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2014年06月14日1161622024的高中数学组卷


2014 年 06 月 14 日 1161622024 的高中数学组卷

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2014 年 06 月 14 日 1161622024 的高中数学组卷
一.解答题(共 30 小题) 1.证明三角恒等式
3



2.证明:c

os3α=4cos α﹣3cosα. 3.已知:asinx+bcosx=0 ① ,Asin2x+Bcos2x=C C=0 4.求证:cosx . ② ,其中 a,b 不同时为 0,求证:2abA+(b ﹣a2)B+(a +b )
2 2 2

5.已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.求证: (1)当 b≠时,tg3A= . (2) (1+2cos2A) =a +b . 6. (1977?福建)证明:
2 2 2

7.已知

.求证:



8.证明:若是第四象限角,则



=2tanα.

9.设△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, (1)求证: ;

,若 b=a?cos(A+B) .

(2)当 tanB 取最大值时,求 cotC 的值. 10. (2014?静安区一模)求证: (1)

(2)



11.试证:

=



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www.jyeoo.com 12.求证: .

13.已知 a 为锐角,且 sina= .

(1)求

的值;

(2)求 tan(a﹣

)的值

14. (2013?绵阳模拟)已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的定义域及最大值; (2)求使 f(x)≥0 成立的 x 的取值集合.

15. (2011?济南一模)已知



<θ<π. (1) 求 tanθ; (2) 求

的值.

16. (2010?无锡模拟)设 0<α<π,π<β<2π,若对任意的 x∈R,都有关于 x 的等式 cos(x+α) + 恒成立,试求 α,β 的值.
2 2

17. (2009?丰台区二模)已知函数 f(x)=2sin2x?cos2x+cos 2x﹣sin 2x. , (I)求函数 f(x)的最小正周期; (II)若 0<x< ,当 f(x)= 时,求 的值.

18. (2008?湖北模拟)已知



(1)求函数 f(x)值域; (2)若对任意的 a∈R,函数 y=f(x)在(a,a+π]上的图象与 y=1 有且仅有两个不同的交点,试确定 ω 的值(不必 证明)并写出该函数在[0,π]上的单调区间. 19. (2014?南通模拟)在△ ABC 中,已知 sinB+sinC=sinA(cosB+cosC) . (1)判断△ ABC 的形状; (2)若角 A 所对的边 a=1,试求△ ABC 内切圆半径的取值范围. 20.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 A,B,C 成等差数列,△ ABC 的面积为 (1)求证:a,2,c,成等比数列; (2)求△ ABC 的周长 L 的最小值,并说明此时△ ABC 的形状. 21.在△ ABC 中,已知 sinB=cosAsinC. (Ⅰ )判定△ ABC 的形状; (Ⅱ )若 =9,△ ABC 的面积等于 6,求△ ABC 中∠ ACB 的平分线长. ,

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www.jyeoo.com 22. (2004?虹口区一模)在△ ABC 中,记外接圆半径为 R. (1)求证:
2 2 2


2

(2)若(a +b )sin(A﹣B)=(a ﹣b )sin(A+B) ,试判断△ ABC 的形状. 23. (2012?丰台区一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asinB﹣bcosC=ccosB. (Ⅰ )判断△ ABC 的形状; (Ⅱ )若 f(x)=sinx+cosx,求 f(A)的最大值. 24. (2013?重庆)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a +b + (1)求 C; (2)设 cosAcosB= , = ,求 tanα 的值.
2 2

ab=c .

2

25. (2013?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsinA=3csinB,a=3, (Ⅰ ) 求 b 的值; (Ⅱ ) 求 的值.



26. (2013?江西)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 C= ,求 的值.

27.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ )求 B 的大小; (Ⅱ )求 cosA+sinC 的取值范围.

28. (2012?卢湾区一模)已知 、 是两个不共线的非零向量. (1)设 (2) 如图, 若 , , (t∈R) , ,当 A、B、C 三点共线时,求 t 的值. 上一动点, 设

, 与 夹角为 120°, | |=| |=1, 点 P 是以 O 为圆心的圆弧

(x,y∈R) ,求 x+y 的最大值.

29. (2012?安徽模拟)已知函数 f(x)=x ﹣mx 在[1,+∞)上是单调函数. (1)求实数 m 的取值范围; (2)设向量 式 的 α 的取值范围.
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2

,求满足不等

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30. (2011?淄博二模)设 =(2cosx,1) , =(cosx, (1)若 f(x)=0 且 x∈[﹣ , ],求 x 的值.

sin2x) ,f(x)= ? ,x∈R.

(2)若函数 g(x)=cos(ωx﹣

)+k(ω>0,k∈R)与 f(x)的最小正周期相同,且 g(x)的图象过点(

,2) ,

求函数 g(x)的值域及单调递增区间.

