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利用空间向量求空间角2016年11月28日


凯里一中数学组:龙朝芬

高考考纲要求:
能用向量方法解决异面直线的夹角、线 面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中 的应用.

命题趋势:
在高考中,本部分知识是考查的重点内容之 一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角 的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联 系较多.

一、空间角公式


1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线 l , m 的方向向量分

? ? 别为 a , b ,异面直线 l , m 所成的角为 ? .

l

?

? a
? b
?
2

? m
? ? a ?b ? ? cos ? ? cos a, b ? ? ? a b

范围: (0,

]

一、空间角公式
??? ? ? 2、线面角公式:设直线 l 为平面 ? 的斜线, AB 为 l 的方向向量, n
为平面 ? 的法向量, ? 为 l 与 ? 所成的角.

l
A

B

? n
?
2

?
O
范围: [0,

?

??? ? ? AB ? n ??? ? ? sin ? ? cos AB, n ? ??? ? ? AB n

]

一、空间角公式
? ? 3、面面角公式:设 n1 ,n2 分别为平面 ? 、? 的法向量,二面角为 ? . ?? ? ?? ? n2 ? ? n2 ?? ?
n1

?? ? n1

?
l

?
l

?

?

? ? ? ? n1 , n2
? ? cos? ? cos n1 , n2 ? ? n1 ? n2 ? ? ? n1 n2



? ? ? ? ? ? n1, n2

范围: [0, ? ]

二、典例分析
OA//BC ,?AOC ? 90 ,SO ? 如图, 已知: 在直角梯形 OABC 中,
?

面 OABC ,且 OS ? OC ? BC ? 1, OA ? 2 .求: (1)异面直线 SA 和 OB 所成的角的余弦值; (2) OS 与面 SAB 所成角 ? 的正弦值; (3)二面角 B ? AS ? O 的余弦值.

S

O B A

C

二、典例分析
解: 如图建立空间直角坐标系, 则 O(0,0,0) ,A(2, 0, 0) ,B(1,1, 0) ,

??? ??? ? 于是我们有 SA ? (2,0, ?1) ,AB ? (?1,1,0) , C (0,1, 0) ,S (0, 0,1) ,

??? ? ??? ? OB ? (1,1,0) , OS ? (0,0,1) , ??? ??? ? ??? ??? ? SA ? OB 2 10 (1) cos SA, OB ? ??? ??? , ? ? ? 5 5? 2 SA OB
10 所以异面直线 SA 和 OB 所成的角的余弦值为 . 5

二、典例分析
? (2)设平面 SAB 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

? ??? ? ? ?? x ? y ? 0, ?n ? AB ? 0, 则 ? ? ??? ,即 ? ?2 x ? z ? 0. ? ?n ? SA ? 0,

? 取 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? 2 ,所以 n ? (1,1, 2) ,
??? ? ? ??? ? ? OS ? n 2 6 ? sin ? ? cos OS , n ? ??? ? . ? ? ? 3 OS n 1? 6

二、典例分析
?? (3)由(2)知平面 SAB 的法向量 n1 ? (1,1,2) ,
??? ? 又? OC ? 平面 AOS , ?OC 是平面 AOS 的法向量, ?? ?? ? ?? ? ??? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 6 令 n2 ? OC ? (0,1,0) ,则有 cos n1 , n2 ? ?? . ? ?? ? ? 6 ?1 6 n1 n2
∴二面角 B ? AS ? O 的余弦值为

6 . 6

[思路分析]建系→求相关点坐标→求 相关向量坐标→向量运算→结论

三、巩固与提高
1 、 在 长 方 体 A B C? D
1

中 , AB ? 2 , A 1 B 1 C 1 D

E 、 F 分别 A BC ? AA 1 ? 1 ,点 1C1 , AD 1 的中点,求:
(1)异面直线 EF 和 CD 所成的角的余弦值; (2) D1C1 与平面 A 1 BC1 所成角的正弦值;

ABCD 所成的锐二面角的余弦值. (3)平面 A 1 BC1 与平面

三、巩固与提高
2、如图所示,四棱锥 P ? ABCD , ?ABC 为边长为 2 的 正三角形, CD ? 3 , AD ? 1 , PO 垂直于平面 ABCD 于 O , O 为 AC 的中点, PO ? 1 ,求: (1)异面直线 AB 与 PC 所成角的余弦值; (2)平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值.

四、课堂小结 向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤:

建系

求两异面直线的方向向量
求两方向向量的夹角的余弦值

得两异面直线所成角的余弦值

四、课堂小结

向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤:

建系 求直线的方向向量 求平面的法向量

求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值
得直线与平面所成角的正弦值

四、课堂小结 法向量法求二面角的余弦值的一般步骤:

建系 求两平面的法向量

求两法向量的夹角的余弦值

得二面角的余弦值

五、课后作业

作业 三维设计: 课时跟踪检测(四十八)

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