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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第三章 第5讲 三角函数的图象与性质


第 5 讲 三角函数的图象与性质

正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 {x|x∈R 且 x≠kπ + 定义域 值域 周期性 奇偶性 R [-1,1] 2π 奇函数 π [2kπ - ,2kπ + 2 π ](k∈Z)为增;[2kπ 2 π + ,2kπ + 2 3π ](k∈Z)为减 2 对称中心 对称轴 [做一做] π 1.设函数 f(x)=sin?2x- ?,x∈R,则 f(x)是( 2? ? A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 答案:B 2.函数 y=tan 3x 的定义域为____________. ) (kπ ,0)(k∈Z) π x=kπ + (k∈Z) 2 π (kπ + ,0) (k∈Z) 2 x=kπ (k∈Z) [2kπ ,2kπ + π ](k∈Z)为减;[2kπ -π ,2kπ ](k∈Z)为 增 R [-1,1] 2π 偶函数 π ,k∈Z} 2 R π 奇函数 y=sin x y=cos x y=tan x

?kπ -π , 2 ?
π kπ + ?(k∈Z)为 2? 增

单调性

kπ ( ,0)(k∈Z) 2 无

答案:?x?x≠
? ?

?

? π kπ + ,k∈Z? 6 3 ?

1.辨明三个易误点 π π (1)y=tan x 不能认为其在定义域上为增函数,应在每个区间?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 2 2? ? 内为增函数. (2)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结. (3)求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意 ω 的符号,只有当 ω>0 时,才能把 ωx +φ 看作一个整体,代入 y=sin t 的相应单调区间求解. 2.求三角函数值域(最值)的两种方法 (1)将所给函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,通过分析 ωx+φ 的范围,结合图象写出函 数的值域; (2)换元法:把 sin x(cos x)看作一个整体,化为二次函数来解决. [做一做] 3.若函数 f(x)=-cos 2x,则 f(x)的一个递增区间为( ) π A.?- ,0? ? 4 ? π 3π C.? , ? 4 ? ?2 π B.?0, ? 2? ? D.? 3π ? ? 4 ,π ?

π 解析:选 B.由 f(x)=-cos 2x 知递增区间为?kπ,kπ+ ?,k∈Z,故只有 B 项满足. 2? ? π π 4.函数 f(x)=sin?2x- ?在区间?0, ?上的最小值为( 4? 2? ? ? A.-1 C. 2 2 B.- D.0 2 2 )

π π π 3π π 2 解析: 选 B.由已知 x∈?0, ?, 得 2x- ∈?- , ?, 所以 sin?2x- ?∈?- ,1?, 4 ? 4 2? 4 ? 4? ? 2 ? ? ? π π 2 故函数 f(x)=sin?2x- ?在区间?0, ?上的最小值为- . 2 4? 2? ? ?

,[学生用书 P64~P66]) 考点一__三角函数的定义域和值域____________ (1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________; (2)(2014· 高考大纲全国卷)函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为________. [解析] (1)要使函数有意义,必须有 sin x-cos x≥0,

即 sin x≥cos x,同一坐标系中作出 y=sin x,y=cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示.

结 合 图 象 及 正 、 余 弦 函 数 的 周 期 是 2 π 知 , 函 数 的 定 义 域 为
? ? π 5π ?x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z?. 4 4 ? ?

(2)y=cos 2x+2sin x=-2sin2x+2sin x+1,设 t=sin x(-1≤t≤1),则原函数可以化为 y 1 2 3 1 3 t- ? + ,∴当 t= 时,函数取得最大值 . =-2t2+2t+1=-2? ? 2? 2 2 2 [答案] (1)?x|2kπ +
? ? ? π 5π ≤x≤2kπ + ,k∈Z? 4 4 ?