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2014 年 06 月 14 日 1161622024 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共 30 小题) 1.证明三角恒等式 .

考点: 三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题. 分析: 证明的思路是化简左边式子,方法是利用 2 倍角公式和同角三角函数的基本关系,得到式子与右边相等即 可. 解答: 4 2 4 证明:左边=2sin x+ (2sinxcosx) +5cos x﹣cos(2x+x)cosx
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=2sin x+3sin xcos x+5cos x﹣(cos2xcosx﹣sin2xsinx)cosx 4 2 2 4 2 2 =2sin x+3sin xcos x+5cos x﹣[(2cos x﹣1)cosx﹣2sin xcosx]cosx 4 2 2 4 3 2 =2sin x+3sin xcos x+5cos x﹣[2cos x﹣cosx﹣2(1﹣cos x)cosx]cosx 4 2 2 4 3 =2sin x+3sin xcos x+5cos x﹣(4cos x﹣3cosx)cosx 4 2 2 4 2 =2sin x+3sin xcos x+cos x+3cos x 2 2 2 2 2 =(2sin x+cos x) (sin x+cos x)+3cos x 2 2 2 =2sin x+cos x+3cos x 2 2 =2+2cos x=2(1+cos x)=右边 点评: 考查学生理解三角函数恒等式的证明思路,运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力. 2.证明:cos3α=4cos α﹣3cosα. 考点: 三角函数恒等式的证明. 分析: 把 3α 化为 2α+α 的形式,用两角和的余弦公式分解,两边约分,移项,用同角的三角函数关系整理,原式 得证,本题可采用分析法来证. 解答: 解:要证 cos3α=4cos3α﹣3cosα 成立, 3 只要证 cos2αcosα﹣sin2αsinα=4cos α﹣3cosα 成立, 2 2 只要证 cos2α﹣2sin α=4cos α﹣3 成立, 2 只要证 cos2α=2cos α﹣1 成立, 而由余弦的二倍角公式知上式成立, 故原等式得证. 点评: 从一边开始证明它等于另一边, 一般由繁到简, 这类方法的依据是相等关系的传递性“a=b, b=c, 则 a=c”. 证 明左、右两边等于同一个式子.这类方法的依据是“等于同量的两个量相等”,即“a=c,b=c,则 a=b”,它可 由相等关系的传递性及对称性“a=b 则 b=a”推出.也可用分析法来证.
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4

2

2

4

3

3.已知:asinx+bcosx=0 ① ,Asin2x+Bcos2x=C C=0 考点: 三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题;压轴题.

② ,其中 a,b 不同时为 0,求证:2abA+(b ﹣a2)B+(a +b )

2

2

2

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www.jyeoo.com 分析: 可先 得证. 解答: 证明: 则① 可写成 cosysinx﹣sinycosx=0, ∴ sin(x﹣y)=0∴ x﹣y=kπ(k 为整数) , ∴ x=y+kπ 又 sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=

,通过① 可得 x=y+kπ,进而可求出 sin2x 和 cos2x 代入 ② 即可

cos2x=cos2y=cos y﹣sin y=

2

2

代入② ,


2 2 2 2



∴ 2abA+(b ﹣a )B+(a +b )C=0. 点评: 本题主要考查三角函数恒等式的证明.证明此类问题时应考虑:异名化同名,异角化同角,公式的正用、 逆用、变形用.

4.求证:cosx



考点: 三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题. 分析: 首先观察等式的两边可联想到要用三角函数倍角公式 sin2x=2sinxcosx, 然后把题中右边的 sin8x 一步步转化, 即可得到左边. 解答: 证明:由倍角公式 sin2x=2sinxcosx, 故 sin8x=2sin4xcos4x=4sin2xcos2xcos4x=8sinxcosxcos2xcos4x,
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所以 故

=cosx?cos2x?cos4x, .得证.

点评: 此题主要考查三角函数恒等式的证明问题,和对倍角公式 sin2x=2sinxcosx 的记忆和应用,在做此类题的时 候要注意分析等式两边的形式再求证. 5.已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.求证: (1)当 b≠时,tg3A= . (2) (1+2cos2A) =a +b . 考点: 三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题;压轴题. 分析: (1) 通过和差化积公式分别对 sinA+sin3A+sin5A 和 cosA+cos3A+cos5A 进行化简, 最后两式相除即可证明. (2)通过和差化积公式分别对 sinA+sin3A+sin5A 和 cosA+cos3A+cos5A 进行化简,两式分别平方后相加化 简后即可证明结论.
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2

