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1010导数导学案完整版


变化率与导数
【学习目标】 : 1、了解导数概念的实际背景;2、会求函数在某一点附近的平均变化率; 3、会利用导数的定义求函数在某处的导数。 【自主学习】 1、平均变化率:_______________=_______ 设 y ? f ( x) , 在数轴 x 上另取一点 x 2 , 即 ?x = 或 x1 是数轴上的一个定点, x1 与 x 2 的差记为 ?x , 者

x2 = , ?x 就表示从 x1 到 x 2 的变化量或增量,相应地,函数的变化量或增量记为 ?y ,即
?y =

;如果它们的比值

?y ,则上式就表示为 ?x

,此比值就称为平均变化率. 的增量的比值.

反思:所谓平均变化率也就是 2.导数的概念

的增量与

从函数 y ? f ( x) )在 x ? x0 处的瞬时变化率是: lim

?x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ?? lim x ? 0 ?x ?x

我 们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数 ,记作 f ' ( x0 ) 或 y' |x? x0 ,即

f ?( x0 ) ? ? lim x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

3、利用导数的定义求导,步骤为: 第一步,求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

?y f ( x0 ? ?x) ? ; ?x ?x ?y 第三步:取极限得导数 f ?( x0 ) ? lim . ?x?0 ?x
第二步:求平均变化率

【典例剖析】 例 1、求函数 y=3x2 +2 在区间 ? x0 ,x0 +?x? 上的平均变化率,并求当 x0 =2,?x=0.1时平均变化率的值。

例 2、已知质点 M 按规律 s ? 2t 2 ? 3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s), (1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求

?s ?s . (2)当 t=2,Δ t=0.001 时,求 .(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度 ?t ?t

例 3、求函数 y ? 2x2 +4x 在 x=3 处的导数

? 2 3t (t?3) 例 4、若一物体运动方程为: s= ? ?

29+3(t-3) ? ?

2 (0?t?3)

(位移: m ,时间: s )求: (1)物体在 t ??3,5? 内

的平均速度; (2)物体的初速度 v0 ; (3)物体在 t =1 时的瞬时速度。

【课堂检测】 1、 质点运动动规律 s ? t 2 ? 3 ,则在时间 (3,3 ? ?t ) 中,相应的平均速度为( A. 6 ? ? t A. f ' (x)=a 3、已知函数 f (x)= B. 6 ? ?t ?
9 ?t



C. 3 ? ?t C. f ' (x0 )=a

D. 9 ? ? t D. f ' (x0 )=b

2、设函数 f (x) 在 x0 附近有定义,且有 f (x0 ,x0 +?x)-f (x0 )=a?x+b(?x)2 ( a ,b 为常数)则 B. f ' (x)=b

1 ,则此函数在 ?1,1+?x? 上的平均变化率为__ x
米 /秒

4、 一质点运动规律是 s ? t 2 +3(单位:s(米)t(秒) ) , 则在 t ? 1 秒时的瞬时速度估计是 __

1 5、函数 y ? x+ 在 x =1 处的导数为__ x
6、航天飞机发射后的一段时间内,第 ts 时的高度 h(t)=5t3 +30t 2 +45t +4 ,其中 h 的单位为 m ,t 的单位 为 s (1) h(0) , h(1) 分别表示什么?(2)求第 1 s 内高度的平均变化率; (3)求第 1 s 末高度的瞬时变化率,并说明它的意义。

7、求下列函数的导数: (1)y=

1 在x=1处的导数; (2)y=x2 +ax+b(a,b为常数)在x=2 处的导数。 x

1.求曲线 y ?

f ( x) ? x 3 在 x ? 1 时的导数.

2.下列各式中正确的是( A

) B

y ' | x ? x0 ? lim

?x ?0

C

y ' | x ? x0 ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
'

f ' ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f (?x) ?x

D

f ' ( x0 ) ? lim
)A

?x ?0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ?x
2
2

3.设 f ( x) ? ax ? 4 ,若 f (1) ? 2 ,则 a 的值(

B . -2

C

3 )

D

-3

4.任一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s ? 3t ? t ,则物体的初速度是( A 0 B 3 C -2 D 3 ? 2t

5.

y ? x ? 1,当 x ? 2 时
3



lim

?x ? 0

?y ? ?x
.