3 (2) 2 π 本例(2)变为函数 y=cos 2x+4sin x(|x|≤ )的最大值为________. 6 1 1 解析:y=cos 2x+4sin x=-2sin2x+4sin x+1,设 t=sin x(- ≤t≤ ),则原函数可以化 2 2 1 5 为 y=-2t2+4t+1=-2(t-1)2+3,∴当 t= 时,函数取得最大值 . 2 2 5 答案: 2 [规律方法] (1)三角函数定义域的求法: 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组), 常借助三角函数线或三角函数 图象来求解. (2)三角函数值域的不同求法: ①利用 sin x 和 cos x 的值域直接求. ②把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域(本讲典例 2(3)). ③把 sin x 或 cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域. ④利用 sin x±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域. 1.(1)函数 y= 2+log1x+ tan x的定义域为________;
2

(2)函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域为________. 解析:(1)要使函数有意义,

? 0<x≤4, ?x>0 ? ? 则? ?? π tan x≥0 kπ≤x<kπ+ (k∈Z). ? 2 ? π ? ?x≠kπ+ 2 ,k∈Z
2+log1x≥0
2

利用数轴可得函数的定义域是

? ? π ?x|0<x< 或π≤x≤4?. 2 ? ?

(2)设 t=sin x+cos x, t2-1 则 sin xcos x= (- 2≤t≤ 2). 2 1 1 1 y=t+ t2- = (t+1)2-1, 2 2 2 1 当 t= 2时,y 取最大值为 2+ , 2 当 t=-1 时,y 取最小值为-1. 1 ∴函数值域为[-1, + 2]. 2
? ? π 1 答案:(1)?x|0<x< 或π ≤x≤4? (2)[-1, + 2] 2 2 ? ?

考点二__三角函数的单调性(高频考点)__________ 三角函数的单调性是每年高考命题的热点, 题型既有选择题也有填空题, 或解答题某一 问出现,难度适中,多为中档题. 高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度: (1)求已知三角函数的单调区间; (2)已知三角函数的单调区间求参数; (3)利用三角函数的单调性求值域(或最值); (4)利用三角函数的单调性比较大小. π (1)函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间是( 3? ? A.? B.? )

? ? 2 -12, 2 + 12 ?(k∈Z)
kπ π kπ 5π



π





? ? 2 -12, 2 + 12 ?(k∈Z)

π 2π C.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? π 5π D.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 12 12 ? ? π π (2)已知 ω>0, 函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?上单调递减, 则 ω 的取值范围是( 4? ?2 ? ? 1 5? A.? ?2,4? 1? C.? ?0,2? 1 3? B.? ?2,4? D.(0,2) )

(3)(2015· 江西南昌模拟)已知函数 f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-2. ①求 f(x)的单调增区间;

π 3π ②当 x∈? , ?时,求函数 f(x)的最大值,最小值. 4 ? ?4 π π π kπ π kπ 5π [解析] (1)由 kπ- <2x- <kπ+ (k∈Z),得 - <x< + (k∈Z),所以函 2 3 2 2 12 2 12 π kπ π kπ 5π 数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间为? - , + ?(k∈Z),故选 B. 3? 12 ? ? ? 2 12 2 (2)由 π ωπ π π π <x<π,ω>0,得 + <ωx+ <ωπ+ , 2 2 4 4 4

ωπ π π + ≥ , ? 2 4 2 π 3π? ? 又 y=sin x 在 , 上递减,所以? 2 ? ?2 π 3π ?ωπ+ 4 ≤ 2 ,
1 5 解得 ≤ω≤ ,故选 A. 2 4 [答案] (1)B (2)A π π π π (3)解: ①f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?, 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ , k∈Z, 2 4 2 4 ? ? 3π π 则 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 3π π 故 f(x)的单调增区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 8 8? ? 3π π 7π π 3π ②∵x∈? , ?,∴ ≤2x+ ≤ , 4 4 4 4 ? ?4 π 2 ∴-1≤sin?2x+ ?≤ , 4? 2 ? ∴- 2≤f(x)≤1, π 3π ∴当 x∈? , ?时,函数 f(x)的最大值为 1,最小值为- 2. 4 ? ?4 [规律方法] 三角函数单调性问题解题策略 (1)已知三角函数解析式求单调区间.①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析 式先化简,并注意复合函数单调性规律 “ 同增异减 ” ; ② 求形如 y = Asin(ωx + φ) 或 y = Acos(ωx+φ)(其中 ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但 如果 ω<0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系 求解. (3)利用三角函数的单调性求值域(或最值). 形如 y=Asin(ωx+φ)+b 或可化为 y=Asin(ωx +φ)+b 的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决. π π π π 2.(1)已知函数 f(x)=2sin?x+ ?,设 a=f? ?,b=f? ?,c=f? ?,则 a, ? 3? ?7? ?6? ?3? b,c 的大小关系是( A.a<c<b C.b<a<c ) B.c<a<b D.b<c<a

π π (2)(2015· 山东聊城期末测试)已知函数 f(x)=2sin ω x(ω>0)在区间?- , ?上的最小 ? 3 4?

