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四川省绵阳南山中学2014-2015学年高二上学期期末热身数学(理)试题-都江堰起航教育提供


2015 年 1 月

绵阳南山中学高 2016 届高二上学期期末热身考试
数学试题(理科)
命题人:雍华 审题人:王怀修,杨周建 一、选择题(本大题共有 10 个小题,每题 4 分,共 40 分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.) 1. 《几何原本》的作者是( ) A.欧几里得 B.阿基米德 C.阿波罗尼奥斯 D.托勒玫 2.南山中

学膳食中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:根 据表中数据,采用分层抽样的方法抽取的 20 人中,喜欢吃甜品的男、女生人数分别是( ) A. 1,6 B. 2,12 C. 2,4 D. 4,16 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 女生 60 20 80 男生 10 10 20 合计 70 30 100 (2 题表) (3 题图) 3.为了了解某同学的数学学习情况,对他的 6 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如图 所示,则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( ) A.中位数为 83 B.众数为 85 C.平均数为 85 D.方差为 19 4.下列说法中正确的是( )

A.随着试验次数增加,频率会越来越接近概率,因此频率就是概率. B.要从 1002 名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本,需要剔除 2 名学生,每人被抽中概率为
1 . 1000

C.事件 A,B 至少有一个发生的概率不一定比事件 A,B 中恰有一个发生的概率大. D.若事件 A,B 满足 P(A) ? P(B) ? 1 ,则事件 A,B 互为对立事件. 5.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为( ) 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 6 3 3 6.已知双曲线 则 x0=( A.4 ) B.6 ) C.1 D.2 C.8 D.16 5 x2 ? y 2 ? 1的右焦点 F 为抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|=4x0, 3

7.如下图程序执行后输出的结果是( A.-1 B.0

-1-

(7 题图)

(8 题图)

8.分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部分(如上图)中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一 点,则该点落在阴影区域的概率为( A. 4 ? ? 2
2

) C. 4 ? ? 4
2 2

B. ? ? 2 2
2

D. ? ? 2 4

9.已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 ,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上 的动点,则 PM ? PN 的最小值为( A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 4 ) C. 6 ? 2 2 D. 17

10.设 A 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点, 点 A 关于原点的对称点为 B, F 为椭圆的右焦点, 且 AF⊥BF. a2 b2
,

若∠ABF∈[ A. [0, 2 ] 2

?
12

?
4

],则该椭圆离心率的取值范围为( B. [ 2 ,1] 2

) D. [

C. [0, 6 ] 3

2 6 , ] 2 3

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.) 11. 空间直角坐标系中与点 P(2,3,5) 关于 yoz 平面对称的点为 P? , 则 PP? = .

(a 为常数)与直线 2? 12.若直线 y ? ax ? 1 (cos ? ? sin ?) ? 1 平行,
则a= . 13.如右图,输出结果为
2 2

.

x y 14. 已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右焦点为 F ? 4,0? ,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支 a b 有且只有一个交点,则 a 的取值范围是 15.给出下列结论:
.

动点 M ? x, y ? 分别到两定点 ? ?3,0?、 ?3,0? 连线的斜率之乘积为

16 ,设 M ? x, y ? 的轨迹为曲线 C , F 1、 9

-2-

F2 分别为曲线 C 的左、右焦点,则下列命题中:
(1)曲线 C 的焦点坐标为 F1 ? ?5,0? 、 F2 ?5,0? ;
0 (2)若 ?F 1MF2 ? 90 ,则 S?F1MF2 ? 32 ;

(3)当 x ? 0 时, ?F 1MF 2 的内切圆圆心在直线 x ? ?3 上; (4)设 A ? 6,1? ,则 MA ? MF2 的最小值为 2 2 ;其中正确命题的序号是: 三、解答题(本大题共 4 个小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.南山中学高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间,将测试结果按如下方 式分成五组,第一组 [13,14) ,第二组 [14,15) …,第五组 [17,18] ,如右图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图. (1)请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位 数(精确到 0.01 ) ; (2)从成绩介于 [13,14) 和 (17,18] 两组的人中任取 2 人, 求两人分别来自不同组的概率.
0.06 0.04 13 14 15 16 17 18 秒 0.18 0.38 0.34 频率 / 组距

.

(16 题图)

17.三角形的三个顶点是 A(?4, 0) , B (2, 4) , C (0,3) ,点 D 为 AB 边所在直线上一点, (1)求 AB 边的中线所在直线 l 的方程; (2)若直线 l 是 ?ACD 的角平分线,求直线 CD 的方程.