2

2

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www.jyeoo.com 解答: 证明: (1)sinA+sin3A+sin5A=sinA+sin5A+sin3A =2sin cos +sin3A

=2sin3A?cos2A+sin3A=sin3A(1+2cos2A) , ∴ sin3A(1+2cos2A)=a ① 同理有 cos3A(1+2cos2A)=b ② 两式相除,即得 tan3A= (2)∵ 根据(1)sin3A(1+2cos2A)=a,① cos3A(1+2cos2A)=b,② ∴ ①+② 2 2 2 2 2 2 sin 3A(1+2cos2A) +cos 3A(1+2cos2A) =a +b , 2 2 2 2 2 ∴ (1+2cos2A) (sin 3A+cos 3A)=a +b , 2 2 2 ∴ (1+2cos2A) =a +b . 点评: 本题主要考查了三角函数恒等式的证明.证明此类题常涉及两角和公式、倍角公式、同角三角函数的关系 等.公式多、难度大故应在这方面多下功夫.
2 2

6. (1977?福建)证明:

考点: 三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题. 分析: 先根据正弦函数的二倍角公式进行化简,再由诱导公式将正弦转化为余弦函数,最后根据万能公式可得证. 解答: 证:左边=
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= = = =右边. 点评: 本题主要考查三角函数的二倍角公式、诱导公式的应用.考查公式的记忆情况.

7.已知

.求证:



考点: 三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题. 分析:

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先左减右并把正切用正弦以及余弦表示出来, 整理得到 1﹣2sin α﹣ 以及 sinθ?cosθ=sin β 消去 θ 即可得到结论.
2

2

; 再结合 sinθ+cosθ=2sinα

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www.jyeoo.com 解答: 证明:左减右得:

=



=cos α﹣sin α﹣

2

2

=1﹣2sin α﹣ ∵ sinθ+cosθ=2sinα
2

2

.① ②

sinθ?cosθ=sin β ③ 2 2 2 ∴ ②=1+2×③ 得:4sin α=1+2sin β,代入① 得:① 式等 0. 即左边等于右边. 故结论得证. 点评: 本题主要考查三角函数恒等式的证明.解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用. 8.证明:若是第四象限角,则 ﹣ =2tanα.

考点: 三角函数恒等式的证明;棱锥的结构特征. 专题: 证明题. 分析: 先把 分子分母同时乘以 1+sinα,整理求得
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,进而根据 α 所在的象限求得

= ,同理可求得 解答: 解: = 代入原式整理得 ﹣ =2tanα.

= =(1+sina)^2/[1﹣(sina)^2] = 因为 A 是第四象限的角 所以 cos>0 又因为 sinα<﹣1 所以 1+sina>0 所以 =

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www.jyeoo.com 同理 所以 = ﹣ = ﹣ =2

=2tanα 原式得证. 点评: 本题主要考查了三角函数恒等式的证明及同角三角函数基本关系的应用. 9.设△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, (1)求证: ;

,若 b=a?cos(A+B) .

(2)当 tanB 取最大值时,求 cotC 的值. 考点: 三角函数恒等式的证明;两角和与差的正切函数;正弦定理. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)根据正弦定理 = ,利用两角和的余弦函数公式及诱导公式化简 b=a?cos(A+B)得到即可;
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(2)把 tanB 变形,利用基本不等式求出最大值时 tanA 的值,然后利用两角和的正切公式求出 tan(A+B) , 利用诱导公式得到 tanC 即可得到 cotC. 解答: 解: (1)由正弦定理,sinB=sinA?(cosAcosB﹣sinAsinB)=sinA?cosA?cosB﹣sin AsinB?(1+sin A) sinB=sinA?cosAcosB? (2)
2 2

当且仅当



时,tanB 的最大值

此时,

∵ ∴ .

点评: 考查学生灵活运用正弦定理解决数学问题,灵活运用两角和与差的正切、余弦函数公式,会进行三角恒等 式的证明. 10. (2014?静安区一模)求证: (1)

(2)



考点: 三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题;三角函数的求值. 分析: (1)利用两角和与差的三角函数化简等式的左边,即可证明等式;
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www.jyeoo.com (2)利用表达式的左侧,分子分母同乘 sin1°,利用两角差的正弦函数展开分子,化简表达式求和即可证明 结果. 解答: 证明: (1)左= = = =tanα﹣tanβ= 右. ∴ ∴ 等式成立. (2) ∵ (n+1)°﹣tann°. ∴ 左= = = = = = ∴ ∴ 等式成立. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,同角三角函数的基本关系式的应用,三角恒等式的证明,解题要注意公式 的灵活运用. =右. = = =tan

11.试证:

=



考点: 三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题. 分析: 先把等式左边得正切换成正弦和余弦函数,进而利用两角和公式进行化简整理,进而把等式右边正切转化 成正余弦,利用二倍角公式化简整理,最后发现结果相同,进而可证明等式成立. 解答:
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证明:左边=

=

=

=

=cot



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右边=

=

=

=cot



∴ 原等式成立. 点评: 本题主要考查了三角函数恒等式的证明.考查了学生对三角函数的基本公式的灵活应用.

