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河北省唐山一中2013届高三第二次月考数学文 Word版含答案


唐山一中 2012-2013 年第一学期第二次月考 高三年级数学试卷(文科)
卷Ⅰ(选择题 共 60 分)
) 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确) 1、已知集合 M ? {x || x ? 1 |? 1} , N ? { y | y ? log2 ( x 2 ? 2x ? 3)}则 M ? N

? ( A. {x || 1 ? x ? 2} B. {x || 0 ? x ? 2} C. {x || 1 ? x ? 2} D. ?

(1 ? i) 2 2、已知 i 是虚数单位,则复数 的虚部等于( 1? i A. ? 1 B. ? i C. i

) D. 1 )

3、已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? ( 3,1) ,则 | a ? b | 的最大值为( A.1 B.

3

C.3

D.9 )

4、在等差数列 {an } 中,前 n 项的和为 S n ,若 2a8 ? 6 ? a11 ,则 S 9 ? ( A.54 B.45 C.36 D.27 5、下列四个命题中的真命题为( ) A. ?x ? R,使得 sin x ? cos x ? 1.5 ;
2 B. ?x ? R,总有 x ? 2 x ? 3 ? 0 ;

主视图

左视图

C. ?x ? R, ?y ? R , y 2 ? x D. ?x ? R, ?y ? R , y ? x ? y 6、已知某几何体的三视图如左上所示,则这个 几何体的外接球的表面积等于( )

2

7 A. ? 3 C. 8?
7、要得到函数 y ? cos( 的图像( )

28 ? B. 3 D. 16?

1

1

3

?
3

俯视图

? 2 x) 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x
开始

? A.向左平移 个单位 12 ? C. 向左平移 个单位 6

B. 向右平移

? 个单位 12 ? D. 向右平移 个单位 6

k=1 S=0

8、按照如右图所示的程序框图执行,若输出的结果为 15, 则 M 处的条件可为( ) A. k ? 8 B. k ? 8 C. k ? 16 D. k ? 16 9、函数 f ( x) ? e sin x 的单调递增区间(
?x

M 否 S=S+k k=2k



) (k ? Z )

5? ?? ? , 2k? ? ? 4 4? ? ? 3? ? ? C. ? 2k? ? , 2k? ? 4 4? ? ?
A. ? 2k? ?

3? ?? ? , 2k? ? ? 4 4? ? ? 5? ? ? D. ? 2k? ? ,2 k? ? 4 4 ? ? ?
B. ? 2k? ?
-1-

输出 S

结束

10、过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线于 A、 B 两点,O 为抛物线的顶点,则△ABO 是 一个 ( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.不等边锐角三角形 D.钝角三角形 11、已知函数 f ( x) ? lg x ,若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) 则 a ? 2b 的取值范围是( A. (2 2, ??) 12、已知函数 f ( x) ? ? A.2012 B. [2 2, ??) C. (3, ??) ) D.2009 D. [3, ??) )

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f (2011 ? ( ) ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
B.2011 C.2010

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1——160 编号。按编号顺序 平均分成 20 组(1—8 号,9—16 号,??153—160 号) ,若第 16 组应抽出的号码为 126,则第一组 中用抽签方法确定的号码是______________.

?x ? y ? 1 ? 1 ? 14、已知实数 x, y 满足 ? x ? ,则 x ? 3 y 的最大值为________________. 2 ? ?2 x ? y ? 4 ?
15、已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的右焦点 F ,若过 F 且倾斜角为 600 的直线 l 与双曲线的右支有且 2 a b 只有 1 个交点,则此双曲线的离心率 e 的范围是_________________.

1 x ? ?2 ? ( 2 ) , x ? 0 ? 16、已知直线 y ? mx(m ? R) 与函数 f ( x) ? ? 的图象恰有三个不同的公共点,则实数 m 的 1 3 ? x ? 1, x ? 0 ?2 ?
取值范围是 __________ . 三、解答题:(大题共 6 个小题满分 70 分,17 题 10 分,其余各题均 12 分.) 17.(本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? an ? 1(n ? N* ) . (1)求 a1 , a2 ; (2)设 bn ? log3 | an | ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

-2-

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x ? 1( x ? R) . (1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间;

(2) 若在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,a ? 角 面积 S 的最大值.

且 3 ,A 为锐角, f ( A ?

?
8

)?

