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高考数学考前60天冲刺50题【六大解答题】圆锥曲线专练


高考数学考前 60 天冲刺 50 题【六大解答题】
圆锥曲线 1..如图,在平面直角坐标系 x O y 中。椭圆 C
: x
2

? y

2

?1

的右焦点为 F ,右准线

2

为l 。 (1)求到点 F 和直线 l 的

距离相等的点 G 的轨迹方程。 (2)过点 F 作直线交椭圆 C 于点 A , B ,又直线 O A 交 l 于点 T ,若 O T 线段 A B 的长; (3)已知点 M 的坐标为 ? x 0 , y 0 ? , x 0
? 0

????

??? ? ? 2O A

,求

,直线 O M 交直线
??? 2 ?

x0 x 2

? y 0 y ? 1 于点 N

,且

和椭圆 C 的一个交点为点 P ,是否存在实数 ? ,使得 O P 求出实数 ? ;若不存在,请说明理由。

???? ???? ? ? ?OM ?ON ?

,若存在,

y

T A O F B
l

x

第 18题 图

2.设 A、B 分别为椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a , b ? 0 )

的左、右顶点,椭圆长半轴长等于焦

距,且 x ? 4 是它的右准线, (1) 求椭圆方程; (2) 设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任一点,若直线 AP、BP 分别与椭圆交 于异于 A、B 两点 M、N,证明:点 B 在以 MN 为直径的圆内.

y M A O N
3.如图, 已知椭圆
1
x a
2 2

P x

B

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的长轴为 A B ,

过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直.直线 ( 2 ? k ) x ? (1 ?

2 k ) y ? (1 ? 2 k ) ? 0 ( k ? R )
? 3 2

所经过的

定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率 e (1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, P H
Q

.

? x

轴, H 为垂足,延长 H P 到点

使得 H P

? PQ

,连结 A Q 延长交直线 l 于点 M , N 为 M B 的中点.试判断直线 Q N y
Q

与以 A B 为直径的圆 O 的位置关系.

M
N

P

A

O

H

B

x

l

4.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

3 2

,且经

过点 M ? 4 ,1 ? ,直线 l : y ? x ? m 交椭圆于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M,试问 k M A ? k M B 是否为定值?并说明理由。

5.已知椭圆的焦点 F1 ? 1, 0 ? , F 2 ? ? 1, 0 ? , P ? 0 , 过
?

?

1 ? ? 2 ?

作垂直于 y 轴的直线被椭圆所截

线段长为

6

,过 F 1 作直线 l 与椭圆交于 A、B 两点.
??? ? ??? ? ???? P B ? t P F1

(I)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)是否存在实数 t 使 P A ? 不存在,说明理由. ,若存在,求 t 的值和直线 l 的方程;若

2

6.已知椭圆 C

:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的离心率为

1 2

,以原点为圆心,椭圆的短半

轴为半径的圆与直线 x ?

y ?

6 ? 0

相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直

线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 O A , O B 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。
??? ??? ? ?

7.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1?a ? b ? 0?

的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直
? 4x

角三角形,直线 x

? y ? b ? 0

是抛物线 y 2

的一条切线.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 S ( 0 , ?
1 3 )

的动直线 L 交椭圆 C 于

A.B 两点.问:是否

存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在,求点 T 坐标; 若不存在,说明理由。

8.设椭圆 C

:

x a

2 2

? y

2

? 1( a ? 0 )

的两个焦点是 F1 ( ? c , 0 ) 和 F 2 ( c , 0 ) ( c

? 0)

, 且椭圆 C 上

的点到焦点 F2 的最短距离为 3 ? 2 . (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l : y ? k x ? m ( k ? 0 ) 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N,线段 MN 垂直平 分线恒过点 A(0,-1) ,求实数 m 的取值范围。

3

9.已知椭圆 C 距离为

:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的短轴长等于焦距,椭圆

C 上的点到右焦点 F 的最短

2 ?1.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 E ( 2 ,0 ) 且斜率为 k
M
(k ? 0)

的直线 l 与 C 交于 M 、N 两点,P 是点

关于 x 轴的对称点,证明: N 、 F 、 P 三点共线.

1 3 10.椭圆 E 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 .点 P(1, )、A、B 2 2 在椭圆 E 上,且→+→=mOP(m∈R). PA PB → (1)求椭圆 E 的方程及直线 AB 的斜率; (2)当 m=-3 时,证明原点 O 是△PAB 的重心,并求直线 AB 的方程.

11.已知抛物线 y 线于 A ,
B

2

? 4x

,点 M

(1 , 0 )

关于 y 轴的对称点为 N ,直线 l 过点 M 交抛物

两点.
NB

(1)证明:直线 N A ,

的斜率互为相反数;

(2)求 ? A N B 面积的最小值; (3)当点 M 的坐标为 ( m , 题(不必说明理由) :
0)

,(m

? 0

且m

? 1)

.根据(1) (2)推测并回答下列问

4

12.已知椭圆 E:

x a

2 2

?

y b

2 2

=1(a>b>o)的离心率 e=

2 2

,且经过点(

6

,1) O ,

为坐标原点。 (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)圆 O 是以椭圆 E 的长轴为直径的圆,M 是直线

x=-4 在 x 轴上方的一点,过 M 作圆 O 的两条切线,
切点分别为 P、Q,当∠PMQ=60°时,求直线 PQ 的方程.

13.设抛物线 C1:x 2=4 y 的焦点为 F,曲线 C2 与 C1 关于原点对称. (Ⅰ) 求曲线 C2 的方程; (Ⅱ) 曲线 C2 上是否存在一点 P (异于原点) 过 , 点 P 作 C1 的两条切线 PA,PB,切点 A,B, 满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差 中项?若存在,求出点 P 的坐标;若不存 在,请说明理由.

14. 在 平 面 直 角 坐 标 系 x o y 中 , 已 知 圆
C 2 : ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 4
2 2

C 1 : ( x ? 3 ) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

和 圆



(1)若直线 l 过点 A ( 4 , 0 ) ,且被圆 C 1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2) P 为平面上的点, 设 满足: 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 1 和
l2

,它们分别与圆 C 1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2

截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。
5

15.已知,椭圆 C 过点 A (1,

3 2

)

,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。

(1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点,如 果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相 反数,证明直线 EF 的斜率为定值, 并求出这个定值。

16.已知双曲线 E :

x

2

?

y

2

?1

的左焦点为 F ,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆

24

12

心,圆 C 恰好经过坐标原点 O ,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线 l 交于点 T ,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; (Ⅲ) 在平面上是否存在定点 P ,使得对圆 C 上任意的点 G 有 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
GF GP ? 1 2

?若存在,

17. 椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0

)的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ,右顶点为 A ,
???? ???? ?

P

为椭圆 C 上任意一点.已知 P F1 ? P F 2 的最大值为 3 ,最小值为 2 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y
? kx ? m

与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点( M 、 N 不是左右

顶点) ,且以 M N 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的 坐标.

18. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 合.
6

x

2

?

y

2

? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重

4

3

(1)求抛物线 D 的方程; (2)已知动直线 l 过点 P?4,0 ? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.

?i ? 若直线 l 的斜率为 1,求 AB 的长;
?ii ? 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为
定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由.

19.已知圆 C1 的方程为 x 2

? ( y ? 2 ) ? 1 ,定直线
2

l 的方程为 y

? ? 1 .动圆

C 与圆

C1 外切,且与直线 l 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程; (II)斜率为 k 的直线 l 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P,过点 P 作直线 l 的垂线恰好经过点 A(0,6) ,并交轨迹 M 于异于点 P 的点 Q,记 S 为 ? POQ (O 为坐标原点)的面积,求 S 的值.

20.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 经过点 M (

3 2

,

6)

,它的焦距为 2 ,它的左、

右顶点分别为 A 1 , A 2 , P1 是该椭圆上的一个动点(非顶点) ,点 P 2 是点 P1 关于 x 轴的对称点,直线 A 1 P1 与 A 2 P 2 相交于点 E . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程. (Ⅱ)求点 E 的轨迹方程.

21.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e =

2 ,椭圆上的点到 2

焦点的最短距离为 17

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相 2

???

???

异两点 A、B,且 A P = ? P B . (1)求椭圆方程;
y

(2)若

T A O F B
l

x



1 8 题



,求 m 的取值范围.

22. 设抛物线 M 方程为 y 2 与抛物线 M 的 一个交点, | PF
|? 5

? 2 px ( p ? 0 )

, 其焦点为 F, a , b )( a P (

? 0)

为直线 y

? x

(1)求抛物线的方程; (2)过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,试问在抛物线 M 的准线上是否 存在一点 Q,使得 ? QAB 为等边三角形,若存在求出 Q 点的坐标,若不存在请说明理由.

