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2.2.1曲线的参数方程


第二讲

曲线的参数方程

1、参数方程的概念: 、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时时机呢? 时时机呢?
提示: 提示: 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时,开始投放物资? 多远时,开始投放物资?

投放点



救援点

1、参数方程的概念: 、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢? 时机呢?
物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: 物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: 作初速为100m/s的匀速直线运动; 的匀速直线运动; (1)沿ox作初速为 ) 作初速为 的匀速直线运动 反方向作自由落体运动。 (2)沿oy反方向作自由落体运动。 ) 反方向作自由落体运动

y 500

o

x

1、参数方程的概念: 、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢? 时机呢?

y 500

解:物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x,

o

? x = 100t , ? ? 1 2 y = 500 ? gt .(g=9.8m/s2 ) ? 2 ? 令y = 0, 得t ≈ 10.10 s. x 代入x = 100t , 得 x ≈ 1010m. 所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,

垂直高度为y,所以

可以使其准确落在指定位置.

个变量, 一、方程组有3个变量,其中的 表示点的 方程组有 个变量 其中的x,y表示点的 坐标,变量t叫做参变量 而且x,y分别是 叫做参变量, 分别是t的 坐标,变量 叫做参变量,而且 分别是 的 函数。 函数。 二、由物理知识可知,物体的位置由时间t唯 由物理知识可知,物体的位置由时间 唯 一决定,从数学角度看,这就是点M的坐标 一决定,从数学角度看,这就是点 的坐标 x,y由t唯一确定,这样当 在允许值范围内连 唯一确定, 由 唯一确定 这样当t在允许值范围内连 续变化时, 的值也随之连续地变化 的值也随之连续地变化, 续变化时,x,y的值也随之连续地变化,于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。 就可以连续地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对( )之间有一一对应关系。 的有序实数对(x,y)之间有一一对应关系。

1、参数方程的概念: 、参数方程的概念:
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的 坐标x, 都是某个变数 都是某个变数t的函数 坐标 y都是某个变数 的函数 ? x = f (t ), ? y = g (t ). (2) ? 并且对于t的每一个允许值 由方程组(2) 的每一个允许值, 并且对于 的每一个允许值 由方程组 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的 都在这条曲线上, 都在这条曲线上 那么方程(2) 参数方程, 联系变数x,y的变数 叫做参变数, 简称参数. 的变数t叫做参变数 参数方程 联系变数 的变数 叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言, 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明: 参数是联系变数x,y的桥梁 的桥梁, 关于参数几点说明: 参数是联系变数 的桥梁 1. 参数方程中参数可以是有物理意义 几何意义 也可以没有明 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 显意义。 显意义。 2.同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样 同一曲线选取参数不同, 同一曲线选取参数不同 3.在实际问题中要确定参数的取值范围 在实际问题中要确定参数的取值范围

变式: 变式 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行 在离灾 的速度作水平直线飞行.在离灾 一架救援飞机以 的速度作水平直线飞行 区指定目标1000m时投放救援物资(不计空气阻力 重 时投放救援物资( 区指定目标 时投放救援物资 不计空气阻力,重 问此时飞机的飞行高度约是多少? 力加速 g=10m/s)问此时飞机的飞行高度约是多少? 问此时飞机的飞行高度约是多少 精确到1m) (精确到 )

? x = 3t , 已知曲线C的参数方程是 例1: 已知曲线 的参数方程是 ? (t为参数) 2 ? y = 2t + 1.
与曲线C (1)判断点 1(0, 1),M2(5, 4)与曲线 )判断点M , 与曲线 的位置关系; 的位置关系; 在曲线C上 的值。 (2)已知点 3(6, a)在曲线 上, 求a的值。 )已知点M 在曲线 的值

练习1

? x =1+t2 1、曲线 轴的交点坐标是( 、 轴的交点坐标是 ,(t为参数) 与x轴的交点坐标是 B ) ? ?y = 4t ?3
25 A、( ,4); 、 , 0); C、(1, ?3); 、(1, ); ( );B、 、( 、 16 25 D、 (± 、 , 0); 16

? x = sinθ 2、方程 ? 、 ,(θ为参数)所表示的曲线上一点的坐标是 ?y = cosθ
( )

1 1 1 2 A、( ,7); 、 , ); C、( , ); D、( ,0) 、(2, ); ( );B、 、(1, ) 、( 、 、( 2 2 3 3

训练2:
已知曲线C的参数方程是 已知曲线 的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上 在该 曲线上. 的普通方程. (2)求曲线 的普通方程 )求曲线C的普通方程 解: (1)由题意可知 由题意可知: 由题意可知

? x = 1 + 2t , (t为参数,a ∈ R ) ? 2 ? y = at .