AB 为过点 P 18.已知圆 x ? y ? 8 内有一点 P 0 (?1, 2) , 0 且倾斜角为 ? 的弦,
2 2

(1)当 ? ? 135 时,求弦 AB 的长;
0

M 经过点 C(3, 0) 且与直线 AB 相切于点 P M 的标准方程. (2)当弦 AB 被 P 0 平分时,圆 0 ,求圆

-3-

19. 已知 F1 , F2 分别为椭圆 的周长为 6;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左、右焦点,点 P(1, y0 ) 在椭圆上,且 PF2 ? x 轴, ?PF1F2 a 2 b2

(1) 求椭圆的标准方程; (2)

E、F 是曲线 C 上异于点 P 的两个动点,如果直线 PE 与直线 PF 的倾斜角互补,证明:直线 EF 的斜
率为定值,并求出这个定值.

高二热身考试数学(理)参考答案:
一、选择题: 1-5:ABCCD 6-10:CBBAD 二、填空题: 11.4 12.-1 13. 9 14. 0 ? a ? 2 15.(1) (3)

三、解答题

15 ? 16 ? 15 .5 0……….2 分 2 因为数据落在第一、二组的频率 ? 1? 0.04 ? 1? 0.08 ? 0.22 ? 0.5 数据落在第一、二、三组的频率 ? 1? 0.04 ? 1? 0.08 ? 1? 0.38 ? 0.6 ? 0.5
16.解: (1) 由图可知众数落在第三组 ?15,16? 是 所 以 中 位 数 一 定 落 在 第 三 组 ?15,16? 中 . 假 设 中 位 数 是

x , 所 以 0.22 ? ?x ?15?? 0.38 ? 0.5 解 得 中 位 数

x?

299 ? 15 .7368 ? 15.74 ………….4 分 19

(2)由题意,[13,14)组有 2 人, (17,18]组有 3 人;…………….6 分 设[13,14)组中 2 人分别为 A,B;(17,18)组中 3 人分别为 X,Y,Z,,事件 A 为抽取的两人来自不同组,则基本事件 有: (AB),(AX),(AY),(AZ),(BX),(BY),(BZ),(XY),(XZ),(YZ)共 10 种; 事件 A 包含基本事件有(AX),(AY),(AZ),(BX),(BY),(BZ)共 6 种…………….8 分 所以 P(A)=0.6……………………………………………………..………..10 分 17.解(1)设 AB 的中点 D 坐标为(x,y) ,则 D(-1,2)………2 分 又 C(0,3),所以直线 l 的方程为 y ? 3 ?

3? 2 x 即: y ? x ? 3 …....5 分 0 ? (?1)

(2)设 A 点关于直线 l 的对称点为 A?(a, b) ,则
-4-

b ? ?4 ? a ?3? ? ? 2 2 ?a ? ?3 ,? ? ; A?(?3, ?1); ……….8 分 ? ? b ? ?1 ? b ? 0 ? ?1 ? ? a?4
? 直线 CD:y ? 4 x ? 3 …………10 分 3

18.解: (1)由题意:圆心 O(0,0), r ? 2 2 , k ? ?1, 则直线 AB: y ? ? x ? 1 ;…2 分 圆心到直线 AB 的距离 d ?

2 2 2 ,弦 AB ? 2 r ? d ? 30 ………5 分 2

(2)由题意,弦 AB 被 P 0 平分,则 OP 0 ? AB …………6 分

圆M经过点C且与直线AB相切于点P0 ?圆M的圆心M为线段CP 0的中垂线与直线OP 0的交点
P ( 0 -1,2),C(3,0) 1 ? 直线OP0 : y ? ?2 x;k p0c ? ? ; 线段P0C中点为(1,1) 2 ? 线段P0C中垂线:y ? 2 x ? 1 7分 ? y ? ?2 x 1 1 ?M ( ,? ) ? 4 2 ? y ? 2x ?1 ? rM ? MP0 ? 5 5 4 9分 10分 8分

1 2 1 125 ?圆M 的方程为(x ? ) ? (y ? ) 2 ? 4 2 16

19.解: (1)由题意, F1 (?1 . . . . .1 分 , 0), F2 (1, 0) ,c=1, .

C? ? PF1 ? PF2 ? 2c ? 2a ? 2c ? 8
. . . . .3 分 ?a ? 2, b ? 3 .

. . . . . .2 分

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

. . . . . .4 分

3 3 x2 y 2 ? ? 1得 (2)由(1)知 P (1, ) ,设直线 PE方程:得 y ? k ( x ? 1) ? ,代入 2 2 4 3
3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2
. . . . . .6 分

-5-

设E( xE , yE ) ,F( xF , yF ) .因为点 P(1,

3 )在椭圆上,所以 2

3 4( ? k )2 ? 12 , xE ? 2 3 ? 4k 2 3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2
所以直线 EF 的斜率 kEF ?

3 yE ? kxE ? ? k 。 2

又直线 PF 的斜率与 PE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得

yF ? ? kxF ?

3 ?k。 2

. . . . . . .9 分

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? 。 xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
. . . . . . .10 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

-6-


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