23.已知点 R ( ? 3 , 0 ) , P 在 y 轴上, Q 在 x 轴的正半轴上, M 在直线 PQ 上, 点 点 点 且满足 2 P M
???? ? ???? ? ? ??? ???? ? ? ? 3M Q ? 0, R P ? P M ? 0

.

(Ⅰ)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) A ( x 1 , y 1 ) 、B ( x 2 , y 2 ) 为轨迹 C 上两点, x 1 >1, 设 且 使 AB
? ? AN

y 1 >0, N (1 , 0 )

, 求实数 ? ,

,且

AB ?

16 3

.
|? | A C |? 7 2 , | B C |? 2

| 24.如图, ? A B C 中, A B 在

C , B 、 为焦点的椭圆恰好过 A C 以

的中点 P . (1)求椭圆的标准方程;
8

(2)过椭圆的右顶点 A 1 作直线 l 与圆 E

: ( x ? 1) ? y
2

2

? 2

相交于 M 、 N 两

点,试探究点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧吗?若能,求出 直线 l 的方程;若不能,请说明理由.
y A P x B O C

25.如图所示, F 是抛物线 y 2

? 2 px ( p ? 0 )

的焦点,点 A ( 4 , 2 ) 为抛
PA ? PF

物线内一定点,点 P 为抛物线上一动点,

的最小值为

y P A(4,2) x

8. (1)求抛物线方程; (2)若 O 为坐标原点,问是否存在定点 M ,使过点 M 的动直线 与抛物线交于 B , C 两点,且以 BC 为直径的圆恰过坐标原点, 若 存在,求出定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

O

F

26.已知椭圆
3? 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为

2

,3 ?

2

2



(1)求椭圆的方程; (2) 如果直线 x
? t ( t ? R ) 与椭圆相交于 A , B ,, , C ( ?30) 若 (,0 D 3)

, 证明直线 C A 与

直线 B D 的交点 K 必在一条确定的双曲线上; (3)过点 Q (1 , 0 ) 作直线 l (与 x 轴不垂直)与椭圆交于 M 、 N 两点,与 y 轴交于 点 R ,若 R M
???? ? ???? ? ? ?MQ

,RN

????

???? ? ? NQ

,证明: ?

? ?

为定值。

27.已知抛物线 C:y 2 =4x, 是 C 的焦点, F 过焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A, 两点, B O 为坐标原点。
9

(1)求 OA · OB 的值; (2)设 AF = ? (3)在(2)的条件下若 S≤
5

FB

,求△ABO 的面积 S 的最小值;

,求 ? 的取值范围。

28. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 合.

x

2

?

y

2

?1

的中心,焦点与该椭圆的右焦点重

4

3

(1)求抛物线 D 的方程; (2)已知动直线 l 过点 P ? 4 , 0 ? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.
? i ? 若直线 l 的斜率为 1,求 AB 的长;
? ii ? 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为

定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由.

高考数学(理)考前 60 天冲刺【六大解答题】圆锥曲线专练答案 1..如图,在平面直角坐标系 x O y 中。椭圆 C
: x
2

? y

2

?1

的右焦点为 F ,右准线

2

为l 。 (1)求到点 F 和直线 l 的距离相等的点 G 的轨迹方程。 (2)过点 F 作直线交椭圆 C 于点 A , B ,又直线 O A 交 l 于点 T ,若 O T 线段 A B 的长; (3)已知点 M 的坐标为 ? x 0 , y 0 ? , x 0
? 0

????

??? ? ? 2O A

,求

,直线 O M 交直线
??? 2 ?

x0 x 2

? y 0 y ? 1 于点 N

,且

和椭圆 C 的一个交点为点 P ,是否存在实数 ? ,使得 O P 求出实数 ? ;若不存在,请说明理由。

???? ???? ? ? ?OM ?ON ?

,若存在,
y

T A O

10

F B
l

x

第 18题 图

解: (1)由椭圆方程为 可得 a 2
F (1, 0 )

x

2

? y

2

?1

2

? 2

,b2
?

,l : x

,c ? 1, 2.
?1

设 G ( x , y ) ,则由题意可知

( x ? 1) ? y
2

2

?| x ? 2 | ,

化简得点 G 的轨迹方程为 y 2 ? ? 2 x ? 3 . (2)由题意可知 x A ? x F ? c ? 1 , 故将
x A ? 1 代入
y A |? 2 2
y0 x0

…………4 分

x

2

? y

2

?1

2
?


2

可得 |

,从而 A B



……………8 分

(3)假设存在实数 ? 满足题意. 由已知得 O M
x0 x 2
2

: y ?

x

① ② ③

? y0 y ? 1
2

椭圆 C:

x

? y

?1
2 x0

2

由①②解得 x N 由①③解得 x 12 分 ∴OP
??? 2 ? ? xP ? yP
2 2 P

?

x0 ? 2 y0
2

2

, yN ,y
2 P

?

2 y0 x0 ? 2 y0
2 2

. ………………………

?

2 x0
2

2 2

x0 ? 2 y0

?

2 y0
2

2 2

x0 ? 2 y0



2

?

2 x0
2

2 2

x0 ? 2 y0

?
2

2 y0
2

2 2

x0 ? 2 y0 ?

?
2

2 ( x0 ? y0 )
2 2

x0 ? 2 y0
2

2


2

???? ???? ? O M ? O N ? x0 x N ? y0 y N ?

2 x0
2

2 y0
2

x0 ? 2 y0

2

x0 ? 2 y0

2

?

2 ( x0 ? y0 )
2

x0 ? 2 y0
2

2

. 题

故 意.


2 2


2 2

? ?1

满 足 ………………………16 分

2.设 A、B 分别为椭圆

x a

?

y b

? 1( a , b ? 0 )

的左、右顶点,椭圆长半轴长等于焦

距,且 x ? 4 是它的右准线, (1) 求椭圆方程; (2) 设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任一点,若直线 AP、BP 分别与椭圆交 于异于 A、B 两点 M、N,证明:点 B 在以 MN 为直径的圆内.
11

y M A O N
? a ? 2c ? 解: (1)由 ? a 2 ? 4 ? ? c
?

P x

B

得?

?c ?1 ?a ? 2

?

b ?

3


2



为 6分
2

x

?

y

2

? 1 ………………………………………………………………………

4

3
( x0 , y0 ) ?

(2)? A( ? 2 ,0) ,B(2,0) ,令 M
? 又 M 异于 A、 点, B

M 在椭圆上,?

y0 ?
2

3 4

(4 ? x0 )
4 ? x0 x0 ? 2

, ,

? 2 ? x0 ? 2

, P4 ) 令 ,(

y

?

? P、 M 三点共线, A、

y ? y0 y0 ? 0

?

? y ?

6 y0 x0 ? 2

? P (4,

???? ? ??? ? 6 y0 ) B M ? ( x0 ? 2 , y 0 ), B P ? ( 2 , ) x0 ? 2 x0 ? 2 6 y0

……………

10


3 2 2 2 ( x0 ? 4 ) ? 6 ? (4 ? x0 ) 2 2 ???? ??? ? ? 6 y0 2 0 ? 5 x0 4 ? B M ? B P ? 2( x0 ? 2) ? ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 2 ( x0 ? 2 )
? ? 2 ? x0 ? 2

,?

x0 ? 2 ? 0

,2 0 ? 5 x 0 2

???? ??? ? ? ? 0 ? BM ? BP

>0,……………………

14


? ? PBM ? 90 , ? NBM
x a
2 2

?

? 90 , ?
? y b
2 2

?

B 在以 MN 为直径的圆内
的长轴为 A B ,过点 B 的直线 l 与 x 轴垂

3.如图,已知椭圆

? 1 (a ? b ? 0)

直. 直线 ( 2 ? k ) x ? (1 ?

2 k ) y ? (1 ? 2 k ) ? 0 ( k ? R ) 所经过的定点恰好是椭圆的一个顶
? 3 2

点,且椭圆的离心率 e

.

(1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, P H
Q
? x

轴, H 为垂足,延长 H P 到点

使得 H P

? PQ

,连结 A Q 延长交直线 l 于点 M , N 为 M B 的中点.试判断直线 Q N y
Q

12

M
N

P

A

O

H

B

x

与以 A B 为直径的圆 O 的位置关系.

(1)将 ( 2 ? k ) x ? (1 ? 解方程组 ? 由离心率 e 所
x
2

2 k ) y ? (1 ? 2 k ) ? 0

整理得 ( ? x ? 2 y ?