值是-2,则 ω 的最小值等于( 2 A. 3 C.2

) 3 B. 2 D.3

π (3)函数 y=cos? -2x?的单调减区间为________. ?4 ? (4)函数 y=|tan x|的单调增区间为________. π 2π π π π π 10 解析:(1)a=f? ?=2sin π,b=f? ?=2sin =2,c=f? ?=2sin =2sin , 21 2 3 3 ?7? ?6? ?3? π 因 y=sin x 在?0, ?上递增,则 c<a<b. 2? ? π π ωπ ωπ (2)∵ω>0,- ≤x≤ ,∴- ≤ωx≤ . 3 4 3 4 由已知条件知-

ωπ

π 3 ≤- ,∴ω≥ . 3 2 2

π π? ? ? (3)由 y=cos? ?4-2x?=cos?2x- 4 ?,得 π 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z), 4 π 5π 故 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 π 5π 所以函数的单调减区间为?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z). 8 8 ? ? π (4)如图,观察图象可知,y=|tan x|的增区间是?kπ,kπ+ ?,k∈Z. 2? ?

π 5π π 答案:(1)B (2)B (3)?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) (4)?kπ ,kπ + ?,k∈Z 8 8 ? 2? ? ? 考点三__三角函数的奇偶性、周期性及对称性__ (1)(2014· 高 考 课 标 全 国 卷 Ⅰ) 在 函 数 ①y = cos|2x| , ② y = |cos x| , ③ y = π π cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有函数为( 6? 4? ? ? A.②④ C.①②③ B.①③④ D.①③ )

π 3π ? (2)(2015· 揭阳模拟)当 x= 时,函数 f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则函数 y=f? 4 ? 4 -x? ( ) A.是奇函数且图象关于点? π ? ? 2 ,0?对称

B.是偶函数且图象关于点(π ,0)对称

π C.是奇函数且图象关于直线 x= 对称 2 D.是偶函数且图象关于直线 x=π 对称 [解析] (1)①y=cos|2x|=cos 2x,T=π. ②由图象知,函数的周期 T=π. ③T=π. π ④T= . 2 综上可知,最小正周期为π的所有函数为①②③. π (2)∵当 x= 时,函数 f(x)取得最小值, 4 ∴sin? 3π π ? ? 4 +φ?=-1,∴φ=2kπ- 4 (k∈Z).

3π 3π ∴f(x)=sin?x+2kπ- ?=sin?x- ?(k∈Z). 4 ? 4 ? ? ? ∴y=f? ∴y=f? 3π ? ? 4 -x?=sin(-x)=-sin x. π 3π ? ? 4 -x?是奇函数,且图象关于直线 x= 2 对称.

[答案] (1)C (2)C [规律方法] (1)三角函数的奇偶性的判断技巧: 首先要知道基本三角函数的奇偶性, 再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性; 也可以 根据图象做判断. (2)求三角函数周期的方法: ①利用周期函数的定义. 2π ②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的 |ω| π 最小正周期为 . |ω| ③利用图象. (3)三角函数的对称性: 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数的图象只是中心对 称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. [提醒] 判断函数的奇偶性时,必须先分析函数定义域是否关于原点对称. 3π 3.(1)(2015· 宁夏银川联考)已知函数 f(x)=sin?2x+ ?(x∈R),下面结论错 2 ? ? 误的是( ) A.函数 f(x)的最小正周期为π B.函数 f(x)是偶函数 π C.函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称 4 π D.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ? (2)(2014· 高考北京卷)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0).若 f(x)

在区间?

π π? π 2π π 且 f? ?=f? ?=-f? ?, ? 6 , 2 ?上具有单调性, ?2? ? 3 ? ? 6 ? 则 f(x)的最小正周期为________.

