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圆锥曲线中的最值、范围专题


圆锥曲线中的最值范围

圆锥曲线中的最值、范围
学习目标:了解以圆锥曲线为背景下求最值、范围的方法,体会数学思想的运用。 学习重点、难点:在圆锥曲线中求最值、范围的几种常见方法。 一、定义法 利用圆锥曲线的第一定义、第二定义相互转化,再利用几何或代数法求最值,可使题目 中数量关系更直观,解法更简捷。

x2 y 2 ? ? 1 ,

A(4,0) 例 1、已知椭圆 ,B(2,2)是椭圆内的两点,P 是椭圆上任一点, 25 9
求: (1)求

5 | PA | ? | PB | 的最小值; 4

(2)求 PA ? PB 的最小值和最大值。

变式练习:
2 已知抛物线 y ? 4 x ,定点 A(3,1) , F 是抛物线的焦点 ,在抛物线上求一点 P , 使

AP ? PF 取最小值 ,并求的最小值 。

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1

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圆锥曲线中的最值范围

二、几何法 数形结合是解决最值、范围问题的常用方法,利用几何法会让问题更加的明晰和直观。

x2 y 2 例 2、已知椭圆 ? ? 1 和直线 l : x ? y ? 9 ? 0 ,在 l 上取一点 M ,经过点 M 且以 12 3
椭圆的焦点 F1 , F2 为焦点作椭圆 ,求 M 在何处时所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆 方程 。

变式练习: 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与 a2 b2
) D.(2,+∞) B. (1,2) C. [2, ??)

双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A.( 1,2) 三、参数法

利用椭圆、双曲线的参数方程转化为三角函数问题,或利用直线、抛物线参数方程转化 为函数问题求解。 例 3、 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的切线 l 与两坐标轴分别交于 A, B 两点 , 求 ?OAB 面积的最小值。 a 2 b2

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2

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变式练习:已知 P 点在圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 上移动, Q 点在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上移动,试求 9

PQ 的最大值。

三、圆锥曲线坐标的有界性 圆锥曲线上的点的坐标是有界的, 利用坐标的有界性建立不等式求离心率或参数的范围 是常用的方法。 例 4、设椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 ,直线 l : x ? a2 2

?

?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点

A ,若 OF1 ? 2 AF O 为坐标原点) . 1 ? 0 (其中
(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径
2

( E 、 F 为直径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.

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变式练习:

x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 在双曲线的右支上, a b
且 PF ( 1 ? 4 PF 2 ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为: A. ) D.

4 3

B.

5 3

C.

2

7 3

若点 O 和点 F(-2,0)分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1( a ? 0 )的中心和左焦点,点 P 为双曲线 2 a
( )

右支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 A.[ 3 ? 2 3 ,+∞)

??? ? ??? ?

B.[ 3 ? 2 3 ,+ ∞) C.[-

7 ,+∞) 4

D.[

7 ,+ ∞) 4

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在一 a 2 b2

点P 使

a c ,则该椭圆的离心率的取值范围为 ? sin PF1F2 sin PF2 F1

四、利用函数、不等式求最值、范围的方法 利用函数、不等式求圆锥曲线中的最值、范围问题是最常用的方法,体现了圆锥曲线 中用代数方法解决几何问题的思想。 例 5、已知圆 M : ( x ? 1) ? y ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) ? y ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N
2 2 2 2

内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A, B 两点,当 圆 P 的半径最 长时,求 AB .

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4

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例 6、在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 (? 3 , 0) ,( 3 , 0) 的距离之和等于 4 ,设 点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说 明理由。

例 7、如图,已知抛物线 E : y ? x 与圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 相交于 A 、 B 、 C 、
2 2 2 2

D 四个点。
(I)求 r 的取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标

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变式练习:已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距 离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为 2

切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

课后练习 1、抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A.
2

) D. 3

4 3

B.

7 5

C.

8 5

2、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长 4 3

最大时, ?FAB 的面积是____________。

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3、已知抛物线 y =2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2).则|PA|+|PF| 的最小值是 4、 已知 F 是双曲线 的最小值为 5、给定点 A(-2,2),已知 B 是椭圆 得最小值时,试求 B 点的坐标。 6、 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M : ,取最小值时 P 点的坐标 .

2

x2 y 2 则 PF ? PA ? ? 1 的左焦点,A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点, 4 12
5 x2 y 2 ? ? 1 上的动点,F 是右焦点,当 AB ? BF 取 3 25 16

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 作直 x ? y ? 3 ? 0 交 a 2 b2

M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为
(Ⅰ)求 M 的方程;

1 . 2

(Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ABCD 面积 的最大值.

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7、在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点, M 是抛物线 C 上 位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线 的距离为

3 . 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的 坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ?

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B , 4

l 与圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当

1 2 2 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值. 2

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