2)k ? 2 x ? y ? 1 ? 0

?? x ? 2 y ? 2 ? 0 ?2x ? y ? 1 ? 0
? 3 2

得直线所经过的定点(0,1) ,所以 b

? 1.

得a 椭

? 2

. 圆 的 标 准 方 程 为



? y

2

?1

.------------------------------------------4 分
0

4

(2)设 P ? x ∵ HP
? PQ

, y0

? ,则

x0 4

2

? y0 ? 1 .
2

,∴ Q ? x

0

, 2 y0

? .∴ O Q

?

x0 ? ? 2 y0
2

2

?

? 2

∴ Q 点在以 O 为圆心, 为半径的的圆上. Q 点在以 A B 为直径的圆 O 上. 2 即 ……6 分 又 A ? ? 2 , 0 ? ,∴直线 A Q 的方程为 y 令 x ? 2 ,得 M
????

?

2 y0 x0 ? 2

?x

? 2?


? 4 y0 ? ? 2, ? x0 ? 2 ? ?

? 8 y0 ? ? 2, ? x0 ? 2 ? ? ????

.又 B ? 2 , 0 ? , N 为 M B 的中点,∴ N

.……8 分

∴OQ

?

? x0 , 2 y0 ?

, NQ

? 2 x0 y0 ? ? ? x0 ? 2, ? x0 ? 2 ? ?


x0 ? 4 ? x0 x0 ? 2
2

∴OQ ? NQ

???? ????

? x0 ? x0 ? 2 ? ? 2 y0 ?

2 x0 y0 x0 ? 2

? x0 ? x0 ? 2 ? ?

4 x0 y0

2

x0 ? 2

? x0 ? x0 ? 2 ? ?

?

? x0 ? x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 ? x0

??

0



∴OQ

????

???? ? NQ

.∴直线 Q N 与圆 O 相切.
3 2

4.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 过点 M ? 4 ,1 ? ,直线 l
13
: y ? x ? m

,且经

交椭圆于不同的两点 A,B.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M,试问 k M A

? kMB

是否为定值?并说明理由。

(Ⅰ)?

c a

?

3 2

,?

b a

?

1 2

,-------------------------2 分
2 2 2 2

依题意设椭圆方程为:
2 2

x

?

y b

? 1,

4b x y

把点 ? 4 ,1 ? 代入,得 b 2

? 5

?

椭圆方程为

?

? 1 . -------------------------------4



20

5

(Ⅱ)把 y 由△ ?
0,

? x?m

代入椭圆方程得: 5 x 2

? 8m x ? 4m ? 20 ? 0
2

, 分

可得 ? 5 ?

m ? 5 . ----------------------------------6

(Ⅲ)设 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,A,B 与 M 不重合,
x1 ? x 2 ? ? 8m 5 , x1 x 2 ? 4m
2

? 20 5

,-------------------8 分
? y1 ? 1 ? ? ? x 2
? 4? ?

? kMA ? kMB ?

y1 ? 1 x1 ? 4

?

y2 ? 1 x2 ? 4

?

? y2

? 1 ? ? ? x1 ? 4 ? ? 4?

? x1 ? 4 ? ? ? x 2
?

?

? x1 ?

m ? 1 ? ? ? x 2 ? 4 ? ? ? x 2 ? m ? 1 ? ? ? x1 ? 4 ?

2 x1 x 2 ? ? m ? 5 ? ? x1 ? x 2 ? ? 8 ? m ? 1 ?

? x1 ? 4 ? ? ? x 2

? 4?

? x1 ? 4 ? ? ? x 2

? 4?

? 0



? kMA ? kMB

为定值 0.---- --------12 分
? ? 1 ? ? 2 ?

5.已知椭圆的焦点 F1 ? 1, 0 ? , F 2 ? ? 1, 0 ? , P ? 0 , 过 线段长为
6

作垂直于 y 轴的直线被椭圆所截

,过 F 1 作直线 l 与椭圆交于 A、B 两点.
??? ? ??? ? ???? P B ? t P F1

(I)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)是否存在实数 t 使 P A ? 不存在,说明理由. (Ⅰ)设椭圆方程为 所以
14
x a
2 2

,若存在,求 t 的值和直线 l 的方程;若

?

y b

2 2

? 6 1 ? ? 1 ,由题意点 ? , ? 2 2? ? ? ?
? y
2

在椭圆上, a 2 分

? b ?1
2

2 6 1 x + 2 =1,解得 4(1+b2) 4b 2

? 1 ………………5

(Ⅱ)当直线斜率不存在时,易求 A ? 1, ?
? ?

2 ? ?,B 2 ? ?

? 2 ? 1, ? ? 2 ?

? ? ? ?

,所以

PA ? (1 ,

2 ?1 2

), PB ? (1 , ?

2 ?1 2

), PF 1 ? (1 , ?

1 2

)

由 P A ? P B ? t P F1 得 t ? 2 ,直线 l 的方程为 x 当直线斜率存在时,
? 1 ? ??? 1 ? ? ? ? ? x1 , y 1 ? ? , P B ? ? x 2 , y 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ??? ??? ? ? ???? 由 P A ? P B ? t P F1 得

??? ?

??? ?

????

? 1 .………………7



所以 P A

??? ?

, P F1

????

1 ? ? ? ? 1, ? ? 2 ? ?

? x1 ? x 2 ? t ? ? 1 1 t ? ? ? y1 ? ? y 2 ? ? 2 2 2

? x1 ? x 2 ? t ? 即? t ? y1 ? y 2 ? 1 ? ? 2

因为 y 1 ?

y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2 )

,所以 k
? x ? 1?

? ?

1 2

此时,直线 l 的方程为 y 6.已知椭圆 C
x a
2 2

? ?

1 2

:

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的离心率为

1 2

,以原点为圆心,椭圆的短半

轴为半径的圆与直线 x ?

y ?

6 ? 0

相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直

线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 O A , O B 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。 (1)解:由题意知 e ? 又b
? 6 1?1 ? 3
2 2 2

??? ??? ? ?

c a

?

1 2

,∴ e
2

2

?

c a

?

a

? b a
2

2

?

1 4

,即 a

2

?

4 3

b

2

,∴ a
x
2

2

? 4 ,b

? 3

故椭圆的方程为

?

y

2

?1

4

3

(2)解:由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y
? y ? k (x ? 4) ? 由? x2 y2 得: ( 4 k 2 ? 3 ) x 2 ? 3 2 k 2 x ? 6 4 k 2 ? 1 2 ? 0 ? ?1 ? 3 ? 4

? k ( x ? 4)

由?

? (?32 k )
2

2

? 4(4 k

2

? 3 )( 6 4 k

2

? 12) ? 0

得: k

2

?

1 4
2 2 2

设 A(x1 , y1) , B (x2 , y2) , 则 ∴y
15
2 2

x1 ? x 2 ?

32k 4k
2

? 3

, x1 x 2 ?

64k 4k

? 12 ? 3



1

y 2 ? k ( x1 ? 4 ) k ( x 2 ? 4 ) ? k x1 x 2 ? 4 k ( x1 ? x 2 ) ? 1 6 k

2


1 4
???? ???? ∴OA ? OB

2 2 ???? ???? 64 k ? 12 32k 87 2 2 2 O A ? O B ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? (1 ? k ) ? ? 4k ? ? 16k ? 25 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

∵0 ≤

k

2

?

,∴ ?

87 3

≤ ? 4k

87
2

? 3 13 4

? ?

87 4

,∴ O A

????

???? 13 ? O B ? [? 4, ) 4

的取值范围是 [ ? 4 ,

).

(3)证:∵B、E 两点关于 x 轴对称,∴E(x2,-y2) 直线 AE 的方程为 y
? y1 ? y1 ? y 2 x1 ? x 2 ( x ? x1 )
?

,令 y = 0 得: x

? x1 ?

y 1 ( x1 ? x 2 ) y1 ? y 2



y 1 ? k ( x1 ? 4 ) , y 2 ? k ( x 2 ? 4 )

,∴ x

2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? 8

由将①代入得:x = 1,∴直线 AE 与 x 轴交于定点(1,0). 7.已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1?a ? b ? 0?

的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直 是抛物线 y 2
? 4x

角三角形,直线 x

? y ? b ? 0

的一条切线.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 S ( 0 , ?
1 3 )

的动直线 L 交椭圆 C 于

A.B 两点.问:是否

存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在,求点 T 坐标; 若不存在,说明理由。 解析: (Ⅰ)由 ? ? 因直线 y
x ? y ? b ? 0 2 2 消去 y 得 : x ? ( 2 b ? 4 ) x ? b ? 0 2 y ? 4x ?
y
2

? x ? b 与抛物线

? 4x

相切,?

