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2006年全国高中数学竞赛第一试试题及答案


2006 年全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 已知△ABC,若对任意 t ? R , BA ? t BC ? AC ,则△ABC 一定为 A.锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 ( )

2. 设 log x (2x2 ? x ?1) ? log x

2 ?1 ,则 x 的取值范围为 A.

1 ? x ?1 2

B. x ?

1 ,且 x ? 1 2

C. x ? 1

D. 0 ? x ? 1

【答】 (



3. 已知集合 A ? x 5x ? a ? 0 , B ? x 6x ? b ? 0 , a, b ? N ,且 A ? B ? N ? ?2,3,4 ? ,则 整数对 ?a, b ? 的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 ( )

?

?

?

?

?BAC ? 4. 在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,

?
2

, AB ? AC ? AA1 ? 1 . 已知G与E分别为 A1B1

和 CC1 的中点,D与F分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点). 若 GD ? EF , 则线段 DF 的长度的取值范围为 A. ?

? 1 ? , 1? ? 5 ?

B. ? , 2 ?

?1 ?5

? ?

C. ?1,

?

2

?

D. ?

? 1 , ? 5

? 2? ?

【答】 (



5. 设 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 ,则对任意实数 a , b , a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? 0 的 A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 6. 数码 a1 , a2 , a3 , A. ( ) B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 ( )

?

?

, a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2a3
C.10
2006

a2006 的个数为
【答】

1 1 (10 2006 ? 82006 ) B. (10 2006 ? 82006 ) 2 2

? 82006 D.102006 ? 82006

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
4 4 7. 设 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是



8. 若对一切 ? ? R, 复数 z ? (a ? cos ? ) ? (2a ? sin ? )i 的模不超过 2, 则实数 a 的取值范围为 . 9. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 与 F2 , 点 P 在直线 l:x ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 上. 16 4
1

当 ?F 1PF 2 取最大值时,比

PF1 PF2

的值为

.

10. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为

1 cm 的实心铁球,四个球两两相切,其 2

中底层两球与容器底面相切 . 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 cm3. 11. 方程 ( x2006 ? 1)(1 ? x2 ? x4 ?

? x2004 ) ? 2006x2005 的实数解的个数为
.

.

12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次恰 好取完所有红球的概率为 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 给定整数 n ? 2 ,设 M 0 ( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 ? nx ? 1 与直线 y ? x 的一个交点. 试证明 对于任意正整数 m ,必存在整数 k ? 2 ,使 ( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 ? kx ? 1与直线 y ? x 的一个交点.
m m

14. 将 2006 表示成 5 个正整数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 之和. 记 S ?

1?i ? j ?5

?

xi x j . 问:

(1)当 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 取何值时,S 取到最大值; (2)进一步地,对任意 1 ? i, j ? 5 有 xi ? x j ? 2 ,当 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 取何值时,S 取到最 小值. 说明理由.
2

15. 设 f ( x) ? x2 ? a . 记 f 1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,n ? 2,3,



1? ? M ? a ? R 对所有正整数 n, f n (0) ? 2 . 证明: M ? ?? 2, ? . 4? ?

?

?

3

参考答案
一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
1.【答】 ( C ) 【解】令 ?ABC ? ? ,过 A 作 AD ? BC 于 D。由 BA ? t BC ? AC ,推



BA ? 2tBA BC ? t 2 BC ? AC
2 2 2

2

2

2

, 令 t?

BA BC BC
2

, 代 入 上 式 , 得

BA ? 2 BA cos2 ? ? cos2 ? BA ? AC

2

, 即

BA sin 2 ? ? AC

2

2

,

也 即

BA sin ? ? AC 。从而有 AD ? AC 。由此可得 ?ACB ?
2. 【 答 】( B )【 解 】 因 为 ?

?
2



, ? 1 ? x?0 x , 解 得 2 2 x ? x ? 1 ? 0 ?

