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数学必修二期末测试题3


数学必修二综合测试题(3)
姓名: 班级: 一、选择题 1.下列叙述中,正确的是( ) (A)因为 P ?? , Q ?? ,所以 PQ ? ? (B)(B)因为 P ?? ,Q ? ? ,所以 ? ? ? =PQ (C)因为 AB ? ? ,C ? AB,D ? AB,所以 CD ? ? (D)因为 AB ? ? , AB ? ? ,所以 A ? (? ? ? ) 且

B ? (? ? ? ) *2.已知直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,则该直线 l 的倾斜角为( ) . (A) 30
?

得分:

(B) 45

?

(C) 60

?

(D) 135

?

*3.已知点 A( x,1, 2)和点B . (2,3,4),且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是( ) (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2

*4.长方体的三个面的面积分别是 2、 3、 6 ,则长方体的体积是( ) . A. 3 2 B. 2 3 C. 6 D.6 ( D、 4? a 2 )

*5.棱长为 a 的正方体内切一球,该球的表面积为 A、 ? a 2 B、2 ? a 2 C、3 ? a 2

*6.若直线 a 与平面 ? 不垂直,那么在平面 ? 内与直线 a 垂直的直线( ) (A)只有一条 (B)无数条 (C)是平面 ? 内的所有直线 (D)不存在 **7.已知直线 l 、 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,给出下列四个命题: ①若 m∥ l ,n∥ l ,则 m∥n ③若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n 其中假命题 是( ) . ... (A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④ ) .
主视图
x

②若 m⊥? ,m∥?, 则? ⊥? ④若 m⊥? ,? ⊥? ,则 m∥? 或 m ? ? ?

**8.在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(
y y y y

左视图

O

x

O

x

O

x

O

1

俯视图

9.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积 为( * ) . ... (A)

? 4

(B)

5 3 ? (C) ? (D) ? 4 2

2 2 10.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 (x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 交于 E、F 两点,则 ? EOF(O 是原点)

的面积为(

) .

A. 2 5

3 B. 4

3 C. 2

6 5 D. 5

11.已知点 A(2,?3) 、 B(?3,?2) 直线 l 过点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率的 取值 k 范围是 ( A、 k ? ) B、 k ?

3 或 k ? ?4 4

3 1 或k ? ? 4 4

C、 ? 4 ? k ?

3 4

D、

3 ?k?4 4
) .

2 ***12.若直线 y ? kx ? 4 ? 2k 与曲线 y ? 4 ? x 有两个交点,则 k 的取值范围(

A. ?1, ? ? ?

3 [?1, ? ) 4 B.

3 ( , 1] C. 4

D. (??, ? 1]

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. **13.如果对任何实数 k,直线(3+k)x+(1-2k)y+1+5k=0 都过一个定点 A,那么点 A 的 坐标是 . **14.空间四个点 P、A、B、C 在同一球面上,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC=a,那 么这个球面的面积是 .
2 2 **15.已知 圆O1 : x2 ? y2 ? 1与圆O2 ( : x-3) ? (y+4) ? 9 ,则圆O1与圆O2 的位置关

系为 . ***16.如图①,一个圆锥形容器的高为 a ,内装一定量的水. 如果将容器倒置,这时所形成的圆锥的高恰为

a (如图 2

a

②) ,则图①中的水面高度为 . 三.解答题: **17. (本小题满分 12 分) 如图,在 ? OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在直线的方程.


y



C

B D

O

1

A

x

2

**18. (本小题满分 12 分)如图,已知正四棱锥 V- ABCD 中, AC与BD交于点M,VM 是棱锥的高 ,若 AC ? 6cm , VC ? 5cm ,求 正四棱锥 V - ABCD 的体积.

V

D A ***19. (本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、 F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. M B

C

D
1

C1 B1

A
1

E ***20. (本小题满分 12 分)已知直线 l1 :mx-y=0 , l2 :x+my-m-2=0 (Ⅰ)求证:对 m∈R, l1 与 l2 的交点 P 在一个定圆上; (Ⅱ)若 l1 与定圆的另一个交点为 P1 , l2 与定圆的另一交点为 P2 , 求当 m 在实数范围内取值时,⊿ PP1 P2 面积的最大值及对应的 m.
新疆

D F B

C

王新敞
学案

A

***21. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 a 的正方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 中, (1)作出面 A1BC1 与面 ABCD 的交线 l ,判断 l 与线 AC 1 1 位置关系,并给出证明; (2)证明 B1D ⊥面 A1BC1 ; (3)求线 AC 到面 A1BC1 的距离; (4)若以 D 为坐标原点, 分别以 DA, DC, DD1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴, 建立空间直角坐标系,试写出 B, B1 两点的坐标.

