tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】2015届高考数学第一轮复习 第八章 立体几何章末检测 新人教A版


第八章

章末检测

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2013· 山东)在空间中,下列命题正确的是( ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 2.(2013· 聊城模

拟)设 m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面,有以下四个命题: ? α∥β? α⊥β ? ? ??β∥γ; ② ??m⊥β; ① ? ? α∥γ ? m∥α? m⊥α? m∥n? ? ? ??α⊥β; ④ ??m∥α. ? ? m∥β? n?α ? 其中真命题的序号是( ) A.①④ B.②③ C.①③ 3.(2013· 福建) ③

D.②④

如图, 若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几 何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则 下列结论中不正确的是( ) A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.Ω 是棱台 4.正四面体的内切球与外接球的半径之比为( ) A.1∶3 B.1∶9 C.1∶27 D.1∶81 5.(2013· 广东)如图所示,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和 俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( )

A.6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3 6. (2013· 舟山月考)若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 则这个圆柱的全面积与侧面 积的比为( )
1

1+2π A. 2π 7.

1+π B. 4π

1+2π C. π

1+π D. 2π

如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平 面 ABC1D1 的距离为( ) 1 2 A. B. 2 4 2 3 C. D. 2 2 8.(2013· 四川)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 9.(2013· 临沂模拟)某几何体的三视图如图,则该几何体的体积的最大值为( )

1 1 2 1 A. B. C. D. 6 3 3 2 10.设 P 是 60° 的二面角 α—l—β 内一点,PA⊥平面 α,PB⊥平面 β,A、B 分别为垂足, PA=4,PB=2,则 AB 的长是( ) A.2 3 B.2 5 C.2 7 D.4 2 11.正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面三角形的边长是 a,D,E 分别是 BB1,CC1 上的点, 且 EC=BC=2BD,则平面 ADE 与平面 ABC 的夹角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 12.(2013· 丽水月考)

π π 如图所示,平面 α⊥平面 β,A∈α,B∈β,AB 与两平面 α、β 所成的角分别为 和 .过 A、 4 6 B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A′、B′,则 AB∶A′B′等于( ) A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2

13 .如图,是△ AOB 用斜二测画法画出的直观图△ A′O′B′,则△ AOB 的面积是 ________.

14.

如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,G,H,N 分别是棱 CC1,C1D1,D1D, DC,BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则点 M 只需满足条件________时, 就有 MN∥平面 B1BDD1. 15.(2013· 上海)若圆锥的侧面积为 2π,底面面积为 π,则该圆锥的体积为________. 16.(2013· 阳江月考)正四棱锥 S—ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的 中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 6π 17.(10 分)有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 5、圆心角为 的扇形,在这个圆锥 5 中内接一个高为 x 的圆柱. (1)求圆锥的体积; (2)当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大?

18.(12 分)已知在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=3,沿对角线 AC 折叠,使面 ABC 与面 ADC 垂直,求 B、D 间的距离.

3

19.(12 分)(2013· 陕西)如图,在△ABC 中,∠ABC=60° ,∠BAC=90° ,AD 是 BC 上的 高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90° . (1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; → → (2)设 E 为 BC 的中点,求AE与DB夹角的余弦值.

20.(12 分)(2013· 广州模拟)

如图,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于 A,B 的任意 一点,A1A=AB=2. (1)求证:BC⊥平面 AA1C; (2)求三棱锥 A1—ABC 的体积的最大值.

4

21.(12 分)(2013· 重庆)如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC⊥平面 ACD,AB⊥BC,AD =CD,∠CAD=30° . (1)若 AD=2,AB=2BC,求四面体 ABCD 的体积. (2)若二面角 C-AB-D 为 60° ,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值.

22.(12 分)(2013· 北京)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是 菱形,AB=2,∠BAD=60° . (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

第八章 章末检测 1.D 2.C 3.D 4.A 5.B [由三视图可还原几何体的直观图如图所示.

