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【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮素能训练:专题7 第4讲 随机变量及其分布列(理)]


专题七
一、解答题

第四讲

1.(2014· 郑州市质检)为了迎接 2014 年 3 月 30 日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松 赛”,举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有 6 个大小相同的小 球,分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志. 摇匀后,参加者每次从盒中同时 抽取两个小球(取出后不再

放回),若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖,并停 止取球;否则继续抽取.第一次取球就抽中获一等奖,第二次取球抽中获二等奖,第三次取 球抽中获三等奖,没有抽中不获奖.活动开始后,一位参赛者问:“盒中有几个印有‘郑开 马拉松’的小球?”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球,不都是'美丽绿城行'标 4 志的概率是 .” 5 (1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数; (2)若用 η 表示这位参加者抽取的次数,求 η 的分布列及期望. [解析] (1)设印有“美丽绿城行”的球有 n 个, 同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志 为事件 A, C2 n 则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是 P( A )= 2, C6 4 由对立事件的概率知 P(A)=1-P( A )= . 5 即 P( A )= C2 1 n = ,解得 n=3. C2 5 6

(2)由已知,两种球各三个,η 可能取值分别为 1、2、3,则 η=2 的含义是第一次取到 两球都印有“美丽绿城行”,第二次取球中奖;或第一次取到两类球各一个,第二次取球中 奖, C2 1 3 ∴P(η=1)= 2= , C6 5
2 1 2 C2 C1 1 3 C3 3C3 C2 P(η=2)= 2· 2+ 2 · 2= , C6 C4 C6 C4 5

3 P(η=3)=1-P(η=1)-P(η=2)= ,则 η 的分布列为: 5 η Ρ 1 1 3 12 所以 Eη=1× +2× +3× = . 5 5 5 5 2.(2014· 天津理,16)某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中, 1 1 5 2 1 5 3 3 5

3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. [解析] (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,则
2 0 3 C1 C7 +C3 · C7 49 3· P(A)= = . C3 60 10

49 所以,选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 . 60 (2)随机变量 X 的所有可能值为 0、1、2、3.
k Ck C3 4· 6 P(X=k)= (k=0、1、2、3) 3 C10


所以,随机变量 X 的分布列是 X P 0 1 6 1 1 2 2 3 10 3 1 30

1 1 3 1 6 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 6 2 10 30 5 3.(2014· 石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息,随机的在商场收集了 100 位顾 客购物的相关数据,整理如下: 一次购物款 (单位:元) 顾客人数 [0,50) m [50,100) 20 [100,150) 30 [150,200) n [200,+∞) 10

统计结果显示:100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客占 60%.据统计该商场每日大 约有 5000 名顾客, 为了增加商场销售额度, 对一次性购物不低于 100 元的顾客发放纪念品(每 人一件).(注:视频率为概率) (1)试确定 m、n 的值,并估计该商场每日应准备纪念品的数量; (2)现有 4 人去该商场购物,求获得纪念品的人数 ξ 的分布列与数学期望. [解析] (1)由已知,100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客有 n+40=100×60%, n=20; m=100-(20+30+20+10)=20. 60 该商场每日应准备纪念品的数量大约为 5000× =3000 件. 100 (2)由(1)可知 1 人购物获得纪念品的频率即为概率 60 3 p= = . 100 5

3 故 4 人购物获得纪念品的人数 ξ 服从二项分布 B(4, ). 5 3 0 2 4 16 P(ξ=0)=C0 , 4( ) ( ) = 5 5 625 3 1 2 3 96 P(ξ=1)=C1 , 4( ) ( ) = 5 5 625 3 2 2 2 216 P(ξ=2)=C2 , 4( ) ( ) = 5 5 625 3 3 2 1 216 P(ξ=3)=C3 , 4( ) ( ) = 5 5 625 3 4 2 0 81 P(ξ=4)=C4 , 4( ) ( ) = 5 5 625 ξ 的分布列为 ξ P 0 16 625 1 96 625 2 216 625 3 216 625 4 81 625

