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第六讲 三角形的概念及边角关系(火箭班)


星海学校

第六讲
【知识要点】

三角形的概念及边角关系

一、三角形的基本概念及性质: 1.三角形的定义 ① 边 ② 顶点 ③ 角 ④ 外角

2.三角形中的几条主要线段:

① 三角形的角平分线 ② 三角形的中线 ③ 三角形的高线

3.三角形的

主要性质: ① ② ③ ④ ⑤ 三角形的任何两边之和大于第三边,任何两边之差小于第三边. 三角形的三个内角之和等于 180 ? 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角, 等于和它不相邻的两个内角和. 三解形中,等角对等边,等边对等角,大角对大边,大边对大角. 三角形具有稳定性,即三边长确定后三角形的形状保持不变.

二、三角形的分类:

【典型例题】
例 1. △ABC 中,AB=5,BC=7,则 AC 的取值范围是____________________.

变式训练:1.有 4 根木条,长度分别为 12 、10 、8 、4 选其中三根组成三角形 则能组____个三角形. 2. 若等腰三角形,一边长为 4 cm,另一边为 9 cm,则三角形的周长 是 __________ cm. 3. AD 是△ABC 的中线,AC=3,AB=4,那么△ABD 和△ADC 的周长之差 是 _______ 。

4. 等腰三角形的一边长是 8 cm,周长是 18 cm,则等腰三角形的腰长 是 cm.

1

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例 2. .△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则△ABC 是______

变式训练:1. 如图(1) ,AD、BC 相交于 O 点,AB∥CD,∠B=30?,∠AOB=100°, 则∠ADE=__________. 2. 如图(2) ,已知∠1=20?,∠2=25?,∠A=36°,则∠BDC=__________.

图(1)

图(2)

3. 已知△ABC 的三个内角∠A,∠B,∠C,满足∠B+∠C=3∠A, 则此三角形( ) A.一定有一个内角 45° B.一定有一个内角 80° C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形 例 3. 下列结论正确的是( ) A. 三角形的外角一定大于内角 B. 三角形的三条高线都在三角形的内部 C. 三角形任何两边之和不小于第三边 D. 三角形的内角平分线与相邻外角的平分线互相垂直 变式训练:1. 三角形的角平分线、中线、高都是( ) A.直线 B.射线 C.线段

D.不确定 )

2. 若 a,b,c 为△ABC 的三边,则代数式 (a-b+c)(a-b-c) 的值为( A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.无法确定 3. 在△ABC 中,D 是 BC 上的点,且 BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么 S△ABC 等于( A.30 B.36 C.72 D.24 例 4. 在△ABC 中,∠A=50° ,高 BE 与,角平分线 AD 所在的直线交于点 O, 求∠BOD 的度数.

)

A

E O B D C

2

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变式训练:1. 如图,已知△ABC 中,AD⊥BC 于 D,AE 为∠BAC 的平分线, 且∠B=35?,∠C=65?,求∠DAE 的度数。 (山西·中考题) A

B

E

D

C

2. 如图所示,在△ABC 中,D 是 B C 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63° , 求∠DAC 的度数. (河北·中考题)

A
1 _

2 _

B

3 _

4 _

D

C

例 5. 如图, 在△ABC 中,已知点 D,E,F 分别为边 BC,AD,CE 的中点, 且 S △ABC=4cm2,求 S 阴影的面积. (贵阳·中考题)