1 x ? ,x ?1 . 2



? 0 ? x ?1 log x (2x2 ? x ?1) ? log x 2 ?1 ? log x (2x3 ? x2 ? x) ? log x 2 ? ? 3 2 ?2 x ? x ? x ? 2




0 ? x ? 1; 或

x ?1 ? ? 3 2 ?2 x ? x ? x ? 2

解得

x ?1, 所以 x 的取值范围为 x ?

1 , 且 x ?1. 2

3. 【答】 ( C ) 【解】 5 x ? a ? 0 ? x ?

a b 6x ? b ? 0 ? x ? 。 ; 要使 A ? B ? N ? ?2,3,4? , 5 6

? b 1? ? 2 ? ? 6 ? b ? 12 ? 6 1 1 则? ,即 ? 。所以数对 ?a, b ? 共有 C6 C5 ? 30 。 a 20 ? a ? 25 ? ?4 ? ? 5 ? 5 ?
4.【答】 ( A ) 【解】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1

, 1 0 , () 为z轴,则 F (t1 ,0,0) ( 0 ? t1 ? 1 ) ,E

1 1 , G ( , 0,1) , D(0, t2 ,0) ( 0 ? t2 ? 1 ) 。所以 2 2

1 1 EF ? (t1 , ?1, ? ) , GD ? (? , t2 , ?1) 。 因 为 G D ? E F, 所 以 t1 ? 2t2 ? 1 , 由 此 推 出 2 2 0 ? t2 ? 1 2 2 1 2 2 2 。又 DF ? (t1 , ?t2 ,0) , DF ? t1 ? t2 ? 5t2 ? 4t2 ? 1 ? 5(t2 ? ) ? ,从 2 5 5

而有

1 ? DF ? 1 。 5
4

5.【答】 ( A ) 【解】显然 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 为奇函数,且单调递增。于是 若 a ? b ? 0 ,则 a ? ?b ,有 f (a) ? f (?b) ,即 f (a) ? ? f (b) ,从而有 f (a) ? f (b) ? 0 . 反之,若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则 f (a) ? ? f (b) ? f (?b) ,推出 a ? ?b ,即 a ? b ? 0 。 6. 【 答 】( B )【 解 】 出 现 奇 数 个 9 的 十 进 制 数 个 数 有
2006 k ?0

?

?

1 3 A ? C2006 92005 ? C2006 92003 ?

k 2005 92006?k 以 及 ? C2006 9 。 又 由 于 (9 ? 1)2006 ? ? C2006

k (9 ? 1)2006 ? ? C2006 (?1)k 92006?k ,从而得 k ?0

2006

1 3 A ? C2006 92005 ? C2006 92003 ?

2005 ? C2006 9?

1 2006 2006 (10 ? 8 ) 。 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
7.【解】

1 1 f ( x) ? sin 4 x ? sin x cos x ? cos 4 x ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 2 x 。令 t ? sin 2 x ,则 2 2 1 1 9 1 1 9 1 9 f ( x) ? g (t ) ? 1 ? t ? t 2 ? ? (t ? ) 2 。因此 min g (t ) ? g (1) ? ? ? 0, ?1? t ?1 2 2 8 2 2 8 2 4 1 9 1 9 9 max g (t ) ? g (? ) ? ? 0 ? 。 即得 0 ? f ( x) ? 。 ?1?t ?1 2 8 2 8 8
2 2

8. 【解】依题意,得 z ? 2 ? (a ? cos? ) ? (2a ? sin ? ) ? 4

? 2a(cos? ? 2sin ? ) ? 3 ? 5a2 ? ?2 5a sin(? ? ? ) ? 3 ? 5a2 ( ? ? arcsin
实数 ? 成立) ? 2 5 a ? 3 ? 5a 2

1 ) (对任意 5
5? ?。 5 ?

?a?

? 5 5 , . 故 a 的取值范围为 ? ? 5 5 ?