? ? (2b ? 4)

2

? 4b

2

? 0

,∴ b

? 1,

………………2 分 ∵圆 C
: x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直

角三角 形,∴ a
? 2b ? 2

故所求椭圆方程为

x

2

? y

2

? 1.

2

(Ⅱ) L 与 x 轴平行时, AB 为直径的圆的方程:x 2 当 以 当 L 与 x 轴垂直时,以 AB 为直径的圆的方程: x 2
1 2 4 2 ? 2 ?x ? 0 ?x ? (y ? ) ? ( ) 由? 3 3 解得 ? ?y ? 1 ?x2 ? y2 ? 1 ?
16
? y
2

? (y ?

1 3

)

2

? (

4 3

)

2

?1

即两圆公共点(0,1) 因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1) (ⅰ)当直线 L 斜率不存在时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1) (ⅱ)若直线 L 斜率存在时,可设直线 L: y
1 ? y ? kx ? ? 3 由? 2 消去 y 得 : (18 k ? x 2 ? ? y ?1 ? 2 ?

? kx ?

1 3

2

? 9)x

2

? 12 kx ? 16 ? 0

记点

12 k ? x ? x2 ? 2 ? 1 ? 18 k ? 9 A ( x 1 , y 1 ) . B ( x 2 , y 2 ), 则 ? ? 16 ?x x ? 1 2 2 ? 18 k ? 9 ?

又因为 TA ? ( x 1 , y 1 ? 1 ), TB ? ( x 2 , y 2 ? 1 ) 所以 TA ? TB ? x 1 x 2 ? ( y 1 ? 1 )( y 2 ? 1 ) ? x 1 x 2 ? ( kx 1 ?
? (1 ? k ) x 1 x 2 ?
2

4 3

)( kx 2 ?

4 3

)

4 3

k ( x1 ? x 2 ) ? ? 4 3 k ?

16 9
2

? (1 ? k ) ?
2

? 16 18 k
2

12 k 18 k ? 9

? 9

?

16 9

? 0

∴TA⊥TB, 综合(ⅰ) (ⅱ) ,以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1) . 8.设椭圆 C
: x a
2 2

? y

2

? 1( a ? 0 )

的两个焦点是 F1 ( ? c , 0 ) 和 F 2 ( c , 0 ) ( c

? 0)

, 且椭圆 C 上

的点到焦点 F2 的最短距离为 3 ? 2 . (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l : y ? k x ? m ( k ? 0 ) 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N,线段 MN 垂直平 分线恒过点 A(0,-1) ,求实数 m 的取值范围。

17

9.已知椭圆 C 距离为

:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的短轴长等于焦距,椭圆

C 上的点到右焦点 F 的最短

2 ?1.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 E ( 2 ,0 ) 且斜率为 k
M
(k ? 0)

的直线 l 与 C 交于 M 、N 两点,P 是点

关于 x 轴的对称点,证明: N 、 F 、 P 三点共线.
?2b ? 2c ? ?a ? c ? ? 2 ?1

(I)由题可知: ?

…………2 分

18

解得 a
?

?

2,c ? 1

,? b
x
2

?1

椭圆 C 的方程为 C

:

? y

2

? 1 …………………………4


y1 )

2

(II)设直线 l : y

? k ( x ? 2)

,M

( x 1 ,y 1 )

,N

( x 2 ,y 2 )

,P ( x 1 ,?

,F (1 , ) , 0

? y ? k ( x ? 2 ), ? 由? x2 得 ( 2 k 2 ? 1) x 2 ? 8 k 2 x ? 8 k 2 ? 2 ? 0 2 ? y ? 1, ? ? 2
8k 2k
2 2

.…………6 分

所以 x 1 而

? x2 ?

?1

, x1 x 2

?

8k 2k

2 2

? 2 ?1

.

……………………8 分

uuu r FN ? ( x2 ? 1 , 2 ) ? ( x2 ? 1 , x2 ? 2k ) y k uur F P ? ( x1 ? 1 , y1 ) ? ( x1 ? 1 , k x1 ? 2 k ) ? ?

, ,…………10 分

Q ( x 1 ? 1) ( k x 2 ? 2 k ) ? ( x 2 ? 1) ( ? k x 1 ? 2 k ) ? k [ 2 x 1 x 2 ? 3 ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ]

? 16k ? 4 ? 24k ? k? ? ? 4? ? 0 2 2 2k ? 1 ? 2k ? 1 ?
2 2

uuu uur r ? F N // F P

∴ N 、 F 、 P 三点共线 1 3 10.椭圆 E 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 .点 P(1, )、A、B 2 2 在椭圆 E 上,且→+→=mOP(m∈R). PA PB → (1)求椭圆 E 的方程及直线 AB 的斜率; (2)当 m=-3 时,证明原点 O 是△PAB 的重心,并求直线 AB 的方程. 解: (1)由 e 2 椭圆方程为
x
2

?1? ? y
2

b a

2 2

=

1 4



1 a
2

?

9 4b
2

? 1 解得

a2=4,b2=3,


? 1; …………………………………………………………2
y T A O F B
l

4

3
x 第 1 8 题 图

设 A(x1,y1) B(x2,y2) 由 、 , (x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,
x1 4
2



? x1 ? x 2 ? 2 ? m ? ) ,即 ? 3 2 ? y1 ? y 2 ? 3 ? m 2 ?
3


19

?

y1 3

2

? 1,

x2 4

2

?

y2 3

2

?1

,两式相减得

k AB ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

? ?

3 4

?

x1 ? x 2 y1 ? y 2

? ?

3 4

?

2 ? m 3? 3 2 m

? ?

1 2

; ………………………6 分
? x1 ? x 2 ? 2 ? m ? 3 ? y1 ? y 2 ? 3 ? m 2 ?
3 2

(2)由(1)知,点 A(x1,y1) B(x2,y2)的坐标满足 ? 、 点 P 的坐标为(1, ), m=-3,
2 3

, +
3 2

于是 x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+

=3+

3m 2

=0,

因此△PAB 的重心坐标为(0,0).即原点是△PAB 的重心. ∵x1+x2=-1,y1+y2=分 又
k
AB

3 2

,∴AB 中点坐标为( ?

1 2

,?

3 4

) ,………………………10

x1 4

2

?

y1 3

2

? 1,

x2 4

2

?

y2 3

2

?1

,两式相减得
1 2

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

? ?

3 4

?

x1 ? x 2 y1 ? y 2

? ?

;
1 2

∴直线 AB 的方程为 y+ 11.已知抛物线 y 线于 A ,
B
2

3 4

=?

1 2

(x+

),即 x+2y+2=0.

? 4x

,点 M

(1 , 0 )

关于 y 轴的对称点为 N ,直线 l 过点 M 交抛物

两点.
NB

(1)证明:直线 N A ,

的斜率互为相反数;

(2)求 ? A N B 面积的最小值; (3)当点 M 的坐标为 ( m , 题(不必说明理由) : ①直线 N A ,
NB 0)

,(m

? 0

且m

? 1)

.根据(1) (2)推测并回答下列问

的斜率是否互为相反数?
? k ? x ? 1? (k ? 0 )

② ? A N B 面积的最小值是多少?

(1)设直线 l 的方程为 y 由? ?
? y ? k ? x ? 1? , ?y ?
2


2

可得

? 4 x,
, y1 ? , B ? x 2 , y 2 1

k x ? ? 2k
2 2

? 4? x ? k

2

? 0

. .

设A?x ∴ ∴

? ,则 x1

? x2 ?

2k

2

? 4
2

k

, x1 x 2 ? 1

y1 y 2 ? ? 4
N

??1, 0 ?
y1 x1 ? 1 ? y2 x2 ? 1 ? 4 y1 y1 ? 4
2

k NA ? k NB ?

?

4 y2 y2 ? 4
2

20

?

2 4 ? y1 ? y 2 ? 4 ? ? y 2 ?

?y

2 1

? 4 ?? ?

?y

2 1

? 4 ? ? y2 ? 4 ?
2

?

4 ( ? 4 y 2 ? 4 y1 ? 4 y1 ? 4 y 2 )

?y

2 1

? 4 ? ? y2 ? 4 ?
2

? 0

. .

又当 l 垂直于 x 轴时,点 A , B 关于 x 轴,显然 k 综上, k (2) S
NA

NA

? k NB ? 0, k NA ? ? k NB

? k NB ? 0, k NA ? ? k NB


?
2

---------------- 5 分
? 4 y1 y 2 ? 4 ? x1 ? x 2 ? ? 8

?NAB

? y1 ? y 2 ?