16 96 216 216 81 12 ξ 数学期望为 Eξ=0× +1× +2× +3× +4× = . 625 625 625 625 625 5 3 12 或由 Eξ=4× = . 5 5 4.(2014· 湖南理,17)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别 2 3 为 和 ,现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立. 3 5 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企 业可获利润 100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望. [分析] (1)由条件可知甲、乙研发新产品成功的概率,求至少有一种新产品研发成功的 概率可用对立事件求解. (2)先依据 A、B 产品研发成功的可能性确定利润 ξ 的取值,再依据独立事件概率求分布 列和期望. [解析] (1)设至少有一组研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件,则 2 3 事件 B 为两种新产品都没有成功,因为甲、乙成功的概率分别为 、 . 3 5 2 3 1 2 2 则 P(B)=(1- )×(1- )= × = , 3 5 3 5 15 再根据对立事件概率之间的公式可得 13 P(A)=1-P(B)= , 15 13 所以至少一种产品研发成功的概率为 . 15

(2)由题可设该企业可获得利润为 ξ,则 ξ 的取值有 0,120+0,100+0,120+100,即 ξ= 0,120,100,220,由独立试验的概率计算公式可得: 2 3 2 P(ξ=0)=(1- )×(1- )= ; 3 5 15 2 3 4 P(ξ=120)= ×(1- )= ; 3 5 15 2 3 1 P(ξ=100)=(1- )× = ; 3 5 5 2 3 2 P(ξ=220)= × = ; 3 5 5 所以 ξ 的分布列如下: ξ P(ξ) 0 2 15 120 4 15 100 1 5 220 2 5

2 4 1 2 则数学期望 Eξ=0× +120× +100× +220× =32+20+88=130. 15 15 5 5

5.当前人们普遍认为拓展训练是一种挑战极限、完善人格的训练,某大学生拓展训练中 心着眼于大学生的实际情况, 精心地设计了三个相互独立的挑战极限项目, 并设置如下计分 办法: 项目 挑战成功得分 挑战失败得分 甲 10 0 乙 30 0 丙 60 0

4 3 据调查,大学生挑战甲项目的成功概率为 ,挑战乙项目的成功概率为 ,挑战丙项目的 5 4 1 成功概率为 . 2 (1)求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率, (2)记该同学挑战三个项目后所得分数为 X,求 X 的分布列并预测该同学所得分数的数 学期望. [解析] (1)甲、乙、丙这三个项目至少一项挑战成功的概率 4 3 1 1 39 P=1-(1- )(1- )(1- )=1- = ; 5 4 2 40 40 (2)由题意,X 的可能取值为 0、10、30、40、60、70、90、100. 1 1 1 1 P(X=0)= × × = , 5 4 2 40 4 1 1 1 P(X=10)= × × = , 5 4 2 10

1 3 1 3 P(X=30)= × × = , 5 4 2 40 4 3 1 3 P(X=40)= × × = , 5 4 2 10 1 1 1 1 P(X=60)= × × = , 5 4 2 40 4 1 1 1 P(X=70)= × × = , 5 4 2 10 1 3 1 3 P(X=90)= × × = , 5 4 2 40 4 3 1 3 P(X=100)= × × = , 5 4 2 10 所以 X 的分布列为 X P E(X) = 0× 60.5(分). 所以该同学所得分的数学期望为 60.5 分. 6.(2013· 唐山模拟)某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的 茎叶图如下: 0 1 40 10 1 10 30 3 40 40 3 10 60 1 40 70 1 10 90 3 40 100 3 10

1 1 3 3 1 1 3 3 + 10× + 30× + 40× + 60× + 70× + 90× + 100× = 40 10 40 10 40 10 40 10

(1)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (2)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 ..15 分的频率作为概率,假设甲、乙两名队 员在同一场比赛中得分多少互不影响, 预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、 乙两名队员得分 均超过 ...15 分的次数 X 的分布列和均值. 1 - [解析] (1) x 甲= (7+9+11+13+13+16+23+28)=15, 8 1 - x 乙= (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, 8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 s2 甲= [(-8) +(-6) +(-4) +(-2) +(-2) +1 +8 +13 ]=44.75, 8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 s2 乙= [(-8) +(-7) +(-5) +0 +2 +4 +6 +8 ]=32.25. 8 甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小).

