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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《3.1.1两角差的余弦公式》课件2


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3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式

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【课标要求】 1. 熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程, 进一 步体会向量方法的作用. 2.了解差角公式产生的背景. 3.熟记两角差的余弦公式,并能灵活运用. 【核心扫描】 1.两角差的余弦公式.(重点) 2.用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(难点)

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自学导引 两角差的余弦公式 名称 两角差 的余弦 简记符号 公式 cos(α-β)= 使用条 件 任意角 都成立

C(α-β)

cos αcos β+sin αsin β

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π π 想一想:当 α= ,β= 时,cos(α-β)=cos α+cos β 成立.那 2 4 么当 α、β∈R 时,cos(α-β)=cos α+cos β 恒成立吗? π π 提示 不恒成立,如 α=3,β=6时.

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名师点睛 正确理解 C(α-β)公式中的 α、β 为任意角 公式中的 α、β 不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团 体”, 比如
?θ+φ θ-φ? θ+φ ? ? cos? - 2 ?中的“ 2 ”相当于角 2 ? ?

θ-φ α, “ ” 2

相当于角 β,可用两角差的余弦公式展开.因此对公式的理解 要注重结构形式,而不要局限于具体的角,完全可以把 α、β 视为一个“代号”,将公式记作 cos(△-□)=cos △cos □+sin △sin □.

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提醒

(1)由公式 C(α-β)推导公式 C(α+β),正是利用 α、β 的任意

性以-β 代换 β,再利用诱导公式推出的. (2)公式 C(α-β)的结构特点 ①同名函数相乘:即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦. ②把所得的积相加.

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题型一 运用公式求值 【例 1】 求 cos 105° +sin 195° 的值. [思路探索] 195° =90° +105° ,而 105° =135° -30° . 解 cos 105° +sin 195° =cos 105° +sin(90° +105° ) =cos105° +cos105° =2cos105° =2cos(135° -30° ) =2(cos 135° cos 30° +sin 135° sin 30° )
? =2? ?- ?

2- 6 2 3 2 1? ? × + × ?= 2 . 2 2 2 2?

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规律方法

在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值

时,关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如 30° ,45° ,60° , 90° ,120° ,150° ,…)之间和与差的关系问题.然后利用公式化 简求值.

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【变式 1】 求下列三角函数式的值. π (1)cos 12; (2)cos 15° cos 105° +sin 15° sin 105° ;
?π π ? π π π π π ? ? 解 (1)cos =cos 4-6 =cos cos +sin sin 12 4 6 4 6 ? ?

2+ 6 2 3 2 1 = 2 × 2 + 2 ×2= 4 . (2)原式=cos (15° -105° )=cos (-90° )=cos 90° =0.

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题型二 给值求值
?α ? β 1 【例 2】 (2012· 台州高一检测)设 cos (α-2)=-9,sin ?2-β?= ? ? ?π ? ? α+β π? 2 ? ? ? ? ,其中 α∈ 2,π ,β∈ 0,2 ,求 cos . 3 2 ? ? ? ?

[思路探索] 解答本题可先用同角三角函数关系求 sin cos
?α ? ? -β?.然后利用两角差的余弦公式求 ?2 ?

? β? ?α- ?, 2? ?

α+β cos 2 .

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?π ? ? π? ∵α∈?2,π?,β∈?0,2?, ? ? ? ?

? α ? π π? β ?π ∴α- ∈?4,π?, -β∈?-4,2?, 2 ? ? 2 ? ? ? β? ∴sin?α-2?= ? ?

1-cos 1-sin
2

2

? β? ?α- ?= 2? ?

1 4 5 1- = . 81 9

cos =

?α ? ? -β?= ?2 ?

?α ? ? -β? ?2 ?

4 5 1-9= 3 .

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?? α+β β? ?α ?? ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? ? ? β ? ?α ? β ? ?α ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 5 4 5 2 7 5 =-9× 3 + 9 ×3= 27 .