3π 解析: (1)f(x)=sin?2x+ ?=-cos 2x, 故其最小正周期为π, 故 A 正确; 易知函数 f(x) 2 ? ? π 是偶函数,B 正确;由函数 f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数 f(x)的图象不关于直线 x= 对 4 π 称,C 错误;由函数 f(x)的图象易知,函数 f(x)在?0, ?上是增函数,D 正确,故选 C. 2? ? π π T π π (2)∵f(x)在? , ?上具有单调性,∴ ≥ - , 2 2 6 ?6 2? 2π ∴T≥ . 3 π 2π ∵f? ?=f? ?, ?2? ? 3 ? π 2π + 2 3 7π ∴f(x)的一条对称轴为 x= = . 2 12 π π 又∵f? ?=-f? ?, ?2? ?6? π π + 2 6 π ∴f(x)的一个对称中心的横坐标为 = . 2 3 7π π π 1 ∴ T= - = ,∴T=π. 4 12 3 4 答案:(1)C (2)π

考题溯源——函数 y=Asin(ωx+φ)的性质 (2014· 高考福建卷)已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). 5π (1)求 f? ?的值; ? 4 ? (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. [解] 法一:(1)f? =-2cos 5π? 5π? 5π? 5π =2cos sin +cos 4 4 4 4 ? ? ? ?

π? π π -sin -cos ?=2. 4? 4 4?

π (2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1= 2sin?2x+ ?+1, 4? ? 2π 所以 T= =π. 2

π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 8 8? ? 法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1 π = 2sin?2x+ ?+1. 4? ? (1)f? 11π π 5π? ? 4 ?= 2sin 4 +1= 2sin 4 +1=2.

2π (2)T= =π. 2 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 8 8? ? [考题溯源] 本考题源于教材人教 A 版必修 4 P147 复习参考题 A 组 11 题 “已知函数 f(x)=2sin x(sin x+cos x). (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; π π (2)画出函数 y=f(x)在区间?- , ?上的图象.” ? 2 2? π π (2015· 河北高阳中学第一次月考)已知函数 f(x)=cos?2x- ?+2sin?x- ? 3? ? ? 4? π sin?x+ ?. ? 4? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; π π (2)求函数 f(x)在区间?- , ?上的值域. ? 12 2 ? π π π 解:(1)∵f(x)=cos?2x- ?+2sin?x- ?·sin?x+ ? 3? ? ? 4? ? 4? 1 3 = cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)· (sin x+cos x) 2 2 1 3 = cos 2x+ sin 2x+sin2x-cos2x 2 2 1 3 = cos 2x+ sin 2x-cos 2x 2 2 π =sin?2x- ?. 6? ? 2π π kπ ∴函数 f(x)的最小正周期为 T= =π,对称轴方程为 x= + ,k∈Z. 2 3 2

π π (2)∵x∈?- , ?, ? 12 2 ? π π 5π ∴2x- ∈?- , ?. 6 ? 3 6 ? π π π π π ∴f(x)=sin?2x- ?在区间?- , ?上单调递增,在区间? , ?上单调递减, 6? ? ? 12 3 ? ?3 2? π ∴当 x= 时,f(x)取最大值 1. 3 π 3 π 1 又∵f?- ?=- <f? ?= , 2 ?2? 2 ? 12? π 3 ∴当 x=- 时,f(x)取最小值- . 12 2 π π 所以函数 f(x)在区间?- , ?上的值域为 ? 12 2 ?

?- 3,1?. ? 2 ?

1.函数 y= π π A.?- , ? ? 6 6?

cos x-

3 的定义域为( 2

)

π π B.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 6 6? ? π π C.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 6 6? ? D.R 解析:选 C.∵cos x- π π 3 3 ≥0,得 cos x≥ ,∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2 6 6 )

2.函数 f(x)=(1+sin x)(sin2x+cos2x-sin x)是( A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 C.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数

1 1 解析:选 B.f(x)=(1+sin x)(1-sin x)=1-sin2x=cos2x= cos 2x+ ,所以 f(x)是最小正 2 2 周期为π的偶函数. 3.函数 y=2sin? A.-1- 3 C.0 解析:选 D.∵0≤x≤9,∴- ∴sin? πx π? ? 3 ? ? 6 - 3 ?∈?- 2 ,1?. πx π? ? 6 - 3 ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( B.-1 D.2- 3 π πx π 7π ≤ - ≤ , 3 6 3 6 )

∴y∈[- 3,2],∴ymax+ymin=2- 3. π 4.如果函数 y=3sin(2x+φ)的图象关于直线 x= 对称,则|φ|的最小值为( 6 π A. 6 π C. 3 解析: 选 A.依题意得, sin? π 因此|φ|的最小值是 . 6 π B. 4 π D. 2 π π π π ? 1, 则 +φ=kπ+ (k∈Z), 即 φ=kπ+ (k∈Z), 3 2 6 ? 3 +φ?=± )