12.求证:



考点: 三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题. 分析: 将正切关系化为正余弦之比,然后通分,根据两角和与差的正弦公式化简,最后根据正弦函数的二倍角公 式可得证. 解答: 证明:要证 成立
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即证

成立,即

即证

成立

又因为 sin8x=2sin4xcos4x=4sin2xcos2xcos4x 所以左边= =4sin2x=右边

得证. 点评: 本题主要考查二倍角公式和同角三角函数的基本关系以及两角和与差的正弦公式.考查三角公式的记忆.

13.已知 a 为锐角,且 sina= .

(1)求

的值;

(2)求 tan(a﹣

)的值

考点: 三角函数的化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: (1)先利用同角三角函数的基本关系求得 cosα 和 tanα 的值,进而利用二倍角公式把 sin2α 展开,把 sinα 和 cosα 的值代入即可.
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(2)先利用诱导公式使 tan(α﹣ 即可求得答案.

)=tan(α﹣

) ,再利用正切的两角和公式展开后,把 tanα 的值代入

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www.jyeoo.com 解答: 解:∵ α 为锐角,且 sinα= ∴ cosα= ,tanα=

(1)∴

(2)tan(α﹣

)=tan(α﹣

)=

点评: 本题主要考查了三角函数的化简求值的问题.要求学生能灵活运用三角函数的基本公式.

14. (2013?绵阳模拟)已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的定义域及最大值; (2)求使 f(x)≥0 成立的 x 的取值集合. 考点: 三角函数的化简求值;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)根据函数 f(x)的解析式可得 cosx≠0,求得 x 的范围,从而求得函数 f (x)的定义域.再利用三角
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函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 (2)由题意得 求得满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合. 解答: 解: (1)根据函数 f(x)= 即函数 f (x)的定义域为 {x|x∈R,且 x≠kπ+ 又∵ (sin2x+cos2x)= ∴ (2)由题意得 解得 结合 x≠kπ+ ≤ ≤ . ≥0,即 ,k∈Z,整理得 ≤ , ≥0,即 ≤

,从而求得函数的最大值. ,解得 x 的范围,再结合函数的定义域,

,可得 cosx≠0,故 x≠kπ+ ,k∈Z}.

,k∈Z,

=1﹣



≤x≤kπ+π,k∈Z. ≤x<kπ+π,且 x≠kπ+ ,k∈Z}.

,k∈Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为 {x|

点评: 本题主要三角函数的恒等变换及化简求值,三角函数的图象和性质应用,属于中档题.

15. (2011?济南一模)已知



<θ<π. (1) 求 tanθ; (2) 求

的值.

考点: 三角函数的化简求值.

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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 分析: (1)由
2



<θ<π 结合同角平方关系可求 cosθ,利用同角基本关系

可求

(2)结合(1)可知 tanθ 的值,故考虑把所求的式子化为含“切”的形式,从而在所求的式子的分子、分母 同时除以 cos θ,然后把已知 tanθ 的值代入可求. 解答: 解: (1)∵ sin θ+cos θ=1, ∴ cos θ= 又 ∴
2 2 2



<θ<π,∴ cosθ= .

(2)

=



点评: (1)考查了同角平方关系,利用同角平方关系解题时一定要注意角度的取值范围,以确定所求值的符号. (2)考查了同角基本关系 在三角函数化简、求值中的应用.

16. (2010?无锡模拟)设 0<α<π,π<β<2π,若对任意的 x∈R,都有关于 x 的等式 cos(x+α) + 恒成立,试求 α,β 的值.

考点: 三角函数的化简求值;三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 利用两角和公式对题设等式整理,根据等式恒成立联立方程求得 cosα 的值,根据 α 的范围确定 α 的值,进 而根据 cosβ=sinα 求得 cosβ 的值,根据 β 的范围求得 β. 解答: 解:化简得:
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则:关于 x 的等式 cos(x+α)+

恒成立的充要条件是:

平方得:



又因为:0<α<π,所以: 所以: ,而 π<β<2π,所以:

点评: 本题主要考查了三角函数的最值问题,两角和公式的化简求值.考查了学生分析问题的能力,逻辑推理能 力. 17. (2009?丰台区二模)已知函数 f(x)=2sin2x?cos2x+cos 2x﹣sin 2x. , (I)求函数 f(x)的最小正周期; (II)若 0<x< ,当 f(x)= 时,求 的值.
2 2