? y1

? y2

=4

1?

1 k
2

? 4



当 l 垂直于 x 轴时, S

?NAB

? 4

. ------10 分

∴ ? A N B 面积的最小值等于 4 . (3)推测:① k
NA

? ? k NB


m

② ? A N B 面积的最小值为 4 m 12.已知椭圆 E:
x a
2 2



------- 13 分
2 2

?

y b

2 2

=1(a>b>o)的离心率 e=

,且经过点(

6

,1) O ,

为坐标原点。 (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)圆 O 是以椭圆 E 的长轴为直径的圆,M 是直线

x=-4 在 x 轴上方的一点,过 M 作圆 O 的两条切线,
切点分别为 P、Q,当∠PMQ=60°时,求直线 PQ 的方程. 解: (1)椭圆的标准方程为:
x
2

?

y

2

?1

8

4

(2)连接 QM,OP,OQ,PQ 和 MO 交于点 A, 有题意可得 M(-4,m) ,∵∠PMQ=600 ∴∠OMP=300,∵ OP
? 2 2 ? OM ? 4 2? (?4) ? m
2 2

? 4

2



∵m>0,∴m=4,∴M(-4,4) ∴直线 OM 的斜率 K OM
? K
PQ

? ?1

,有 MP=MQ,OP=OQ 可知 OM⊥PQ,

? 1 ,设直线

PQ 的方程为 y=x+n

∵∠OMP=300,∴∠POM=600,∴∠OPA=300,
? OP ? 2 2 ? OA ? 2

,即 O 到直线 PQ 的距离为

2

,

?

n 2

?

2 ? n ? ? 2 (负数舍去),∴PQ

的方程为 x-y+2=0

13.设抛物线 C1:x 2=4 y 的焦点为 F,曲线 C2 与 C1
21

关于原点对称. (Ⅰ) 求曲线 C2 的方程; (Ⅱ) 曲线 C2 上是否存在一点 P (异于原点) 过 , 点 P 作 C1 的两条切线 PA,PB,切点 A,B, 满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差 中项?若存在,求出点 P 的坐标;若不存 在,请说明理由. (Ⅰ)解;因为曲线 C 1 与 C 2 关于原点对称,又 C 1 的方程 x 2 所以 C 2 方程为 x 2
? ?4 y
2

? 4y





…………5 分
? x2

(Ⅱ)解:设 P ( x 0 , ?
y ? 1 4 x
2

x0 4

)

, A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , x1
1 2 x


1 2 x1 ( x ? x1 )

的导数为 y ? ?
x1
2

,则切线 P A 的方程 y ?

y1 ?



又 y1

?

1 4

,得 y

?

1 2

x1 x ? y 1 , 1 4 x0 ?
2

因点 P 在切线 P A 上,故 ? 同理,
? 1 4 x0 ?
2

1 2

x1 x 0 ? y 1



1 2

x2 x0 ? y2 1 2

. 经过 A , B 两点,
1 2
2

所以直线 ?

1 4

x0 ?
2

x0 x ? y 1 4 x0 ?
2

即直线 A B 方程为 ? 代入 x 2 所以
? 4y

x0 x ? y

,即 y

?

1 2

x0 x ?

1 4

x0

2


2

得x2
1?

? 2 x0 x ? x0 ? 0

,则 x 1 ?
2

x2 ? 2 x0

, x1 x 2
2

? ? x0



| A B |?

1 4

x0 ?
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?

(8 ? 2 x 0 ) ? x 0

2



由抛物线定义得 | F A | ? 所以 | F A | ?

y 1 ? 1 , | F B |? y 2 ? 1 .

| F B |? ( y 1 ? y 2 ) ? 2 ?

1 2

x 0 ( x1 ? x 2 ) ? 3 2
2

1 2
2

x0 ? 2
2 2


2

由题设知, | F A | ? 解得 x 02
? 32

| F B | ? 2 | A B | ,即 (

x 0 ? 2 ) ? 4 x 0 (8 ? 2 x 0 )
13 ? 8 23 3



3 ? 52 23

,从而 y 0

? ?

1 4

x0 ?
2



综上,存在点 P 满足题意,点 P 的坐标为

22

(

2

2 3 (8

3 ? 1 3) 1 3 ? 8 3 , ) 23 23



(?

2

2 3 (8

3 ? 1 3) 1 3 ? 8 3 , ). 23 23

…………15 分 14. 在 平 面 直 角 坐 标 系 x o y 中 , 已 知 圆
C 2 : ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 4
2 2

C 1 : ( x ? 3 ) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

和 圆


3

(1)若直线 l 过点 A ( 4 , 0 ) ,且被圆 C 1 截得的弦长为 2
l2

,求直线 l 的方程;

(2) P 为平面上的点, 设 满足: 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 1 和 ,它们分别与圆 C 1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。 (1)设直线 l 的方程为: y
? k ( x ? 4)

,即 k x ?
?
2

y ? 4k ? 0
2 2 3 ? 1,

由垂径定理,得:圆心 C 1 到直线 l 的距离 d 结合点到直线距离公式,得: 化简得 : 2 4 k 2
| ?3k ? 1 ? 4 k | k
2

4 ?(

)

2

? 1,

w.w.w.zxxk.c.o.m

?1

? 7 k ? 0, k ? 0, or , k ? ?

7 24

[来源:Z。xx。k.Com] 或7 x ?
24 y ? 28 ? 0

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ?

7 24

( x ? 4 ) ,即 y ? 0

(2) 设点 P 坐标为 ( m , n ) ,直线 l 1 、 l 2 的方程分别为:[来源:Zxxk.Com]
y ? n ? k ( x ? m ), y ? n ? ? 1 k (x ? m)

,即: k x ?

y ? n ? km ? 0, ?

1 k

x? y? n?

1 k

m ? 0

因为直线 l1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等, 两圆半径相等。 由垂径定理,得: :圆心 C 1 到直线 l1 与 C 2 直线 l 2 的距离相等。w.w.w.zxxk.c.o.m

故有 : | ? 3 k

? 1 ? n ? km | k
2

|? ?

4 k

?5? n? 1 k
2

1 k

m |



?1

?1

化简得: ( 2 ? m

? n ) k ? m ? n ? 3, 或 ( m ? n ? 8 ) k ? m ? n ? 5

关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0

? m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ? m+n-5=0

23

解之得:点 P 坐标为 ( ? 3 , 1 3 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。
2 2
2 2

(方法二)因为 故
8 a m +2

a m a m ?1 am?2

?

( a m ? 2 ? 4 )( a m ? 2 ? 2 ) am?2

? am?2 ? 6 ?

8 am?2

为数列 ? a n ? 中的项,

为整数,又由(1)知: a m ? 2 为奇数,所以 a m ? 2
? 2

? 2 m ? 3 ? ? 1, 即 m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m 15.已知,椭圆 C 过点 A (1,
3 2 )



,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。

(1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点,如 果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相 反数,证明直线 EF 的斜率为定值, 并求出这个定值。 解: (Ⅰ) 由题意, c=1,可设椭圆方程为 去) 所
x
2

1 1? b
2

?

9 4b
2

解得 b ? 1,

2

? 3

,b 2

? ?

3 4

(舍


2











?

y

? 1。

……………4 分
2 2

4

3

(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y
(3 ? 4 k ) x
2 2

? k ( x ? 1) ?

3 2

,代入

x

?

y

? 1得

4

3

? 4 k (3 ? 2 k ) x ? 4 (

3 2

? k ) ? 12 ? 0
2

设 E ( x E , y E ) , F ( x F , y F ) ,因为点 A (1,
4( xF ? 3 2 3 ? 4k
3 2
2

3 2

)

在椭圆上,所以

? k ) ? 12
2

yE ? kxE ?

? k

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得
4( xF ? 3 2 3 ? 4k
3 2
yF ? yE xF ? xE ? ? k (xF ? xE ) ? 2k xF ? xE ? 1 2
2

? k ) ? 12
2

y E ? ? kxE ?

? k

所以直线 EF 的斜率 K E F
24

?

即直线 EF 的斜率为定值,其值为 16.已知双曲线 E :
x
2

1 2



?

y

2

?1

的左焦点为 F ,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆

24

12

心,圆 C 恰好经过坐标原点 O ,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线 l 交于点 T ,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; (Ⅲ) 在平面上是否存在定点 P ,使得对圆 C 上任意的点 G 有 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)由双曲线 E: 分 又圆 C 过原点, 所以圆 C 的方程为 ( x ? 分 (Ⅱ)由题意,设 G ( ? 5 , y G ) ,代入 ( x ? 分 所以 F G 的斜率为 k 分 所
d ? 15 2
x
2

GF GP

?

