§7.1
不等关系与不等式
[高考调研 考纲解读
明确考向] 考情分析
?从高考内容上来看，不等关系、不 等式的性质及应用是命题的热点．
?了解现实世界和日常生活中的不等 ?着重突出考查对不等式性质的灵活 关系． ?了解不等式(组)的实际背景. 运用，有时与充要性的判断交汇命 题，体现了化归转化思想，难度 中、低档． ?考查题型多为选择、填空题.
知识梳理 1.比较两个实数大小的法则 若a，b∈R，则 1 ______________； (1)a＞b?□ 2 ______________； (2)a＝b?□ 3 ______________. (3)a＜b?□
2．不等式的基本性质 4 ______________； (1)a＞b?□ 5 __________； (2)a＞b，b＞c?□ 6 ______________； (3)a＞b?□ (4)a＞b，c＞0? __________； 7 □ ________；a＞b，c＜0? 8 □
9 ____________； (5)a＞b，c＞d?□ 10 __________； (6)a＞b＞0，c＞d＞0?□ 11 ____________(n∈N，且n≥2)； (7)a＞b＞0?□ 12 __________________(n∈N，且n≥2)． (8)a＞b＞0?□
3．不等式的一些常用性质 (1)倒数性质： 1 1 13 ①a＞b，ab＞0? □______ . a b a b 14 ______ . ②a＞b＞0,0＜c＜d?c □ d 1 1 1 ③0＜a＜x＜b，或a＜x＜b＜0?b＜ x＜a.
(2)有关分数的性质： 若a＞b＞0，m＞0，则 b＋m b b－m b 15 16 ①真分数的性质： a□____ ； a□____ (b－m a＋m a－m ＞0)． a a＋m a a－m ②假分数的性质：b＞ ； ＜ (b－m＞0)． b＋m b b－m
1 a－b＞0 答案：□ 5 a＞c □
2 a－b＝0 □ 3 a－b＜0 □ 4 b＜a □
6 a＋c＞b＋c □ 7 ac＞bc □ 8 ac＜bc □ 9 a＋c＞b＋ □ d 10 ac＞bd □ 15 ＜ □ 16 ＞ □ 11 an＞bn □ n n 12 □ a＞ b 13 ＜ □ 14 ＞ □
名师微博 ●一个技巧 作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式 分解或配方． ●一种方法 待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表 示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不 等式的性质求出目标式的范围.
基础自测 1.对于实数a，b，c，下列命题正确的是( A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 1 1 C．若a＜b＜0，则a＜b b a D．若a＜b＜0，则a＞b )
解析：因为c2≥0，所以只有c≠0时才能成立． c＝0时，ac2＝bc2，所以A是假命题． a＜b，a＜0?a2＞ab；a＜b，b＜0?ab＞b2，则a2＞ab ＞b2，所以B是真命题． 1 1 由性质知a＜b＜0?a＞b，所以C是假命题．
－2 －3 对于D，例如－3＜－2＜0， ＞ 是假命题． －3 －2
答案：B
2．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是 ( ) A．a＞ab＞ab2 C．ab＞a＞ab2 B．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a
解析：方法一，由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1. 又a＜0，∴ab＞ab2＞a. 方法二，由已知，有ab＞0，且ab2＜0， 由此可知a，ab，ab2中，ab最大．由此可排除A、B. 下面用比较法比较a，ab2的大小， ∵a＜0，又－1＜b＜0，
∴0＜b2＜1，∴b2－1＜0，∴a(b2－1)＞0， 即ab2－a＞0，∴ab2＞a.∴应排除C.
答案：D
1 1 1 3．已知a＞b，则不等式：①a ＞b ；②a＜b；③ ＞ a－b
2 2
1 a.其中一定成立的个数是( A．0 C．2 B．1 D．3
)
解析：对于①，因a2－b2＝(a－b)(a＋b)且a－b＞0，但a ＋b的符号无法确定． 1 1 b－a 对于②，因 a － b ＝ ab ，且b－a＜0，但ab的符号无法 确定． 1 1 b b 对于③，因 － ＝ ，且a－b＞0，但 a 的符号 a－b a ?a－b?a 不确定，所以这三个不等式都不一定成立，应选A.
答案：A
4．若a，b是任意实数，且a＞b，则( A．a ＞b
2 2
)
b B. ＜1 a
?1? ?1? a D.?2? ＜?2?b ? ? ? ?
C．lg(a－b)＞0
解析：a＞b，并不能保证a，b均为正数，从而不能保证 A、B成立，所以A、B应排除． a＞b?a－b＞0，但不能保证a－b＞1，从而不能使C成 立，所以应排除C. 指数函数y＝
?1? ? ? x是减函数，根据指数函数的单调性，有 ?2?
?1? ?1? a a＞b??2? ＜?2?b成立，所以D成立． ? ? ? ?
答案：D
5．(2011· 浙江)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜ 1 ”的( a )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1 1 解析：若0＜ab＜1，当a＜0时，b＞ a ，反之，若b＜ a ， 当a＜0时，ab＞1，故选D.