2、导数的几何意义: 如果函数 y= f ( x) 在点 x 0 处可导,那么该点的导数 f ' ( x0 ) 表示曲线在相应点 M ( x0 , y0 ) 处的 物理意义: (1)设 s ? s (t ) 是位移函数,则 s?(t0 ) 表示物体在 t ? t0 时刻的 __________. (2)设 v ? v (t ) 是速度函数,则 v?(t0 ) 表示物体在 t ? t0 时刻的 __________. 3、基本函数的导数公式 (1) ( xa )? ? _______(a 为常数) , (3) (a )? ? ________(a ? 0 且 a ? 1 ) ,
x

(2) (sin x)? ? ________,(cos x)? ? ___________ ;

(ex )? ? ________ ; (4) (loga x)? ? ________(a ? 0且a ? 1), (ln x)? ? ________ 。 4、导数的运算法则: (1) [ f ( x) ? g ( x)]? ? __________ ; [cf ( x)]? ? ________ . f ( x) ]? ? ____________ . (2) [ f ( x) ? g ( x)]? ? ____________ ; (3) [ g ( x)
◆考点自测: 1 3 3 2 1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t - t +2t,那么速度为零的时刻是 ( 3 2 A.0 秒 B.1 秒末 C.2 秒末 D.1 秒末和 2 秒末 )

f (1 ? 2?x) ? f (1) ?( ?x ?0 ?x 2 ' ' 3、已知 y ? x ? 3 xf (2), 则f (2) ? ( ) A.-2
2、若 f ( x) ? e x ,则 lim
3

)A. e B、2

B. ?e C、3

C. 2e D、-3 ) .

D. ?2e

4、已知曲线 S:y=3x-x 及点 P(2,2) ,则过点 P 可向 S 引切线,其切线条数为( A.0 B.1 C.2 D.3 5、设 f0 ( x) ? cos x, f1 ( x) ? f0 '( x), f2 ( x) ? f1 '( x),?, f n?1 ( x) ? f n '( x) , n ? N ? , f 2008 ( x) ? ◆探究案热点考向 1:利用导数的定义、公式、法则求导数 例 1、 (1) y ? a x ?

1 x3

(2) y ?

x ? x5 ; x2

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) ; (2)lim ?x ? 0 ?x ? 0 2 ?x ?x f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ? ?x) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? 2?x) (3) lim ; (4) lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
变式: (1) 下列式子中与 f ' ( x0 ) 相等的是 ( ) (1)lim A、 (1) (2) B、 (1) (3)
2

C、 (2) (3)

D、 (1) (2) ( 3) (4)

(2)一质点的运动方程为 S ? 3t ? 2t ? 1,则该质点在 t ? 3s 的瞬时速度为 ________ m / s

热点考向 2:导数的几何意义 例 2 已知曲线 y ? (1) (2) (3) (4)

1 3 4 x ? 3 3

求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; 求曲线过点 P(2,4)处的切线方程; 求斜率为 4 的曲线的切线方程。 在例 2 第(1)小题中切线与曲线是否还有其它公共点?

思考:曲线 y=f(x)在点 p( x0 , y0 ) 处的切线与过点 p( x0 , y0 ) 处的切线,两种说法有区别吗? 【变式训练】 (1) 如图,函数 y=f(x)在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)=________. (2)已知 f(x)的图象如下, f ' ( x) 是 f(x)的导函数,则下列排序正确的是(
A. 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2)
' '



B. 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2)
' '

C. 0 ? f ' (3) ? f ' (2) ? f (3) ? f (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f ' (2) ? f ' (3)
拓展:

b , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 2 f , ( 2处 ) )的 切 线 方 程 为 x 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 , (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明: ,曲线 y ? f ( x) 上任意一点处的切线与直线 y ? x 和直线 x ? 0 所围成三角形的 面积是定值,并求出此定值。
例 3. 设 函 数 f ( x ) ? ax ?

变式: 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? ax(a ? R) ,在曲线 y ? f ( x) 的所有切线中,仅有一条切线 l 与直线 y ? x 垂直。 (1)求 3 (2)设曲线 y ? f ( x) 上任意点的切线的倾斜角为 ? ,求 ? 的取值范围。 a 的值和切线 l 的方程;

课堂练习
1、如果函数 y=f(x)的图象如图所示,那么导函数 y=f′(x)的图象可能是( )

2 在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意 x1,x2(x1≠x2) ,|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|恒成立”的 只有( ) A. f ( x) ?
1 x

B.f(x)=|x|

C.f(x)=2

x

D.f(x)=x

2

3、设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是________________ 4、若点 P 在曲线 y=x -3x +(3- 3 )x+ 上移动,经过点 P 的切线的倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范围是_______. 5. (2011。杭州模拟)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?
3 2

3 4

1 2 x ? a(a为常数), 直线 l 与 f(x),g(x)的图象都相切,且 l 与 2

函数 f(x)的图象的切点的横坐标为 1,求直线 l 的方程及 a 的值?