2 , ?A C 求 B 3

19. (本小题满分 12 分) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况, 从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试, 成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格. 把所得数据进行整理后, 分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图), 已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 .第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由; (3)若参加此次测试的学生中,有 9 人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出 2 人参加 “毕业运动会” ,已知 a 、 b 的成绩均为优秀,求两人至少有 1 人入选的概率.

-3-

20. (本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB ? 平面 ACD,DE ? 平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 BF∥ 平面 ACD,并证明这一事实; (2)求直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值. E F B

A

D

C

21. (本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1有两个不同的交点 P 和 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 2
Q.
(1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B ,是否存在常数 k ,使得向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ? ax(a, x ?R) .
3 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单调递增,试求 a 的取值或取值范围; (3)设函数 h( x) ?

1 1 8 f ?( x) ? (2a ? ) x ? a ? 1 , x ? ? ?1, b? , (b ? ?1) ,如果存在 a ? ? ??, ?1? ,对任 3 3 3

意 x ? ? ?1, b? 都有 h( x) ? 0 成立,试求 b 的最大值.

-4-

唐山一中高三数学第二次月考参考答案(文)
一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分. ) ADCADB ADBDCB 二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.6 14.2 15. [2,??) 16. ( , ??)

3 2

三、解答题:(大题共 6 个小题,满分 70 分.) 17. 解答: (1)由已知 4S1 ? a1 ? 1 ,即 4a1 ? a1 ? 1 ,∴ a1 ? 又 4S2 ? a2 ? 1 ,即 4(a1 ? a2 ) ? a2 ? 1 ,∴ a2 ? ? (2)当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ?

1 ,??????3 分 3
??????6 分

1 ; 9

1 1 (an ? 1) ? (a n ?1 ?1) , 4 4

即 3an ? ?an?1 ,易知数列各项不为零(注:可不证不说), ∴

an 1 ? ? 对 n ? 2 恒成立, an ?1 3
1 1 ,公比为 ? 的等比数列, 3 3
??????10 分

∴ ?an ? 是首项为 ∴ an ?

1 1 n ?1 (? ) ? (?1) n ?1 3? n , 3 3
??????12 分

∴ log3 | an |? log3 3?n ? ?n ,即 bn ? ?n .

18. 解: (Ⅰ) ? f ( x) ? 2 sin x cos x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ?

sin 2 x ? cos2 x ? 2 (

2 2 ? sin 2 x ? cos2 x) = 2 sin( 2 x ? ) ———2 分 4 2 2

?

f (x) 的最小正周期为 ? ;————————————————————3 分

??

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,? ?

?

f (x) 的增区间为 (?

3? ? ? k? , ? k? )( k ? Z ) ————————————5 分 8 8

3? ? ? k? ? x ? ? k? (k ? Z ) 8 8

(Ⅱ)∵ f ( A ?

?
8

)?

2 3

∴ 2 sin(2 A ?

?
2

)?

1 2 , ∴ cos 2 A ? , 3 3

2 ∴ 2 cos A ? 1 ?

1 ? 6 .∵ A 为锐角,即 0 ? A ? ,∴ cos A ? 3 2 3

∴ sin A ? 1 ? cos2 A ? 又? a ?

3 .————————————————————7 分 3

3 ,由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
-5-

即 ( 3 ) 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?

6 ,? b 2 ? c 2 ? 2bc , 3

∴ bc ?

9 3 6 .—————————————————————————9 分 ? 2 2

∴S ?

1 1 9 3 6 3 3( 3 ? 2 ) .—————————10 分 bc sin A ? ( ? )? ? 4 2 2 2 2 3

19.解: (Ⅰ)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为

7 ? 50 (人). 0.14

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人).????4 分 (Ⅱ) 直方图中中位数两侧的面积相等, 即频率相等.前三组的频率和为 0.28, 前四组的频率和为 0.56, ∴中位数位于第 4 组内. ????8 分 (Ⅲ)设成绩优秀的 9 人分别为 a, b, c, d , e, f , g , h, k , 则选出的 2 人所有可能的情况为:

ab, ac, ad , ae, af , ag , ah, ak ; bc, bd , be, bf , bg , bh, bk ; cd , ce, cf , cg , ch, ck ; de, df , dg , dh, dk ; ef , eg , eh, ek ; fg , fh, fk ; gh, gk ; hk . 共 36 种,其中 a 、 b 到少有 1 人入选的情况有 15 种, 15 5 ? . ????12 分 ∴ a 、 b 两人至少有 1 人入选的概率为 P ? 36 12
20. 解答: B F E