答案：D
考点一
比较大小
[例1] ca的大小．
已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋
1 解析：∵a ＋b ＋c －(ab＋bc＋ca)＝ 2 [(a－b)2＋(b－c)2＋
2 2 2
(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号． ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
方法点睛
比较大小的方法常采用作差法与作商法，但
题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．
变式训练1 (2013· 莆田联考)已知实数a，b，c满足b＋c ＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是 ( ) A．c≥b＞a C．c＞b＞a B．a＞c≥b D．a＞c＞b
解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b. 已知两式作差，得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2. ∵1＋a
2
? 1?2 3 －a＝?a－2? ＋4＞0，∴1＋a2＞a. ? ?
∴b＝1＋a2＞a.∴c≥b＞a.
答案：A
考点二
利用不等式的性质判断命题的真假
[例2]
(2012· 包头模拟)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下
a b 列命题：(1)ad＞bc；(2)d＋ c＜0；(3)a－c＞b－d； (4)a· (d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是( A．1 B．2 C．3 ) D．4
解析：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，∴(1)错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)， a b ac＋bd ∴ac＋bd＜0，∴d＋c ＝ cd ＜0，∴(2)正确．
∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，∴(3)正 确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正确，故 选C.
答案：C
方法点睛
在判断一个关于不等式的命题真假时，先把
要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近 的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用 到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．
变式训练2
已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③
c d ＞ .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成 a b 正确命题的个数是( A．0 C．2 B．1 D．3 )
c d 解析：命题1：若ab＞0， a ＞ b ，则bc＞ad；命题2：若 c d c d ab＞0，bc＞ad，则 a ＞ b ；命题3：若 a ＞ b ，bc＞ad，则ab＞ 0.
答案：D
考点三
利用不等式的性质求范围
[例3]
设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求
f(－2)的取值范围．
解析：方法一：∵f(x)＝ax2＋bx，
? ?f?1?＝a＋b， ∴? ? ?f?－1?＝a－b.
? 1 ?a＝2[f?1?＋f?－1?]， ∴? ?b＝1[f?1?－f?－1?]. ? 2 ∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，
且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10. 方法二(待定系数法)： 设m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
? ?m＋n＝4， ∴? ? ?m－n＝－2. ? ?m＝1， ∴? ? ?n＝3.
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10.
方法点睛
由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)
的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x， y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质 求得F(x，y)的取值范围．
变式训练3 取值范围．
? ?－1≤α＋β≤1， 已知α，β满足 ? ? ?1≤α＋2β≤3，
求α＋3β的
解析：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
? ?x＋y＝1， 由? ? ?x＋2y＝3， ? ?x＝－1， 解得? ? ?y＝2.
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.
考点四
利用不等式的性质证明简单不等式
[例4]
1 1 1 设a＞b＞c，求证： ＋ ＋ ＞0. a－b b－c c－a
证明：∵a＞b＞c， ∴－c＞－b. ∴a－c＞a－b＞0， 1 1 ∴ ＞ ＞0. a－b a－c 1 1 ∴ ＋ ＞0. a－b c－a
1 又b－c＞0，∴ ＞0. b－c 1 1 1 ＋ ＋ ＞0. a－b b－c c－a
方法点睛
①运用不等式性质解决问题时，必须注意性
质成立的条件．②同向不等式的可加性与可乘性可推广到两 个以上的不等式．
变式训练4 e e ＞ . ?a－c?2 ?b－d?2
若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：
证明：∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0， ∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 1 1 ∴0＜ ＜ . ?a－c?2 ?b－d?2 e e 又∵e＜0，∴ 2＞ 2. ?a－c? ?b－d?
思想方法(八)
数式大小比较问题
数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及 的知识点和问题求解的方法不仅涉及不等式知识，而且更多 的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等 知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题， 考查不等式性质、函数性质的应用．
一、作差法 [示例] 是( ) a＋b a＋b A．a＜b＜ ab＜ 2 B．a＜ ab＜ 2 ＜b a＋b a＋b C．a＜ ab＜b＜ 2 D. ab＜a＜ 2 ＜b (2011· 陕西)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的
a＋b 审题：只需比较a与 ab，b与 2 的大小． 转化：作差法、特值法． 求解：作差法：a2－( ab)2＝a(a－b)＜0?a＜ ab， a＋b b－a a＋b b－ 2 ＝ 2 ＞0?b＞ 2 特值法：取a＝2，b＝8可得，选B.
答案：B
反思：作为选择题的数式大小比较采用特值法显然快而 准．
二、作商法 [示例] 若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|loga(1－x)|与 )
|loga(1＋x)|的大小关系是(
A．|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| B．|loga(1－x)|＜|loga(1＋x)| C．不确定，由a的值决定 D．不确定，由x的值决定
|loga?1－x?| 审题：采用作商法 . |loga?1＋x?| 转化：恒等变式，得到1－log(1＋x)(1－x2)． 求解：1－log(1＋x)(1－x2)＞1?|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|， 选A. 1 反思：本题也可以采用特值法，取a＝2，x＝2，则
? 3? 1 |log22|＝1＞?log22?. ? ?
三、中间量法 [示例] 2π 若a＝2 ，b＝logπ3，c＝log2sin ，则( 5
0.6
)
A．a＞b＞c C．c＞a＞b
B．b＞a＞c D．b＞c＞a
审题：分别与0或1比较大小．
求解：a＝20.6＞20＝1， 0＝logπ1＜b＝logπ3＜logππ＝1， 2π c＝log2sin ＜log21＝0. 5
答案：a＞b＞c
反思：在数式大小比较问题中，中间量一般是0或1，比 较时，一般利用指数、对数的性质.