考 三角函数的化简求值;三角函数的周期性及其求法. 点:

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www.jyeoo.com 专 计算题. 题: 分 (I)利用二倍角公式对函数解析式化简整理求得 f(x)= 析: 小正周期. (II)根据 f(x)=6 可求得 x 的集合,进而根据 x 的范围求得 4x+ 解 2 2 解: (I)f(x)=2sin2x?cos2x+cos 2x﹣sin 2x=sin4x+cos4x= 答: ∴ T= 函数 (II)由已知 =

,进而根据 T=

求得函数的最

,进而根据正切的两角和公式求得答案.

点 本题主要考查了利用二倍角公式和正切的两角和公式,函数的周期性等问题.考查了学生分析问题和基本的运 评: 算能力.

18. (2008?湖北模拟)已知



(1)求函数 f(x)值域; (2)若对任意的 a∈R,函数 y=f(x)在(a,a+π]上的图象与 y=1 有且仅有两个不同的交点,试确定 ω 的值(不必 证明)并写出该函数在[0,π]上的单调区间. 考点: 三角函数的化简求值;正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)利用三角函数的恒等变换化简 f(x)的解析式为
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,由正弦函数的值域从而得

到 f(x)值域. (2)由题意可得 f(x)周期为 π,求出 ω=1,从而得到 π]上的单调区间. 解答: 解: (1)f(x)= = = = = ∴ f(x)值域为[﹣1,3].
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,由此写出函数在[0,

(2 分)

. (6 分)

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www.jyeoo.com (2)由题意可得 f(x)周期为 π,∴ ω=1. (8 分) 故 f(x)在 、 故 , 上单调递减. (12 分)

上单调递增,在

点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的值域和单调性,化简函数 f(x)的解析式为 ,是解题的关键.

19. (2014?南通模拟)在△ ABC 中,已知 sinB+sinC=sinA(cosB+cosC) . (1)判断△ ABC 的形状; (2)若角 A 所对的边 a=1,试求△ ABC 内切圆半径的取值范围. 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)由已知等式利用正、余弦定理,化简,即可判断△ ABC 的形状;
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(2) 由△ ABC 为直角三角形, 知内切圆半径 r= 内切圆半径的取值范围. 解答: 解: (1)由已知等式利用正、余弦定理得 b+c=a( 整理得(b+c) (b +c ﹣a )=0, 2 2 2 ∴ b +c =a , ∴ △ ABC 为直角三角形,且∠ A=90°. (2)由△ ABC 为直角三角形, 知内切圆半径 r= ∵ sinB+sinB= ∴ 0<r≤ sin(B+ .
2 2 2

, 利用角 A 所对的边 a=1, 结合三角函数, 即可求△ ABC

) ,…(3 分)

…(6 分)

= (sinB+sinC﹣1)= (sinB+sinB﹣1) ,…(11 分) )≤ ,

…(14 分)

点评: 本题考查三角形的形状判断,考查正、余弦定理,考查辅助角公式,考查学生的计算能力,属于中档题. 20.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 A,B,C 成等差数列,△ ABC 的面积为 (1)求证:a,2,c,成等比数列; (2)求△ ABC 的周长 L 的最小值,并说明此时△ ABC 的形状. ,

考点: 三角形的形状判断;等差数列的通项公式;等比关系的确定. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由 A,B,C 成等差数列,利用等差数列的性质及三角形内角和定理求出 B 的度数,根据三角形面积 公式列出关系式,将 sinB 及已知面积代入求出 ac 的值为 4,即可得证; (2)利用余弦定理列出关系式,将 cosB 及 ac 的值代入,并利用基本不等式求出 b 的最小值,表示出周长, 即可求出三角形 ABC 周长最小时三角形的形状. 解答: 解(1)证明:∵ A、B、C 成等差数列,∴ B=60°, 又△ ABC 的面积为 ,
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∴ acsin60°= ∵ ac=2 ,
2

,即 ac=4,

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www.jyeoo.com ∴ a、2、c 成等比数列; 2 2 2 2 2 (2)在△ ABC 中,根据余弦定理,得 b =a +c ﹣2accos60°=a +c ﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4, ∴ b≥2,当且仅当 a=c 时,等号成立, ∴ △ ABC 的周长 L=a+b+c≥2 +b=4+b,当且仅当 a=c 时,等号成立, ∴ L≥4+2=6,当且仅当 a=c 时,等号成立, ∴ △ ABC 周长的最小值为 6, ∵ a=c,B=60°, ∴ 此时△ ABC 为等边三角形. 点评: 此题考查了三角形形状的判断,等差熟练的性质,以及等比关系的确定,熟练性质是解本题的关键. 21.在△ ABC 中,已知 sinB=cosAsinC. (Ⅰ )判定△ ABC 的形状; (Ⅱ )若 =9,△ ABC 的面积等于 6,求△ ABC 中∠ ACB 的平分线长.