5.(2014· 高考安徽卷)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时,f(x) =0,则 f? 1 A. 2 C.0 23π ? ? 6 ?=( ) B. 3 2

1 D.- 2

解析:选 A.∵f(x+π)=f(x)+sin x, ∴f(x+2π)=f(x+π)-sin x. ∴f(x+2π)=f(x)+sin x-sin x=f(x). ∴f(x)是以 2π为周期的周期函数. 又 f? 23π? ? π? ? π? ? 6 ?=f?4π- 6 ?=f?- 6 ?,

π π π f?- +π?=f?- ?+sin?- ?, ? 6 ? ? 6? ? 6? ∴f? 5π? ? π? 1 ? 6 ?=f?- 6 ?-2. 5π? ? 6 ?=0,

∵当 0≤x<π时,f(x)=0,∴f? ∴f? 23π? ? π? 1 ? 6 ?=f?- 6 ?=2.故选 A.

π π 6.比较大小:sin?- ?________sin?- ?. ? 18? ? 10? π π π π π 解析:因为 y=sin x 在?- ,0?上为增函数且- >- ,故 sin?- ?>sin?- ?. 18 10 ? 2 ? ? 18? ? 10? 答案:> 7.(2014· 高考山东卷)函数 y= 解析:∵y= 2π 周期 T= =π. 2 答案:π π π 8.函数 y=2sin?2x+ ?-1,x∈?0, ?的值域为________,并且取最大值时 x 的值为 3? 3? ? ? ________. π π π 解析:∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤π, 3 3 3 π ∴0≤sin?2x+ ?≤1, 3? ? π π π ∴-1≤2sin?2x+ ?-1≤1,即值域为[-1,1],且当 sin?2x+ ?=1,即 x= 时,y 12 3? 3? ? ? 取最大值. 3 sin 2x+cos2x 的最小正周期为________. 2

π 1 3 3 1 1 sin 2x+cos2x= sin 2x+ cos 2x+ =sin?2x+ ?+ ,∴函数的最小正 2 2 2 2 6? 2 ?

答案:[-1,1]

π 12

9.已知函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x. (1)求 f(x)的单调减区间; (2)求 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标. π 解:f(x)= 3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+ ). 6 π π 3π (1)由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)得, 2 6 2 π 2π kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 6 3 ∴f(x)的单调减区间为[kπ+ π 2π ,kπ+ ](k∈Z). 6 3

π π (2)由 sin(2x+ )=0,得 2x+ =kπ(k∈Z), 6 6 kπ π 即 x= - (k∈Z). 2 12 π ∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(- ,0). 12 π 3 10.(2014· 高考天津卷)已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos2x+ ,x∈R. 4 ? 3? (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4? 解:(1)由已知,有 3 1 3 f(x)=cos x·? sin x+ cos x?- 3cos2x+ 4 2 ?2 ? 1 3 3 = sin x·cos x- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π 1 = sin?2x- ?. 2 ? 3? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π π π (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数. 12? ? 4 ? 12 4 ? π π π 1 1 1 f?- ?=- ,f?- ?=- ,f? ?= , 4 ? 12? 2 ?4? 4 ? 4? π π 1 1 所以,函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 4 4?

π π 2π 1.若函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω >0,且|φ|< ?在区间? , ?上是单调减函数,且函数 2? 3 ? ? ?6 π 值从 1 减少到-1,则 f? ?=( ?4? 1 A. 2 C. 3 2 ) B. 2 2

D.1

解析:选 C.由题意得函数 f(x)的周期 T=2? +φ),将点?

? ? 3 - 6 ?=π,所以 ω=2,此时 f(x)=sin(2x
2π π

π π ? π? ?π ? ? ? 6 ,1?代入上式得 sin? 3 +φ?=1?|φ|< 2 ?,所以 φ= 6 ,

π 所以 f(x)=sin?2x+ ?, 6? ? π π π π 3 于是 f? ?=sin? + ?=cos = . 6 2 ?4? ?2 6? 2.(2015· 开封市第一次摸底)已知函数 f(x)=sin 2xcos φ +cos 2xsin φ (x∈R),其中 φ 为实数,且 f(x)≤f? 2π ? ?2π ? ?5π ? ?7π ? ? 9 ?对任意实数 R 恒成立,记 p=f? 3 ?,q=f? 6 ?,r=f? 6 ?,则 p、

q、r 的大小关系是( ) A.r<p<q B.q<r<p C.p<q<r D.q<p<r 解析:选 C.f(x)=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ=sin(2x+φ), ∴f(x)的最小正周期 T=π. ∵f(x)≤f? 2π? 2π ,∴f? ?是最大值. ? 9 ? ? 9 ?

