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反三角函数典型例题(2010上海高一)


2010 上海高一反三角函数典型例题
例 1:在下列四个式子中,有意义的为__________: (1) arcsin 2 ; (2) arcsin 解: (4)有意义。

? ; (3) sin(arcsin 2) ; (4) arcsin(sin 2) 。 4

点评: arcsin x —— x ? [?1,1] 。 例 2

:求下列反正弦函数值 (1) arcsin

3 ? 2

解:

? 3 ? 6

(2) arcsin 0 ? (4) arcsin1 ?

解: 0 解:

(3) arcsin(? ) ? 点评:熟练记忆:0, ? 思考: sin(arcsin

1 2

解: ?

? 2

2 3 1 、? ,? , ?1的反正弦值。 2 2 2

1 ? ? ) 该如何求? 2 4

例 3:用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 x

3 3 ? ? , x ?[? , ] 解:x=arcsin 5 5 2 2 ? 变式: x ?[ , ?] ? 2 3 ? ? 解: x ?[ , ?] 时,π- x ?[0, ] ,sin(π-x)=sinx= 5 2 2 3 3 ∴π-x=arcsin ,则 x=π-arcsin 5 5 3 3 变式: x ?[0, ?] ? 解:x=arcsin 或 x=π-arcsin 5 5 ? ? 1 1 (2) sin x ? ? , x ?[? , ] 解: x ? ? arcsin 2 2 4 4 3? 1 变式: sin x ? ? , x ?[ ,2?] 4 2 3? ? 1 解: x ?[ ,2?] 时,2π- x ?[0, ] ,sin(2π-x)=-sinx= 2 2 4 1 1 ∴2π-x=arcsin ,则 x=2π-arcsin 4 4 ? ? ? ? ? ? 点评:当 x ?[? , ] 时, x ? arcsin a ;而当 x ?[? , ] ,可以将角转化到区间 [? , ] 上,再用诱导公式 2 2 2 2 2 2 处理对应角之三角比值即可。
(1) sin x ? 练习:

3 ? ? , x ?[? , ] 2 2 2 3 (2) sin x ? , x ?[0, ?] 3 ? 3? 3 (3) sin x ? ? , x ?[ , ] 2 2 5
(1) sin x ?

解: x ?

? 3

3 3 或 x ? ? ? arcsin 3 3 3 解: x ? ? ? arcsin 5
解: x ? arcsin

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

例 4:求函数 y ? 2arcsin(5 ? 2x) 的定义域和值域。

解: 由 ?1 ? 5 ? 2x ? 1 ,则 x ?[2,3] , arcsin(5 ? 2x) ?[? , ] ,则 y ?[??, ?] 。 变式: y ? sin x ? arcsin x 思考:当 x ?[? , 解:当 x ?[? ,

? ? 2 2 ? ? 解: x ? [?1,1] , y ?[? sin1 ? ,sin1 ? ] 2 2

? 3? ] 时,求函数 y ? arcsin(cos x) 的值域。 4 4

2 ? 3? ? ? ,1] ,而 y ? arcsin t 为增函数,则 y ?[? , ] 。 ] 时 t ? cos x ? [ ? 2 4 4 4 2

例 5:求下列函数的反函数 (1) y ? sin x , x ?[ , ?]

? 2

解: y ?[0,1] , x ? ??[? ,0] 且 sin(x ? ?) ? ? sin x ? ? y ,则 x ? ? ? arcsin(? y) , 则 x ? ? ? arcsin y ,则反函数是 f ?1 (x) ? ? ? arcsin x , x ?[0,1] 。 (2) y ? arcsin x , x ?[0,1]

? 2

解: y ?[0, ] , x ? sin y ,则反函数是 f ?1 (x) ? sin x , x ?[0, ] 。

? 2

? 2

[例 6] 求下列反三角函数的值: (1) arccos

3 ? = 2 6

(2) arccos( ?

2 3? )= (两种方法) 2 4

(3) arccos 0 + arctan1 =

3? 4
2

(4) arctan(? 3) = ?

? 3

(5) arcsin (- 1 )+arccos (- 1 )=
2

? 2

(6) arctan(tan

5? ? ) =? 6 6

[例 7] 用反三角函数值的形式表示下列各式中的 x: (1) cos x ? , x ?[0, ?] 变式: cos x ? ? , x ?[?,2?] (2) tan x ? ?2, x ? (? , ) 变式: x ? ( ,

1 3

解: x ? arccos

1 3

1 3

解: x ? 2? ? arccos 解: x ? arctan(?2) 解: x ? ? ? arctan 2

1 3

? ? 2 2

? 3? ) 2 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

[例 8] (1) 已知 arcsin x ? arcsin(1 ? x) ,求 x 的取值范围。 解:由 ?1 ?1? x ? x ?1 ,得 (2) arccos x ? arccos(1 ? x)

1 ? x ?1。 2
解:由 ?1 ? x ?1? x ?1,得 0 ? x ? 解: x ? 3 解: ?1 ? x ?

1 。 2

? 3 ? (4) arccos x ? 3
(3) arctan x ?

1 2

[例 9 求 y=arcsinx+arctanx 的值域。 解:∵-1≤x≤1 ∴-

3? 3? ≤y≤ 4 4

——涉及和函数概念,反正弦、反正切函数单调性

[例 10] 求下列各式的值: (1) sin(arccos(?

2 )) 3
2 2 7 ? ) ,则 cos x ? ? 且 x ?[ , ?] ,则 sin x ? 3 3 3 2

解:设 x ? arccos( ? (2) tan[arccos(?

2 ? )? ] 2 6

解: tan(

3? ? ?1 ? 3 ( 3 ? 1) 2 ? )? ? ?2? 3 4 3 2 1? 3

(3) cos2 ( arccos )

1 2

3 5

解:设 x ? arccos ,则 cos x ? 且 x ?[0, ] ,则 cos2 (4) sin[arctan

3 5

3 5

? 2

x 1 ? cos x 4 ? ? 2 2 5

12 3 ? arcsin ] 5 5

12 3 12 4 ? , ? ? arcsin ,则 tan ? ? , sin ? ? 且 ?, ?? (0, ) , 2 5 5 5 5 12 3 12 4 5 3 33 则 sin[arctan ? arcsin ] ? sin(? ??) ? ? ? ? ? 。 5 5 13 5 13 5 65 1 1 思考:若求 arctan ? arctan 的值呢? 2 3
解:设 ? ? arc tan 解: ? ? arc tan

1 1 ? 1 1 , ? ? arc tan ,则 tan ? ? , tan ? ? 且 ?, ?? (0, ) , 2 2 2 2 3 ? ∵ tan(? ? ?) ? 1 ,且 ? ? ?? (0, ?) ,∴ ? ? ? ? 。 4

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3


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