9. 【解】 由平面几何知,要使 ?F 1PF 2 最大,则过 F 1 , F2 ,P 三点的圆必定和直线 l 相切于 P 点。设直线 l 交 x 轴于 A (?8 ? 2 3,0) ,则 ?APF 1 ? ?AF 2 P ,即 ?APF 1

?AF2 P ,即

PF1 PF2

?

AP AF2

(1) ,又由圆幂定理, AP ? AF1 ? AF2 (2) ,而 F 1 (?2 3,0) , F 2 (2 3,0) ,

2

A (?8 ? 2 3,0) , 从 而 有 AF 1 ? 8 , AF2 ? 8 ? 4 3 。 代 入 ( 1 ),( 2 ) 得

PF1 PF2

?

AF1 AF2

?

8 ? 4 ? 2 3 ? 3 ?1 。 8? 4 3
5

10. 【解】 设四个实心铁球的球心为 O1 , O2 , O3 , O4 , 其中 O1 , O2 为下层两球的球心,A, B, C , D

分别为四个球心在底面的射影。则 ABCD 是一个边长为

2 2 的正方形。所以注水高为 1 ? 。 2 2

1 2 2 4 ?1? 故应注水 ? (1 ? )? 。 ) ? 4? ? ? ? = ( ? 3 2 2 3 ?2?
11.【解】 ( x 2006 ? 1)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2004 ) ? 2006x 2005

3

? (x ?

1 x
2005

)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? x 2005 ?

? x 2004 ) ? 2006 1 x
2005

? x ? x3 ? x5 ? ? 2006 ? x ?

?

1 x
2003

?

1
2001

1 1 ? x3 ? 3 ? ? x 2005 ? 2005 ? 2 1003 ? 2006 x x x 1 3 1 1 2005 ? 2005 ,即 x ? ?1 。 要使等号成立,必须 x ? , x ? 3 , , x x x x 但是 x ? 0 时,不满足原方程。所以 x ? 1 是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数
为 1 。 12. 【解】第 4 次恰好取完所有红球的概率为

x 1

?

?

1 ? 2006 x

2 ?9? 1 8 2 9 1 ?8? 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =0.0434. 10 ? 10 ? 10 10 10 10 10 ? 10 ? 10 10
三. 解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13. 【证明】
2 因 为 y ? nx ? 1 与 y ? x 的 交 点 为 x0 ? y0 ?

2

2

n ? n2 ? 4 .显然有 2

x0 ?

1 ? n 。…(5 分) x0
m m

m 2 若 ( x0 , y0 ) 为抛物线 y ? kx ? 1与直线 y ? x 的一个交点, 则 k ? x0 ?

1 . x0 m

… (10

分) 记 km ? x0 ?
m

1 ,则 x0 m

km?1 ? km ( x 0 ?

1 ) ? km? 1? nkm ? km? , 1 x0
6

(m ? 2)

(13.1)

由于 k1 ? n 是整数,k2 ? x0 2 ?

1 1 ? ( x0 ? )2 ? 2 ? n2 ? 2 也是整数,所以根据数学归纳法, 2 x0 x0
m

通过 (13.1) 式可证明对于一切正整数 m ,km ? x0 ?

1 是正整数. 现在对于任意正整数 m , x0 m
……… ……… …

取 k ? x0 ?
m

1 m m , 使得 y 2 ? kx ? 1 与 y ? x 的 交点为 ( x0 , y0 ) . m x0

(20 分) 14. 【 解】 ( 1 ) 首先 这 样的 S 的值 是 有界集 , 故 必存 在 最大 值 与最 小 值 。 若

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 2006 , 且使 S ?
xi ? x j ? 1,

1?i ? j ?5

?

xi x j 取到最大值,则必有
………(5 分) (*)

( 1? i ,j ? 5 )

? ? x1 ?1 ,x2 ? ? x2 ? 1, xi? ? xi ( i ? 3, 4,5 ) 事实上, 假设 (*) 不成立, 不妨假设 x1 ? x2 ? 2 。 则令 x1 ? ? x2 ? ? x1 ? x2 , x1 ? ? x2 ? ? x1x2 ? x1 ? x2 ?1 ? x1x2 。将 S 改写成 有 x1

S?

