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高中数学(人教A版 选修2-1)活页规范训练:1-2-1,1-2-2充分条件与必要条件(Word有详解答案)


1.2 1.2.1

充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件

双基达标
1. “x2>2 013” 是“x2>2 012” 的 A.充分不必要条件 C.充要条件

?限时 20 分钟? ( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).

解析 由于“

x2>2 013” 时, 一定有“x2>2 012” , 反之不成立, 所以“x2>2 013” 是“x2>2 012” 的充分不必要条件. 答案 A 2. “|x|=|y|”是“x=y”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ).

解析 因|x|=|y|?x=y 或 x=-y,但 x=y?|x|=|y|. 答案 B 3. 函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是 A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 ( ).

解析 当 m=-2 时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线 x=1 对称,反之也成立,所以 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是 m=-2. 答案 A 4.给定空间中直线 l 及平面 α,条件“直线 l 与平面 α 内两条相交直线都垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的______条件. 解析 “直线 l 与平面 α 内两条相交直线都垂直”?“直线 l 与平面 α 垂直”. 答案 充要条件 5.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以为 x2<1 的一个充分 条件的所有序号为________. 解析 由于 x2<1 即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1 一定成立,②③④满足题意.

答案 ②③④ 6.判断 p:|x-2|≤5 是 q:x≥-1 或 x≤5 的什么条件,说明理由. 解 p 是 q 的充分不必要条件. ∵p:|x-2|≤5 的解集为 P={x|-3≤x≤7}; q:x≥-1 或 x≤5 就是实数集 R. ∴P?R,也就是 p?q,q p,

故 p 是 q 的充分不必要条件.

综合提高(限时 25 分钟)
7. 在△ABC 中, “sin 2A= A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 若 A=30°,显然有 sin 2A= 3 ” 是“A=30°” 的 2 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 3 3 ,但 sin 2A= 时,在△ABC 中,有 2A=60°或 2 2 3 ”是“A=30°”的必要不充分条件. 2 ( ).

2A=120°,即不一定有 A=30°,故“sin 2A= 答案 B 8.在下列三个结论中,正确的有

( ①x2>4 是 x3<-8 的必要不充分条件; ②在△ABC 中,AB2+AC2=BC2 是△ABC 为直角三角形的充要条件; ③若 a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b 不全为 0”的充要条件. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

).

解析 对于结论①,由 x3<-8?x<-2?x2>4,但是 x2>4?x>2 或 x<-2?x3>8 或 x3<-8, 不一定有 x3<-8,故①正确;对于结论②,当 B=90°或 C=90°时不能推出 AB2+AC2 =BC2,故②错;对于结论③,由 a2+b2≠0?a,b 不全为 0,反之,由 a,b 不全为 0?a2 +b2≠0,故③正确. 答案 C 9.设集合 A={x|x(x-1)<0},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”). 解析 由于 A={x|0<x<1},则 A ? B,所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件. 答案 充分不必要 10.已知条件 p:|x-1|>a 和条件 q:2x2-3x+1>0,则使 p 是 q 的充分不必要条件的最小正 整数 a=________. 解析 依题意 a>0.由条件 p:|x-1|>a

得 x-1<-a,或 x-1>a, ∴x<1-a,或 x>1+a. 由条件 q:2x2-3x+1>0, 1 得 x< ,或 x>1. 2 要使 p 是 q 的充分不必要条件,即“若 p,则 q”为真命题,逆命题为假命题,应有 1 ? ?1-a≤2, 1 ? 解得 a≥ . 2 ? ?1+a≥1, 令 a=1,则 p:x<0,或 x>2, 1 此时必有 x< ,或 x>1. 2 即 p?q,反之不成立. 答案 1 11.已知 p:x<-2 或 x>10,q:1-m≤x≤1+m2,若綈 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 解 綈 p:A={x|-2≤x≤10},q:B={x|1-m≤x≤1+m2}, ∵綈 p 是 q 的充分不必要条件,∴A ? B. 1-m<-2, ? ? 2 ∴?1+m >10, ∴m>3. ? ?1-m<1+m2, 故所求实数 m 的取值范围为(3,+∞). 1 12.(创新拓展)证明:“0≤a≤ ”是“函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上为减 6 函数”的充分不必要条件. 1 证明 充分性:由已知 0≤a≤ ,对于函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2, 6 当 a=0 时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上是减函数. 1 1 当 a≠0 时,由已知 0<a≤ 得 ≥6. 6 a 二次函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2 图象是抛物线,其开口向上, 1-a 1 对称轴方程为:x= = -1≥6-1=5. a a 所以二次函数 f(x)在(-∞,4]上是减函数. 非必要性:当 a≠0 时,二次函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2 的图象是抛物线,其对称轴为: 1-a 1 x= = -1. a a

因为二次函数 f(x)在(-∞,4]上是减函数,

?a>0 ? 1 所以?1 ?0<a≤ . 5 ?a-1≥4 ?
显然,函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2 在(-∞,4]上是减函数时,也有 a=0. 1 1 1 由于[0, ]?[0, ],所以 0≤a≤ 不是函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上为 6 5 6 减函数的必要条件. 综上所述,命题成立.


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