考点: 三角形的形状判断;平面向量数量积的运算;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )在△ ABC 中,由已知 sinB=cosAsinC,可得 △ ABC 是直角三角形. (Ⅱ )由 以及

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,即 b +a =c ,可得

2

2

2

,求得 b 的值.再由△ ABC 的面积等于 6 求得 a=4,可得 c=5,



设∠ ACB 的平分线 CM 交 AB 边于 M,在△ AMC 中, 由正弦定理得 解答: 解: (Ⅰ )∵ 在△ ABC 中,已知 sinB=cosAsinC,可得 即 b +a =c ,故△ ABC 是直角三角形.…(5 分) (Ⅱ )由 ,得 bc?cosA=9,又 ,∴ b=3. (7 分) .
2 2 2

,由此求得 CM 的值.

, (4 分)

∵ △ ABC 的面积等于 6,即

,∴ a=4(9 分) ,可得 c=5,∴

设∠ ACB 的平分线 CM 交 AB 边于 M, 在△ AMC 中,由正弦定理得 , (10 分)∴ . (13 分)

点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,两个向量的数量积的定义,属于中档题. 22. (2004?虹口区一模)在△ ABC 中,记外接圆半径为 R. (1)求证:
2 2 2


2

(2)若(a +b )sin(A﹣B)=(a ﹣b )sin(A+B) ,试判断△ ABC 的形状. 考点: 三角形的形状判断;余弦定理.

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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 分析: (1) 先利用三角函数的和角公式化左边=2R (sinAcosB﹣cosAsinB) , 再利用余弦化成三角形边的关系即证. (2)由题设条件: :“(a +b )sin(A﹣B)=(a ﹣b )sin(A+B) ,”结合(1)的结论得 a =b 或 a +b =c , 从而得出该三角形是等腰三角形或直角三角形. 解答: 解: (1)左边=2R(sinAcosB﹣cosAsinB) (2 分) = Z(4 分)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

. (8 分)

(2)由题设得:
2 2 2 2 2

(10 分)

∴ a =b 或 a +b =c ,该三角形是等腰三角形或直角三角形. (12 分) 点评: 本小题主要考查余弦定理、正弦定理的应用、三角形的形状判断等基础知识,考查运算求解能力,考查与 转化思想.属于基础题. 23. (2012?丰台区一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asinB﹣bcosC=ccosB. (Ⅰ )判断△ ABC 的形状; (Ⅱ )若 f(x)=sinx+cosx,求 f(A)的最大值. 考点: 三角形的形状判断;三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (I)法一:由已知结合正弦定理对已知化简可求 B,进而可判断三角形的形状 法二:由已知结合余弦定理对已知化简可求 B,进而可判断三角形的形状 (II)由辅助角公式对已知函数 f(x)先化简,然后代入可求 f(A) ,结合(I)中的角 B 可求 A 的 范围, 然后结合正弦函数的性质即可求解 解答: 解: (Ⅰ ) (法 1)因为 asinB﹣bcosC=ccosB, 由正弦定理可得 sinAsinB﹣sinBcosC=sinCcosB. …(3 分) 即 sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB, 所以 sin(C+B)=sinAsinB. …(4 分) 因为在△ ABC 中,A+B+C=π, 所以 sinA=sinAsinB 又 sinA≠0,…(5 分)
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所以 sinB=1, 所以△ ABC 为

. 的直角三角形. …(6 分)

(法 2)因为 asinB﹣bcosC=ccosB, 由余弦定理可得 所以 asinB=a. 因为 a≠0,所以 sinB=1. 所以在△ ABC 中, 所以△ ABC 为 . 的直角三角形. …(6 分) ,…(4 分)

…(5 分)

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www.jyeoo.com (Ⅱ )因为 所以 因为△ ABC 是 所以 所以 所以 . 的直角三角形, ,…(10 分) ,…(11 分) . …(12 分) ,…(8 分) …(9 分)

即 f(A)的最大值为 . …(13 分) 点评: 本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用,其中正弦函数性质的灵活应用 是求解(II)的关键 24. (2013?重庆)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a +b + (1)求 C; (2)设 cosAcosB= , = ,求 tanα 的值.
2 2

ab=c .

