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广东高二数学期末考试试卷上


高二数学期末考试大题(上)
一、命题及其关系
1、已知: p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实根, q : 方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无
2

实数,若“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假,求 m 的取值范围。

q: 2、 已知 p : 函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 在 ?1, ?? ? 上为增函数, 关于 x 的方程 x ? ax ? 4 ? 0
2

无实数解,若 p 或 q 为真命题,求实数 a 的取值范围。

3、已知命题 p:关于 x 的方程 x -ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=

2

2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,求实 数 a 的取值范围.

1 1 4、 已知不等式|x-m|<1 成立的充分不必要条件是3<x<2, 求实数 m 的取值范围.

二、探索点的轨迹
1、设椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2, 0), B(2, 0) ,离心率 e ? . 2 a b 2

过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程

2、如图,设 P 是圆 x ? y ? 2 上的动点,PD⊥x 轴,垂足为 D,M 为线段 PD 上一点,且
2 2

|PD|= 2 |MD|,点 A、F1 的坐标分别为(0, 2 ) , (-1,0) 。 求点 M 的轨迹方程

3、已知动点 P( x, y) 与两个定点 M (?1,0), N (1,0) 的连线的斜率之积等于常数 ? ( ? ? 0 ) (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)试根据 ? 的取值情况讨论轨迹 C 的形状

4、在平面直角坐标系内,动圆 C 过定点 F ?1, 0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切.求动圆圆心 C 的 轨迹 C2 的方程

三、立体几何 1、如图,四边形 ABCD 是正方形,PB?平面 ABCD,MA∥PB,PB=AB=2MA. (Ⅰ)证明:AC∥平面 PMD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 PCD 所成的角的大小; (Ⅲ)求平面 PMD 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的正切值.

P

M

A

B

D

C

2、如图 3 中,三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 4 的正三角形, SA ? SC ? 2 3 ,

SB ? 2 5 ,
M 、 N 分别为 AB 、 SB 的中点.
(1)求证:平面 SAC ⊥平面 ABC ; (2)求二面角 N ? CM ? B 的一个三角函数值; (3)求点 B 到平面 CMN 的距离.

3、如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD, 点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值.

4、如图 5,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂 直于底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2BC ? 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点。 (1)求证: PB ? DM ; (2)求平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值; (3)求点 B 到平面 PAC 的距离.

四、不等式及其应用
1、某工厂生产某种产品,每日的成本 C (单位:万元)与日产量 x (单位:吨)满足函数 关系式 C ? 3 ? x ,每日的销售额 S (单位:万元)与日产量 x 的函数关系式

k ? ? 5, (0 ? x ? 6) ?3x ? S ?? x ?8 ? ( x ? 6) ?14,
已知每日的利润 L ? S ? C ,且当 x ? 2 时, L ? 3 . (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

2、 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个 单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位 的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费 用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预 订多少个单位的午餐和晚餐?

3、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小 钢板的块数如下表所示: 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板

A规格
2 1

B规格
1 2

C规格
1 3

今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得 所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少?

五、数学归纳法 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn= + -1,且 an>0,n∈N .
*

an 1 2 an

(1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.

2 、 在平 面 直角 坐 标系 xOy 中 , Pn (n , n 2 )(n ? N ? ) 是 抛 物 线 y ? x 2 上 的点 ,

?OP nP n?1 的面积为 S n .
⑴求 S n ; ⑵化简

[来源:学#科#网]

1 1 1 ; ? ?L? S1 S 2 Sn
n(n ? 1)( n ? 2) . 6

⑶试证明 S1 ? S 2 ? ? ? S n ?

六、圆锥曲线
1、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率为 e . a2 b2
3 ,求椭圆的方程; 2

(1)若 e ?

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若 坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且

2 3 ,求 k 的取值范围. ?e? 2 2

2、已知椭圆 面积为 4。

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 2 a b 2

(1)求椭圆的方程: (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B 。 已知点 A 的坐标为(- a , 0), 点 Q (0,y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA QB =4。求 y0 的值。


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