此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为 3,高为 3的平行六面体,所 求体积 V=3×3× 3=9 3.] 6.A 7.B 8.B [当 l1⊥l2,l2⊥l3 时,l1 也可能与 l3 相交或异面,故 A 不正确;l1⊥l2,l2∥l3?l1
5

⊥l3,故 B 正确;当 l1∥l2∥l3 时,l1,l2,l3 未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 不正确; l1,l2,l3 共点时,l1,l2,l3 未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故 D 不正确.] 9.D 10.C 11.B 12.A 3 13.16 14.M∈线段 FH 15. π 16.30° 3 17.解 (1)因为圆锥侧面展开图的半径为 5,所以圆锥的母线长为 5.设圆锥的底面半径 为 r, 6π 则 2πr=5× ,解得 r=3.(2 分) 5 所以圆锥的高为 4. 1 从而圆锥的体积 V= πr2×4=12π.(4 分) 3

(2)右图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形. 设圆柱的底面半径为 a, 3-a x 3 则 = ,从而 a=3- x.(6 分) 3 4 4 3 圆柱的侧面积 S(x)=2π(3- x)x 4 3 3 = π(4x-x2)= π[4-(x-2)2](0<x<4). 2 2 (8 分) 当 x=2 时,S(x)有最大值 6π. 所以当圆柱的高为 2 时, 圆柱有最大侧面积为 6π.(10 分) 18.解 方法一 如图,过 D、B 分别作 DE⊥AC 于点 E,BF⊥AC 于点 F,则由已知条 件得 AC=5, AD· DC 12 AB· BC 12 ∴DE= = ,BF= = . AC 5 AC 5 2 AD 9 ∴AE= = =CF. AC 5 7 ∴EF=AC-2AE= .(3 分) 5 → → → → ∵DB=DE+EF+FB, → → → → ∴|DB|2=|DE+EF+FB|2 → → → → → → → → → =DE2+EF2+FB2+2DE· EF+2DE· FB+2EF· FB.(6 分) ∵面 ADC⊥面 ABC,而 DE⊥AC, ∴DE⊥面 ABC,∴DE⊥BF.(8 分) → → → → 144 49 144 337 ∴|DB|2=DE2+EF2+FB2= + + = . 25 25 25 25 337 337 → ∴|DB|= ,故 B、D 间的距离为 .(12 分) 5 5 方法二

6

同方法一,过 E 作 FB 的平行线交 AB 于 P 点,以 E 为坐标原点,以 EP、EC、ED 所在 12 7 直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,如图.则由方法一知 DE=FB= ,EF= .(4 5 5 分) 12? ?12 7 ? ∴D? ?0,0, 5 ?,B? 5 ,5,0?.(6 分) 12?2 ?7?2 ? 12?2 337 → ∴|DB|= ? ? 5 ? +?5? +?- 5 ? = 5 . (12 分) 19.(1)证明 ∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB.(2 分) 又 DB∩DC=D,∴AD⊥平面 BDC.(4 分) ∵AD?平面 ABD, ∴平面 ADB⊥平面 BDC.(6 分)

由∠BDC=90° 及(1),知 DA,DB,DC 两两垂直.不妨设 DB=1,以 D 为坐标 → → → 原点, 分别以DB, DC, DA所在直线为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 易得 D(0,0,0), 1 3 B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0, 3),E( , ,0),(9 分) 2 2 1 3 → → ∴AE=( , ,- 3),DB=(1,0,0),(10 分) 2 2 1 → → 2 AE· DB 22 → → → → ∴AE与DB夹角的余弦值为 cos〈AE,DB〉= = = .(12 分) → → 22 22 |AE|· |DB| 1× 4 20.(1)证明 ∵C 是底面圆周上异于 A,B 的任意一点,且 AB 是圆柱底面圆的直径, ∴BC⊥AC. ∵AA1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴AA1⊥BC.(4 分) ∵AA1∩AC=A,AA1?平面 AA1C, AC?平面 AA1C,∴BC⊥平面 AA1C.(5 分) (2)解 设 AC=x,在 Rt△ABC 中, BC= AB2-AC2= 4-x2 (0<x<2),(7 分) 1 11 故 VA1—ABC= S△ABC· AA1= · · AC· BC· AA1 3 32 1 = x 4-x2 (0<x<2),(9 分) 3 1 即 VA1—ABC= x 4-x2 3