1 2

?若存在,

?

y

2

?1

,得 l :

x ? ?4

, C ( ? 4 , 0 ) , F ( ? 6 , 0 ) .……2
2

24

12

4) ? y
2

? 16



……………………4 ,…………5

4) ? y
2

2

? 16

,得 y

G

? ? 15

? ?

15

,F G 的方程为 y

? ?

15 ( x ? 6)

. ………………6

以 ,

C (?

4

到,

0 FG

)









……………………………………7 分
1 6 ? ( 125 )
2

直线 FG 被圆 C 截得的弦长为 2 分 (Ⅲ)设 P(s,t),G(x0,y0),则由

? 7

……………………………9

|GF | |GP |

?

1 2

,得

( x0 ? 6 ) ? y0
2 2

2

1
2

( x0 ? s ) ? ( y0 ? t )

2

整 理 得 3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ① ………………11 分 又 G(x0,y0)在圆 C:(x+4)2+y2=16 上,所以 x02+y02+8x0=0 ② ② 代 入 ① , 得 (2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ……………………………………13 分 又 由 G(x0,y0) 为 圆 C 上 任 意 一 点 可 知 ,
?2s ? 24 ? 0 ? ? 2t ? 0 ? 2 2 ?1 4 4 ? s ? t ? 0

…………………………14 分


25





s=

-12,

t=0. …………………………………………………………………15 分 所以在平面上存在一定点 P,其坐标为(-12,0) . 17. 椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0

)的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ,右顶点为 A ,
???? ???? ?

P

为椭圆 C 上任意一点.已知 P F1 ? P F 2 的最大值为 3 ,最小值为 2 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y
? kx ? m

与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点( M 、 N 不是左右

顶点) ,且以 M N 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的 坐标. 解析: (1)
? P

是椭圆上任一点,? | P F1 | ?

| P F 2 |? 2 a

且a

? c ? | P F1 | ? a ? c



???? ???? ? ???? ????? y ? P F1 ? P F 2 ? | P F1 | | P F 2 | c o s ? F1 P F 2
? ? 1 2 1 2 [| P F1 | ? | P F 2 | ? 4 c ]
2 2 2

[| P F1 | ? (| 2 a ? | P F1 |) ? 4 c ]
2 2 2
2 2

? ( | P F1 | ? a ) ? a

? 2c

2

……………………2 分
? 2c
2

当 | P F1 | ?
a ?c
2 2

a

时, y 有最小值 a 2

;当 | P F 2

|? a ? c

或 a ? c 时,

y

有最大值


2

? a ?c ? 3 ?? 2 2 ?a ? 2c ? 2
2



?a ? 4 ? 2 ?c ?1
2



b

2

? a ?c
2

2

? 3.

?

椭圆方程为 设M
2

x

2

?

y

2

? 1 。……………………4



4

3

(2)
(4 k
2

( x1 , y 1 )

, N ( x 2 , y 2 ) ,将 y
2

? kx ? m

代入椭圆方程得

? 3) x ? 8 km x ? 4 m

? 12 ? 0
2 2

. ………………6 分
? k x1 x 2 ? ( k m ? 2 ) ( x1 ? x 2 ) ? m
2 2

? x1 ? x 2 ?

?8km 4k
2

?3

, x1 x 2 ?

4m 4k

? 12 ?3

? y 1 ? k x1 ? m ? MN

, y2

? kx2 ? m

, y1 y 2

, ,

为直径的圆过点 A ?

???? ???? ? AM ? AN ? 0

,? 7 m 2

? 16 km ? 4 k

2

? 0

26

?m ? ?

2 7

k

或m

? ?2k

都满足 ?

? 0 ,……………………9



若m 若m
? ?

? ?2k
2 7

直线 l 恒过定点 ( 2 , 0 ) 不合题意舍去,
? k (x ? 2 7 )

k

直线 l : y

恒过定点 (
x
2

2 7

,0 )



18. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 合.

?

y

2

? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重

4

3

(1)求抛物线 D 的方程; (2)已知动直线 l 过点 P?4,0 ? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.

?i ? 若直线 l 的斜率为 1,求 AB 的长;

?ii ? 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为
定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由. 解:解:(1)由题意,可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px? p ? 0 ? . …………1 分 由 a 2 ? b 2 ? 4 ? 3 ? 1 ,得 c ? 1 . ? 抛物线的焦点为 ?1,0 ? ,? p ? 2 . 分 2 ? 抛物线 D 的方程为 y
? 4x .

…………2 分 …………3 …………4 …………5 …………6 分 …………7 分 分

分 (2)设 A? x1 , y1 ? , B? x 2 , y 2 ? . 分 ?i ? 直线 l 的方程为: y ? 联立 ?
?y ? x ? 4 ?y
2

x?4,

? 4x

,整理得: x 2
2

? 12 x ? 16 ? 0

? AB =

(1 ? 1) [? x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? 4 10 .…………9
2

27

19.已知圆 C1 的方程为 x 2

? ( y ? 2 ) ? 1 ,定直线
2

l 的方程为 y

? ? 1 .动圆

C 与圆

C1 外切,且与直线 l 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程; (II)斜率为 k 的直线 l 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P,过点 P 作直线 l 的垂线恰好经过点 A(0,6) ,并交轨迹 M 于异于点 P 的点 Q,记 S 为 ? POQ (O 为坐标原点)的面积,求 S 的值. 解(Ⅰ)设动圆圆心 C 的坐标为 ( x , y ) ,动圆半径为 R,则
| C C 1 |? x ? ( y ? 2)
2 2 2

? R ? 1 ,且 | y ? 1 | ? R

————2 分

可得

x ? ( y ? 2)
2

?| y ? 1 | ? 1


y
Q

由于圆 C1 在直线 l 的上方, 所以动圆 C 的圆心 C 应该 在直线 l 的上方,所以有
x ? ( y ? 2)
2 2

y ?1? 0

,从而得
O

A F
P

? y? 2

,整理得 x 迹

2

? 8y

,即为动圆圆心 C 的 方 ————5

A

x

的 程. 分



M

B

(II)如图示,设点 P

的坐标为 ( x 0 ,

x0 8

2

) ,则切线的斜率为

x0 4

,可得直线

28

PQ 的斜率为 ?

4 x0

,所以直线 PQ 的方程为 y ?
2

x0 8

2

? ?

4 x0

( x ? x0 )

.由于该直线经过

点 A(0,6) ,所以有 6 ?

x0 8

? 4

,得 x 0 2

? 16

.因为点 P 在第一象限,所以 x 0 . —————9 分

? 4



点 P 坐标为(4,2) ,直线 PQ 的方程为 x ?

y?6 ? 0

把直线 PQ 的方程与轨迹 M 的方程联立得 x 2 可得点 Q 的坐标为 ( ? 1 2 ,1 8 ) .所以
S ? 1 2 | O A || x P ? x Q | ? 4 8
x a
2 2

? 8 x ? 4 8 ? 0 ,解得 x ? ? 1 2 或

4,

20.已知椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 经过点 M (

3 2

,

6)

,它的焦距为 2 ,它的左、

右顶点分别为 A 1 , A 2 , P1 是该椭圆上的一个动点(非顶点) ,点 P 2 是点 P1 关于 x 轴的对称点,直线 A 1 P1 与 A 2 P 2 相交于点 E . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程. (Ⅱ)求点 E 的轨迹方程. 解: (Ⅰ)由题意得:c=1,
9 4a
2

?

6 b
2

?1



a ?b
2

2

?1



·········· 分 ··········3 由 ① 、 ② 得
x
2

a

2

? 9, b

2

? 8

所 以 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为

?

y

2

? 1 ······6 ·····



9

8

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A1 ? ? 3, 0 ? , A 2 ? 3, 0 ? ,设 P1 ? x 0 , y 0 ? , 则 P2 ? x 0 , - y 0 ? 所以 P1 A1 方 程 为 : y
? y0 x0 ? 3

? x ? 3 ? , P2 A 2的 方 程 为 : y

? -

y0 x0 ? 3

? x -3 ?

两式相乘得: y 2

? ?

y0
2

2

x0 ? 9

?x

2

?9 ?

由于点 P1 ? x 0 , y 0 ? 在椭圆上,所以
x
2

x0 9

2

?

y0 8

2

? 1? ?

y0
2

2

x0 ? 9

?

8 9

代入上式得

?

y

2

? 1 ·········· ··········13



9

8

29

21.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e =

2 ,椭圆上的点到 2

焦点的最短距离为 1异两点

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相 2 .