25π 31π 7π π ∴f(x)=sin?2x+ ?,∴p=sin ,q=sin ,r=sin , 18 18 18 18? ? ∴p<q<r. π 7π 3 . 当 x∈ ? , ? 时,函数 y = 3 - sin x - 2cos2x 的最小值是 ________ ,最大值是 6 ? ?6 ________. 1 π 7π - ,1?. 解析:∵x∈? , ?,∴sin x∈? ? 2 ? 6 ? ?6 又 y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x) 1 2 7 sin x- ? + . =2? 4? 8 ? 1 7 ∴当 sin x= 时,ymin= , 4 8 1 当 sin x=- 或 sin x=1 时,ymax=2. 2 7 答案: 2 8 4.(2015· 内蒙古包头一模)给出下列命题:

π 5π ①函数 f(x)=4cos?2x+ ?的一个对称中心为?- ,0?; 3? ? ? 12 ? ②已知函数 f(x)=min{sin x,cos x},则 f(x)的值域为?-1,

?

2? ; 2?

③若 α、β 均为第一象限角,且 α>β,则 sin α >sin β . 其中所有真命题的序号是________. π π π 5 ? 5 5 解析:对于①,令 x=- π,则 2x+ =- π+ =- ,有 f? ?-12π?=0,因此 12 3 6 3 2

?- 5 π,0? 为 f(x) 的一个对称中心,①为真命题;对于 ② ,结合图象知 f(x) 的值域为 ? 12 ? ?-1, 2?,②为真命题;对于③,令 α=390°,β=60°,有 390°>60°,但 sin 390° 2? ?
1 3 = <sin 60°= ,故③为假命题,所以真命题为①②. 2 2 答案:①② π 5.(2015· 辽宁省五校联考)设函数 f(x)=sin ω x+sin?ωx- ?,x∈R. 2? ? 1 (1)若 ω= ,求 f(x)的最大值及相应 x 的集合; 2 π (2)若 x= 是 f(x)的一个零点,且 0<ω<10,求 ω 的值和 f(x)的最小正周期. 8 π 解:由已知:f(x)=sin ωx-cos ωx= 2sin?ωx- ?. 4? ? 1 1 π (1)若 ω= ,则 f(x)= 2sin? x- ?, 2 ?2 4 ? 1 π 又 x∈R,则 2sin? x- ?≤ 2, ?2 4 ? π 1 π ∴f(x)max= 2,此时 x- =2kπ+ ,k∈Z. 2 4 2
? ? 3π 即 x∈?x?x=4kπ+ ,k∈Z?. 2 ? ? ?

π (2)∵x= 是函数 f(x)的一个零点, 8 ∴ 2sin? π π π π ω - ?=0,∴ 8 ω- 4 =kπ,k∈Z, 4? ?8

π 又 0<ω<10,∴ω=2,∴f(x)= 2sin?2x- ?,此时其最小正周期为π. 4? ? π π 6. (选做题)已知 a>0, 函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b, 当 x∈?0, ?时, -5≤f(x)≤1. 6? 2? ? ? (1)求常数 a,b 的值; π (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? 2? π 解:(1)∵x∈?0, ?, 2? ?

π π 7π ∴2x+ ∈? , ?. 6 ?6 6 ? 1 π - ,1?, ∴sin?2x+ ?∈? 6? ? 2 ? ? π ∴-2asin?2x+ ?∈[-2a,a]. 6? ? ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. (2)由(1)得, π f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ? π g(x)=f?x+ ? ? 2? 7π =-4sin?2x+ ?-1 6 ? ? π =4sin?2x+ ?-1, 6? ? 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π ∴4sin?2x+ ?-1>1, 6? ? π 1 ∴sin?2x+ ?> , 6? 2 ? π π 5π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6 π π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k 6 6 2 6 ∈Z, π ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+ ?,k∈Z. 6? ? π π 5π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时, 2 6 6 π π g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3 π π ∴g(x)的单调减区间为?kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z. 6 3? ?


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