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2014年苏锡常镇四市高三3月一模


2014 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一) 数学Ⅰ试题 命题单位:常州市教育科学研究院 2014.3

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后请将答题卡交回. 2.答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整笔迹清楚. 4.如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式: 柱体的体积公式:V 柱体= Sh ,其中 S 是柱体的底面积,h 是高. 直棱柱的侧面积公式:S 直棱柱侧=ch,其中 c 是直棱柱的底面周长,h 是高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?m, 4,7? ,若 A ? B ? ?1, 4? ,则 A ? B ? 2.若复数 z =
1 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 | z | = 1? i



. 开始



. ▲ .

3.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则实数 m 的值为 m 8

x ← 1 y ← 1 x≤5 Y y ← 2y ? 1 N 输出 y 结束

4.一个容量为 20 的样本数据分组后,分组与频数分别如下:?10, 20? ,2; ,3; ? 30, 40? ,4; ? 40,50? ,5; ? 50,60? ,4; ? 60,70? ,2.则 ? 2 0 , 3? 0 样本在 ?10,50? 上的频率是 ▲ . 5.执行如图所示的算法流程图,则最后输出的 y 等于 ▲ . ▲ .

6.设函数 f ( x) ? a sin x ? x 2 ,若 f (1) ? 0 ,则 f (?1) 的值为

x ← x ? 1 Y
(第 5 题)

7.四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PA⊥底面 ABCD 且 PA = 4,则 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ▲ .

8.从甲,乙,丙,丁 4 个人中随机选取两人,则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为





高三数学Ⅰ 第 1 页(共 4 页)

9.已知 tan(a ? b ) ?

p? 2 1 ? , tan b ? ,则 tan ? a + ? 的值为 4? 5 3 ?



. ▲ .

10.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?3 , ak ?1 ? 11.已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 2 ,则
x ? 8y 的最小值为 xy

3 , Sk ? ?12 ,则正整数 k = 2





??? ? ???? ??? ? ???? 12. 如图, 在△ABC 中, BO 为边 AC 上的中线, 设 CD ∥ AG , BG ? 2GO ,

B

???? 1 ??? ? ???? 若 AD ? AB ? ? AC (? ? R) ,则 ? 的值为 5





? (2 x ? x 2 )e x , x ≤ 0, 13. 已知函数 f ( x) ? ? 2 若函数 g ( x) 恰 g ( x) ? f ( x) ? 2k , ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0,

G

D
C

有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围为





A

O
(第 12 题)

14 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 P(3,0) 在 圆

动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A, B 两点, 若△ABC 的面积的最大 C : x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 28 ? 0 内, 值为 16 ,则实数 m 的取值范围为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 6cos2 x ? 2 3 sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)在锐角△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( B) ? 0 且 b ? 2 , cos A ?

4 ,求 a 和 sin C . 5

16. (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 AA1 B1 B 为菱形, 且
?A1 AB ? 60? , AC ? BC , D 是 AB 的中点.
C1

B1

A1

(1)求证:平面 A1 DC ? 平面 ABC ; (2)求证: BC1 ∥平面 A1 DC .
B D A

C
(第 16 题)

高三数学Ⅰ 第 2 页(共 4 页)

17. (本小题满分 14 分) 一个圆柱形圆木的底面半径为 1m,长为 10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中 一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形 ABCD (如图所示,其中 O 为圆心, ,设 ?BOC ? q ,木梁的体积为 V(单位:m3) ,表面积为 S(单位:m2) . C , D 在半圆上) (1)求 V 关于 θ 的函数表达式; (2)求 q 的值,使体积 V 最大; (3)问当木梁的体积 V 最大时,其表面积 S 是否也最大?请说明理由.

D

C

θ A O
(第 17 题)

B

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A , B , C 是椭圆
A(3 2,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上不同的三点, a 2 b2

3 2 ) , B(?3, ?3) , C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 OA 上. 2
y

(1)求椭圆的标准方程; (2)求点 C 的坐标; (3)设动点 P 在椭圆上(异于点 A , B , C )且 直线 PB,PC 分别交直线 OA 于 M , N 两点,
???? ? ???? 证明 OM ? ON 为定值并求出该定值.
M C B N

A O x P

(第 18 题)

高三数学Ⅰ 第 3 页(共 4 页)

19. (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn, 已知 a1 ? 1 , 且 (Sn?1 ? ? )an ? (Sn ? 1)an?1 对一切 n ? N * 都 成立. (1)若 λ = 1,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 λ 的值,使数列 ?an ? 是等差数列.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ? (1)求 g ( x) 的极值; (2)设 m ? 1, a ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ? [3, 4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 最小值; (3)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0,e] ,在区间 (0, e] 上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使得 f (t1 ) ? f (t2 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围.
1 1 恒成立,求 a 的 ? g ( x2 ) g ( x1 )

ex ,其中 m,a 均为实数. ex

高三数学Ⅰ 第 4 页(共 4 页)


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