A

G H C

D

如图, (1)由已知 AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD,∴AB//ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,

// 1 // 连接 FH,则 FH ? ED ,∴ FH ? AB ,

2

?????3 分

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ BF // AH , 由 BF ? 平面 ACD 内, AH ? 平面 ACD,? BF // 平面 ACD;?????6 分 (2)取 AD 中点 G,连接 CG、EG,则 CG ? AD, 又平面 ABED ? 平面 ACD,∴CG ? 平面 ABED, ∴ ?CEG 即为直线 CE 与平面 ABED 所成的角,?????9 分 设为 ? ,则在 Rt ?CEG 中,

-6-

有 sin ? ?

CG 3 6 . ? ? CE 2 2 4

?????12 分

21.(1)由已知条件,知直线 l 的方程为 y=kx+ 2, 代入椭圆方程,得 +(kx+ 2) =1, 2

x2

2

?1 2? 2 整理得? +k ?x +2 2kx+1=0.① ?2 ?
由直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q,

?1 2? 2 2 得 Δ =8k -4? +k ?=4k -2>0, ?2 ?
解得 k<- 2 2 或 k> ,——6 分 2 2

即 k 的取值范围为?-∞,- (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),

? ?

2? ? 2 ? ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ?

→ → 则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2). 4 2k 由方程①,知 x1+x2=- 2.② 1+2k 2 2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2= 2.③ 1+2k → 由 A( 2,0),B(0,1),得AB=(- 2,1). → → → 所以OP+OQ与AB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 将②③代入,解得 k= 由(1)知 k<- 2 . 2

2 2 或 k> , 2 2

故不存在符合题意的常数 k.————12 分
3 2 / 2 22. 解答: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ,∴ f ( x) ? 3x ? 2 x ?1, / 令 f ( x) ? 0 ,则 x1 ?

1 , x2 ? ?1 , 3

??????2 分

x 、 f / ( x) 和 f ( x) 的变化情况如下表 x
(??, ?1)
?1

1 ( ?1, ) 3

1 3

1 ( , ??) 3

-7-

f / ( x)
f ( x)

+

0 极大值

?

0 极小值

+

?

f (?1) ? 1
5 ; 27

?

1 5 f( )?? 3 27

?

即函数的极大值为 1,极小值为 ? (2) f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? a ,

??????4 分

若 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上是单调递增函数, 则 f ?( x ) 在区间 [0, ??) 内恒大于或等于零, 若 a ? 0 ,这不可能, 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x2 符合条件, 若 a ? 0 ,则由二次函数 f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? a 的性质知

? 2 ?a ? 0 ?? ? 0 ,即 ? ,这也不可能, ? 3a ?a ? 0 ? f (0) ? ?a ? 0 ?
综上可知当且仅当 a ? 0 时 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单调递增; (3)由 f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a , h( x) ?
2

?????8 分

1 1 8 f ?( x) ? (2a ? ) x ? a ? 1 , 3 3 3

∴ h( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) , x ? ? ?1, b? ,(b ? ?1) ,
2 当 ?1 ? x ? b 时,令 ax ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ? 0 ,??????①,

由 a ? ? ??, ?1? ,∴ h( x) 的图象是开口向下的抛物线, 故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得, 又 h(?1) ? ?4a ? 0 , ∴ 不等式①恒成立的充要条件是 h(b) ? 0 ,即 ab ? (2a ? 1)b ? (1 ? 3a) ? 0 ,?10 分
2

∵ b ? ?1 ,∴ b ? 1 ? 0 ,且 a ? 0 ,∴

b 2 ? 2b ? 3 1 ?? , b ?1 a

依题意这一关于 a 的不等式在区间 ? ??, ?1? 上有解,



b 2 ? 2b ? 3 1 b 2 ? 2b ? 3 ? (? ) max ,即 ? 1 , b2 ? b ? 4 ? 0 , b ?1 a b ?1

-8-



?1 ? 17 ?1 ? 17 ?1 ? 17 ,又 b ? ?1 ,故 ?1 ? b ? , ?b? 2 2 2 ?1 ? 17 . 2
??????12 分

从而 bmax ?

-9-


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