(1)求常数 )求常数a;

1+2t=5 at2=4 ∴ a=1 x=1+2t y=t2

解得: 解得

a=1 t=2

x ?1 由第一个方程得: 由第一个方程得 t = 2 x ?1 2 ) , 代入第二个方程得: 代入第二个方程得 y = ( 2

(2)由已知及 可得 曲线 的方程为 由已知及(1)可得 曲线C的方程为 由已知及 可得,曲线 的方程为:

(x ?1) = 4 y为所求.
2

思考题:动点 作等速直线运动 它在x轴和 作等速直线运动, 轴和y轴方向的 思考题:动点M作等速直线运动 它在 轴和 轴方向的 速度分别为5和 运动开始时位于点P(1,2), 求点 的 求点M的 速度分别为 和12 , 运动开始时位于点 轨迹参数方程。 轨迹参数方程。
解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得

? x = 1 + 5t 所以,点M的轨迹参数方程为 ? ? y = 2 + 12 t
参数方程求法: 参数方程求法 坐标为(x,y) (1)建立直角坐标系 设曲线上任一点 坐标为 )建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 (2)选取适当的参数 ) (3)根据已知条件和图形的几何性质 物理意义 )根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 建立点 坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 )

? x = 1 + 5t ? ? y = 2 + 12 t

小结: 小结:
一般地,在平面直角坐标系中, 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数 的函数 都是某个变数t的函数 , 都是某个变数

? x = f (t ), ? (2) ? y = g (t ).

并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点 并且对于 的每一个允许值,由方程组( )所确定的点M(x,y) 的每一个允许值 都在这条曲线上,那么方程( )就叫做这条曲线的参数方程 都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程, 参数方程, 系变数x,y的变数 叫做参变数,简称参数。 的变数t叫做参变数 系变数 的变数 叫做参变数,简称参数。

2、圆的参数方程 、

y

M(x,y)
r

θ
o
M0 x

如果在时刻t,点M转过的角度是θ,坐标是 M ( x, y ),那么θ=ωt,设 OM =r,那么由三 角函数的定义有: x = r cos ωt x y cos ωt = , sin ωt = 即{ (t为参数) y = r sin ωt r r 这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方 程。其中参数t有明确的物理意义(质点作匀 速圆周运动的时刻)

考虑到θ=ωt,也可以取θ为参数,于是有 { x = r cos θ y = r sin θ (θ为参数)

这也是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程 其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O逆时针旋转 到OM的位置时,OM 0转过的角度。

圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程,它对应的 普通方程是x + y = r , 那么,圆心在点o′( x0 , y0 )
2 2 2

半径为r 半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢?

{

x = x0 + r cos θ y = y0 + r sin θ

(θ 为参数)
2 2 2

对应的普通方程为( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) = r

由于选取的参数不同, 由于选取的参数不同,圆有不同的参 数方程,一般地,同一条曲线, 数方程,一般地,同一条曲线,可以 选取不同的变数为参数, 选取不同的变数为参数,因此得到的 参数方程也可以有不同的形式, 参数方程也可以有不同的形式,形式 不同的参数方程, 不同的参数方程,它们表示 的曲线可 以是相同的,另外, 以是相同的,另外,在建立曲线的参 数参数时, 数参数时,要注明参数及参数的取值 范围。 范围。

+2x-6y+9=0, 例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0,将它 已知圆方程x 化为参数方程。 化为参数方程。
+2x-6y+9=0化为标准方程 化为标准方程, 解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1, =1, x+1)
∴参数方程为

?x = ?1 + cosθ ? ? y = 3 + sinθ

(θ为参数 为参数) 为参数

如图, 的半径为2, 是圆上的动点 是圆上的动点, 例2 如图,圆O的半径为 ,P是圆上的动点, 的半径为 Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点 轴上的定点, 是 的中点 当点P 的中点, 是 轴上的定点 作匀速圆周运动时, 绕O作匀速圆周运动时,求点 的轨迹的参数方 作匀速圆周运动时 求点M的轨迹的参数方 程。

y P M

θ
o
Q

x

解:设点M的坐标是( x, y ),∠xOP = θ , 则点 P的坐标是(2 cos θ ,2 sin θ ),由中点坐标公式得: 2 cos θ + 6 2 sin θ x= = cos θ + 3, y = = sin θ 2 2 所以,点M的轨迹的参数方程是 x = cos θ + 3 { (θ为参数) y = sin θ

2、指出参数方程{

x = 2 cos α ? 5 y = 3 + 2 sin α

(α为参数)所

表示圆的圆心坐标、半径,并化为普通方程。

( x + 5) + ( y ? 3) = 4
2 2

x = r + r cos θ r (θ为参数,r > 0)的直径 3、圆{ y = + r sin θ 2 (2,1) , ) 是4,则圆心坐标是 _____________



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