A _

E _ F _ B _ D _ C _

A 变式训练: 如图,⊿ABC 中,点 D、E、F 分别在三边上,E 是 AC 的中点,AD、BE、CF 交于一点 G, BD=2DC, S
GEC

F E G B D C

=3,S

GDC

=4, 则⊿ABC 的面积是( ). C. 35 D. 40

A. 25

B. 30

( 湖北·中考题 )
3

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【名书·名校·竞赛·中考在线】
一、选择或填空题:
1.△ABC 中,3∠A=∠B+∠C,∠C-∠B=45°,则△ABC 为 ______ 三角形 (扬州·中考题) 2. 若三角形三个外角的度数之比为 4:3:2,则三个内角之比为__________. (威海·中考题) 3. 已知 a, b,c 是△ABC 的三边, a=3,b=5 且三角形的周长是奇数, 则 c = ______ 。 (深圳·中考题) 4. 设a、b、c是?ABC的三边,化简a ? b ? c ? a ? b ? c ? __________ . (济宁·中考题) 5.在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,△ABC 的周长为 34cm,△ABD 的周长为 30cm, 则 AD 的长为______cm. (红河·中考题) 6.△ABC 的周长为 15cm,且 a-b=c-1,a-3c=1,则 a=____,b=____,c=____. (黑龙江·中考题) 7. 每一个多边形都可以按图的方法割成若干个三角形. 而每一个三角形的三个内角的和 是 180°.按下图的方法,十二边形的内角和是 _______ 度. (黄石·中考题)

8. 如图,P 是△ABC 内一点,

求证: ∠BAC <∠BPC

( “希望杯”选拔赛试题)

9. 如图,P 是△ABC 内一点,求证: AB+AC>PB+PC.

( “华赛杯”选拔赛试题)

4

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【家庭作业】
一、填空题 1.△ABC 中,AB=5,BC=7,则其周长 L 的取值范围是__________. 2.不等边△ABC 的三条边为整数且 a ? 3 +(b-2)2=0,则 c=__________.

3.已知长度为 a-2, a, a+2 的三条线段能组成一个三角形, 则 a 的取值范围是__________.

4. △ ABC 中,若 ?A ?

1 1 ?B ? ?C , 则△ ABC 是___________三角形 3 5

5. 已知:如图,△ ABC 中,BO,CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的 平分线,过 O 点的直线分别交 AB、AC 于点 D、E,且 DE∥BC. 若 AB=6cm,AC=8cm,则△ ADE 的周长为______.

二、选择题: 1.下列各组数据,可以构成等腰三角形的是( ) A.1,2,1 B.2,2,1 C.1,3,1

D.2,2,5

2.已知 a,b,c 是△ABC 的三边, a=2,b=5 且三角形的周长是偶数,则 c 等于( A.4 B.6 C.5 D.4 或 6 A 3.如图, △ABC 中,∠B=30°,∠C=50°,AD⊥BC 于 D, AE 平分∠BAC 交 BC 于 E,则∠DAE 为( ) . A.40° B.50° C.10° D.60°



B

E D

C

4.和一个已知点 P 距离等于 2 厘米的直线可画( A.1 B.2 C.3

)条. D.无数

5.点 P 是直线 l 外一点,点 A、B、C 是直线 l 上三点,且 PA=10,PB=8,PC=6,那么 点 P 到直线 l 的距离为( ) . A.6 B.8 C.小于 6 的数 D.不大于 6 的数

5

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三、解答题: 1.如图所示,已知∠A=30°,试求∠B+∠C+∠D+∠E 的度数. (长春·中考题)

2、如图所示,∠A=28°,∠BFC=92°,∠B=∠C,求∠BDC 的度 (上海·中考题)

3、△ABC 中,∠B>∠C,AD 是 BC 边上的高,AE 是∠BAC 的平分线, 求证:∠DAE=

1 (?B ? ?C ) 2

(泉州·中考题)

4、如图, ∠ABC, ∠ACB 的内角平分线交于点 O, ∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的 外角平分线交于点 D, ∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点 E, 且∠A=60°, 求:∠BOC、∠D、∠E 的度数. (吉林·中考题) A _

D _ O _ B _ C _

E _
5、如图,M、N 是△ABC 内两点, 求证: AB+AC>BM+MN+NC ( “希望杯”选拔赛试题) A M B N C

6


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