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2015年全国高中数学联赛模拟试题16


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 16 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2 1 a ? ? b ? x ? R, x ? 0 ? ,若实数 a , b 使方程 f ? x ?

? 0 有实根,则 a 2 ? b 2 的 2 x x 最小值是 2.在正三棱台 ABC ? A1B1C1 中,上底面积 S△A1B1C1 ? 12 ,下底面积 S△ABC ? 27 .若底边 BC 到截面 AB1C1 的 距离等于三棱台的高,则 S△AB1C1 ? 3.从 1, 2,3,?,100 中取出三个不同的数,使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种 . cos x 2 cos y 2 , z ? ? i, 且 z1 ? 2 , 若 z2 ?x ? 则 z2 ? z1 的取值范围是 y i , ? 1 sin y 2 sin x 2 ? 2 2? 5. 函数 f ? x, y ? ? x 4 ? y 4 ? 2x 2 y ? 2xy 2 ? 3x 2 ? 3y 2 ? 2x ? 2y ? 2 的最小值为 4. 已知 x, y ? ? ? ? ? , ?? n ? 3n ? 1? ? xn ? 0? ,则数列 ?xn ? 的通项公式为 xn ? xn?1 7.如图,设 P, Q 分别是两个同心圆(半径分别为 6, 4 )上的动点.当 P, Q 分别在圆上运动时,线段 PQ 的 中点 M 所形成的区域面积为 3 3 3 8.设 a1 , a2 ,?, a2010 ?? ?2,2? 且 a1 ? a2 ? ? ? a2010 ? 0 ,则 a1 的最大值为 ? a2 ? ? ? a2010 6.设 x1 ? 3, xn ? xn?1 ? 2 ? 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 3 9.(本小题满分 16 分). 设复数 z 满足 z ? 1 ? 2 .证明: z ? 1 ? 1 . 10.(本小题满分 20 分) 给定整数 a ,设 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ,其中 b, c ? Z ,满足 f ?1? ? ?1, f 3 2 求出所有满足条件的函数 f ? x ? . ? f ?2 ?? ? 2 11.(本小题满分 20 分) x2 y 2 给定椭圆 2 ? 2 ? 1及点 D ?10,0? . 13 5 (1)求 r 的值使得对于椭圆的左顶点 A ,存在椭圆上的另两点 M1 , M 2 ,满足以 D 为圆心、 r 为半径的圆是 △AM1M 2 的内切圆; (2)证明:对于椭圆的下顶点,也存在椭圆上的另两点 N1 , N2 ,使得 ? D 是 △AN1 N2 的内切圆,并确定此 时直线 N1 N 2 的方程. 2015 年全国高中数学联赛模拟试题 16 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) △ABC 的内切圆 ? I 切边 BC 于点 D , 已知 △ABC 的内心为 I , △ABD, △ACD 的内心分别是 Jb , J c , △AJ b J c 的外心为 O . 求证: A, O, I 三点共线. 二、 (本小题满分 40 分) 设 a, b, c, d ? 0, 且 a ? b ? c ? d ? 4 .求证: 1 1 1 1 ?

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