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高二数学:1.2角的概念的推广 课件 (北师大必修4)


角的概念的推广

问题提出

1.角是平面几何中的一个基本图形,角 是可以度量其大小的.在平面几何中,角 的取值范围如何? 2.体操是力与美的结合,也充满了角的 概念.2002年11月22日,在匈牙利德布 勒森举行的第36届世界体操锦标赛中, “李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180 度接直体前空翻转体900度”,震惊四座, 这里的转体18

0度、 转体900度就是一个 角的概念.

3.过去我们学习了0°~360°范围的角,但 在实际问题中还会遇到其他角.如在体操、 花样滑冰、跳台跳水等比赛中,常常听到 “转体10800”、“转体12600”这样的解 说.再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机 器上的轮盘等,它们按照不同方向旋转所成 的角,不全是0°~3600范围内的角.因此, 仅有0°~360°范围内的角是不够的,我们 必须将角的概念进行推广.

角的概念的推广
思考1:对于角的图形特点有如下两种认识:①角 是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形 (如图1);②角是由平面内一条射线绕其端点从 一个位置旋转到另一个位置所组成的图形(如图 2).你认为哪种认识更科学、合理?

图1

图2

思考2:如图,一条射线的端点是O,它 从起始位置OA旋转到终止位置OB,形成 了一个角α ,其中点O,射线OA、OB分别 叫什么名称?
B α

始边
O A

终边

顶点

思考3:在齿轮传动中,被动轮与主动轮 是按相反方向旋转的.一般地,一条射线 绕其端点旋转,既可以按逆时针方向旋 转,也可以按顺时针方向旋转.你认为将 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600 所形成的角,与按顺时针方向旋转600所 形成的角是否相等?

思考4:为了区分形成角的两种不同的旋 转方向,可以作怎样的规定?如果一条 射线没有作任何旋转,它还形成一个角 吗?

规定: 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转,则称它 形成了一个零角.

?

思考5:度量一个角的大小,既要考虑旋转方向, 又要考虑旋转量,通过上述规定,角的范围就扩 展到了任意大小. 对于α =210°, ? =-150°,=-660°,你能用图形表示这些角 吗?你能总结一下作图的要点吗?

?

画图表示一个大小一定的角, 先画一条射线作为角的始边, 再由角的正负确定角的旋转方 γ 向,再由角的绝对值大小确定 角的旋转量,画出角的终边, 并用带箭头的螺旋线加以标注. B

B2 α O β
1

A

思考6:如果你的手表慢了20分钟,或快了1.25小 时,你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校 准?
-120°,450°. 思考7:任意两个角的数量大小可以相加、相减, 如 50°+80°=130°, 50°-80°=-30°, 你能解释一下这两个式子的几何意义吗?

以50°角的终边为始边,逆时针(或顺时针)旋转 80°所成的角.

思考8:一个角的始边与终边可以重合吗?如果可 以,这样的角的大小有什么特点?

k· 360°(k∈Z)

象限角 思考1:为了进一步研究角的需要,我们常在直角 坐标系内讨论角,并使角的顶点与原点重合,角的 始边与x轴的非负半轴重合,那么对一个任意角, 角的终边可能落在哪些位置? y

o

x

思考2:如果角的终边在第几象限,我们就说这个 角是第几象限的角;如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于如何象限,或称这个角为轴 线角.那么下列各角:-50°,405°,210°, -200°,-450°分别是第几象限的角?
y
x o -50° o 405°

y
210° x

y

y

y x -450° x o

x
o -200°

o

思考3:锐角与第一象限的角是什么逻辑关系?钝 角与第二象限的角是什么逻辑关系?直角与轴线 角是什么逻辑关系?

思考4:第二象限的角一定比第一象限的角大吗?

象限角只能反映角的终边所在象限,不能反映角 的大小.

思考5:在直角坐标系中,135°角的终边在什么位置? 终边在该位置的角一定是135°吗?

y

x o

终边相同的角

思考1:-32°,328°,-392°是第几象限的角? 这些角有什么内在联系?

y
- 392°

328°

o

x -32°

思考2:与-32°角终边相同的角有多少个?这些角 -32°角在数量上相差多少?

思考3:所有与-32°角终边相同的角,连同- 32°角在内,可构成一个集合S,你能用描述法表 示集合S吗?

思考4:一般地,所有与角α 终边相同的角,连同 角α 在内所构成的集合S可以怎样表示?
S={β|β=α+k· 360°,k∈Z},即任一与α终边 相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.

思考5:终边在x轴正半轴、负半轴,y轴正半轴、负半轴 上的角分别如何表示? x轴正半轴:α= k· 360°,k∈Z ; α= 180°+k· 360°,k∈Z ; y轴正半轴:α= 90°+k· 360°,k∈Z ; α= 270°+k· 360°,k∈Z . x轴负半轴:
y轴负半轴:

思考6:终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示? 终边在x轴上:S={α|α=k· 180°,k∈Z};终边在y轴上: S={α|α=90°+k· 180°, k∈Z}.

思考7:第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示?

第一象限:S={α | k· 360°<α< 90°+k· 360°,k∈Z}; 第二象限:S={α | 90°+k· 360°<α< 180°+k· 360°,k∈Z}; 第三象限:S={α | 180°+k· 360°<α< 270°+k· 360°,k∈Z}; 第四象限:S={α | -90°+k· 360°< α<k· 360°,k∈Z}.

思考8:如果α 是第二象限的角,那么2α 、α /2 分别是第几象限的角? 90°+k· 360°<α<180°+k· 360° 180°+k·720°<2α<360°+k·720° 45°+k· 180°<α/2<90°+k· 180°

理论迁移 例1 在0°~360°范围内,找出与- 950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限 角.

129°48′,第二象限角.

?

?

例 2

?

写 出 S={α|α=45°+k· 180°,k∈Z}. 终 -315°,-135°,45°,225°,405°,边 585°. 在 直 线 y =

小结作业
1.角的概念推广后,角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究,对于一个 给定的角,都有唯一的一条终边与之对应, 并使得角具有代数和几何双重意义. 2.终边相同的角有无数个,在0°~360°范 围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°,若所得的商为k,余数为α (α必须是正数),则α即为所找的角.

作业:

练习 :3,4,5.


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