(2)解

7

1 2 1 x ?4-x2?= -?x2-2?2+4. 3 3 2 ∵0<x<2,0<x <4,∴当 x2=2,即 x= 2时, 2 三棱锥 A1—ABC 的体积最大,最大值为 . 3 (12 分) 21. =

① (1)解 如图①,设 F 为 AC 的中点,连接 DF,由于 AD=CD,所以 DF⊥AC.故由平面 ABC⊥平面 ACD, 知 DF⊥平面 ABC, 即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高, 且 DF=ADsin 30° =1,AF=ADcos 30° = 3.(2 分) 2 15 4 15 在 Rt△ABC 中, 因为 AC=2AF=2 3, AB=2BC, 由勾股定理易知 BC= , AB= , 5 5 (4 分) 1 1 1 4 15 2 15 4 故四面体 ABCD 的体积 V= · S · DF= × × × ×1= .(6 分) 3 △ABC 3 2 5 5 5 (2)解 方法一 如图①,设 G,H 分别为边 CD,BD 的中点,连接 FG,FH,HG,则 FG∥AD,GH∥BC,从而∠FGH 是异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角.(7 分) 设 E 为边 AB 的中点,连接 EF,则 EF∥BC, 由 AB⊥BC,知 EF⊥AB. 又由(1)有 DF⊥平面 ABC,故由三垂线定理知 DE⊥AB. 所以∠DEF 为二面角 C-AB-D 的平面角.由题设知∠DEF=60° .(9 分) a 设 AD=a,则 DF=AD· sin∠CAD= . 2 a 3 3 在 Rt△DEF 中,EF=DF· cot∠DEF= · = a, 2 3 6 1 3 从而 GH= BC=EF= a. 2 6 因为 Rt△ADE≌Rt△BDE,故 BD=AD=a, 1 a 从而,在 Rt△BDF 中,FH= BD= .(10 分) 2 2 1 a 又 FG= AD= ,从而在△FGH 中,因 FG=FH, 2 2 FG2+GH2-FH2 GH 3 由余弦定理得 cos∠FGH= = = . 2FG· GH 2FG 6 3 因此,异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 .(12 分) 6

② 方法二 如图②,过 F 作 FM⊥AC,交 AB 于 M.已知 AD=CD,平面 ABC⊥平面 ACD, 易知 FC,FD,FM 两两垂直,以 F 为原点,射线 FM,FC,FD 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正 半轴,建立空间直角坐标系 F-xyz.(7 分) 不妨设 AD=2,由 CD=AD,∠CAD=30° ,易知点 A,C,D 的坐标分别为 A(0,- 3,
8

→ 0),C(0, 3,0),D(0,0,1),则AD=(0, 3,1). 显然向量 k=(0,0,1)是平面 ABC 的法向量. 已知二面角 C-AB-D 为 60° ,故可取平面 ABD 的单位法向量 n=(l,m,n),使得〈n, 1 k〉=60° ,从而 n= . 2 3 → 由 n⊥AD,有 3m+n=0,从而 m=- . 6 6 由 l2+m2+n2=1,得 l=± . 3 x +y =3, ? ? 6 → → → 设点 B 的坐标为(x,y,0),由AB⊥BC,n⊥AB,取 l= ,有? 6 3 3 ? ? 3 x- 6 ?y+ 3?=0,
2 2