例 求函数 y ? 的图象在点 (1,1) 处的切线方程. 变式:求出曲线在点 (1, 2) 处的切线方程.

1 x

小结:利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,它们的求法是不同的. 练 1. 求曲线 y ? 2x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程. 练 2. 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

课后作业 1.在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为
? 的点为( 4

)A. (0, 0) B. (2, 4)

C. ( ,

1 1 ) 4 16

D. ( , )

1 1 2 4

2.已知 f ( x ) ? x? ,若 f / (?1) ? ?4 ,则 ? 的值是( ) A. 4 B.-4 C. 8 D.-5 / 3 3.若对任意实数 x ,恒有 f ( x) ? 4 x , f (1) ? ?1 ,则此函数为( ) A. f ( x) ? ?1 ? x 4 B. f ( x) ? x 4 ? 2 C. f ( x) ? x 3 ? 2 D. f ( x) ? x 4 ? 1 4.函数 y ? 3x( x 2 ? 2) 的导数是( ) A. 3x 2 ? 6 B. 6 x 2 C. 9 x 2 ? 6 D. 6 x 2 ? 6 1 1 5.过曲线 y ? 2 上一点(2, ) 的切线方程是_________________________. 4 x 2 6.已知函数 f ( x) ? 3x ? 1,则 f ?(2) = , [ f ?(2)]? = . 3 7.曲线 y ? x 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成三角形的面积是___________. 8.求曲线 y ? x 在点(16,8)处的切线方程. 9.已知曲线 y ? x 2 ? 1 与 y ? x 3 ? 1在 x ? x0 处的切线互相垂直,求 x0 的值.
3 4

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 练习:根据常见函数的导数公式计算下列导数 (1) y ? x6 (2) y ? x (3) y ?
1 x2

(4) y ?

1
4

x3

两个函数的和(或差)积商的导数 (1)和差的导数: ; (2)积的导数: ; (3)商的导数: 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y ? x3 ? 2x ? 3 的导数.



例 1 求下列函数的导数: (1) y ? log 2 x ; (2) y ? 2e x ; (3) y ? 2x5 ? 3x2 ? 5x ? 4 ; (4) y ? 3cos x ? 4sin x

例 3 已知直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的弧 AOB 上 求一点 P,使△ABP 的面积最大. (提示:点 P 为抛物线上与 AB 平行的切线的切点)

练 1. 求下列函数的导数: (1) y ? x3 ? log2 x ; (2) y ? xnex ; (3) y ?
x3 ? 1 sin x

练 2.曲线 y ?

sin x 在点 M (? , 0) 处的切线方程为 x

. .
1 x

练 3.若 f ( x ) ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 100) ,则 f ?(0) = 课后作业 1. 函数 y ? x ? 的导数是(
1 x

)A. 1 ?

1 x2

B. 1 ?

C. 1 ? A.e

1 x2

D. 1 ? C.

1 x

2.已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值是( 3.函数 y ? sin x(cos x ? 1) 的导数是( ) A. cos 2 x ? cos x B. cos 2 x ? sin x 4.函数 y ?
cos x 的导数是( x



B.-e D. cos2 x ? cos x

1 e

D. ?

1 e

C. cos 2 x ? cos x B.? sin x

)A.?

sin x x2

C.?

x sin x ? cos x x2

D.?

x cos x ? cos x x2

5.若 f ( x) ? 2 x ,则 f / (2) ? . 2 6.设函数 f ( x) ? 13 ? 8x ? 2x ,且 f ?( x0 ) ? 4 ,则 x0 = . ? ? 7.已知函数 f ( x) ? f ?( ) cos x ? sin x ,则 f ( ) ? . 4 4 8. 已知函数 y ? x ln x . (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线方程.

9.已知点 P 是曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 4x ? 10 上的任意一点,过点 P 作曲线的切线.求: (1)切线倾斜角 ? 的取值范围; (2)斜率最小的切线方程.

