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2012年全国高中数学联赛模拟试题二


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2012 年全国高中数学联赛模拟试题二
一、选择题:每题 6 分,满分 36 分 1 、 数 列 x 1 , x 2 , ? , x 1 0 0 满 足 如 下 条件 :对 于 k ? 1 , 2 , ? 100 , x k 比 其 余 99 个数 的和 小 k , 已知
x 50 ? m n
2 2 6 2

,m,n 是互质的正整数,则 m+n 等于( )

A 50 B 100 C 165 D 173 2、若 sin x ? sin y ? A
2 2 , cos x ? cos y ?

,则 sin( x ? y ) 等于( )

B
x

3 2
2

C
? y
2

6 2

D 1
2 2

3、P 为椭圆

? 1 在第一象限上的动点,过点 P 引圆 x ? y

? 9 的两条切线 PA、PB,切点分

16
9 2 9 2

9
27 4
2

别为 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N,则 S ? MON 的最小值为( ) A B
3 C

D

27 4

3

4.函数 f ( x ) ? log 0.3 ( x ? x ? 2) 的单调递增区间是( (A) ( ? ? , ? 2 ) (B) ( ? ? ,1)
x 2x ? y ?

) . (D) (1,?? ? ) ) .

(C) (-2,1)
y x ? 2y

5.已知 x , y 均为正实数,则 (A) 2 (B)
2 3

的最大值为(

(C) 4 (D)
? ?

4 3

6.直线 y= 5 与 y ? ? 1 在区间 ? 0 , 不为零,则下列描述正确的是( (A) m ?
3 2 , n= 5 2

4? ? ? ? 上截曲线 y ? m sin 2 x ? n ( m ? 0, n ? 0 ) 所得的弦长相等且 ? ?

) . (C) m ?
3 2 , n= 5 2

(B) m ? 3, n ? 2

(D) m ? 3, n ? 2

二、填空题:每小题 9 分,满分 54 分 7、函数 f ( x ) 满足:对任意实数 x,y,都有
f ( x ) f ( y ) ? f ( xy ) 3 ? x ? y ? 2 ,则 f ( 36 ) ?

.

8、正四面体 ABCD 的体积为 1,O 为为其中心. 正四面体 A ? B ?C ?D ? 与正四面体 ABCD 关于点 O 对 称,则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线 xy=1 上,横坐标为
n n ?1

的点为 A n ,横坐标为

n ?1 n

的点为 B n ( n ? N ? ) .记坐标为 .

(1,1)的点为 M, Pn ( x n , y n ) 是三角形 A n B n M 的外心,则 x 1 ? x 2 ? ? ? x 100 ? 10.已知 sin( x ? sin x ) ? cos( x ? cos x ) , x ? ? 0, ? ?, 则x ?
2

.
??? ? ? AB
2

??? ??? ? ? 2 11 . 设 A , B 为 抛 物 线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 上 相 异 两 点 , 则 O A ? O B

的最小值为

___________________. 12 . 已 知 ? A B C 中 , G 是 重 心 , 三 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且

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??? ? ??? ? ???? 56 a G A ? 40 bG B ? 35 cG C ? 0 ,则 ? B =__________.

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三、解答题:每小题 20 分,满分 60 分 13、设集合 A 和 B 都是由正整数组成的集合,|A|=10,|B|=9,并且集合 A 满足如下条件:若 x , y , u , v ? A , x ? y ? u ? v ,则 { x , y } ? {u , v } .令 A ? B ? { a ? b | a ? A , b ? B } 求证:|A+B|≥50. (|X|表示集合 X 的元素个数)

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14 已 知 在 正 方 体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中 , O , E , F , G 别 为 分
B D , B B1 , A1 D1 , D1C 1 的中点,且 A B ? 1 . 求四面体 O E F G 的体积.
F A1

D1

G

C1 B1

E D A O B C

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15 在平面直角坐标系中, 已知圆 C 1 与圆 C 2 相交于点 P , Q , 点 P 的坐标为 ? 3, 2 ? , 两圆半径的乘积 为
13 2

.若圆 C 1 和 C 2 均与直线 l : y ? kx 及 x 轴相切,求直线 l 的方程.

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