3

****22. (本小题满分 14 分) 已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1), 由圆 O 外一点 P (a, b) 向圆 O 引切 线 PQ,切点为 Q,且满足 PQ ? PA . (1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试求半径取最小值时圆 P 的 方程.
2

y

A
0 2

x P

Q

参考答案
一.选择题 二.填空题 三.解答题 17. 解: (1)? 点 O(0,0) ,点 C(1,3) , DBACA 13. (?1, 2) BDCCD AB
2 14. 3?a

15. 相离

3 16. (1 ? 7 )a

2

? OC 所在直线的斜率为 kOC ? 3 ? 0 ? 3 .
1? 0
(2)在 ? OABC 中, AB // OC ,

? CD⊥AB,? CD⊥OC. ? CD 所在直线的斜率为 kCD ? ? 1 .
3

1 3 V ABCD 18. 解法 1:? 正四棱锥 中,ABCD 是 正方形, 1 1 1 ? MC ? AC ? BD ? ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2

? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1), 即x ? 3 y ?10 ? 0 .

V

D A M B

C

4

且 S ABCD ?

1 1 ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 (cm2). 2 2 ? VM 是棱锥的高 ,

? Rt△VMC 中, VM ? VC 2 ? MC 2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm). ? 正四棱锥 V- ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm3).
y 解法 2:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,

1 3

1 3

? MC ? 1 AC ? 1 BD ? 1 ? 6 ? 3 (cm).
2 2 2

P P2(2,1) P1 O

2 且 AB ? BC ? AC ? 3 2 (cm) . 2

? SABCD ? AB2 ? (3 2)2 ? 18 (cm2). ? VM 是棱锥的高 , ? Rt△VMC 中, VM ? VC 2 ? MC 2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).

x

? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm3).
19. (1)证明:连结 BD. 在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又? E、F 为棱 AD、AB 的中点, ? EF // BD .

1 3

1 3

? EF // B1D1 .
又 B1D1? ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,

? EF∥平面 CB1D1.
(2)? 在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1,

? AA1⊥B1D1. 又? 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1, ? B1D1⊥平面 CAA1C1.
又? B1D1? ? 平面 CB1D1,

? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. 20. 解: (Ⅰ) l1 与 l2 分别过定点(0,0) 、 (2,1) ,且两两垂直,∴ l1 与 l2 的交点
必在以(0,0) 、 (2,1)为一条直径的圆: x ( x ? 2) ? y( y ? 1) ? 0 即
5

x 2 ? y 2 ? 2x ? y ? 0 (Ⅱ)由(1)得 P1 (0,0) 、 P2 (2,1) , 1 5 ∴⊿ PP1 P2 面积的最大值必为 ? 2r ? r ? . 2 4 1 此时 OP 与 PP . 1 2 垂直,由此可得 m=3 或 ? 3
新疆

王新敞
学案

21.解: (1)在面 ABCD 内过点 B 作 AC 的平行线 BE ,易知 BE 即为直线 l , ∵ AC ∥ AC 1 1 , AC ∥ l ,∴ l ∥ AC 1 1. (2)易证 AC 1 1 ⊥面 DBB 1D 1 ,∴ AC 1 1⊥B 1 D ,同理可证 A 1B ⊥ B 1D , 又 AC 1 1 ? A 1B = A 1 ,∴ B 1 D ⊥面 A 1 BC1 . (3)线 AC 到面 A1BC1 的距离即为点 A 到面 A1BC1 的距离,也就是点 B1 到

面 A1BC1 的距离,记为 h ,在三棱锥 B1 ? BAC 1 1 中有

1 1 3a . VB1 ?BA1C1 ? VB? A1B1C1 ,即 S?A1BC1 ? h ? S ?A1B1C1 ? BB1 ,∴ h ? 3 3 3
(4) C(a, a,0), C1 (a, a, a) 22. 解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定 理有
2
2 2 2

y

PQ ? OP ? OQ .
又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA . 即: (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 . 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .
2 2

A
O 2

x P

Q

6 4 6 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? 故当 a ? 5 5 5
时, PQ min ?