复合函数求导 复习 1:求 y ? x ( x ? 4) 的导数
3 2

复习 2:求函数 y ? (2 x ? 3)2 的导数 复合函数的求导法则: 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导 ? ? 数.用公式表示为: y? x ? yu ? u x ,其中 u 为中间变量.即: y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导 数的乘积. 试试: (sin 2 x)? = 例 1 求下列函数的导数: (1) y ? (2x ? 3)2 ; (2) y ? e?0.05 x?1 ;

(3) y ? sin(? x ? ? ) ( ? 为常数) .

小结:复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代.
1

例 2(1)已知函数 f ( x) ? x 3 , g ( x) ? 2 x ? 3 ,求函数 f [ g ( x)] 与 g[ f ( x)] 的导数.

小结:求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量. 例 3 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b , g ( x) ? x 2 ? cx ? d ,且 f (2 x ? 1) ? 4 g ( x) , f (5) ? 30 , f ?( x) ? g ?( x) , 求 a , b , c , d 的值.

练习: 求下列函数的导数: (1) y ? cos ; (2) y ? x ? 1

x 3

课后作业 1.设 y ? sin 2 x ,则 y ? =( ) A. sin 2 x B. 2 sin x C. 2sin 2 x D. cos 2 x 2.设函数 f ( x) ? (1 ? 2x 3 )10 ,则f / (1) 等于( ) A. 0 B.-1 C.-60 D. 60 3.设 y ? 1 ? a ? 1 ? x ,则 y? 等于( ) 1 1 1 1 1 1 ? ? A. B. C. D. ? 2 1? a 2 1? x 2 1? x 2 1? a 2 1? x 2 1? x 1 4.已知函数 f ?( x) ? (其中 x ? 0 ) ,若 k 为大于 0 的常数,则 f ( x) 可能是( x k x?k A. ln(x ? k ) B. ln kx C. ln D. ln 2 x k 5.函数 y ? ln 3 e x ? 2 的导数是_________________. 6.曲线 y ? 3 3x 2 ? 1 在点 (1, 3 4 ) 处的切线方程是___________________. 7. 求下列函数的导数; (1) y ?
x2 ; (2 x ? 1)3



(2) y ? 2e? x ;

(3) y ? 2 x tan x . .

8.曲线 y ? x(1 ? ax) 2 (a ? 0), 且 y / 填空题:

x ?2

? 5 ,则实数 a =

f (1 ? ?x) ? f (1) 1 . 若 f / (1) ? 2 0 1, = 2则 l i m ?x ? 0 ?x f (1) ? f (1 ? ?x) f (1 ? 2?x) ? f (1) lim = , lim = ?x ? 0 ?x ?0 4?x ?x 2.函数 y= e - x 的导数为 1 3. 若函数 f ( x) 满足, f ( x) ? x 3 ? f ?(1) ? x 2 ? x, 则 f ?(1) 的值 3 3 ' 4.若 f ( x) ? x , f ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为________________;

, lim

?x ? 0

f (1 ? ?x) ? f (1) = ? ?x





5.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________; 6.函数 y ? x 3 ? x 2 ? 5x ? 5 的单调递增区间是__________________________。
1? a , x ?1 若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 l : y ? ?2 x ? 1 平行,则 a 的值 8. 函数 f ( x) ? x3 ? 4x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________。

7. 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ?

9.若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 在 R 增函数,则 a, b, c 的关系式为是



10. 若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________; 11. 设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,则 ? =__________
? a ? 12. 对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则数列 ? n ? 的前 n 项 ? n ? 1? 和的公式是

2

解答题 1. 求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 相切的直线方程。 2. 求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。 ? 1 3 ? ? ? ? ? ? ? 3. 平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( , ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 x ?a ? t ( 2? 3 ) b ,y ??k a? tb , 且 2 2 ? ? x ? y ,试确定函数 k ? f (t ) 的单调区间。 4. 求函数 y ? (1 ? cos 2 x)3 的导数。 几种常见的函数导数:
C ' ? 0 ( C 为常数)

( s i xn )' ? c o x s ( c oxs )' ? ? s i x n
( l oa g x) ' ? 1 l oa ge x

( x n ) ' ? nxn?1 ( n ? R )
(ln x) ' ? 1 x

(e x ) ' ? e x

(a x ) ' ? a x ln a


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