1?i ? j ?5

?

xi x j ? x1x2 ? ? x1 ? x2 ?? x3 ? x4 ? x5 ? ? x3 x4 ? x3 x5 ? x4 x5







?x2 ? ? ( x1 ? ? x2 ? ) ? x3 ? x4 ? x5 ? ? x3 x4 ? x3 x5 ? x4 x5 S? ? x1









S? ?

?x ?? S 在 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 时取到最大值矛盾。所以必有 xi ? x j ? 1, S? x 10 。这与 x 1 2 2 ? x
. 因 此 当

(1 ? i, j ? 5)
值。

x1 ? 4

0 x2 2 ? , x3 ?

x4 ?

取 到 0最 1 大 x5 ? 4

……………………(10 分)

(2)当 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 2006 且 xi ? x j ? 2 时,只有 (I) (II) (III) 402, 402, 402, 400, 400; 402, 402, 401, 401, 400; 402, 401, 401, 401, 401; ……………………(15 分)

三种情形满足要求。

而后面两种情形是在第一组情形下作 xi? ? xi ?1 , x?j ? x j ? 1 调整下得到的。根据上一小

7

题的证明可以知道,每调整一次,和式 S?

1?i ? j ?5

?


xi x j

变大。

所以在

x1 ? x2 ? x3 ? 4 0 2 , x4 ? x5 ? 4 0 0 情
值。









…………………(20 分)

1 | a| ?2 , a ? M 。 ………………………(5 15. 【证明】 (1)如果 a ? ?2 ,则 f (0) ?

分) (2)如果 ?2 ? a ?

1 1 n n?1 2 ,由题意 f (0) ? a , f (0) ? ( f (0)) ? a , n ? 2,3, . 则 4 1 1 1 n 1 ① 当 0 ? a ? 时, f (0) ? ( ?n ? 1 ) . 事实上, 当 n ? 1 时, f (0) ? a ? , 设 4 2 2
k k ?1

n ? k ? 1 时成立( k ? 2 为某整数) ,则对 n ? k , f (0) ? f

?1? 1 1 (0) ? a ? ? ? ? ? . ?2? 4 2
2

2

n 1 ② 当 ?2 ? a ? 0 时, f (0) ? a ( ?n ? 1 ).事实上,当 n ? 1 时, f (0) ? a , 设

k k ?1 2 n ? k ? 1 时成立 ( k ? 2 为某整数) , 则对 n ? k , 有 ? | a |? a ? f (0) ? f (0) ? a ? a ? a .

?

?

2

k 2 注意到 当 ?2 ? a ? 0 时,总有 a ? ?2a ,即 a2 ? a ? ?a ?| a | . 从而有 f (0) ?| a | .由归纳

法,推出 ? ?2, ? ? M 。 4

? ?

1? ?

……………(15 分)

( 3 ) 当 a?

1 1 n 时 , 记 an ? f ( 0 ) , 则 对 于 任 意 n ? 1 , an ? a ? 且 4 4
。 对 于 任 意

2 an?1 ? f n?1 (0) ? f ( f n (0)) ? f (an ) ? an ?a

n ?1



1 1 1 1 2 an ?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? ) 2 ? a ? ? a ? , 则 an ?1 ? an ? a ? 。 所 以 , 2 4 4 4 1 1 2?a an ?1 ? a ? an ?1 ? a1 ? n(a ? ) 。 当 n ? 2, 即 时 , an ?1 ? n( a? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 1 4 4 a? 4

f n?1 ( 0 )? 2 。 因 此 a ? M 。 综 合 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) , 我 们 有
1? ? M ? ?? 2, ? 。 4? ?
…………………………(20 分)
8


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