2

考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理表示出 cosC,将已知等式变形后代入求出 cosC 的值,由 C 为三角形的内角,利用特殊 角的三角函数值即可求出 C 的度数; (2)已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦 化切,利用多项式乘多项式法则计算,由 A+B 的度数求出 sin(A+B)的值,进而求出 cos(A+B)的值, 利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos(A+B) ,将 cosAcosB 的值代入求出 sinAsinB 的值,将各自的值代 入得到 tanα 的方程,求出方程的解即可得到 tanα 的值. 2 2 2 2 2 2 解答: 解: (1)∵ a +b + ab=c ,即 a +b ﹣c =﹣ ab,
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∴ 由余弦定理得:cosC= 又 C 为三角形的内角, 则 C= ;

=

=﹣



(2)由题意 = = ,

∴ (cosA﹣tanαsinA) (cosB﹣tanαsinB)=
2


2

即 tan αsinAsinB﹣tanα(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosB=tan αsinAsinB﹣tanαsin(A+B)+cosAcosB= ∵ C= ,A+B= ,cosAcosB= ,



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www.jyeoo.com ∴ sin(A+B)= ∴ tan α﹣
2

,cos(A+B)=cosAcosB﹣sinAsinB= tanα+ = ,即 tan α﹣5tanα+4=0,
2

﹣sinAsinB=

,即 sinAsinB=



解得:tanα=1 或 tanα=4. 点评: 此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解 本题的关键. 25. (2013?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsinA=3csinB,a=3, (Ⅰ ) 求 b 的值; (Ⅱ ) 求 的值.



考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦; 正弦定理. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ ) 直接利用正弦定理推出 bsinA=asinB,结合已知条件求出 c,利用余弦定理直接求 b 的值; (Ⅱ ) 利用(Ⅰ )求出 B 的正弦函数值,然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值,利用两角差的正弦函
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数直接求解 解答:

的值. ,可得 bsinA=asinB,

解: (Ⅰ )在△ ABC 中,有正弦定理

又 bsinA=3csinB,可得 a=3c,又 a=3,所以 c=1. 由余弦定理可知:b =a +c ﹣2accosB, 即 b =3 +1 ﹣2×3×cosB, 可得 b= . (Ⅱ )由 ,可得 sinB=
2 2 2 2 2 2 2





所以 cos2B=2cos B﹣1=﹣ , sin2B=2sinBcosB= 所以 , = = = .

点评: 本题考查余弦定理,正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数,两角和与差的三角函数,同角三角函数 的基本关系式的应用,考查计算能力. 26. (2013?江西)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 C= ,求 的值.

考点: 余弦定理;等差数列的通项公式. 专题: 解三角形. 分析: (1)由条件利用二倍角公式可得 sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B,再由正弦定理可得 ab+bc=2b2,即 a+c=2b, 由此可得 a,b,c 成等差数列.
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www.jyeoo.com (2)若 C= 由此可得 ,由(1)可得 c=2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a) =a +b ﹣2ab?cosC,化简可得 5ab=3b , 的值.
2 2 2 2

解答: 解: (1)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ∵ 已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1, ∴ sinAsinB+sinBsinC=2 sin B. 2 再由正弦定理可得 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数列. (2)若 C= ,由(1)可得 c=2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a) =a +b ﹣2ab?cosC=a +b +ab.
2 2 2 2 2 2 2

化简可得 5ab=3b ,∴ = . 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题. 27.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ )求 B 的大小; (Ⅱ )求 cosA+sinC 的取值范围. 考 正弦定理;正弦函数的定义域和值域. 点: 专 计算题. 题: 分 (1)先利用正弦定理求得 sinB 的值,进而求得 B. 析:(2)把(1)中求得 B 代入 cosA+sinC 中利用两角和公式化简整理,进而根据 A 的范围和正弦函数的性质求得 cosA+sinC 的取值范围. 解 解: (Ⅰ )由 a=2bsinA,根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA, 答: 所以 ,
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由△ ABC 为锐角三角形得 (Ⅱ )



= . 由△ ABC 为锐角三角形知,0<A< 所以 由此有 所以,cosA+sinC 的取值范围为 . , . . ,

=

=

点 本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用.涉及了正弦函数的性质,考查了学生对三角 评:函数知识的把握.

28. (2012?卢湾区一模)已知 、 是两个不共线的非零向量.
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(1)设

www.jyeoo.com , , (t∈R) , ,当 A、B、C 三点共线时,求 t 的值. 上一动点, 设

(2) 如图, 若

, 与 夹角为 120°, | |=| |=1, 点 P 是以 O 为圆心的圆弧

(x,y∈R) ,求 x+y 的最大值.

