2a6 ? a10 ) 的值为

A. ? 2

B.4

D. ?9?

【知识点】定积分;数列的求和.B13 D4 【答案】 【解析】A ∵ ∴a4+a8= 解析:设等比数列{an}的公比为 q,
2 2

dx 表示圆的 x +y =4 的面积的 ,∴

dx=

=π.

dx=π=



∴a6(a2+2a6+a10)= 故选:A. 【思路点拨】设等比数列{an}的公比为 q,由

=

=π .

2

dx 表示圆的 x +y =4 的面积的 ,

2

2

可得

dx=π.由于 a4+a8=

dx=π=

,可得 a6(a2+2a6+a10)

=

=π .

2

第 81 页 共 82 页

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B14 单元综合

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