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数学《3.3.2函数的极值与导数》学案(第2课时) 新人教版选修1-1


3.3.2 函数的极值与导数(第 2 课时)
[自学目标]: 1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义; 2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用. [重点]: 极大、极小值的概念和判别方法。 [难点]: 严格套用求极值的步骤 [教材助读] 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有________我们 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0);如果对 x0 附近的所有的点,都有 ________,我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0). 利用导数判别函数的极大(小)值: 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时,判别 f(x0)是极大(小)值的 方法是: ⑴如果在 x0 附近的左侧 f '(x)>0,右侧 f '(x)<0,那么,f(x0)是________ ⑵如果在 x0 附近的左侧 f '(x)<0,右侧 f '(x)>0,那么,f (x0)是________ 注意:导数为 0 的点不一定是极值点. [预习自测] 1.函数 y=f(x)的导数 y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数 y/由负变正,则函数 y 由减变为增,且有极大值 B、导数 y/由负变正,则函数 y 由增变为减,且有极大值 C、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极小值 D、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极大值 2.求函数 y ? x e
2 ?x

的极值

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂上与老师和同学探 究解决。

-1-

[合作探究 展示点评] 探究一:极值点两侧导数正负符号有何规律? 1.求 f ? x ? ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值 3
–2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞)

填写下表并求极值

x

(–∞, –2)

f '( x)
f (x)

探究二:极值点处导数值(即切线斜率)有何特点? 2 3 2.求 y=(x -1) +1 的极值

[当堂检测] 1.求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2
2

(2) f ( x) ? x ? 27 x
3

(3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x

3

(4) f ( x) ? 3x ? x

3

-2-

2.已知

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx(a ? 0) 在 x=±1 时取得极值,且 f(1)=-1,

(1)试求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x=±1 时函数取得极小值还是极大值,并说明理由.

[拓展提升] 1. 函数

f ( x) ? a ln x ? bx 2 ? 3x 的极值点为 x1 ? 1 ,x2 ? 2 , a ? 则
3 2

, ? b



★2.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 2bx 在 x ? 1 处有极小值 ?1 ,试求 a, b 的值,并求出 f ( x) 的 单调区间.

★★3.已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C ? 25000 ? 200 x ?

1 2 x (元) ,问: (1)要使平 40

均成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少 件产品?

-3-



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