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参数方程、极坐标讲义


参数方程、极坐标
一.直线的参数方程
(1)标准式

l 过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 (如图) 的参数方程是?

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?
这里直线 l 的方向向量可以选定为 (cos ? ,sin ? ) ,

由 P 0 P ? t (cos? ,sin? ) 引出直线的标准式参数方程,进而引入参数 t 的几何意义 (2)一般式 过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 斜率 k ? tan ? ?

????

b 的直线 l 的参数方程是 a

? x ? x0 ? at ( t 为参数) ? ? y ? y 0 ? bt


2 2

在一般式②中,参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义,若 a ? b ? 1 ,②即为标准式,此时, t 表示直线
2 2 P 到定点 P a ?b t 上动点 P 到定点 P 0 的距离;若 a ? b ? 1 ,则动点 0 的距离
2 2

l 直线参数方程的应用:设过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 的参数方程是 ? l 若P 1, P 2 是 上的两点,它们所对应的参数分别为 t1 , t2 ,则

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? y ? y0 ? t sin ?

(1) P 1, P 2 两点的坐标分别是 ( x0 ? t1 cos ? , y0 ? t1 sin ? ) , ( x0 ? t2 cos ? , y0 ? t2 sin ? ) ; (2) PP 1 2 ? t1 ? t2 ;

P 所对应的参数为 t ,则 t ? (3)线段 PP 1 2 的中点
(4) P 1 2 的中点,则 t1 ? t2 ? 0 .? 0 为线段 PP 例 1.若直线的参数方程为 ? A.

t1 ? t2 t1 ? t2 ,中点 P 到定点 P ; 0 ? t ? 0 的距离 PP 2 2

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
3 2
D. ?



2 3

B. ?

2 3

C.

3 2
) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

例 2.将参数方程 ? A. y ? x ? 2

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 y ? sin ? ? ?
B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

例 3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 例 4.直线 ? 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2
例5
? ?x=2+t, x2 y2 (2014· 新课标全国Ⅰ)已知曲线 C: + =1,直线 l :? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值. d (2)设出点 P 的坐标的参数形式.求出点 P 到直线 l 的距离 d,则|PA|= .转化为求关于 θ 的三角 sin30° 函数的最值问题,利用辅助角公式 asinθ +bcosθ = a +b sin(θ +φ )求解.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cosθ ,3sinθ )到 l 的距离为 d= 5 |4cosθ +3sinθ -6|, 5
2 2

d 2 5 4 则|PA|= = |5sin(θ +α )-6|,其中 α 为锐角,且 tanα = . sin30° 5 3
?x=1+4cos θ ? 例 6 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),直线 l 经过定点 P(3,5), ? ?y=2+4sin θ

π 倾斜角为 . 3 (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|PA|· |PB|的值.

二.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b),半径为 r 的圆的参数方程是 ?

? x ? a ? r cos? (φ 是参数)? ? y ? b ? r sin ?

φ 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角,φ ∈[0,2π ](见图) (2)椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的参数方程是 a2 b2

? x ? a cos? ? ? y ? b sin ?

(φ 为参数)

椭圆

y2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的参数方程是? a2 b2

? x ? b cos? (φ 为参数) ? ? y ? a sin ?
例 5.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

三.极坐标?
极坐标系 在平面内取一个定点 O, 从 O 引一条射线 Ox, 选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通 常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O 点叫做极点,射线 Ox 叫 做极轴.? ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可. 点的极坐标 设 M 点是平面内任意一点,用ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表示射线 Ox 到 OM 的角度 ,那 么ρ 叫做 M 点的极径,θ 叫做 M 点的极角,有序数对(ρ ,θ )叫做 M 点的极坐标.(见图) 极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与 x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ? '

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?tg? ? ( x ? 0) x ?


例 6.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

?
3

)

B. (2, ?
2

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ? )

?
3

), (k ? Z )

例 7.化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x ? y ? 0或y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2 2

D. y ? 1

例 8.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

) D.一个圆

C.一条直线和一个圆

参数方程、极坐标答案
例 1.答案: (D) 例 2. 答案: (C)

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

例 3. 答案:

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0) ,而 A(1, 2) ,得 AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t
直 线 为 x ? y ?1 ? 0 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

例 4 . 答 案 : 14

1 2 ,弦长的一半为 ? 2 2

22 ? (

2 2 14 ,得弦长为 14 ) ? 2 2
4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

例 5. 解:设椭圆的参数方程为 ?

?

4 5 4 5 ? cos? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3

当 cos(? ? 例 6.答案:C 例 7. 答案:C 例 8.答案:C

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5

(2, 2k? ?

2? ), ( k ? Z ) 都是极坐标 3

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
?
2 , 或 x2 ? y 2 ? 4 y

则 ? ? k? ?

课后习题
1.直线 l 的参数方程为 ? 是( ) B. 2 t1 C. 2 t1 D.

?x ? a ? t (t为参数) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之间的距离 ?y ? b ?t

A. t1

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,则 AB 的中点坐标为( ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
A. (3, ?3) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3) ) D. ( ?5,



4.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. ( ?5,

? ) 3

C. (5,

?
3

)

5? ) 3


5.与参数方程为 ?

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(

y2 ?1 A. x ? 4
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1) B. x ? 4
2

C. x ?
2

y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

D. x ?
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


6.直线 ? A. 98

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t
B. 40

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

二、填空题

1 ? ?x ? 1? 1.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?

2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。 4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?

1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )
x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

2.点 P 在椭圆

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。

参考答案
一、选择题 1.C 2.D 距离为 t1 ? t1 ?
2 2

2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线
t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

3.D

1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 中点为 ? ?? ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2
4.A 圆心为 ( , ?

5 2

5 3 ) 2

5.D

y2 y2 2 2 x ? t, ? 1? t ? 1? x , x ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4
2

6.C

? 2 x ? ?2 ? 2t ? ? ? x ? ?2 ? t ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题 1. y ?

x( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1) 2

1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1? t 2 , t 1? x
即 y ? 1? (

1 2 x( x ? 2) ) ? ( x ? 1) 1? x ( x ? 1)2

2. (3, ?1)

y ?1 4 ? , ?( y ? 1)a ? 4 x ? 12 ? 0 对于任何 a 都成立,则 x ? 3, 且y ? ?1 x ?3 a
椭圆为

3. 22

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 cos? , 2sin ? ) , 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ?) ? 22
4. x ? y
2

? ? t a n??

1 s i? n ? ,? c 2o s? ? 2 co? s c o? s

s? i n 2? ,

2

c?o ?s ? 即 ? sxi2n? y ,

4t ? x? ? ? 1? t2 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t ; 1? t2

4t ? x? ? 4t ? 1? t2 而 y ? tx ,即 y ? ,得 ? 2 1? t2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然

y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 2 y x x cos ? ?1 x2

1 1 2 tan ? x ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2 ? ? ? ? cos 2 ? 2 2 2 1 ? tan ? y y 2 ?1 1 1 y2 y x x 即x? ? ? ? , x (1 ? ) ? ?1 2 2 2 2 y y y 2 x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 得x? x x
2.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ?

12cos ? ? 12sin ? ? 24 5

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? , 5
当 cos(? ? 当 cos(? ?

?

?
?
4 4

) ? ?1 时, d max ? ) ? 1 时, d min

12 (2 ? 2) ; 5 12 ? (2 ? 2) 。 5

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2


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