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规律方法

三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变

换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换 是最基本的变换.常见的有: 1 α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α=2 1 ,α=2 等.

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1 5 【变式 2】 已知 cos(α+β)=- ,cos 2α=- ,α、β 均为锐 3 13 角,求 cos(β-α). 解 ∵α、β 均为锐角,

∴0<α+β<π,0<2α<π, 1 ∴由 cos(α+β)=- 知 3 2 2 sin(α+β)= 1-cos ?α+β?= . 3
2

5 12 由 cos 2α=- 知 sin 2α= , 13 13

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∴cos (β-α)=cos???α+β?-2α??
? ?

=cos(α+β)cos 2α+sin(α+β)sin 2α 1 ? 5 ? 2 2 12 =- ×?-13?+ × 3 ? 3 13 ? 5+24 2 = 39 .

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题型三 已知三角函数值求角 2 5 10 【例 3】 已知 α、β 均为锐角,且 cos α= 5 ,cos β= 10 , 求 α-β 的值. 审题指导 本题主要考查两角差的余弦公式的综合应用. 可先求 出 cos(α-β)的值,结合 α-β 的范围,进而求出 α-β 的值.

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[规范解答] ∵α、β 均为锐角, 5 3 10 ∴sin α= 5 , sin β= 10 . ∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β 2 5 10 5 3 10 2 = 5 × 10 + 5 × 10 = 2 . π 又 sin α<sin β,∴0<α<β< , 2 π π ∴-2<α-β<0.故 α-β=-4. (8 分) (10 分) (12 分) (4 分)

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【题后反思】 解答已知三角函数值求角这类题目, 关键在于合 理运用公式并结合角的范围,对所求的解进行取舍,其关键环 节有两个:一是求出所求角的某种三角函数值,二是确定角的 范围,只要这两个环节做好,然后结合三角函数图象就易求出 角的值.

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1 5 3 【变式 3】 已知 α、β 为锐角,cos α=7,sin(α+β)= 14 .求角 β 的值. 解 1 ∵α 为锐角,cos α=7,
2

4 3 ∴sin α= 1-cos α= . 7 又 β 为锐角, ∴α+β∈(0,π). 5 3 ∵sin(α+β)= <sin α, 14
?π ? ∴α+β∈?2,π?. ? ?
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11 ∵cos(α+β)=- 1-sin ?α+β?=-14.
2
? ? ? α + β ? - α ∴cos β=cos ? ? ? ?

=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
? 11? 1 5 3 4 3 1 =?-14?×7+ 14 × 7 =2. ? ? ? π? ∵β∈?0,2?, ? ?

π ∴β= . 3

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误区警示

不考虑角的范围而出错

【示例】 已知 α,β,γ 是锐角,sin α+sin β=sin γ,cos α+cos β=cos γ,求 α-γ 的值. [错解] 由已知得, sin α-sin γ=-sin β, cos α-cos γ=-cos β, 两式分别平方得, sin2 α-2sin αsin γ+sin2γ=sin2 β,cos2α-2cos αcos γ+cos2 γ= cos2β, 两式相加得,1-2(cos αcos γ+sin αsin γ)+1=1,即 cos(α-γ) 1 π = ,故 α-γ=± . 2 3 没有考虑角的范围,出现了不易发现的错误.
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[正解] 由已知得, sin α-sin γ=-sin β, cos α-cos γ=-cos β, 两式分别平方得, sin2 α-2sin αsin γ+sin2 γ=sin2 β,cos2 α-2cos αcos γ+cos2 γ= cos2β, 两式相加得,1-2(cos αcos γ+sin αsin γ)+1=1,即 cos(α-γ) 1 = . 2 由于 α, β, γ 是锐角, 所以由 sin α-sin γ=-sin β<0 可知, α<γ, π 故 α-γ=-3. 对于求角的题, 一定要先考虑角的范围, 这样才不会 出错.
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