?x=4 9 6, 解得? 7 3 ?y= 9 ,
易知 l=-

?x=0, 或? (舍去). ?y=- 3

6 与坐标系的建立方式不合,舍去. 3 4 6 7 3 因此点 B 的坐标为( , ,0).(10 分) 9 9 2 3 3×?- ? → → 9 2 3 AD· CB → 4 6 → → 所以CB=( , - , 0), 从而 cos 〈AD, CB〉 = = 9 9 → → 4 62 2 32 |AD||CB| 3+1 ? ? +?- ? 9 9 3 =- . 6 3 故异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为 .(12 分) 6 22.(1)证明 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 所以 BD⊥平面 PAC.(3 分) (2)解 设 AC∩BD=O,

因为∠BAD=60° ,PA=AB=2, 所以 BO=1,AO=CO= 3. 如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 P(0,- 3,2),A(0,- 3, 0),B(1,0,0),C(0, 3,0).(6 分) → 所以PB=(1, 3,-2), → AC=(0,2 3,0). 设 PB 与 AC 所成角为 θ,则 → →? ? PB · AC 6 6 cos θ=? = = .(6 分) → → ? 2 2×2 3 4 ?|PB||A C |?

9

→ 由(2)知BC=(-1, 3,0). → 设 P(0,- 3,t)(t>0),则BP=(-1,- 3,t). 设平面 PBC 的法向量 m=(x,y,z), → → 则BC· m=0,BP· m=0. (3)解

?-x+ 3y=0, 所以? ?-x- 3y+tz=0.
6 6 令 y= 3,则 x=3,z= .所以 m=(3, 3, ). t t 6 同理,平面 PDC 的法向量 n=(-3, 3, ). t (10 分) 因为平面 PBC⊥平面 PDC, 36 所以 m· n=0,即-6+ 2 =0, t 解得 t= 6.所以 PA= 6.(12 分)

10


推荐相关:

【步步高】2015届高考数学第一轮复习 第八章 立体几何章末检测 新人教A版

【步步高】2015届高考数学第一轮复习 第八章 立体几何章末检测 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第八章 章末检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择...


2015届高考数学(理)一轮复习单元测试第八章立体几何新人教A版

2015届高考数学(理)一轮复习单元测试第八章立体几何新人教A版_高考_高中教育_...V3 ? V1 ? V4 () 11、 (安徽省马鞍山市 2013 届高三三次教学质量检测...


【步步高】2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)专题四 高考中的立体几何问题文档强练 文 新人教A版

【步步高】2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)专题四 高考中的立体几何问题文档强练 文 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。专题四 高考中的立体几何问题 1...


【创新设计】(全国通用)2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何阶段滚动检测 理 新人教A版

【创新设计】(全国通用)2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何阶段滚动检测新人教A版_数学_高中教育_教育专区。阶段滚动检测(八) (建议用时:40 分钟) ...


【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测:第八章 立体几何

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测:第八章 立体几何_数学_高中教育_教育专区。第八章 章末检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、...


【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第7讲 立体几何中的向量方法(一)(含解析)新人教A版

第7 讲 立体几何中的向量方法(一)一、选择题 1.直线 l1,l2 相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0) B....


2015届高考数学(理)一轮复习单元测试第八章立体几何

2015届高考数学(理)一轮复习单元测试第八章立体几何_数学_高中教育_教育专区。...2) ) 4.【天津市新华中学 2013 届高三三次月考理】设 a , b 是两条...


【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第8讲 立体几何中的向量方法(二)(含解析)新人教A版

【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第8立体几何中的向量方法(二)(含解析)新人教A版_英语_高中教育_教育专区。第 8立体几何中的向量方法(...


【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第8讲 立体几何中的向量方法(二)(含解析)新人教A版

【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第8立体几何中的向量方法(二)(含解析)新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第 8立体几何中的向量方法(...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com