2 2 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5

解法 2:由(1)知,点 P 在直线 l:2x + y-3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ,即求点 A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min = | 2×2 + 1-3 | 2 5 = . 2 2 5 2 +1

(3)设圆 P 的半径为 R ,

? 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,
? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .
6

而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

6 时, OP ? 3 5. min 5 5

3 , Rmin ? 3 5 ? 1 . 5 5 得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 解法 2: 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的情形,而这 些半径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0. y 3 3 5 r= - 1 = - 1 . 5 22 + 12 2 又 l’:x-2y = 0, A 6 ? x ? , P 0 ? x ? 2 y ? 0, 5 .即 P0( 6 ,3 ). 解方程组 ? ,得 ? ? ? 5 5 O 2 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 x ? 5 ? Q P ∴ 所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 l
此时, b ? ?2a ? 3 ?

数学必修二综合测试题
一、选择题; (每题 5 分,共 60 分)
1.若直线的倾斜角为 120 ,则直线的斜率为( A. 3 B. ? 3
?

2



C.

3 3

D. -

3 3
) D. x ? 2 y ? 5 )

2.已知点 A(1, 2) 、 B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5

3. 在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(

7

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

4. 两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,-1) ,两圆的圆心均在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值 为( A.-1 ) B.2 C .3 D.0

5. 下列说法不正确的 是( ) .... A. 空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 6.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为( )
2
2

A. 2?

?2 3

B.

4? ? 2 3
2 3 4? ? 3
1 x?2 2
2

C.

2 3 2? ? 3

D.

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

7.已知直线 l1

: x ? ay ? 1 ? 0 与直线 l 2 : y ?
) C.

垂直,则 a 的值是( A 2 B-2

1 2

D. ?

1 2

俯视图

8.若 a , b 是异面直线,直线 c ∥ a ,则 c 与 b 的位置关 系是( ) B. 异面 C. 平行 D.异面或相交

A. 相交

9.已知点 (a, 2)(a ? 0) 到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a 等于( A. 2 B. 2 ? 2 C. 2 ? 1 D. 1 ? 2
)



10.如果ac<0,bc<0,那么直线ax+by+c=0不通过 (

8

A.第一象限 B.第二象限
2

C.第三象限

D.第四象限 )

11.若 P ? 2, ? 1? 为圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0 )

12.半径为 R 的球内接一个正方体,则该正方体的体积是( A. 2 2 R
3

B.

4 ? R3 3

C.

8 3R 3 9

D.

3 3 R 9

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分)
13.求过点(2,3)且在 x 轴和 y 轴截距相等的直线的方程 14.已知圆 x -4 x -4+ y 2 =0 上的点 P (x,y) ,求 x 2 ? y 2 的最大值
2

. .

15.已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 和圆外一点 p(?2,?3) ,求过点 p 的圆的切线方程为 16.若 l 为一条直线,? , ? ,? 为三个互不重合的平面,给出下面四个命题:① ? ⊥ ? ,

? ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? ;② ? ⊥ ? , ? ∥ ? ,则 ? ⊥ ? ;③ l ∥ ? , l ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? .④
若 l ∥ ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线。其中正确命题的序号是 命题的序号都 填上) ...... . (把你认为正确 ..

三、解答题(共 70 分)
17、 (本小题满分 12 分) 已知直线 l 经过直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且垂直于直线

x ? 2 y ?1 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S .
2 18、 (15 分)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 2

A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长. .

9

19、(14 分) 已知圆 C 同时满足下列三个条件:①与 y 轴相切;②在直线 y=x 上截得弦长 为 2 7 ;③圆心在直线 x-3y=0 上. 求圆 C 的方程.

20、 (14 分) 如图,四棱锥 ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, O 是正方形 ABCD 的中 心, PO ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点. 求证: (Ⅰ) PA ∥平面 BDE ; (Ⅱ)平面 PAC ? 平面 BDE .

