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2015-2016高中数学 2.2 直接证明与间接证明课时作业1 新人教A版选修2-2


课时作业(十八)

反证法

A 组 基础巩固 1.用反证法证明命题:“若直线 AB,CD 是异面直线,则直线 AC,BD 也是异面直线”的 过程归纳为以下三个步骤: ①则 A,B,C,D 四点共面,所以 AB,CD 共面,这与 AB,CD 是异面直线矛盾;②所以假 设错误,即直线 AC,BD 也是异面直线;③假设直线 AC,BD 是共面直

线. 则正确的序号顺序为( ) A.①②③ B.③①② C.①③② D.②③① 解析:根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②. 答案:B 3 2.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要 做的假设是( ) 3 A.方程 x +ax+b=0 没有实根 3 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 3 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 3 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 3 解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程 x +ax+b=0 没有实 根”. 答案:A 3.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b 的位置关系为( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析:假设 c∥b,而由 c∥a,可得 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c 与 b 不可能是平行 直线,故应选 C. 答案:C 4. 若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形, 那么这个三角形的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 解析:分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线 AD(点 D 在 BC 上),则∠ADB +∠ADC=π ,若∠ADB 为钝角,则∠ADC 为锐角.而∠ADC>∠BAD,∠ADC>∠ABD,△ABD 与 π △ACD 不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC= 时,才符合题意. 2 答案:B 1 1 5.设 a,b∈(0,+∞),则 a+ ,b+ ( )

b

a

A.都不大于 2 B.都不小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 1 1 ? 1? ? 1? 解析:假设 a+ <2,b+ <2,则?a+ ?+?b+ ?<4.① 又 a,b∈(0,+∞),所以 a

b

a

?

b? ?

a?

1 1 ? 1? ? 1? 1 1 + +b+ =?a+ ?+?b+ ?≥2+2=4.这与①式相矛盾,故假设不成立,即 a+ ,b+ 至少

b

a ?

a? ?

b?

b

a

有一个不小于 2. 答案:D 6.△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP.用 反证法证明时的假设为__________. 解析: 反证法对结论的否定是全面否定, ∠BAP<∠CAP 的对立面是∠BAP=∠CAP 或∠BAP
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>∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP 或∠BAP>∠CAP 7.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角为 180°相矛盾,则∠A =∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设∠A,∠B,∠C 中有两个 角是直角,不防设∠A=∠B=90°. 正确顺序的序号排列为__________. 解析:由反证法证明的步骤知,先反证即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结 论即②,即顺序应为③①②. 答案:③①② 8.完成反证法证题的全过程.设 a1,a2,?,a7 是 1,2,?,7 的一个排列,求证:乘积 p=(a1-1)(a2-2)?(a7-7)为偶数. 证明:假设 p 为奇数,则 a1-1,a2-2,?,a7-7 均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数, 故有奇数__________=__________=0.但 0≠奇数,这一矛盾说明 p 为偶数. 解析:据题目要求及解题步骤, 因为 a1-1,a2-2,?,a7-7 均为奇数, 所以(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7)也为奇数. 即(a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7)为奇数. 又因为 a1,a2,?,a7 是 1,2,?,7 的一个排列, 所以 a1+a2+?+a7=1+2+?+7,故上式为 0. 所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) =(a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7)=0. 答案:(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) (a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7) 9.设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列. 证明:假设数列{cn}是等比数列,则 2 (an+bn) =(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).① ∵{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为 p,q, 2 2 ∴an=an-1an+1,bn=bn-1bn+1. 代入①并整理,得

?p q? 2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn? + ?, ?q p?
p q 即 2= + .② q p
当 p,q 异号时, + <0,与②相矛盾; 当 p,q 同号时,由于 p≠q, ∴ + >2,与②相矛盾.故数列{cn}不是等比数列. 10.证明:1, 3,2 不能为同一等差数列的三项. 证明:假设 1, 3,2 为同一等差数列的三项. 2 则有等差数列的定义知 1×2=( 3) =3, 则 2=3 不成立, 则假设不成立, 即原命题成立,即 1, 3,2 不能为同一等差数列的三项. B 组 能力提升 11.假设已知 a,b,c∈(0,1). 1 求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能都大于 . 4

p q q p

p q q p

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1 证明:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 都大于 . 4 因为 0<a<1,0<b<1, ?1-a?+b 1 1 所以 1-a>0.由基本不等式,得 ≥ ?1-a?b> = . 2 4 2 ?1-b?+c 1 同理, > , 2 2 ?1-c?+a 1 > . 2 2 将这三个不等式两边分别相加,得 ?1-a?+b ?1-b?+c ?1-c?+a 1 1 1 + + > + + , 2 2 2 2 2 2 3 3 即 > ,这是不成立的, 2 2 1 故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能都大于 . 4 12.已知函数 f(x)在 R 上是增函数,a,b∈R. (1)求证:如果 a+b≥0,那么 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); (2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立?并证明你的结论. 解析:(1)证明:当 a+b≥0 时,a≥-b 且 b≥-a. ∵f(x)在 R 上是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a), ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). (2)解:(1)中命题的逆命题为“如果 f(a)+f(b)≥ f(-a)+f(-b),那么 a+b≥0”,此命题成立. 用反证法证明如下: 假设 a+b<0,则 a<-b,∴f(a)<f(-b). 同理可得 f(b)<f(-a). ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾, 故假设不成立, ∴.a+b≥0 成立,即(1)中命题的逆命题成立.

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