考点: 平面向量的综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)利用向量共线定理,及已知向量建立等式,利用平面向量基本定理,即可得到结论; (2)建立坐标系,用三角函数确定 x+y,再利用辅助角公式,即可得到结论. 解答: 解: (1)由题意,A、B、C 三点共线,可设 , (2 分)
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∵ ∴ ∴

, , =

(t∈R) , ,



∴ k=﹣3,t= . (6 分) (2)以 O 为原点,OD 为 x 轴建立直角坐标系,则 D(1,0) ,E(﹣ , 设∠ POD=α (0≤α x=cosα+ 于是 x+y=cosα+ 故当 α= ) , 则P (cosα, sinα) , 由 , (10 分) =2sin(α+ ) , ) . , 于是 y= ,

, 得 cosα=x﹣ y, sinα=

时,x+y 的最大值为 2. (14 分)

点评: 本题考查向量知识的综合运用,考查三角函数知识,解题的关键是掌握向量共线定理,正确运用三角函数 知识,属于中档题. 29. (2012?安徽模拟)已知函数 f(x)=x ﹣mx 在[1,+∞)上是单调函数. (1)求实数 m 的取值范围;
2

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www.jyeoo.com (2)设向量 式 的 α 的取值范围. ,求满足不等

考点: 平面向量的综合题;二次函数的性质. 专题: 综合题. 分析: 2 (1)根据函数 f(x)=x ﹣mx 在[1,+∞)上是单调函数,可得 x= ≤1,从而可求实数 m 的取值范围;
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(2) 由 (1) 知, 函数 f (x) =x ﹣mx 在[1, +∞) 上是单调增函数, 由已知不等式, 可得 2﹣cos2α>cos2α+3, 从而可求 α 的取值范围为.
2 解答: 解: (1)∵ 函数 f(x)=x ﹣mx 在[1,+∞)上是单调函数

2

∴ x= ≤1 ∴ m≤2 ∴ 实数 m 的取值范围为(﹣∞,2]; (2)由(1)知,函数 f(x)=x ﹣mx 在[1,+∞)上是单调增函数 ∵ ∵ ∴ 2﹣cos2α>cos2α+3 ∴ cos2α< ∴ ∴ α 的取值范围为 . ,
2

点评: 本题考查函数的单调性,考查求解不等式,解题的关键是利用单调性确定参数的范围,将抽象不等式转化 为具体不等式.

30. (2011?淄博二模)设 =(2cosx,1) , =(cosx, (1)若 f(x)=0 且 x∈[﹣ , ],求 x 的值.

sin2x) ,f(x)= ? ,x∈R.

(2)若函数 g(x)=cos(ωx﹣

)+k(ω>0,k∈R)与 f(x)的最小正周期相同,且 g(x)的图象过点(

,2) ,

求函数 g(x)的值域及单调递增区间. 考点: 平面向量的综合题;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)根据向量数量积的坐标公式,结合三角恒等变换化简得 f(x)=2sin(2x+
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)+1.由此解 f(x)=0

得出 sin(2x+

)=﹣ ,再由 x 的范围即可算出 x=﹣

; ,2)在 g(x)图象上,代入表达式解出

(2)g(x)与 f(x)的最小正周期相同,可得 ω=2.再由(

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www.jyeoo.com k=1,得到 g(x)=cos(2x﹣ 间. 解答: 解: (Ⅰ )f(x)= ? =2cos x+ =1+cos2x+ sin2x=2sin(2x+
2

)+1,结合三角函数的图象与性质,即可得出 g(x)的值域及单调递增区

sin2x )+1 …(3 分) )=﹣ ,…(4 分) …(5 分) …(6 分) )+1,

由 f(x)=0,得 2sin(2x+ 又∵ x∈[﹣ ∴ 2x+ =﹣ , ],∴ ﹣

)+1=0,可得 sin(2x+ ≤2x+ ≤

,可得 x=﹣

(Ⅱ )由(Ⅰ )知,f(x)=2sin(2x+

因为 g(x)与 f(x)的最小正周期相同,所以 ω=2,…(7 分) 又∵ g(x)的图象过点( ,2) ,∴ cos(2× ﹣ )+k=2,

由此可得 1+k=2,解得 k=1,…(8 分) ∴ g(x)=cos(2x﹣ 2kπ﹣π≤2x﹣ ∴ kπ﹣ )+1,其值域为[0,2],…(9 分)

≤2kπ, (k∈Z)…(10 分) , (k∈Z) ,…(11 分) ,kπ+ ], (k∈Z) .…(12 分)

≤x≤kπ+

所以函数的单调增区间为[kπ﹣

点评: 本题给出三角函数表达式,求参数的值并求函数表达式、求函数的值域与单调区间.着重考查了三角函数 的图象与性质、向量数量积运算和函数的值域等知识,属于中档题.

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