P

E

D O A B

C

21. (本小题满分 15 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线

4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切.
(Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在 (Ⅱ) 的条件下, 是否存在实数 a , 使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(?2, 4) , 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

高一数学必修 2 检测试题答案
一、选择题; (每题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 A 5 D 6 C 7 C 8 D 9 C 10 C 11 A 12 C

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分 13、x-y+5=0 或 2x-3y=0, 14、 12 ? 8 2

10

15、 x ? ?2 或 5 x ? 12y ? 26 ? 0 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 ?

16 、 ②③

?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ?2 x ? y ? 2 ? 0.

解得 ?

? x ? ?2, ? y ? 2.

由于点 P 的坐标是( ?2 ,2).-----------------------2 分 则所求直线 l 与 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直, 可设直线 l 的方程为 2 x ? y ? C ? 0 .--------------------4 分 把点 P 的坐标代入得 2 ? ? ?2? ? 2 ? C ? 0 ,即 C ? 2 .------------6 分 所求直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .…………………………………………8 分 (Ⅱ)由直线 l 的方程知它在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 ?1 、 ?2 , 所以直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 S ?
2

1 ? 1? 2 ? 1 . 2

………………12

2 18、解: (1)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、

C,所以直线 l 的斜率为 2, 直线 l 的方程为 y=2(x-1),即

2x-y-20.---------------5 分

(2) 当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC, 直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

1 ( x ? 2) , 2

即 x+2y-6=0----------------10 分 (3)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心 C 到直线 l 的距离为

1 ,圆的半径为 3,弦 AB 的长为 34 ------15 分 2

19、解:设所求的圆 C 与 y 轴相切,又与直线交于 AB, ∵圆心 C 在直线 x ? 3 y ? 0 上,∴圆心 C(3a,a) ,又圆 与 y 轴相切,∴R=3|a|. ---------------------4 分 又圆心 C 到直线 y-x=0 的距离 | 3a ? a | | CD |? ? 2 | a | . ?| AB |? 2 7 , | BD |? 7 ---------8 分 2 在 Rt△CBD 中,

R 2 ? | CD |2 ? ( 7 ) 2 ,?9a 2 ? 2a 2 ? 7.a 2 ? 1, a ? ?1,3a ? ?3 .-------------12 分
∴圆心的坐标 C 分别为(3,1)和(-3,-1) ,故所求圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 或 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 .---------------14 分

11

20、证明: (Ⅰ)连结 OE . ∵ O 是 AC 的中点, E 是 PC 的中点, ∴ OE ∥ AP ,------------3 分 又∵ OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , ∴ PA ∥平面 BDE .……………………………7 分 (Ⅱ)∵ PO ? 底面 ABCD , ∴ PO ? BD ,------------------9 分 又∵ AC ? BD ,且 AC ? PO = O , ∴ BD ? 平面 PAC .-------------------12 分 而 BD ? 平面 BDE , ∴平面 PAC ? 平面 BDE .………………14 分 21. (本小题满分 15 分)

P

E

D O A B

C

解: (Ⅰ)设圆心为 M (m, 0) ( m ? Z ) .由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且

半径为 5 ,所以

4m ? 29 ? 5 ,即 4m ? 29 ? 25 .因为 m 为整数,故 m ? 1 . 5

故所求圆的方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 . …………………………………5 分 (Ⅱ)把直线 ax ? y ? 5 ? 0 即 y ? ax ? 5 .代入圆的方程,消去 y 整理,得

(a2 ? 1) x2 ? 2(5a ?1) x ? 1 ? 0 .
由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A, B 两点,故 ? ? 4(5a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 .
2 2
2 即 12a ? 5a ? 0 ,由于 a ? 0 ,解得 a ?

5 . 12

5 , ? ? ) .…………………………………………10 分 12 1 (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在,由于 a ? 0 ,则直线 l 的斜率为 ? , a 1 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 , 即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 . a
所以实数 a 的取值范围是 ( 由于 l 垂直平分弦 AB ,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上. 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ?

3 3 3 5 .由于 ? ( , ? ?) ,故存在实数 a ? , 4 4 4 12

使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB .……………15 分

12


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