??? ??? AP = ? PB A、B,且

(1)求椭圆方程;
y

(2)若

T A O F B
l

x



1 8 题



,求 m 的取值范围.

y2 x2 2 c 2 2 2 2 (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c =a -b ,由条件知 a-c= , = , a b 2 a 2
∴a=1, =c= b 2 x2 , C 的方程为: 2+ =1 故 y 2 1 2
??? = 4OP

5′

??? ??? → (2)由AP =λ → , O A+ ? O B PB

∴λ +1=4,λ =3

→ 0 或 O 点与 P 点重合OP =→

7′

→ 0 当 O 点与 P 点重合OP =→ 时,m=0 当 λ =3 时,直线 l 与 y 轴相交,则斜率存在。 设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) B(x2,y2) , ?y=kx+m ? 2 2 ?2x +y =1 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

Δ =(2km)2-4(k2+2) m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) ( -2km m2-1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 k +2 k +2 → ∵ AP =3PB ?x1+x2=-2x2 ∴-x1=3x2 ∴? 2 ?x1x2=-3x2
2

11′

-2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2) +4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0 1 1 2-2m2 2 2 m = 时,上式不成立;m ≠ 时,k = 2 , 4 4 4m -1
2

13′

30

2-2m2 1 1 因 λ =3 ∴k≠0 ∴k = 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 4m -1 2 2
2

容易验证 k2>2m2-2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1)∪{0} 2 2 22. 设抛物线 M 方程为 y 2 与抛物线 M 的 一个交点, | PF
|? 5
? 2 px ( p ? 0 )

, 其焦点为 F, a , b )( a P (

? 0)

为直线 y

? x

(1)求抛物线的方程; (2)过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,试问在抛物线 M 的准线上是否 存在一点 Q,使得 ? QAB 为等边三角形,若存在求出 Q 点的坐标,若不存在请说明理由. y
Q B

O 解 : ( 1 )

F A

x

?y ? x ?x ? 2 p ?x ? 0 ? ? 或? ? 2 ?y ? 2p ?x ? 0 ? y ? 2 px

(舍去)
? P ( 2 p ,2 p )
? 抛物线的方程为
2

? | PF | ? 5

?2p ?

p 2

? 5

? p ? 2

y

? 4x

--5 分

(2)若直线 l 的斜率不存在,则 Q 只可能为 ( ? 1, 0 ) ,此时 ? QAB 不是等 边三角形,舍去,--7 分 若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y
? k ( x ? 1) ( k ? 0

) ,设直

线 l 与抛物线的交点坐标为 A( x 1 , y 1 ) 、B( x 2 , y 2 )

31

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 ? k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ? 2 ?y ? 4x

, x1
, 2 k )

? x2 ? 2 ?

4 k
2

设存在 Q ( ? 1, m ) , AB 的中点为 离为 d 有题意可知:
? 2 ? m ? k 1 ? ? ?? ① ? 2 k ? ? 2 ? k2 ? 3 | 2k ? m | ? d ? | AB |? ? ? 2 2 k ?1 ?

M (1 ?

2 k
2

,设 Q 到直线 l 的距

---10 分
3 2 |4 ? 4 k
2

|?? ②

由①可得: m ③代入②得: ( 2 k
2

?

2 k
3

? 4/k

------③
2

?

2 k
3

?

4 k

) ? (k
2

? 1) ?

3 16 ( k ? 1 ) ? 4 4 k
2

2



化简得:

4(k

? 1)
6

4

? 12

(k

2

? 1) k
4

3

? k

2

?

1 2

? ----14 分, m

? ?8

2

k
? Q ( ? 1, ? 8 2)

为所求点-----15 分

23.已知点 R ( ? 3 , 0 ) , P 在 y 轴上, Q 在 x 轴的正半轴上, M 在直线 PQ 上, 点 点 点 且满足 2 P M
???? ? ???? ? ? ??? ???? ? ? ? 3M Q ? 0, R P ? P M ? 0

.

(Ⅰ)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) A ( x 1 , y 1 ) 、B ( x 2 , y 2 ) 为轨迹 C 上两点, x 1 >1, 设 且 使 AB
? ? AN

y 1 >0, N (1 , 0 )

, 求实数 ? ,

,且

AB ?

16 3

.
? 3 MQ ? 0
y 2

解: (Ⅰ)设点 M

( x, y )

,由 2 PM
? 0

得 P (0 ,?
3y 2 ) ? 0

y 2

), Q (

x 3

,0 )

. .

…………2 分 ……………

由 RP 4分

? PM

,得 ( 3 , ?

) ? ( x,

, y2 即

? 4x

又点 Q 在 x 轴的正半轴上,∴ x
y
2

? 0 .故点 M

的轨迹 C 的方程是

? 4 x (x ? 0)

. ……………………………………………………

……6 分
32

(Ⅱ)由题意可知 N 为抛物线 C : y 2

? 4x

的焦点,且 A 、 B 为过焦点 N 的直线 的 斜 率 不 为
16 3

与抛物 线 C 的 两 个 交 点 , 所 以 直 线 0 . ……………………………………7 分 当直线 意; ……8 分 当直线 AB 斜率存在且不为 0 时,设 l AB
k x
2 2

AB

AB

斜率不存在时,得

A (1, 2 ), B (1, ? 2 ), AB ? 4 ?

,不合题

: y ? k ( x ? 1)

,代入 y 2

? 4x



? 2(k

2

? 2)x ? k

2

? 0
2


? 2)
2

则 分

AB ? x 1 ? x 2 ? 2 ?

2(k

? 2 ? 4 ?

4 k
2

?

16 3

,解得 k 2

? 3

. …………9

k

代入原方程得 3x 2
AB ? ? AN

? 10 x ? 3 ? 0

,由于

x1 ? 1

,所以

x1 ? 3, x 2 ?

1 3

,由

,
? ?
x 2 ? x1 1 ? x1 ? 4 3


? ?
4 3
| 24.如图, ? A B C 中, A B 在





. ……………………………………………………12 分
|? | A C |? 7 2 , | B C |? 2

C , B 、 为焦点的椭圆恰好过 A C 以

的中点 P . (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆的右顶点 A 1 作直线 l 与圆 E
: ( x ? 1) ? y
2 2

? 2

相交于 M 、 N 两

点,试探究点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧吗?若能,求出 直线 l 的方程;若不能,请说明理由.
y A P x B O C

33

解(1)∵ |
| O A |?

A B |? | A C |?

7 2

, | B C |? 2

∴| B O
3 2 5

| ? | O C | ? 1,

| AC | ? | OC |
2

2

?

49 4

?1 ?

∴ B ( ? 1, 0 ) , C (1, 0 ) , A ( 0 , 依 椭
( 1 2

3 2

5

)

∴P(

1 3 5 , ) 2 4


? 1) ? (
2


3 5 4 ? 0) ?
2


( 1 2 ? 1) ? (
2


3 5 4 ? 0)
2


? 9 4 ? 7 4 ? 4



2 a ? | P B | ? | P C |?

∴a

? 2

, 又c

? 1 ,∴ b
2

2

? a ?c
2
2

2

? 3

∴椭圆的标准方程为

x

?

y

? 1 ……………………………………………7



4

3

(求出点 p 的坐标后, 直接设椭圆的标准方程,将 P 点的坐标代入即可求出椭圆 方程, 也可以给满分.) 椭圆的右顶点 A1 ( 2 , 0 ) ,圆 E 圆心为 E (1, 0 ) ,半径 r
? 2

.

假设点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧, 则?M EN
? 90
?

,圆心 E (1, 0 ) 到直线 l 的距离 d
? 2

?

2 2

r ?1

当直线 l 斜率不存在时, l 的方程为 x 此时圆心 E (1, 0 ) 到直线 l 的距离 d



? 1 (符合)
? k ( x ? 2)

当直线 l 斜率存在时,设 l 的方程为 y ∴圆心 E (1, 0 ) 到直线 l 的距离 d
?

,即 k x ?

y ? 2k ? 0



|k | k
2

?1

?1

,无解
? 2

综上:点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧,此时 l 方程为 x 25.如图所示, F 是抛物线 y 2
? 2 px ( p ? 0 )

的焦点,点 A ( 4 , 2 ) 为抛
PA ? PF

物线内一定点,点 P 为抛物线上一动点,

的最小值为

y P A(4,2) x

8. (1)求抛物线方程; (2)若 O 为坐标原点,问是否存在定点 M ,使过点 M 的动直线 与抛物线交于 B , C 两点,且以 BC 为直径的圆恰过坐标原点, 若 存在,求出定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
34

O

F

解:设抛物线的准线为 l ,过 P 作 PB (1)由抛物线定义知
PF ? PB

? l

于 B ,过 A 作 AC

? l

于C ,
y

? PA ? PF ? PA ? PB ? AC

B

P A(4,2) x

(折线段大于垂线段),当
C
AC ? 8

且仅当
4 ? p 2

A, P , C

三点共线取等号.由题意知
2

,即

O

F

? 8 ? p ? 8

?