3 1 (2)根据统计结果,在一场比赛中,甲、乙得分超过 15 分的概率分别为 p1= ,p2= , 8 2 3 则两人得分均超过 15 分的概率为 p1p2= , 16 3 3 k 3 - 依题意,X~B(2, ),P(X=k)=Ck ) (1- )2 k,k=0,1,2, 2( 16 16 16 X 的分布列为 X P 3 3 X 的均值 E(X)=2× = . 16 8 7.(2014· 合肥质检)某电视台组织一档公益娱乐节目,规则如下:箱中装有 2 个红球 3 个白球,参与者从中随机摸出一球, 若为白球, 将其放回箱中, 并再次随机摸球;若为红球, 则红球不放回并往箱中添加一白球, 再次随机摸球. 如果连续两次摸得白球, 则摸球停止. 设 摸球结束时参与者摸出的红球数是随机变量 ξ, 受益人获得的公益金 yξ 与摸出的红球数 ξ 的 关系是 yξ=20000+5000ξ(单位:元). (1)求在第一次摸得红球的条件下,赢得公益金为 30000 元的概率; (2)求随机变量 yξ 的分布列与期望. [分析] (1)在第一次摸得红球的条件下,再摸球时口袋中有 1 红 4 白共 5 个球,当 yξ =30000 时,ξ=2,因此需再摸得一红球,有两种可能,①第二次摸得红球;②第二次摸得 白球,第三次摸得红球. (2)关键是 ξ=1 的含义要弄清:ξ=1 包括第一次摸得红球,第二、三次均摸得白球,或 第一次摸得白球,第二次摸得红球,第三、四次都摸得白球. [解析] (1)在摸得第一个红球的条件下,箱内有 1 个红球 4 个白球,摸球结束时赢得公 1 4 1 9 益金为 30000 元的情形是: 先摸得红球或先摸得白球再摸得红球, 其概率为 P= + × = . 5 5 5 25 (2)随机变量 ξ 的可能取值为 0、1、2, ,对应的随机变量 yξ 的取值分别为 20000、25000、 30000. 3 9 ∵P(ξ=0)=( )2= , 5 25 2 3 2 4 256 P(ξ=1)=( + × )( )2= , 5 5 5 5 625 9 256 144 P(ξ=2)=1- - = . 25 625 625 ∴随机变量 yξ 分布列为 yξ 20000 25000 30000 0 169 256 1 78 256 2 9 256

P

9 25

256 625

144 625

9 256 144 随机变量 ξ 的期望 Eyξ=20000× +25000× +30000× =24352. 25 625 625 8.(2014· 衡水中学二调)今年年初,我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气,给 我们的身体健康产生了巨大的威胁.私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一, 因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出 一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限 行”的态度,随机抽查了 50 人,将调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) 频数 赞成人数 [15,25) 5 4 [25,35) 10 6 [35,45) 15 9 [45,55) 10 6 [55,65) 5 3 [65,75] 5 4

(1)完成被调查人员的频率分布直方图;

(2)若从年龄在[15,25)、 [25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查, 记选中 的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. [解析] (1)各组的频率分别是 0.1、0.2、0.3、0.2、0.1、0.1. 所以图中各组的纵坐标分别是 0.01、0.02、0.03、0.02、0.01、0.01.

(2)ξ 的所有可能取值为:0、1、2、3,
2 C2 6 15 45 15 4 C6 P(ξ=0)= 2· 2 = · = = , C5 C10 10 45 225 75 2 1 1 C1 C2 C6 4 15 6 24 102 34 4 C6 4 C 4· P(ξ=1)= 2· 2 + 2· 2 = · + · = = , C5 C10 C5 C10 10 45 10 25 225 75 1 1 2 C1 C6 C2 4 24 6 6 66 22 4 C4· 4 C4 P(ξ=2)= 2· 2 + 2· 2 = · + · = = , C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75 2 C1 4 6 12 4 4 C4 P(ξ=3)= 2· 2 = · = = , C5 C10 10 45 225 75

所以 ξ 的分布列是: ξ P 6 所以 ξ 的数学期望 Eξ= . 5 0 15 75 1 34 75 2 22 75 3 4 75


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