抛物线的方程为: y

? 16 x

5分
? kx ? b

(2)假设存在点 M ,设过点 M 的直线方程为 y 显然 k
? 0



,b

? 0

,设 B ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ,由以 BC 为直径的圆恰过坐标 ①
2

原点有 OB 把y

? OC ? 0 ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0

6分
? 0

? kx ? b

代人 y

2

? 16 x

得k

2

x

2

? 2 ( bk ? 8 ) x ? b

2 ( bk ? 8 ) ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? k ? 2 ?x x ? b 2 ? 1 2 k 由韦达定理 ?


2 2

7分 ③



y 1 y 2 ? ( kx 1 ? b )( kx 2 ? b ) ? k x 1 x 2 ? bk ( x 1 ? x 2 ) ? b

②代人③得

y1 y 2 ?

16 b k
2 2


? 0 ? b ? ? 16 k

16 b

②④代人①得
?

?

b k

k

动直线方程为 y
k BC

? kx ? 16 k ? k ( x ? 16 )

必过定点 (16 , 0 )

10 分
? OC ? 0



不存在时,直线 x
(16 , 0 )

? 16

交抛物线于 B (16 , ? 16 ), C (16 ,16 ) ,仍然有 OB 12 分 可避免讨论.



综上:存在点 M

满足条件
? my ? b

注:若设直线 BC 的方程为 x 26.已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为

35

3? 2

2

,3 ?

2

2



(1)求椭圆的方程; (2) 如果直线 x
? t ( t ? R ) 与椭圆相交于 A , B

, C ( ?30) 若 ,,

(,0 D 3)

, 证明直线 C A 与

直线 B D 的交点 K 必在一条确定的双曲线上; (3)过点 Q (1 , 0 ) 作直线 l (与 x 轴不垂直)与椭圆交于 M 、 N 两点,与 y 轴交于 点 R ,若 R M
???? ? ???? ? ? ?MQ

,RN

????

???? ? ? NQ

,证明: ?

? ?

为定值。

解: (1)由已知 ?
2

?a ? c ? 3 ? 2 ? ?a ? c ? 3 ? 2 ?

? ?a ? 3 ? ? ?c ? 2 2 ? 2

2

b

? a ?c
2

2

? 1 ………………………3



所以椭圆方程为

x

2

? y

2

? 1 。………………………5
2


? y0 ? 1
2

9

(2)依题意可设 A ( t , y 0 ) , B ( t , ? y 0 ) , K ( x , y ) ,且有 又CA :
y
2

t

9

y ?
2

y0 t?3
2

( x ? 3 ), D B : y ?

? y0 t?3

( x ? 3 ),
2

?

? y0
2

t ?9

(x ? 9)

,将

t

2

9

? y 0 ? 1 代入即得 y
2

?
x
2

1 9

( x ? 9 ),
2 2

x

2

? y

2

?1

9
? 1 上。 ……………………10

所以直线 C A 与直线 B D 的交点 K 必在双曲线 分

? y

9

(3) 依题意, 直线 l 的斜率存在, 故可设直线 l 的方程为 y 11 分 设M
N 、 (x4
R , y 4 ) 、 (0 , y 5 )

? k ( x ? 1)

, ……………

( x3 , y3 )

, M 、 N 两点坐标满足方程组 ? x 2 则
? 9 ?
2

? y ? k ( x ? 1) , ? ? y
2

? 1.

消去 y 并整理,得 (1 ? 9 k 2 ) x 2 所以 x 3
? x4 ? 18 k
2 2

? 18k x ? 9k
2

?9 ? 0

, ……………………13 分

1 ? 9k

, ①

x3 x4 ?

9k

2

?9
2

1 ? 9k

, ②

因为 RM 即?

? ? MQ

,所以 ( x 3 所以 x 3
?

, y 3 ) ? ( 0 , y 5 ) ? ? ?( 1 , 0 ) ? ( x 3 , y 3 ) ? , ? ? (1 ? x 3 )

? x 3 ? ? (1 ? x 3 ) , ? y3 ? y5 ? ??y3 .

,又 l 与 x 轴不垂直,所以 x 3

? 1



所以 ?

?

x3 1 ? x3

,同理 ?

x4 1 ? x4



…………………………14 分

36

所以 ?

? ? ?

x3 1 ? x3

?

x4 1 ? x4

?

( x3 ? x4 ) ? 2 x3 x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4



将①②代入上式可得 ?

? ? ? ?

9 4



…………………………16 分

27.已知抛物线 C:y 2 =4x, 是 C 的焦点, F 过焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A, 两点, B O 为坐标原点。 (1)求 OA · OB 的值; (2)设 AF = ? (3)在(2)的条件下若 S≤
5

FB

,求△ABO 的面积 S 的最小值;

,求 ? 的取值范围。

⑴根据抛物线的方程可得焦点 F(1,0) ,设直线 l 的方程为 x=my+1,将其与 C 的方程联立,消去 x 可得 y 2 -4my-4=0. 设 A、B 点的坐标分别为( x 1 , y 1 )( x 2 , y 2 ) y 1 ﹥0﹥ y 2 ) , ( ,则 y 1 因为 y 1
2

y2

=-4.

=4 x 1 , y 2 2 =4 x 2 ,所以 x 1
x
2

x

2

=

1 16

y

2
1

y2

2

=1,

故 OA · OB = x 1 (2)因为 AF = ?

+y1

y2

=-3

………………………………………………4 分 1- x 1 = ? - y1 =?
x
2

FB

,所以(1- x 1 ,- y 1 )= ? ( x 2 -1, y 2 )即

-? ① ②

y2

又y1

2

=4 x 1 ③

y2

2

=4 x 2 ④ ,由②③④消去 y 1 , y 2 后,得到 x 1 = ?
1

2

x

2

,将其

代入①,注意到 ? ﹥0,解得 x 2 = 从而可得 y 2 =1
2

?


1 2

?

,y 1 =2

?

,故△OAB 的面积 S=

OF

· y1

? y2

=

? ?

1

?

因为

? ?

?

≧2 恒成立,故△OAB 的面积 S 的最小值是 2………(8 分).(3)由

? ?

1

?



5

解之的

3? 2

5

≦? ≦
x
2

3? 2

5

28. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 合.

?

y

2

?1

的中心,焦点与该椭圆的右焦点重

4

3

(1)求抛物线 D 的方程; (2)已知动直线 l 过点 P ? 4 , 0 ? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.
37

? i ? 若直线 l 的斜率为 1,求 AB 的长;
? ii ? 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为

定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由. 解:解:(1)由题意,可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? . …………1 分 由 a 2 ? b 2 ? 4 ? 3 ? 1 ,得 c ? 1 . ? 抛物线的焦点为 ?1 , 0 ? ,? p ? 2 . 分 2 ? 抛物线 D 的方程为 y
? 4x

…………2 分 …………3 …………4 …………5

.

分 (2)设 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? . 分 ? i ? 直线 l 的方程为: y 联立 ?
? AB
?y ? x ? 4 ?y
2

? x ? 4

,

…………6 分 …………7 分 .…………9 分
? x1 ? 4 y1 ? , ? ? 2 2 ? ?

? 4x
2

,整理得: x 2
?
2

? 12 x ? 16 ? 0

=

(1 ? 1 ) [ ? x 1 ? x 2

? 4 x 1 x 2 ? 4 10

(ⅱ) 设存在直线 m

: x ? a

满足题意,则圆心 M

,过 M 作直线 x

? a

的垂线,垂足为 E ,设直线 m 与圆 M 的一个交点为 G .可 得:
EG
2

…………10 分
? MG
2

2

? ME
2

2

,
2

…………11 分 =
? x1
2

即 =
1 4

EG

? MA

? ME

? 4 ? ? y1
2

2

4
y1 ?
2

? x1 ? 4 ? ?? ? a? 2 ? ?
2

2

? x1

? 4 ? ? ? x1 ? 4 ?
2

4
2

? a ? x1 ? 4 ? ? a

= x1 分 当a 值2

? 4 x1 ? a ? x1 ? 4 ? ? a

= ?a

? 3 ?x1 ? 4 a ? a

2

…………13

? 3
3

时,

EG

2

? 3

,此时直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定 …………14 分

.
: x ? 3 满足题意

因此存在直线 m

…………15 分

38


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